Rhagair

Rhagair

“Ym mron pob gwerslyfr, hyd yn oed y gorau, cyflwynir yr egwyddor hon mewn modd sy'n ei gwneud yn amhosibl ei deall.” (K. Jacobi, Lectures on Dynamics, 1842-1843). Nid wyf wedi dewis torri â'r traddodiad.

V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics [5], troednodyn, t. 246

Os na allwch ei esbonio'n syml, nid ydych yn ei ddeall yn ddigon da.

Albert Einstein

Bu adfywiad rhyfeddol mewn diddordeb mewn mecaneg glasurol yn ystod y blynyddoedd diwethaf. Gwyddom bellach fod llawer mwy i fecaneg glasurol nag a dybiwyd gynt. Mae ymddygiad systemau clasurol yn rhyfeddol o gyfoethog; dim ond y dechrau yw deillio'r hafaliadau mudiant, sef prif ffocws cyflwyniadau traddodiadol o fecaneg. Mae systemau clasurol yn arddangos amrywiaeth gymhleth o ffenomenau, megis cyseiniannau aflinol, ymddygiad anhrefnus, a thrawsnewidiadau i anhrefn.

Mae triniaethau traddodiadol o fecaneg yn canolbwyntio'r rhan fwyaf o'u hymdrech ar y dosbarth eithriadol o fach o systemau dynamig y gellir eu trin yn symbolaidd. Rydym ni'n canolbwyntio ar ddatblygu dulliau cyffredinol o astudio ymddygiad systemau, boed ganddynt ddatrysiad symbolaidd ai peidio. Mae systemau nodweddiadol yn ymddwyn mewn modd sy'n ansoddol wahanol i'r systemau y gellir eu datrys, ac yn rhyfeddol o gymhleth. Rydym yn canolbwyntio ar ffenomenau mudiant, ac yn gwneud defnydd helaeth o efelychu cyfrifiadurol i archwilio'r mudiant hwn.

Hyd yn oed pan na ellir trin system yn symbolaidd, mae offer dynameg fodern yn ein galluogi i gael dealltwriaeth ansoddol ohoni. Yn hytrach na chanolbwyntio ar ddisgrifiadau symbolaidd, rydym yn canolbwyntio ar nodweddion geometrig y set o daflwybrau posibl. Mae offer o'r fath yn darparu sail i ddadansoddi data rhifiadol neu arbrofol yn systematig.

Mae mecaneg glasurol yn dwyllodrus o syml. Mae'n rhyfeddol o hawdd cael yr ateb cywir drwy resymu gwallus neu heb ddealltwriaeth wirioneddol. Mae nodiant mathemategol traddodiadol yn cyfrannu at y broblem hon. Mae gan symbolau ystyron amwys sy'n dibynnu ar y cyd-destun, ac yn aml maent hyd yn oed yn newid o fewn cyd-destun penodol.¹ Er enghraifft, un o ganlyniadau sylfaenol mecaneg yw hafaliadau Lagrange. Mewn nodiant traddodiadol, ysgrifennir hafaliadau Lagrange fel

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}-\frac{\partial L}{\partial q^i}=0.$

Rhaid dehongli ffwythiant Lagrange L fel ffwythiant cydrannau safle a chyflymder qⁱ a ${\dot{q}}^i$, er mwyn i'r deilliadau rhannol wneud synnwyr; ond yna, er mwyn i'r deilliad amser d/dt wneud synnwyr, rhaid bod llwybrau datrysiad wedi'u mewnosod yn neilliadau rhannol ffwythiant Lagrange i greu ffwythiannau amser. Mae'r defnydd traddodiadol o nodiant amwys yn gyfleus mewn sefyllfaoedd syml, ond mewn sefyllfaoedd mwy cymhleth gall fod yn rhwystr difrifol i resymu clir. Er mwyn sicrhau bod y rhesymu'n glir ac yn ddiamwys, rydym wedi mabwysiadu nodiant mathemategol mwy manwl gywir. Mae ein nodiant yn seiliedig ar ffwythiannau ac yn dilyn arfer cyflwyniadau mathemategol modern.² Ceir cyflwyniad i'n nodiant ffwythiannol mewn atodiad.

Mae cyfrifiant hefyd yn rhan o gyflwyno'r syniadau mathemategol sy'n sail i fecaneg. Mynnwn fod ein nodiant mathemategol yn ddigon eglur a manwl gywir i gael ei ddehongli'n awtomatig, gan gyfrifiadur er enghraifft. O ganlyniad i'r gofyniad hwn, mae'r fformiwlâu a'r hafaliadau sy'n ymddangos yn y testun yn sefyll ar eu pennau eu hunain. Mae iddynt ystyr clir, yn annibynnol ar y cyd-destun anffurfiol. Er enghraifft, ysgrifennwn hafaliadau Lagrange mewn nodiant ffwythiannol fel a ganlyn:³

D(∂₂L ∘ Γ[q]) − ∂₁L ∘ Γ[q] = 0.

Ffwythiant â gwerthoedd real o amser t, cyfesurynnau x, a chyflymderau v yw ffwythiant Lagrange L; ei werth yw L(t, x, v). Nodir deilliadau rhannol fel deilliadau ffwythiannau mewn perthynas â safleoedd arg penodol; mae ∂₂L yn dynodi'r ffwythiant a geir drwy gymryd deilliad rhannol ffwythiant Lagrange L mewn perthynas â safle'r arg cyflymder. Mae'r nodiant deilliadau rhannol traddodiadol, sy'n defnyddio deilliad mewn perthynas â “newidyn”, yn dibynnu ar y cyd-destun a gall arwain at amwysedd.⁴ Yna gwerthusir deilliadau rhannol ffwythiant Lagrange yn eglur ar hyd ffwythiant llwybr q. Cymerir y deilliad amser a ffurfir hafaliadau Lagrange. Mae pob cam yn eglur; nid oes unrhyw amnewidiadau ymhlyg.

Defnyddir algorithmau cyfrifiadurol i gyfleu'n fanwl gywir rai o'r dulliau a ddefnyddir wrth ddadansoddi ffenomenau dynamig. Mae mynegi dulliau mecaneg amrywiadol mewn iaith gyfrifiadurol yn eu gorfodi i fod yn ddiamwys ac yn gyfrifiadurol effeithiol. Mae cyfrifiant yn ei gwneud yn ofynnol inni fod yn fanwl gywir ynghylch cynrychioli cysyniadau mecanyddol a geometrig fel gwrthrychau cyfrifiadurol, ac yn ein galluogi i gynrychioli'n eglur yr algorithmau ar gyfer trin y gwrthrychau hyn. Hefyd, ar ôl ei ffurfioli fel gweithdrefn, daw syniad mathemategol yn offeryn y gellir ei ddefnyddio'n uniongyrchol i gyfrifo canlyniadau.

Mae archwilio gweithredol gan y myfyriwr yn rhan hanfodol o'r profiad dysgu. Ein ffocws yw deall mudiant systemau; er mwyn dysgu am fudiant, rhaid i'r myfyriwr archwilio mudiant systemau'n weithredol drwy efelychu ac arbrofi. Mae'r ymarferion a'r prosiectau yn rhan annatod o'r cyflwyniad.

Gan fod y fathemateg yn ddigon manwl gywir i'w dehongli'n awtomatig, gellir ymestyn yr archwilio gweithredol ati hithau. Mae'r gofyniad bod y cyfrifiadur yn gallu dehongli unrhyw fynegiad yn rhoi adborth llym ac uniongyrchol ynghylch a yw'r mynegiad wedi'i lunio'n gywir. Dengys profiad fod rhyngweithio â'r cyfrifiadur yn y modd hwn yn datgelu ac yn cywiro llawer o ddiffygion mewn dealltwriaeth.

Yn y llyfr hwn mynegwn ddulliau cyfrifiadurol yn Scheme, tafodiaith o deulu ieithoedd rhaglennu Lisp, yr ydym hefyd yn ei defnyddio yn ein cwrs rhagarweiniol mewn cyfrifiadureg yn MIT. Ceir llawer o gyflwyniadau da i Scheme. Darparwn gyflwyniad byr i Scheme mewn atodiad.

Hyd yn oed yn y dosbarth cyfrifiadureg rhagarweiniol, nid ydym byth yn addysgu'r iaith yn ffurfiol, oherwydd nid oes angen gwneud hynny. Yn syml, rydym yn ei defnyddio, ac mae'r myfyrwyr yn ei dysgu mewn ychydig ddyddiau. Dyma un o fanteision mawr ieithoedd tebyg i Lisp: ychydig iawn o ffyrdd sydd ganddynt o ffurfio mynegiadau cyfansawdd, a phrin ddim strwythur cystrawennol. Gellir ymdrin â'r holl briodweddau ffurfiol mewn awr, fel rheolau gwyddbwyll. Ar ôl ychydig o amser, anghofiwn am fanylion cystrawennol yr iaith (oherwydd nid oes rhai) a bwrw ymlaen â'r materion go iawn—penderfynu beth rydym am ei gyfrifo.

Mantais Scheme dros ieithoedd eraill wrth gyflwyno mecaneg glasurol yw ei bod yn haws ac yn fwy naturiol trin gweithdrefnau sy'n gweithredu ffwythiannau mathemategol yn Scheme nag mewn ieithoedd cyfrifiadurol eraill. Yn wir, gellir cynrychioli llawer o theoremau mecaneg yn uniongyrchol fel rhaglenni Scheme.

Y fersiwn o Scheme a ddefnyddiwn yn y llyfr hwn yw MIT/GNU Scheme, wedi'i ategu gan lyfrgell fawr o feddalwedd o'r enw Scmutils, sy'n ymestyn gweithredyddion Scheme fel eu bod yn generig dros amrywiaeth o wrthrychau mathemategol, gan gynnwys mynegiadau symbolaidd. Mae llyfrgell Scmutils hefyd yn cefnogi'r dulliau rhifiadol a ddefnyddiwn yn y llyfr hwn, megis cwadratur, integru systemau o hafaliadau differol, a lleihau ffwythiannau amlnewidyn.

Meddalwedd rydd yw'r system Scheme, wedi'i hategu gan lyfrgell Scmutils. Darparwn y system hon, ynghyd â dogfennaeth a chod ffynhonnell, ar ffurf y gellir ei defnyddio gyda system weithredu GNU/Linux, ar y Rhyngrwyd yn mitpress.mit.edu/classical mech.

Mae'r llyfr hwn yn cyflwyno mecaneg glasurol o safbwynt anghyffredin. Mae'n canolbwyntio ar ddeall mudiant yn hytrach na deillio hafaliadau mudiant. Mae'n plethu darganfyddiadau diweddar mewn dynameg aflinol drwy'r cyflwyniad cyfan, yn hytrach na'u cyflwyno fel ôl-ystyriaeth. Mae'n defnyddio nodiant mathemategol ffwythiannol sy'n galluogi dealltwriaeth fanwl gywir o briodweddau sylfaenol mecaneg glasurol. Mae'n defnyddio cyfrifiant i osod cyfyngiadau ar nodiant, i gofnodi a ffurfioli dulliau, i efelychu, ac i ddadansoddi'n symbolaidd.

Canlyniad addysgu mecaneg glasurol yn MIT yw'r llyfr hwn. Dechreuodd cynnwys ein dosbarth â syniadau o ddosbarth Wisdom ar ddynameg aflinol a dynameg cysawd yr haul, a syniadau ynghylch sut y gellir defnyddio cyfrifiant i lunio methodoleg a ddatblygwyd mewn dosbarth cyfrifiadureg rhagarweiniol gan Abelson a Sussman. Pan ddechreuon ni, roeddem yn disgwyl y byddai defnyddio'r dull hwn i lunio mecaneg yn hawdd. Dysgon ni'n gyflym nad oeddem mewn gwirionedd yn deall llawer o bethau y tybiem ein bod yn eu deall. Mae ein gofyniad bod ein nodiant mathemategol yn ddigon eglur a manwl gywir i gael ei ddehongli'n awtomatig, gan gyfrifiadur er enghraifft, yn effeithiol iawn o ran datgelu amwyseddau a diffygion mewn rhesymu. Parhaodd yr ymdrech a ddilynodd i wneud y fathemateg yn fanwl gywir, ond eto'n glir ac yn gyfrifiadurol effeithiol, lawer yn hwy nag a ragwelasom. Dysgon ni lawer iawn am fecaneg a chyfrifiant drwy'r broses hon. Gobeithiwn y bydd eraill, yn enwedig ein cystadleuwyr, yn mabwysiadu'r dulliau hyn, sy'n gwella dealltwriaeth tra'n arafu ymchwil.

Ail Argraffiad

Rydym wedi addysgu mecaneg glasurol gan ddefnyddio'r testun hwn bob blwyddyn yn MIT ers cyhoeddi'r argraffiad cyntaf. Rydym wedi dysgu llawer iawn am yr anawsterau a wynebai myfyrwyr gyda'r deunydd. Canfuom fod angen gwella rhai o'n hesboniadau. Canlyniad ein dealltwriaeth newydd yw'r argraffiad hwn.

Mae ein cymorth meddalwedd wedi gwella'n sylweddol dros y blynyddoedd, ac rydym wedi manteisio arno i ddarparu proflenni algebraidd mwy cyffredinol nag oedd yn bosibl yn yr argraffiad cyntaf. Mae'r fantais hon yn treiddio drwy'r rhan fwyaf o'r argraffiad newydd.

Yn y bennod gyntaf, awn bellach yn fwy uniongyrchol at gynrychioli'r weithred drwy gyfesurynnau, heb danseilio pwysigrwydd annibyniaeth y weithred ar gyfesurynnau. Ychwanegasom hefyd ddeilliad syml o hafaliadau Euler–Lagrange o Egwyddor y Weithred Arhosol, gan ategu deilliad mwy ffurfiol yr argraffiad cyntaf.

Yn y bennod ar fudiant cyrff anhyblyg, darparwn bellach ddeilliad algebraidd o fodolaeth y fector cyflymder onglaidd. Mae ein deilliad newydd yn gyson â datblygu cyfesurynnau cyffredinoledig ar gyfer corff anhyblyg fel paramedrau'r trawsffurfiad o gyfeiriadedd cyfeirio i'r cyfeiriadedd gwirioneddol. Darparwn hefyd adran newydd ar gwaternionau fel modd o osgoi hynodion wrth ddadansoddi mudiant cyrff anhyblyg.

Trawsffurfiad cyfesurynnau gofod gwedd, ynghyd â thrawsffurfiad cysylltiedig o ffwythiant Hamilton sy'n cynnal cyfatebiaeth un-i-un rhwng taflwybrau, yw trawsffurfiad canonig. Rydym yn caniatáu systemau a thrawsffurfiadau sy'n dibynnu ar amser, gan gymhlethu'r driniaeth o drawsffurfiadau canonig. Mae'r bennod ar drawsffurfiadau canonig wedi'i diwygio'n helaeth i egluro'r berthynas rhwng trawsffurfiadau canonig a thrawsffurfiadau symplectig. Symudasom y driniaeth o drawsffurfiadau canonig sy'n codi o esblygiad, gan gynnwys trawsffurfiadau Lie, i bennod newydd ar wahân.

Cywirasom lu o fân wallau drwy'r llyfr. Gobeithiwn nad ydym wedi cyflwyno mwy nag a ddileasom.

__________________

¹Yn ei lyfr ar addysgeg fathemategol [17], dadleua Hans Freudenthal fod dibynnu ar gonfensiynau nodiannol amwys, nas datgenir, mewn mynegiadau fel f(x) a df(x)/dx yn gwneud mathemateg, ac yn enwedig calcwlws rhagarweiniol, yn hynod ddryslyd i fyfyrwyr sy'n dechrau; ac mae'n annog addysgwyr mathemateg i ddefnyddio nodiant modern mwy ffurfiol.

²Yn ei lyfr hyfryd Calculus on Manifolds [40], defnyddia Michael Spivak nodiant ffwythiannol. Ar t. 44 trafoda rai o'r problemau â nodiant clasurol. Dyfynnwn ddarn arbennig o drawiadol:

³Cyflwynir hyn yma heb esboniad, i roi blas ar y nodiant. Mae'r testun yn rhoi esboniad llawn.

⁴“Rhaid defnyddio offer deilliadau rhannol, lle mae hyd yn oed y nodiant yn amwys.” V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics [5], Adran 47, t. 258. Gweler hefyd y troednodyn ar y dudalen honno.