Mecaneg Hamilton

Arbrofion yw arbrofion rhifiadol, yn union fel y mae eu henw'n awgrymu. Wrth eu disgrifio a'u gwerthuso, dylid mabwysiadu agwedd y ffisegydd arbrofol yn hytrach nag agwedd y mathemategydd. Ni ellir defnyddio arbrofion rhifiadol i brofi theoremau; ond, o safbwynt y ffisegydd, maent yn aml yn darparu tystiolaeth argyhoeddiadol o fodolaeth ffenomen. Felly byddwn yn dilyn dull anffurfiol, disgrifiadol, heb drylwyredd prawf mathemategol. Yn gryno, ein nod fydd deall priodweddau sylfaenol systemau deinamig yn hytrach na'u profi.

Michel Hénon, “Numerical Exploration of Hamiltonian Systems,” yn Chaotic Behavior of Deterministic Systems [21], t. 57.

Gelwir ffurfio mecaneg gan ddefnyddio cyfesurynnau cyffredinoledig a momenta fel newidynnau'r cyflwr deinamig yn ffurfiad Hamilton. Mae ffurfiad Hamilton o fecaneg yn gywerth â ffurfiad Lagrange; serch hynny, mae'r naill a'r llall yn cynnig safbwynt defnyddiol. Mae ffurfiad Lagrange yn arbennig o ddefnyddiol wrth ffurfio disgrifiad cychwynnol o system. Mae ffurfiad Hamilton yn arbennig o ddefnyddiol i ddeall esblygiad system, yn enwedig pan fo cymesureddau a meintiau cadwedig.

Ar gyfer pob cymesuredd di-dor mewn system fecanyddol mae maint cadwedig. Os gellir dewis y cyfesurynnau cyffredinoledig i adlewyrchu cymesuredd, yna, yn ôl hafaliadau Lagrange, cedwir y momenta sy'n gyfiau i'r cyfesurynnau cylchol. Rydym wedi gweld bod meintiau cadwedig o'r fath yn ein galluogi i ddiddwytho priodweddau pwysig y mudiant. Er enghraifft, drwy ystyried yr egni a'r momentwm onglaidd, gallem ddiddwytho bod cylchdroi corff anhyblyg rhydd o amgylch yr echelin â'r moment inertia ganolraddol yn ansefydlog, a bod cylchdroi o amgylch y prif echelinau eraill yn sefydlog. Ar gyfer y chwrligwgan echelin-gymesur, defnyddiasom ddau fomentwm cadwedig i ailddatgan yr hafaliadau sy'n rheoli esblygiad yr ongl ogwydd fel eu bod yn cynnwys yr ongl ogwydd a'i deilliad yn unig. Gellir pennu esblygiad yr ongl ogwydd yn annibynnol, ac mae ganddo ddatrysiadau cwbl gyfnodol. Mae ystyried y momenta cadwedig wedi rhoi mewnwelediad allweddol. Yr awydd i ganolbwyntio sylw ar y momenta sy'n cymell ffurfiad Hamilton.

Yn ffurfiad Lagrange mae'r momenta, mewn ystyr, yn feintiau eilaidd: mae'r momenta yn ffwythiannau o newidynnau'r gofod cyflwr, ond mae esblygiad newidynnau'r gofod cyflwr yn dibynnu ar y newidynnau hynny, ac nid ar y momenta. Mae angen trin a thrafod yr hafaliadau penodol er mwyn defnyddio unrhyw fomenta cadwedig. Gellir ailysgrifennu'r momenta yn nhermau'r cyfesurynnau a'r cyflymderau, felly, yn lleol, gallwn ddatrys ar gyfer y cyflymderau yn nhermau'r cyfesurynnau a'r momenta. Ar gyfer system fecanyddol benodol, a ffwythiant Lagrange sy'n disgrifio ei dynameg mewn system gyfesurynnau benodol, gellir diddwytho'r momenta a'r cyflymderau o'i gilydd. Felly gallwn gynrychioli cyflwr deinamig y system yn nhermau'r cyfesurynnau a'r momenta cystal ag yn nhermau'r cyfesurynnau a'r cyflymderau. Os defnyddiwn y cyfesurynnau a'r momenta i gynrychioli'r cyflwr, ac ysgrifennu'r deilliad cyflwr cysylltiedig yn nhermau'r cyfesurynnau a'r momenta, yna mae gennym system hunangynhwysol. Mantais y ffurfiad hwn o'r hafaliadau sy'n rheoli esblygiad y system yw, os cedwir rhai o'r momenta, bod yr hafaliadau sy'n weddill yn symleiddio ar unwaith.

Mae ffurfiad Lagrange o fecaneg wedi darparu modd i ymchwilio i fudiant systemau mecanyddol cymhleth. Rydym wedi canfod bod systemau deinamig yn dangos amrywiaeth syfrdanol o fudiadau posibl. Weithiau mae'r mudiant yn weddol syml, ac weithiau mae'n gymhleth iawn. Weithiau mae'r esblygiad yn sensitif iawn i'r amodau cychwynnol, ac weithiau nid yw. Ac weithiau ceir orbitau sy'n cynnal perthnasoedd cyseiniant â grym gyrru. Ystyriwch y pendil a yrrir yn gyfnodol: gall ymddwyn fwy neu lai fel pendil heb ei yrru, gydag ysgytiadau bach ychwanegol; gall symud mewn modd cryf anhrefnus; neu gall symud mewn cyseiniant â'r grym gyrru, gan osgiliadu unwaith am bob dau gylch o'r grym gyrru, neu fynd o amgylch unwaith ym mhob cylch gyrru. Neu ystyriwch y Lleuad. Mae'r Lleuad yn cylchdroi'n gydamserol â'i mudiant orbitol, gan droi tua'r un wyneb at y Ddaear bob amser. Fodd bynnag, mae Mercher yn cylchdroi deirgwaith am bob dwywaith y mae'n mynd o amgylch yr Haul, ac mae Hyperion yn cylchdroi'n anhrefnus.

Sut gallwn wneud synnwyr o hyn? Sut gallwn osod mudiadau posibl y systemau hyn mewn perthynas â'i gilydd? Pa fudiadau eraill sy'n bosibl? Mae ffurfiad Hamilton o ddynameg yn darparu fframwaith cyfleus i leoli a deall y mudiadau posibl. Byddwn yn gallu gweld ystod y mudiadau cyseiniant sefydlog ac ystod y cyflyrau y mae taflwybrau anhrefnus yn eu cyrraedd, a darganfod mudiadau posibl eraill nad oeddem wedi'u rhagweld. Felly mae ffurfiad Hamilton yn rhoi llawer mwy inni na'r nod a nodwyd, sef mynegi deilliad y system yn nhermau meintiau a allai fod yn gadwedig.

3.1 Hafaliadau Hamilton

Rhoddir y momenta gan ffwythiannau cyflwr momentwm o'r amser, y cyfesurynnau a'r cyflymderau.¹ Yn lleol, gallwn ddod o hyd i ffwythiannau gwrthdro sy'n rhoi'r cyflymderau yn nhermau'r amser, y cyfesurynnau a'r momenta. Gallwn ddefnyddio'r ffwythiant gwrthdro hwn i gynrychioli'r cyflwr yn nhermau'r cyfesurynnau a'r momenta yn hytrach na'r cyfesurynnau a'r cyflymderau. Gelwir yr hafaliadau mudiant, wedi'u hail-lunio yn nhermau cyfesurynnau a momenta, yn hafaliadau canonig Hamilton.

Rydym yn cyflwyno tri dull o ddeillio hafaliadau Hamilton. Arweinir y deilliad cyntaf gan y strategaeth a amlinellwyd uchod, ac nid yw'n defnyddio dim byd mwy cymhleth na ffwythiannau ymhlyg a rheol y gadwyn. Mae'r ail ddeilliad (adran 3.1.1) yn echdynnu rhan allweddol o'r deilliad cyntaf ar ffurf haniaethol, ac yna'n defnyddio'r offer mwy haniaethol hyn i ddeillio hafaliadau Hamilton. Mae'r trydydd (adran 3.1.2) yn defnyddio egwyddor y weithred.

Mae hafaliadau Lagrange yn rhoi deilliad amser y momentwm p ar lwybr q inni:

$$\begin{array}{ll}Dp(t)={\partial }_{1}L(t,q(t),Dq(t)),\hfill & (3.1)\hfill \end{array}$$

lle mae

$$\begin{array}{ll}p(t)={\partial }_{2}L(t,q(t),Dq(t)).\hfill & (3.2)\hfill \end{array}$$

I ddileu Dq, mae angen inni ddatrys hafaliad (3.2) ar gyfer Dq yn nhermau p.

Boed $\mathcal{V}$ yn ffwythiant sy'n rhoi'r cyflymderau yn nhermau'r amser, y cyfesurynnau a'r momenta. Problem gwrthdroeon ffwythiannau yw diffinio $\mathcal{V}$. Er mwyn osgoi dryswch, defnyddiwn enwau ar y newidynnau nad ydynt yn awgrymu unrhyw ystyr. Boed

$$\begin{array}{ll}a={\partial }_{2}L(b,c,d);\hfill & (3.3)\hfill \end{array}$$

yna mae $\mathcal{V}$ yn bodloni

$$\begin{array}{ll}d=\mathcal{V}(b,c,a).\hfill & (3.4)\hfill \end{array}$$

Felly mae $\mathcal{V}$ a ∂₂L yn wrthdroeon yn nhrydydd safle'r arg:

$$\begin{array}{ll}d=\mathcal{V}(b,c,{\partial }_{2}L(b,c,d))\hfill & (3.5)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}a={\partial }_{2}L(b,c,\mathcal{V}(b,c,a)).\hfill & (3.6)\hfill \end{array}$$

Gellir ailysgrifennu hafaliad Lagrange (3.1) yn nhermau p gan ddefnyddio $\mathcal{V}$:

$$\begin{array}{ll}Dp(t)={\partial }_{1}L(t,q(t),\mathcal{V}(t,q(t),p(t))).\hfill & (3.7)\hfill \end{array}$$

Gallwn hefyd ddefnyddio $\mathcal{V}$ i ailysgrifennu hafaliad (3.2) fel hafaliad ar gyfer Dq yn nhermau t, q a p:

$$\begin{array}{ll}Dq(t)=\mathcal{V}(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.8)\hfill \end{array}$$

Mae hafaliadau (3.7) a (3.8) yn rhoi cyfradd newid q a p ar hyd llwybrau gwireddadwy fel ffwythiannau o t, q a p ar hyd y llwybrau.

Er bod yr hafaliadau hyn yn cyflawni ein nod o fynegi'r hafaliadau mudiant yn gyfan gwbl yn nhermau cyfesurynnau a momenta, gallwn ddod o hyd i gynrychioliad gwell. Diffiniwch y ffwythiant

$$\begin{array}{ll}\tilde{L}(t,q,p)=L(t,q,\mathcal{V}(t,q,p)),\hfill & (3.9)\hfill \end{array}$$

sef ffwythiant Lagrange wedi'i ailddatgan fel ffwythiant o'r amser, y cyfesurynnau a'r momenta.² Ar gyfer yr hafaliadau mudiant, mae angen ∂₁L wedi'i werthuso â'r argiau priodol arnom. Ystyriwch

$$\begin{array}{lll}{\partial }_1\tilde{L}(t,q,p)\hfill & ={\partial }_{1}L(t,q,\mathcal{V}(t,q,p))+{\partial }_{2}L(t,q,\mathcal{V}(t,q,p)){\partial }_1\mathcal{V}(t,q,p)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_{1}L(t,q,\mathcal{V}(t,q,p))+p{\partial }_1\mathcal{V}(t,q,p),\hfill & (3.10)\hfill \end{array}$$

lle defnyddiasom reol y gadwyn yn y cam cyntaf a phriodwedd gwrthdro (3.6) $\mathcal{V}$ yn yr ail gam. Gan gyflwyno'r dewisydd momentwm³ P (t, q, p) = p, a defnyddio'r briodwedd ∂₁P = 0, mae gennym

$$\begin{array}{lll}{\partial }_{1}L(t,q,\mathcal{V}(t,q,p))\hfill & ={\partial }_1\tilde{L}(t,q,p)-P(t,q,p){\partial }_1\mathcal{V}(t,q,p)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_1(\tilde{L}-P\mathcal{V})(t,q,p)\hfill & \hfill \\ \hfill & =-{\partial }_{1}H(t,q,p),\hfill & (3.11)\hfill \end{array}$$

lle diffinnir ffwythiant Hamilton H gan⁴

$$\begin{array}{ll}H=P\mathcal{V}-\tilde{L}.\hfill & (3.12)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio'r canlyniad algebraidd (3.11), daw hafaliad Lagrange (3.7) ar gyfer Dp yn

$$\begin{array}{ll}Dp(t)=-{\partial }_{1}H(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.13)\hfill \end{array}$$

Gellir ysgrifennu'r hafaliad ar gyfer Dq yn nhermau H hefyd. Ystyriwch

$$\begin{array}{lll}{\partial }_{2}H(t,q,p)\hfill & ={\partial }_2(P\mathcal{V}-\tilde{L})(t,q,p)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\mathcal{V}(t,q,p)+p{\partial }_2\mathcal{V}(t,q,p)-{\partial }_2\tilde{L}(t,q,p).\hfill & (3.14)\hfill \end{array}$$

Er mwyn cyfrifo deilliad $\tilde{L}$, rydym yn ei ysgrifennu yn nhermau L:

$$\begin{array}{ll}{\partial }_2\tilde{L}(t,q,p)={\partial }_{2}L(t,q,\mathcal{V}(t,q,p)){\partial }_2\mathcal{V}(t,q,p)=p{\partial }_2\mathcal{V}(t,q,p),\hfill & (3.15)\hfill \end{array}$$

gan ddefnyddio priodwedd gwrthdro (3.6) $\mathcal{V}$ eto. Felly, drwy gyfuno hafaliadau (3.14) a (3.15), cawn

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{2}H(t,q,p)=\mathcal{V}(t,q,p).\hfill & (3.16)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio'r canlyniad algebraidd (3.16), daw hafaliad (3.8) ar gyfer Dq yn

$$\begin{array}{ll}Dq(t)={\partial }_{2}H(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.17)\hfill \end{array}$$

Mae hafaliadau (3.13) a (3.17) yn rhoi deilliadau'r ffwythiannau llwybr cyfesurynnau a momentwm ar bob amser yn nhermau'r amser, a'r cyfesurynnau a'r momenta ar yr amser hwnnw. Gelwir yr hafaliadau hyn yn hafaliadau Hamilton:⁵

$$\begin{array}{ll}Dq(t)={\partial }_{2}H(t,q(t),p(t))\hfill & \hfill \\ Dp(t)=-{\partial }_{1}H(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.18)\hfill \end{array}$$

Ailddatganiad yn unig yw'r hafaliad cyntaf o berthynas y momenta â'r cyflymderau yn nhermau ffwythiant Hamilton, ac mae'n dal ar gyfer unrhyw lwybr, boed hwnnw'n llwybr gwireddadwy ai peidio. Mae'r ail hafaliad yn dal ar gyfer llwybrau gwireddadwy yn unig.

Mae ffurf hafaliadau Hamilton yn arbennig o syml a chymesur. Yn union fel y caiff hafaliadau Lagrange eu llunio o ffwythiant real ei werthoedd, sef ffwythiant Lagrange, caiff hafaliadau Hamilton eu llunio o ffwythiant real ei werthoedd, sef ffwythiant Hamilton. Dyma ffwythiant Hamilton:⁶

$$\begin{array}{ll}H(t,q,p)=p\mathcal{V}(t,q,p)-L(t,q,\mathcal{V}(t,q,p)).\hfill & (3.19)\hfill \end{array}$$

Mae gan ffwythiant Hamilton yr un gwerth â'r ffwythiant egni ℰ (gweler hafaliad 1.142), ac eithrio bod y cyflymderau wedi'u mynegi yn nhermau'r amser, y cyfesurynnau a'r momenta gan $\mathcal{V}$:

$$\begin{array}{ll}H(t,q,p)=ℰ(t,q,\mathcal{V}(t,q,p)).\hfill & (3.20)\hfill \end{array}$$

Enghraifft eglurhaol

Gadewch inni roi cynnig ar rywbeth syml: mudiant gronyn â màs m ac egni potensial V (x, y). Dyma ffwythiant Lagrange:

$$\begin{array}{ll}L(t;x,y;v_x,v_y)=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)-V(x,y).\hfill & (3.21)\hfill \end{array}$$

I lunio ffwythiant Hamilton, rydym yn canfod y momenta p = ∂₂L(t, q, v): p_x = mv_x a p_y = mv_y. Mae'n hawdd datrys ar gyfer y cyflymderau yn nhermau'r momenta yma: ${\upsilon }_x=p_x/m$ a ${\upsilon }_y=p_y/m$. Ffwythiant Hamilton yw H(t, q, p) = pv − L(t, q, v), gyda v wedi'i ailddatgan yn nhermau (t, q, p):

$$\begin{array}{ll}H(t;x,y;p_x,p_y)=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+V(x,y).\hfill & (3.22)\hfill \end{array}$$

Mae'r egni cinetig yn ffurf gwadratig homogenaidd yn y cyflymderau, felly yr egni yw T + V, a ffwythiant Hamilton yw'r egni wedi'i fynegi yn nhermau momenta yn hytrach na chyflymderau. Dyma hafaliadau Hamilton ar gyfer Dq:

$$\begin{array}{ll}{D}_x(t)=p_x(t)/m\hfill & \hfill \\ D_y(t)=p_y(t)/m.\hfill & (3.23)\hfill \end{array}$$

Sylwch mai dim ond ailddatgan y berthynas rhwng y momenta a'r cyflymderau y mae'r hafaliadau hyn. Dyma hafaliadau Hamilton ar gyfer Dp:

$$\begin{array}{ll}D{p}_x(t)=-{\partial }_{0}V(x(t),y(t))\hfill & \hfill \\ D{p}_y(t)=-{\partial }_{1}V(x(t),y(t)).\hfill & (3.24)\hfill \end{array}$$

Cyfradd newid y momentwm llinol yw negatif graddiant yr egni potensial.

Ymarfer 3.1: Deillio hafaliadau Hamilton

Ar gyfer pob un o'r ffwythiannau Lagrange canlynol, deilliwch ffwythiant Hamilton a hafaliadau Hamilton. Mae'r problemau hyn yn ddigon syml i'w gwneud â llaw.

a. Ffwythiant Lagrange ar gyfer pendil plân: $L(t,\theta ,\dot{\theta })=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+mgl\cos \theta$.

b. Ffwythiant Lagrange ar gyfer gronyn â màs m ac egni potensial dau-ddimensiwn V(x, y) = (x² + y²)/2 + x²y − y³/3 yw $L(t;x,y;\dot{x},\dot{y})=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)-V(x,y).$

c. Ffwythiant Lagrange ar gyfer gronyn â màs m a gyfyngir i symud ar sffêr â radiws $R:L(t;\theta ,\phi ;\dot{\theta },\dot{\phi })=\frac{1}{2}m{R}^2({\dot{\theta }}^2+{(\dot{\phi }\sin \theta )}^2)$, lle mae θ yn ongl o begwn gogleddol y sffêr a φ yn hydred arni.

Ymarfer 3.2: Pendil llithro

Ar gyfer y pendil â chynhaliad sy'n llithro (gweler ymarfer 1.20), deilliwch ffwythiant Hamilton a hafaliadau Hamilton.

Cyflwr Hamilton

O gael llwybr cyfesurynnau q a ffwythiant Lagrange L, rhoddir y llwybr momentwm cyfatebol p gan hafaliad (3.2). Mae hafaliad (3.17) yn mynegi'r un berthynas yn nhermau'r ffwythiant Hamilton cyfatebol H. Gan fod y perthnasoedd hyn yn ddilys ar gyfer unrhyw lwybr, boed hwnnw'n llwybr gwireddadwy ai peidio, gallwn eu haniaethu i gyflymder a momentwm mympwyol ar amrantiad. Ar amrantiad, y momentwm p ar gyfer y twpled cyflwr (t, q, v) yw p = ∂₂L(t, q, v). Mae gennym hefyd v = ∂₂H(t, q, p). Yn ffurfiad Lagrange, gellir pennu cyflwr y system ar amrantiad gan y twpled cyflwr lleol (t, q, v) o amser, cyfesurynnau cyffredinoledig a chyflymderau cyffredinoledig. Mae hafaliadau Lagrange yn pennu llwybr unigryw sy'n deillio o'r cyflwr hwn. Yn ffurfiad Hamilton, gellir pennu'r cyflwr gan y twpled (t, q, p) o amser, cyfesurynnau cyffredinoledig a momenta cyffredinoledig. Mae hafaliadau Hamilton yn pennu llwybr unigryw sy'n deillio o'r cyflwr hwn. Mae twpled cyflwr Lagrange (t, q, v) yn amgodio'r union wybodaeth â thwpled cyflwr Hamilton (t, q, p); mae angen ffwythiant Lagrange neu ffwythiant Hamilton arnom i'w cysylltu. Mae'r ddau ffurfiad yn gywerth yn yr ystyr bod yr un llwybr cyfesurynnau'n deillio ohonynt ar gyfer cyflyrau cychwynnol cyfwerth.

Llunir deilliad cyflwr Lagrange o hafaliadau Lagrange drwy ddatrys ar gyfer y deilliad o'r drefn uchaf a haniaethu i safleoedd a chyflymderau mympwyol ar amrantiad.⁷ Cynhyrchir llwybr cyflwr Lagrange drwy integru deilliad cyflwr Lagrange o gael cyflwr Lagrange cychwynnol (t, q, v). Yn yr un modd, gellir llunio deilliad cyflwr Hamilton o hafaliadau Hamilton drwy haniaethu i safleoedd a momenta mympwyol ar amrantiad. Set o hafaliadau differol trefn gyntaf ar ffurf eglur yw hafaliadau Hamilton. Gellir ysgrifennu deilliad cyflwr Hamilton yn uniongyrchol yn eu termau. Cynhyrchir llwybr cyflwr Hamilton drwy integru deilliad cyflwr Hamilton o gael cyflwr Hamilton cychwynnol (t, q, p). Os ceir y llwybrau cyflwr hyn drwy integru'r deilliadau cyflwr â chyflyrau cychwynnol cyfwerth, yna mae cydrannau llwybr cyfesurynnau'r llwybrau cyflwr hyn yr un fath ac yn bodloni hafaliadau Lagrange. Mae cydrannau llwybr cyfesurynnau a llwybr momentwm llwybr cyflwr Hamilton yn bodloni hafaliadau Hamilton. Mae ffurfiad Hamilton a ffurfiad Lagrange yn gywerth.

O gael llwybr q, gellir diddwytho llwybr cyflwr Lagrange a llwybrau cyflwr Hamilton ohono. Gellir llunio llwybr cyflwr Lagrange Γ[q] o lwybr q yn syml drwy gymryd deilliadau. Mae llwybr cyflwr Lagrange yn bodloni:

$$\begin{array}{ll}\Gamma [q](t)=(t,q(t),Dq(t)).\hfill & (3.25)\hfill \end{array}$$

Pennir llwybr cyflwr Lagrange yn unigryw gan y llwybr q. Gellir hefyd lunio llwybr cyflwr Hamilton Π_L[q] o'r llwybr q, ond mae angen ffwythiant Lagrange ar gyfer y lluniad. Mae llwybr cyflwr Hamilton yn bodloni

$$\begin{array}{ll}{\Pi }_L[q](t)=(t,q(t),{\partial }_{2}L(t,q(t),Dq(t)))=(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.26)\hfill \end{array}$$

Ni phennir twpled cyflwr Hamilton yn unigryw gan y llwybr q, oherwydd mae'n dibynnu ar ein dewis o ffwythiant Lagrange, nad yw'n unigryw.

Gelwir y gofod 2n-dimensiwn y labelir ei elfennau gan yr n cyfesuryn cyffredinoledig qⁱ a'r n momentwm cyffredinoledig p_i yn ofod gwedd. Gelwir cydrannau'r cyfesurynnau cyffredinoledig a'r momenta gyda'i gilydd yn gydrannau'r gofod gwedd.⁸ Pennir cyflwr deinamig y system yn llwyr gan dwpled cyflwr y gofod gwedd (t, q, p), o gael ffwythiant Lagrange neu Hamilton i ddarparu'r mapiad rhwng cyflymderau a momenta.

Cyfrifo hafaliadau Hamilton

System o hafaliadau differol cyffredin trefn gyntaf yw hafaliadau Hamilton. Cyflwynwyd ffurfiad gweithdrefnol o hafaliadau Lagrange fel system trefn gyntaf yn adran 1.7. Mae'r ffurfiad canlynol o hafaliadau Hamilton yn gyfatebol:

(define ((Hamilton-equations Hamiltonian) q p)
  (let ((state-path (qp->H-state-path q p)))
    (- (D state-path)
       (compose (Hamiltonian->state-derivative Hamiltonian)
                state-path))))

Cyfrifir deilliad cyflwr Hamilton fel a ganlyn:

(define ((Hamiltonian->state-derivative Hamiltonian) H-state)
  (up 1
      (((partial 2) Hamiltonian) H-state)
      (- (((partial 1) Hamiltonian) H-state))))

Mae'r cyflwr yn ffurfiad Hamilton yn cynnwys yr amser, y cyfesurynnau a'r momenta. Galwn hwn yn H-state, i'w wahaniaethu oddi wrth y cyflwr yn ffurfiad Lagrange. Gallwn ddewis cydrannau cyflwr Hamilton â'r dewiswyr time, coordinate, momentum. Lluniwn gyflyrau Hamilton o'u cydrannau gan ddefnyddio up. Amser yw cydran gyntaf y cyflwr, felly un yw cydran gyntaf y deilliad cyflwr, sef cyfradd newid amser yn ôl amser. O gael gweithdrefnau q ac p sy'n gweithredu ffwythiannau llwybr cyfesurynnau a momentwm, gellir llunio llwybr cyflwr Hamilton â'r weithdrefn ganlynol:

(define ((qp->H-state-path q p) t)
  (up t (q t) (p t)))

Mae'r weithdrefn Hamilton-equations yn dychwelyd gweddillion hafaliadau Hamilton ar gyfer y llwybrau a roddwyd.

Er enghraifft, dyma weithdrefn sy'n gweithredu ffwythiant Hamilton ar gyfer màs pwynt ag egni potensial V (x, y):

(define ((H-rectangular m V) state)
  (let ((q (coordinate state))
        (p (momentum state)))
    (+ (/ (square p) (* 2 m))
       (V (ref q 0) (ref q 1)))))

Dyma hafaliadau Hamilton:

(show-expression
  (let ((V (literal-function 'V (-> (X Real Real) Real)))
        (q (up (literal-function 'x)
               (literal-function 'y)))
        (p (down (literal-function 'p_x)
                 (literal-function 'p_y))))
    (((Hamilton-equations (H-rectangular 'm V)) q p) 't)))

Dim ond y tautoleg bod amser yn symud ymlaen yn unffurf yw'r sero yn elfen gyntaf strwythur gweddillion hafaliadau Hamilton: y ffwythiant unfathiant yn unig yw'r ffwythiant amser, felly un yw ei ddeilliad a sero yw'r gweddill. Mae'r hafaliadau yn ail elfen y strwythur yn cysylltu'r llwybrau cyfesurynnau a'r llwybrau momentwm. Mae'r hafaliadau yn y drydedd elfen yn rhoi cyfradd newid y momenta yn nhermau'r grymoedd a gymhwysir.

Ymarfer 3.3: Cyfrifo hafaliadau Hamilton

Gwiriwch eich atebion i ymarfer 3.1 â'r weithdrefn Hamilton-equations.

3.1.1 Trawsffurfiad Legendre

Mae trawsffurfiad Legendre yn haniaethu rhan allweddol o'r broses o drawsffurfio ffurfiad Lagrange o fecaneg yn ffurfiad Hamilton—disodli dibyniaeth ffwythiannol ar gyflymderau cyffredinoledig â dibyniaeth ffwythiannol ar fomenta cyffredinoledig. Diffinnir y ffwythiant cyflwr momentwm fel deilliad rhannol ffwythiant Lagrange, sef ffwythiant real ei werthoedd o'r amser, y cyfesurynnau a'r cyflymderau. Mae trawsffurfiad Legendre yn darparu gwrthdro sy'n rhoi'r cyflymderau yn nhermau'r momenta: gallwn ysgrifennu'r cyflymderau fel deilliad rhannol ffwythiant real arall o'r amser, y cyfesurynnau a'r momenta.⁹

O gael ffwythiant F real ei werthoedd, os gallwn ddod o hyd i ffwythiant G real ei werthoedd fel bod DF = (DG)⁻¹, yna dywedwn fod F a G yn gysylltiedig drwy drawsffurfiad Legendre.

Yn lleol, gallwn ddiffinio'r ffwythiant gwrthdro¹⁰ $\mathcal{V}$ i DF fel bod $DF\circ \mathcal{V}=I$, lle mae I yn ffwythiant unfathiant I(w) = w. Ystyriwch y ffwythiant cyfansawdd $\tilde{F}=F\circ \mathcal{V}$. Deilliad $\tilde{F}$ yw

$$\begin{array}{ll}D\tilde{F}=(DF\circ \mathcal{V})D\mathcal{V}=ID\mathcal{V}.\hfill & (3.27)\hfill \end{array}$$

Gan fod

$$\begin{array}{ll}D(I\mathcal{V})=\mathcal{V}+ID\mathcal{V},\hfill & (3.28)\hfill \end{array}$$

mae gennym

$$\begin{array}{ll}D\tilde{F}=D(I\mathcal{V})-\mathcal{V},\hfill & (3.29)\hfill \end{array}$$

neu

$$\begin{array}{ll}\mathcal{V}=D(I\mathcal{V})-D\tilde{F}=D(I\mathcal{V}-\tilde{F}).\hfill & (3.30)\hfill \end{array}$$

Pennir yr integryn hyd at gysonyn integru. Os diffiniwn

$$\begin{array}{ll}G=I\mathcal{V}-\tilde{F},\hfill & (3.31)\hfill \end{array}$$

yna mae gennym

$$\begin{array}{ll}\mathcal{V}=DG.\hfill & (3.32)\hfill \end{array}$$

Mae gan y ffwythiant G y briodwedd a ddymunir, sef bod DG yn ffwythiant gwrthdro $\mathcal{V}$ i DF. Mae'r deilliad a roddwyd yn berthnasol cystal os oes gan argiau F a G gydrannau lluosog.¹¹

O gael perthynas w = DF (v) ar gyfer ffwythiant penodol F, yna v = DG(w) ar gyfer $G=I\mathcal{V}-F\circ \mathcal{V}$, lle mae $\mathcal{V}$ yn ffwythiant gwrthdro i DF, ar yr amod ei fod yn bodoli.

Gall llun helpu (gweler ffigur 3.1). Graff y ffwythiant DF yw'r gromlin. O'i throi ar ei hochr, mae hefyd yn graff y ffwythiant DG, oherwydd DG yw ffwythiant gwrthdro DF. Integryn DF o v₀ i v yw F(v) − F(v₀); dyma'r arwynebedd o dan y gromlin o v₀ i v. Yn yr un modd, integryn DG o w₀ i w yw G(w) − G(w₀); dyma'r arwynebedd i'r chwith o'r gromlin o w₀ i w. Mae gan uniad y ddau ranbarth hyn arwynebedd wv − w₀v₀. Felly

$$\begin{array}{ll}wv-w_0{v}_0=F(v)-F(v_0)+G(w)-G(w_0),\hfill & (3.33)\hfill \end{array}$$

sydd yr un fath â

$$\begin{array}{ll}wv-F(v)-G(w)=w_0{v}_0-G(w_0)-F(v_0).\hfill & (3.34)\hfill \end{array}$$

Mae'r ochr chwith yn dibynnu ar y pwynt a labelir gan w a v yn unig, ac mae'r ochr dde yn dibynnu ar y pwynt a labelir gan w₀ a v₀ yn unig, felly rhaid iddynt fod yn gyson, yn annibynnol ar y diweddbwyntiau newidiol. Felly, wrth newid y pwynt, mae'r cyfuniad G(w) + F(v) − wv yn annewidiol. Felly

$$\begin{array}{ll}G(w)=wv-F(v)+C,\hfill & (3.35)\hfill \end{array}$$

gyda chysonyn C. Mae'r gofyniad ar G yn dibynnu ar DG yn unig, felly gallwn ddewis diffinio G â C = 0.

Trawsffurfiadau Legendre ag argiau goddefol

Boed F yn ffwythiant dau arg real ei werthoedd, a boed

$$\begin{array}{ll}w={\partial }_{1}F(x,v).\hfill & (3.36)\hfill \end{array}$$

Os gallwn ddod o hyd i ffwythiant G real ei werthoedd fel bod

$$\begin{array}{ll}v={\partial }_{1}G(x,w)\hfill & (3.37)\hfill \end{array}$$

dywedwn fod F a G yn gysylltiedig drwy drawsffurfiad Legendre, bod yr ail arg ym mhob ffwythiant yn weithredol, a bod yr arg cyntaf yn oddefol yn y trawsffurfiad.

Os gellir gwrthdroi'r ffwythiant ∂₁F yn lleol mewn perthynas â'r ail arg, gallwn ddiffinio

$$\begin{array}{ll}v=\mathcal{V}(x,w),\hfill & (3.38)\hfill \end{array}$$

gan roi

$$\begin{array}{ll}w={\partial }_{1}F(x,\mathcal{V}(x,w))=W(x,w),\hfill & (3.39)\hfill \end{array}$$

lle mae W = I₁ yn ffwythiant dewis yr ail arg.

Ar gyfer yr argiau gweithredol, mae'r deilliad yn mynd rhagddo fel o'r blaen. Nid yw arg cyntaf F a G ond yn cyd-fynd â'r broses—arg goddefol ydyw. Boed

$$\begin{array}{ll}\tilde{F}(x,w)=F(x,\mathcal{V}(x,w)),\hfill & (3.40)\hfill \end{array}$$

yna diffiniwch

$$\begin{array}{ll}G=W\mathcal{V}-\tilde{F}.\hfill & (3.41)\hfill \end{array}$$

Gallwn wirio bod gan G y briodwedd $\mathcal{V}={\partial }_{1}G$ drwy gyfrifo'r deilliad:

$$\begin{array}{lll}{\partial }_{1}G\hfill & ={\partial }_1(W\mathcal{V}-\tilde{F})\hfill & \hfill \\ \hfill & =\mathcal{V}+W{\partial }_1\mathcal{V}-{\partial }_1\tilde{F},\hfill & (3.42)\hfill \end{array}$$

ond

$$\begin{array}{lll}{\partial }_1\tilde{F}(x,w)\hfill & ={\partial }_{1}F(x,\mathcal{V}(x,w)){\partial }_1\mathcal{V}(x,w)\hfill & \hfill \\ \hfill & =W(x,w){\partial }_1\mathcal{V}(x,w),\hfill & (3.43)\hfill \end{array}$$

neu

$$\begin{array}{ll}{\partial }_1\tilde{F}=W{\partial }_1\mathcal{V}.\hfill & (3.44)\hfill \end{array}$$

Felly, o hafaliad (3.42),

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{1}G=\mathcal{V},\hfill & (3.45)\hfill \end{array}$$

fel sy'n ofynnol. Gall fod gan yr arg gweithredol lawer o gydrannau.

Mae'r deilliadau rhannol mewn perthynas â'r argiau goddefol yn gysylltiedig mewn modd hynod syml. Gadewch inni gyfrifo'r deilliad ∂₀G fesul rhan. Yn gyntaf,

$$\begin{array}{ll}{\partial }_0(W\mathcal{V})=W{\partial }_0\mathcal{V}\hfill & (3.46)\hfill \end{array}$$

oherwydd ∂₀W = 0. Rydym yn cyfrifo ${\partial }_0\tilde{F}$:

$$\begin{array}{lll}{\partial }_0\tilde{F}(x,w)\hfill & ={\partial }_{0}F(x,\mathcal{V}(x,w))+{\partial }_{1}F(x,\mathcal{V}(x,w)){\partial }_0\mathcal{V}(x,w)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_{0}F(x,\mathcal{V}(x,w))+W(x,w){\partial }_0\mathcal{V}(x,w).\hfill & (3.47)\hfill \end{array}$$

Drwy gyfuno'r rhain, cawn

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{0}G(x,w)=-{\partial }_{0}F(x,\mathcal{V}(x,w))=-{\partial }_{0}F(x,v).\hfill & (3.48)\hfill \end{array}$$

Nid yw'r cyfrifiad yn newid os oes gan yr arg goddefol lawer o gydrannau.

Gallwn ysgrifennu trawsffurfiad Legendre yn fwy cymesur:

$$\begin{array}{llll}\hfill w& =\hfill & {\partial }_{1}F(x,v)\hfill & \hfill \\ \hfill wv& =\hfill & F(x,v)+G(x,w)\hfill & \hfill \\ \hfill v& =\hfill & {\partial }_{1}G(x,w)\hfill & \hfill \\ \hfill 0& =\hfill & {\partial }_{0}F(x,v)+{\partial }_{0}G(x,w).\hfill & (3.49)\hfill \end{array}$$

Nid yw'r berthynas olaf mor ddibwys ag yr ymddengys, oherwydd mae x yn rhan o'r hafaliadau sy'n cysylltu w a v. Gyda'r ffurf gymesur hon, gwelwn fod trawsffurfiad Legendre yn wrthdro iddo'i hun.

Ymarfer 3.4: Trawsffurfiadau Legendre syml

Ar gyfer pob un o'r ffwythiannau canlynol, canfyddwch y ffwythiant sy'n gysylltiedig â'r ffwythiant a roddwyd drwy drawsffurfiad Legendre ar yr arg gweithredol a nodir. Dangoswch fod perthnasoedd trawsffurfiad Legendre yn dal ar gyfer eich datrysiad, gan gynnwys y perthnasoedd ymhlith argiau goddefol, os oes rhai.

a. F (x) = ax + bx², heb argiau goddefol.

b. F (x, y) = a sin x cos y, gyda x yn weithredol.

c. F (x, y, ẋ, ẏ) = xẋ² + 3ẋẏ + yẏ², gyda ẋ a ẏ yn weithredol.

Hafaliadau Hamilton o drawsffurfiad Legendre

Gallwn ddefnyddio trawsffurfiad Legendre gyda ffwythiant Lagrange yn chwarae rhan F, a safle'r cyflymder cyffredinoledig yn chwarae rhan yr arg gweithredol. Mae ffwythiant Hamilton yn chwarae rhan G, gyda safle'r momentwm yn weithredol. Argiau goddefol yw safleoedd y cyfesurynnau a'r amser.

Mae ffwythiant Lagrange L a ffwythiant Hamilton H yn gysylltiedig drwy drawsffurfiad Legendre:

$$\begin{array}{ll}e=({\partial }_{2}L)(a,b,c)\hfill & (3.50)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}ec=L(a,b,c)+H(a,b,e)\hfill & (3.51)\hfill \end{array}$$

ac

$$\begin{array}{ll}c=({\partial }_{2}H)(a,b,e),\hfill & (3.52)\hfill \end{array}$$

gyda'r hafaliadau goddefol

$$\begin{array}{ll}0={\partial }_{0}L(a,b,c)+{\partial }_{0}H(a,b,e),\hfill & (3.53)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}0={\partial }_{1}L(a,b,c)+{\partial }_{1}H(a,b,e).\hfill & (3.54)\hfill \end{array}$$

Gan dybio ei fod yn bodoli, gallwn ddiffinio gwrthdro ∂₂L mewn perthynas â'r arg olaf:

$$\begin{array}{ll}c=\mathcal{V}(a,b,e),\hfill & (3.55)\hfill \end{array}$$

ac ysgrifennu ffwythiant Hamilton

$$\begin{array}{ll}H(a,b,c)=c\mathcal{V}(a,b,c)-L(a,b,\mathcal{V}(a,b,c)).\hfill & (3.56)\hfill \end{array}$$

Mae'r perthnasoedd hyn yn gwbl algebraidd eu natur.

Ar lwybr q, mae gennym y momentwm p:

$$\begin{array}{ll}p(t)={\partial }_{2}L(t,q(t),Dq(t)),\hfill & (3.57)\hfill \end{array}$$

ac o'r diffiniad o $\mathcal{V}$, cawn

$$\begin{array}{ll}Dq(t)=\mathcal{V}(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.58)\hfill \end{array}$$

Mae trawsffurfiad Legendre yn rhoi

$$\begin{array}{ll}Dq(t)={\partial }_{2}H(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.59)\hfill \end{array}$$

Mae'r berthynas hon yn gwbl algebraidd ac yn ddilys ar gyfer unrhyw lwybr. Mae'r hafaliad goddefol (3.54) yn rhoi

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{1}L(t,q(t),Dq(t))=-{\partial }_{1}H(t,q(t),p(t)),\hfill & (3.60)\hfill \end{array}$$

ond gellir ailysgrifennu'r ochr chwith gan ddefnyddio hafaliadau Lagrange, felly

$$\begin{array}{ll}Dp(t)=-{\partial }_{1}H(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.61)\hfill \end{array}$$

Mae'r hafaliad hwn yn ddilys ar gyfer llwybrau gwireddadwy yn unig, oherwydd defnyddiasom hafaliadau Lagrange i'w ddeillio. Hafaliadau Hamilton yw hafaliadau (3.59) a (3.61).

Dyma'r hafaliad goddefol sy'n weddill:

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{0}L(t,q(t),Dq(t))=-{\partial }_{0}H(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.62)\hfill \end{array}$$

Mae'r hafaliad goddefol hwn yn dweud nad oes gan ffwythiant Lagrange ddibyniaeth eglur ar amser (∂₀L = 0) os a dim ond os nad oes gan ffwythiant Hamilton ddibyniaeth eglur ar amser (∂₀H = 0). Rydym wedi canfod, os nad oes gan ffwythiant Lagrange ddibyniaeth eglur ar amser, fod egni'n cael ei gadw. Felly, os nad oes gan ffwythiant Hamilton ddibyniaeth eglur ar amser, mae'n faint cadwedig.

Ymarfer 3.5: Cadwraeth ffwythiant Hamilton

Gan ddefnyddio hafaliadau Hamilton, dangoswch yn uniongyrchol fod ffwythiant Hamilton yn faint cadwedig os nad oes ganddo ddibyniaeth eglur ar amser.

Trawsffurfiadau Legendre o ffwythiannau cwadratig

Ni allwn weithredu trawsffurfiad Legendre yn gyffredinol, oherwydd mae'n golygu canfod gwrthdro ffwythiant mympwyol. Fodd bynnag, gellir disgrifio llawer o systemau ffisegol gan ffwythiannau Lagrange sy'n ffurfiau cwadratig yn y cyflymderau cyffredinoledig. Ar gyfer ffwythiannau o'r fath, mae'r momenta cyffredinoledig yn ffwythiannau llinol o'r cyflymderau cyffredinoledig, ac felly gellir eu gwrthdroi'n eglur.

Yn fwy cyffredinol, gallwn gyfrifo trawsffurfiad Legendre ar gyfer ffwythiannau polynomial lle mae'r prif derm yn ffurf gwadratig:

$$\begin{array}{ll}F(v)=\frac{1}{2}{v}^{\mathcal{T}}Mv+bv+c.\hfill & (3.63)\hfill \end{array}$$

Gan fod y term cyntaf yn ffurf gwadratig, dim ond rhan gymesur M sy'n cyfrannu at y canlyniad, felly gallwn dybio bod M yn gymesur.¹² Boed w = DF (v), yna

$$\begin{array}{ll}w=DF(v)=Mv+b.\hfill & (3.64)\hfill \end{array}$$

Felly, os yw M yn wrthdroadwy, gallwn ddatrys ar gyfer v yn nhermau w. Felly gallwn ddiffinio ffwythiant $\mathcal{V}$ fel bod

$$\begin{array}{ll}v=\mathcal{V}(w)=M^{-1}(w-b)\hfill & (3.65)\hfill \end{array}$$

a gallwn ddefnyddio hwn i gyfrifo gwerth y ffwythiant G:

$$\begin{array}{ll}G(w)=w\mathcal{V}(w)-F(\mathcal{V}(w)).\hfill & (3.66)\hfill \end{array}$$

Cyfrifo ffwythiannau Hamilton

Rydym yn gweithredu trawsffurfiad Legendre ar gyfer ffwythiannau cwadratig drwy'r weithdrefn¹³

(define (Legendre-transform F)
  (let ((w-of-v (D F)))
    (define (G w)
      (let ((zero (compatible-zero w)))
        (let ((M ((D w-of-v) zero))
              (b (w-of-v zero)))
          (let ((v (solve-linear-left M (- w b))))
            (- (* w v) (F v))))))
    G))

Mae'r weithdrefn Legendre-transform yn cymryd gweithdrefn un arg ac yn dychwelyd y weithdrefn sy'n gysylltiedig â hi drwy drawsffurfiad Legendre. Os yw w = DF (v), wv = F (v) + G(w), a v = DG(w) yn pennu trawsffurfiad Legendre un arg, yna G yw'r ffwythiant sy'n gysylltiedig ag F drwy drawsffurfiad Legendre: $G=I\mathcal{V}-F\circ \mathcal{V}$, lle mae $\mathcal{V}$ yn wrthdro'r ffwythiant DF.

Gallwn ddefnyddio'r weithdrefn Legendre-transform i gyfrifo ffwythiant Hamilton o ffwythiant Lagrange:

(define ((Lagrangian->Hamiltonian Lagrangian) H-state)
  (let ((t (time H-state))
        (q (coordinate H-state))
        (p (momentum H-state)))
    (define (L qdot)
      (Lagrangian (up t q qdot)))
    ((Legendre-transform L) p)))

Sylwch fod y weithdrefn un arg Legendre-transform yn ddigonol. Ni roddir unrhyw sylw arbennig i'r newidynnau goddefol; dim ond eu pasio o gwmpas a wneir.

Gellir cael ffwythiant Lagrange o ffwythiant Hamilton drwy'r weithdrefn:

(define ((Hamiltonian->Lagrangian Hamiltonian) L-state)
  (let ((t (time L-state))
        (q (coordinate L-state))
        (qdot (velocity L-state)))
    (define (H p)
      (Hamiltonian (up t q p)))
    ((Legendre-transform H) qdot)))

Sylwch fod y ddwy weithdrefn Hamiltonian->Lagrangian ac Lagrangian->Hamiltonian yn union yr un fath, ac eithrio'r enwau.

Er enghraifft, gellir cyfrifo ffwythiant Hamilton ar gyfer mudiant y màs pwynt â'r egni potensial V (x, y) o ffwythiant Lagrange:

(define ((L-rectangular m V) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (qdot (velocity local)))
    (- (* 1/2 m (square qdot))
       (V (ref q 0) (ref q 1)))))

A dyma ffwythiant Hamilton, fel y gwelsom yn hafaliad (3.22):

(show-expression
  ((Lagrangian->Hamiltonian
     (L-rectangular
       'm
       (literal-function 'V (-> (X Real Real) Real))))
   (up 't (up 'x 'y) (down 'p_x 'p_y))))

Ymarfer 3.6: Ar drac helics

Mae silindr unffurf â màs M, radiws R ac uchder h wedi'i osod fel ei fod yn gallu cylchdroi'n rhydd o amgylch echelin fertigol. Cyfyngir màs pwynt â màs m i symud ar drac helics unffurf heb ffrithiant, â thraw β (wedi'i fesur mewn radianau fesul metr o ddisgyniad ar hyd y silindr), a osodwyd ar wyneb y silindr (gweler ffigur 3.2). Mae disgyrchiant safonol yn gweithredu ar y màs (g = 9.8 ms⁻²).

a. Beth yw graddau rhyddid y system hon? Dewiswch a disgrifiwch set gyfleus o gyfesurynnau cyffredinoledig ar gyfer y broblem hon. Ysgrifennwch ffwythiant Lagrange i ddisgrifio'r ymddygiad deinamig. Gall fod o gymorth gwybod mai $\frac{1}{2}M{R}^2$ yw moment inertia silindr o amgylch ei echelin. Efallai y bydd yr algebra yn haws os cyfunir cysonion amrywiol a'u cynrychioli gan symbolau unigol.

b. Lluniwch ffwythiant Hamilton ar gyfer y system. Ysgrifennwch hafaliadau Hamilton ar gyfer y system. A oes unrhyw feintiau cadwedig?

c. Os rhyddhawn y màs pwynt ar amser t = 0 ar ben uchaf y trac, â buanedd cychwynnol sero, a gadael iddo lithro i lawr, beth yw mudiant y system?

Ymarfer 3.7: Powlen elipsoidol

Ystyriwch ronyn pwynt â màs m a gyfyngir i symud mewn powlen ac y gweithreda cyflymiad disgyrchiant unffurf g arno. Mae'r bowlen yn elipsoidol, ag uchder z = ax² + by². Lluniwch ffwythiant Hamilton ar gyfer y system hon. A allwch ddiddwytho unrhyw beth ar unwaith am y system hon?

3.1.2 Hafaliadau Hamilton o egwyddor y weithred

Defnyddiodd y ddau ddeilliad blaenorol o hafaliadau Hamilton hafaliadau Lagrange. Gellir hefyd ddeillio hafaliadau Hamilton yn uniongyrchol o egwyddor y weithred.

Y weithred yw integryn ffwythiant Lagrange ar hyd llwybr:

$$\begin{array}{ll}S[q](t_1,t_2)={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}L\circ \Gamma [q].}\hfill & (3.67)\hfill \end{array}$$

Mae'r weithred yn arhosol mewn perthynas ag amrywiadau mewn llwybr gwireddadwy sy'n cadw'r ffurfwedd yn y diweddbwyntiau (ar gyfer ffwythiannau Lagrange sy'n ffwythiannau o'r amser, y cyfesurynnau a'r cyflymderau).

Gallwn ailysgrifennu'r integrand yn nhermau ffwythiant Hamilton

$$\begin{array}{ll}L(t,q(t),p(t))=p(t)Dq(t)-H(t,q(t),p(t)),\hfill & (3.68)\hfill \end{array}$$

gyda p(t) = ∂₂L(t, q(t), Dq(t)). Mae lluniad trawsffurfiad Legendre yn rhoi

$$\begin{array}{ll}Dq(t)={\partial }_{2}H(t,q(t),p(t)),\hfill & (3.69)\hfill \end{array}$$

sef un o hafaliadau Hamilton, yr un nad yw'n dibynnu ar y llwybr fod yn llwybr gwireddadwy.

Er mwyn amrywio'r weithred, dylem wneud y dibyniaethau ar y llwybr yn eglur. Cyflwynwn

$$\begin{array}{ll}\tilde{p}[q](t)={\partial }_{2}L(t,q(t),Dq(t)),\hfill & (3.70)\hfill \end{array}$$

ac¹⁴

$$\begin{array}{cc}\Pi [q](t)=(t,q(t),\tilde{p}[q](t))=(t,q(t),p(t)).& (3.71)\end{array}$$

Yna integrand integryn y weithred yw

$$\begin{array}{cc}L\circ \Gamma [q]=\tilde{p}[q]Dq-H\circ \Pi [q].& (3.72)\end{array}$$

Gan ddefnyddio'r talfyriad δp am $\delta \tilde{p}[q]$,¹⁵ a nodi bod $p=\tilde{p}[q]$, amrywiad y weithred yw

$$\begin{array}{lll}\delta S[q]\hfill & (t_1,t_2)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}(\delta pDq+p\delta Dq-(DH\circ \Pi [q])\delta \Pi [q])}\hfill & \hfill \\ \hfill & \begin{array}{l}={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\{\delta pDq+pD\delta q}\\ -({\partial }_{1}H\circ \Pi [q])\delta q-({\partial }_{2}H\circ \Pi [q])\delta p\}.\end{array}\hfill & (3.73)\hfill \end{array}$$

Drwy integru'r ail derm fesul rhan, gan ddefnyddio D(pδq) = Dpδq + pDδq, cawn

$$\begin{array}{lll}\delta S[q]\hfill & (t_1,t_2)=p\delta q{|}_{t_1}^{t_2}\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\{\delta pDq-Dp\delta q}\hfill & \hfill \\ \hfill & -({\partial }_{1}H\circ \Pi [q])\delta q-({\partial }_{2}H\circ \Pi [q])\delta p\}.\hfill & (3.74)\hfill \end{array}$$

Cyfyngir yr amrywiadau fel bod δq(t₁) = δq(t₂) = 0, felly mae'r rhan sydd wedi'i hintegru yn diflannu. Gan aildrefnu'r termau, amrywiad y weithred yw

$$\begin{array}{ll}\delta S[q](t_1,t_2)\hfill & \hfill \\ ={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}((Dq-{\partial }_{2}H\circ \Pi [q])\delta p-(Dp+{\partial }_{1}H\circ \Pi [q])\delta q).}\hfill & (3.75)\hfill \end{array}$$

O ganlyniad i hafaliad (3.69), sero yw'r ffactor sy'n lluosi δp. Yr hyn sy'n weddill yw

$$\begin{array}{cc}\delta S[q](t_1,t_2)=-{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}(Dp+{\partial }_{1}H\circ \Pi [q])\delta q.}& (3.76)\end{array}$$

Er mwyn i amrywiad y weithred fod yn sero ar gyfer amrywiadau mympwyol, ar wahân i'r amodau ar y diweddbwyntiau, rhaid bod

$$\begin{array}{cc}Dp=-{\partial }_{1}H\circ \Pi [q],& (3.77)\end{array}$$

neu

$$\begin{array}{cc}Dp=-{\partial }_{1}H(t,q(t),p(t)),& (3.78)\end{array}$$

sef hafaliad Hamilton “deinamig”.¹⁶

3.1.3 Diagram gwifrau

Mae ffigur 3.3 yn dangos crynodeb o'r berthynas ffwythiannol rhwng disgrifiadau Lagrange a Hamilton o system ddeinamig. Mae'r diagram yn dangos “cylched” sy'n cysylltu rhai “dyfeisiau” â “gwifrau”. Mae'r dyfeisiau'n cynrychioli'r ffwythiannau mathemategol sy'n cysylltu'r meintiau ar eu terfynellau. Mae'r gwifrau'n dynodi bod y meintiau ar y terfynellau y maent yn eu cysylltu yr un fath. Er enghraifft, mae blwch sy'n cynrychioli ffwythiant Lagrange. O gael gwerthoedd t, q ac $\dot{q}$, mae gwerth ffwythiant Lagrange $L\left(t,q,\dot{q}\right)$ ar y derfynell a labelir yn L, sydd wedi'i gwifro i derfynell adyn ar adydd. Mae terfynellau eraill ffwythiant Lagrange yn cario gwerthoedd deilliadau rhannol ffwythiant Lagrange.

Mae rhan uchaf y diagram yn crynhoi perthynas ffwythiant Hamilton â ffwythiant Lagrange. Er enghraifft, swm y gwerthoedd ar derfynellau L ffwythiant Lagrange a H ffwythiant Hamilton yw lluoswm y gwerth ar derfynell $\dot{q}$ ffwythiant Lagrange a'r gwerth ar derfynell p ffwythiant Hamilton. Dyma ran weithredol trawsffurfiad Legendre. Mae'r newidynnau goddefol yn gysylltiedig drwy fod y deilliadau rhannol cyfatebol yn negatifau i'w gilydd. Yn rhan isaf y diagram, dangosir yr hafaliadau mudiant gan bresenoldeb yr integrwyr, sy'n cysylltu'r meintiau deinamig â'u deilliadau amser.

Gellir defnyddio'r diagram hwn i helpu i ddeall yr undod sylfaenol rhwng ffurfiadau Lagrange a Hamilton o fecaneg. Cysylltu'r wifren ṗ â therfynell ∂₁L dyfais Lagrange yw hafaliadau Lagrange, yn syml. Cysylltu'r wifren ṗ (drwy'r ddyfais negyddiad) â therfynell ∂₁H dyfais Hamilton yw un o hafaliadau Hamilton, yn syml. Cysylltu'r wifren $\dot{q}$ â therfynell ∂₂H dyfais Hamilton yw'r llall. Gwelwn fod y ddau ffurfiad yn gyson. Nid oes rhaid cefnu ar unrhyw ran o ffurfiad Lagrange er mwyn defnyddio ffurfiad Hamilton: gellir gwneud diddwythiadau drwy ddefnyddio'r ddau ar yr un pryd.

3.2 Cromfachau Poisson

Yma cyflwynwn gromfach Poisson, y gellir mynegi hafaliadau Hamilton mewn ffordd gain a chymesur yn ei thermau. Ystyriwch ffwythiant F o'r amser, y cyfesurynnau a'r momenta. Gwerth F ar hyd y llwybr σ(t) = (t, q(t), p(t)) yw (F ∘ σ)(t) = F (t, q(t), p(t)). Deilliad amser F ∘ σ yw

$$\begin{array}{lll}D(F\circ \sigma )\hfill & =(DF\circ \sigma )D\sigma \hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_{0}F\circ \sigma +({\partial }_{1}F\circ \sigma )Dq+({\partial }_{2}F\circ \sigma )Dp.\hfill & (3.79)\hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill \end{array}$$

Os yw'r llwybr yn y gofod gwedd yn llwybr gwireddadwy ar gyfer system â ffwythiant Hamilton H, yna gellir ailddatgan Dq a Dp gan ddefnyddio hafaliadau Hamilton:

$$\begin{array}{lll}D(F\circ \sigma )\hfill & ={\partial }_{0}F\circ \sigma +({\partial }_{1}F\circ \sigma )({\partial }_{2}H\circ \sigma )-({\partial }_{2}F\circ \sigma )({\partial }_{1}H\circ \sigma )\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_{0}F\circ \sigma +({\partial }_{1}F{\partial }_{2}H-{\partial }_{2}F{\partial }_{1}H)\circ \sigma \hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_{0}F\circ \sigma +\{F,H\}\circ \sigma \hfill & (3.80)\hfill \end{array}$$

lle diffinnir cromfach Poisson {F, H} ar gyfer F a H gan¹⁷

$$\begin{array}{ll}\{F,H\}={\partial }_{1}F{\partial }_{2}H-{\partial }_{2}F{\partial }_{1}H.\hfill & (3.81)\hfill \end{array}$$

Sylwch fod cromfach Poisson dau ffwythiant ar ofod y cyflwr gwedd hefyd yn ffwythiant ar ofod y cyflwr gwedd.

Mae'r dewisydd cyfesurynnau Q = I₁ yn enghraifft o ffwythiant ar ofod y cyflwr gwedd: Q(t, q, p) = q. Yn ôl hafaliad (3.80),

$$\begin{array}{ll}Dq=D(Q\circ \sigma )=\{Q,H\}\circ \sigma ={\partial }_{2}H\circ \sigma ,\hfill & (3.82)\hfill \end{array}$$

ond mae hyn yr un fath â hafaliad Hamilton

$$\begin{array}{ll}Dq(t)={\partial }_{2}H(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.83)\hfill \end{array}$$

Yn yr un modd, mae'r dewisydd momentwm P = I₂ yn ffwythiant ar ofod y cyflwr gwedd: P (t, q, p) = p. Mae gennym

$$\begin{array}{ll}Dp=D(P\circ \sigma )=\{P,H\}\circ \sigma =-{\partial }_{1}H\circ \sigma ,\hfill & (3.84)\hfill \end{array}$$

sydd yr un fath â hafaliad arall Hamilton

$$\begin{array}{ll}Dp(t)=-{\partial }_{1}H(t,q(t),p(t)).\hfill & (3.85)\hfill \end{array}$$

Felly mae cromfach Poisson yn darparu dull unffurf o ysgrifennu hafaliadau Hamilton:

$$\begin{array}{ll}D(Q\circ \sigma )=\{Q,H\}\circ \sigma \hfill & \hfill \\ D(P\circ \sigma )=\{P,H\}\circ \sigma .\hfill & (3.86)\hfill \end{array}$$

Sero yw cromfach Poisson unrhyw ffwythiant ag ef ei hun, felly cawn gadwraeth egni eto ar gyfer system heb ddibyniaeth eglur ar amser:

$$\begin{array}{cc}DE=D(H\circ \sigma )=({\partial }_{0}H+\{H,H\})\circ \sigma ={\partial }_{0}H\circ \sigma .& (3.87)\end{array}$$

Priodweddau cromfach Poisson

Boed F, G a H yn ffwythiannau o amser, safle a momentwm, a boed c yn annibynnol ar safle a momentwm.

Mae cromfach Poisson yn wrthgymesur:

$$\begin{array}{cc}\{F,G\}=-\{G,F\}.& (3.88)\end{array}$$

Mae'n ddeulinol (yn llinol ym mhob arg):

$$\begin{array}{lll}\hfill \left\{F,G+H\right\}& =\left\{F,G\right\}+\left\{F,H\right\}\hfill & \left(3.89\right)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{lll}\hfill \left\{F,cG\right\}& =c\left\{F,G\right\}\hfill & \left(3.90\right)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{lll}\hfill \left\{F+G,H\right\}& =\left\{F,H\right\}+\left\{G,H\right\}\hfill & \left(3.91\right)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{lll}\hfill \left\{cF,G\right\}& =c\left\{F,G\right\}.\hfill & \left(3.92\right)\hfill \end{array}$$

Mae cromfach Poisson yn bodloni unfathiant Jacobi:

$$\begin{array}{cc}0=\{F,\{G,H\left\}\right\}+\{H,\{F,G\left\}\right\}+\{G,\{H,F\left\}\right\}.& (3.93)\end{array}$$

Gellir gwirio pob un ond yr olaf o (3.88–3.93) ar unwaith o'r diffiniad. Mae angen ychydig mwy o ymdrech i wirio unfathiant Jacobi. Gallwn ddefnyddio'r cyfrifiadur i osgoi rhywfaint o waith. Diffiniwch rai ffwythiannau llythrennol ar y gofod gwedd o fath Hamilton:

(define F
  (literal-function 'F
                    (-> (UP Real (UP Real Real) (DOWN Real Real)) Real)))

(define G
  (literal-function 'G
                    (-> (UP Real (UP Real Real) (DOWN Real Real)) Real)))

(define H
  (literal-function 'H
                    (-> (UP Real (UP Real Real) (DOWN Real Real)) Real)))

Yna gwiriwn unfathiant Jacobi:

((+ (Poisson-bracket F (Poisson-bracket G H))
    (Poisson-bracket G (Poisson-bracket H F))
    (Poisson-bracket H (Poisson-bracket F G)))
 (up 't (up 'x 'y) (down 'px 'py)))

0

Sero yw'r gweddill, felly bodlonir unfathiant Jacobi ar gyfer unrhyw dri ffwythiant cyflwr ar y gofod gwedd â dwy radd rhyddid.

Cromfachau Poisson meintiau cadwedig

Cedwir cromfach Poisson meintiau cadwedig. Boed F a G yn ffwythiannau cyflwr ar y gofod gwedd sy'n annibynnol ar amser: ∂₀F = ∂₀G = 0. Os cedwir F a G gan yr esblygiad dan H, yna

$$\begin{array}{ll}0=D(F\circ \sigma )=\{F,H\}\circ \sigma \hfill & \hfill \\ 0=D(G\circ \sigma )=\{G,H\}\circ \sigma .\hfill & (3.94)\hfill \end{array}$$

Felly mae cromfachau Poisson F a G ag H yn sero: {F, H} = {G, H} = 0. Yna mae unfathiant Jacobi yn awgrymu

$$\begin{array}{ll}\left\{\right\{F,G\},H\}=0,\hfill & (3.95)\end{array}$$

ac felly

$$\begin{array}{ll}D(\{F,G\}\circ \sigma )=0,\hfill & (3.96)\end{array}$$

felly mae {F, G} yn faint cadwedig. Mae cromfach Poisson dau faint cadwedig hefyd yn faint cadwedig.

3.3 Un radd rhyddid

Gellir canfod datrysiadau systemau sy'n annibynnol ar amser ac sydd ag un radd rhyddid drwy gwadratur. Mae systemau o'r fath yn cadw ffwythiant Hamilton: mae gan ffwythiant Hamilton werth cyson ar bob taflwybr gwireddadwy. Gallwn ddefnyddio'r cyfyngiad hwn i ddileu'r momentwm o blaid y cyfesuryn, gan gael yr hafaliad unigol Dq(t) = f(q(t)).¹⁸

Mae safbwynt geometrig yn datgelu mwy o strwythur. Mae gan systemau sy'n annibynnol ar amser ac sydd ag un radd rhyddid ofod gwedd dau-ddimensiwn. Cedwir egni, felly mae pob orbit yn gromlin lefel ffwythiant Hamilton. Cyfyngir y mathau posibl o orbitau i gromliniau sy'n gyfuchliniau ffwythiant real ei werthoedd. Mae'r orbitau posibl yn llwybrau o uchder cyson yn y gadwyn o fynyddoedd ar y plân gwedd a ddisgrifir gan ffwythiant Hamilton.

Dim ond ychydig o nodweddion nodweddiadol sy'n bosibl. Ceir pwyntiau sy'n gydbwyseddau sefydlog y system ddeinamig. Dyma gopaon a phantiau cadwyn fynyddoedd ffwythiant Hamilton. Mae'r cydbwyseddau hyn yn sefydlog yn yr ystyr bod taflwybrau cyfagos ar gyfuchliniau cyfagos yn aros yn agos at y pwynt cydbwysedd. Ceir orbitau sy'n dilyn cromliniau caeedig syml ar gyfuchliniau sy'n amgylchynu copa neu bant, neu efallai sawl copa. Ceir hefyd daflwybrau ar gyfuchliniau sy'n croesi mewn pwynt cyfrwy. Mae'r pwynt croesi yn gydbwysedd ansefydlog, yn ansefydlog yn yr ystyr bod taflwybrau cyfagos yn gadael cyffiniau'r pwynt cydbwysedd. Gelwir cyfuchliniau o'r fath, sy'n croesi mewn pwyntiau cyfrwy, yn separatricsau (unigol: separatrics), sef cyfuchliniau sy'n “gwahanu” dau ranbarth ag ymddygiad gwahanol.

Ym mhob pwynt, mae hafaliadau Hamilton yn rhoi cyfradd esblygu unigryw ac yn cyfeirio'r system i symud yn berpendicwlar i raddiant ffwythiant Hamilton. Yn y copaon, y pantiau a'r pwyntiau cyfrwy, sero yw graddiant ffwythiant Hamilton, felly, yn ôl hafaliadau Hamilton, cydbwyseddau yw'r rhain. Mewn pwyntiau eraill, nid yw graddiant ffwythiant Hamilton yn sero, felly, yn ôl hafaliadau Hamilton, nid yw'r gyfradd esblygu yn sero. Mae taflwybrau'n esblygu ar hyd cyfuchliniau ffwythiant Hamilton. Mae taflwybrau ar gyfuchliniau caeedig syml yn dilyn y gyfuchlin yn gyfnodol. Mewn pwynt cyfrwy, mae cyfuchliniau'n croesi. Sero yw graddiant ffwythiant Hamilton yn y pwynt cyfrwy, felly nid yw system sy'n cychwyn yn y pwynt cyfrwy yn ei adael. Ar y separatrics i ffwrdd o'r pwynt cyfrwy, nid yw graddiant ffwythiant Hamilton yn sero, felly mae taflwybrau'n esblygu ar hyd y gyfuchlin. Mae taflwybrau ar y separatrics yn asymptotig i bwynt cyfrwy wrth fynd ymlaen neu yn ôl mewn amser. Wrth fynd ymlaen neu yn ôl mewn amser, mae taflwybrau o'r fath yn nesáu am byth at gydbwysedd ansefydlog, ond byth yn ei gyrraedd. Os yw'r gofod gwedd yn ffinedig, mae taflwybrau asymptotig ar gyfuchliniau ffwythiant Hamilton llyfn bob amser yn asymptotig i gydbwyseddau ansefydlog yn y ddau ben (ond gallant fod yn gydbwyseddau gwahanol).

Dangosir pob un o'r mathau hyn o orbit yn y plân gwedd enghreifftiol ar gyfer y pendil (gweler ffigur 3.4). Mae'r datrysiadau ar gyfuchliniau ffwythiant Hamilton. Mae tri rhanbarth i'r plân gwedd; ym mhob un mae'r mudiant yn wahanol yn ansoddol. Yn y rhanbarth canolog mae'r pendil yn osgiliadu; uwchlaw hwn mae rhanbarth lle mae'r pendil yn cylchdroi i un cyfeiriad; islaw'r rhanbarth osgiliadu mae'r pendil yn cylchdroi i'r cyfeiriad arall. Yng nghanol y rhanbarth osgiliadu mae cydbwysedd sefydlog, lle mae'r pendil yn hongian yn llonydd. Ar y ffiniau rhwng y rhanbarthau hyn, mae'r pendil yn asymptotig i'r cydbwysedd ansefydlog, lle mae'r pendil yn sefyll yn unionsyth.¹⁹ Mae dau daflwybr asymptotig, sy'n cyfateb i'r ddau gyfeiriad y gellir nesáu at y cydbwysedd ohonynt. Mae pob un o'r rhain hefyd yn asymptotig i'r cydbwysedd ansefydlog wrth fynd yn ôl mewn amser.

3.4 Lleihau'r gofod gwedd

Ein cymhelliant i ddatblygu hafaliadau Hamilton oedd canolbwyntio sylw ar y meintiau y gellir eu cadw—y momenta a'r egni. Yn ffurfiad Hamilton, mae'r cyfesurynnau ffurfwedd cyffredinoledig a'r momenta cyfiau yn ffurfio cyflwr y system ar amser penodol. Gwyddom o ffurfiad Lagrange, os nad yw ffwythiant Lagrange yn dibynnu ar gyfesuryn penodol, fod y momentwm cyfiau yn cael ei gadw. Mae hyn hefyd yn wir yn ffurfiad Hamilton, ond mae mantais bendant i ffurfiad Hamilton. Yn ffurfiad Lagrange, nid yw gwybod y momentwm cadwedig yn arwain ar unwaith at symleiddio'r broblem, ond yn ffurfiad Hamilton, mae'r ffaith bod momenta'n cael eu cadw yn lleihau dimensiwn y system sydd i'w datrys ar unwaith. Yn wir, os nad yw cyfesuryn yn ymddangos yn ffwythiant Hamilton, yna mae dimensiwn y system o hafaliadau cypledig sydd ar ôl i'w datrys yn lleihau o ddau—nid yw'r cyfesuryn yn ymddangos ac mae'r momentwm cyfiau yn gyson.

Boed H(t, q, p) yn ffwythiant Hamilton ar gyfer problem â gofod ffurfweddau n-dimensiwn a gofod gwedd 2n-dimensiwn. Tybiwch nad yw ffwythiant Hamilton yn dibynnu ar y cyfesuryn qⁱ sydd â mynegai i: (∂₁H)_i = 0.²⁰ Yn ôl hafaliadau Hamilton, cedwir y momentwm cyfiau p_i. Nid yw hafaliadau mudiant Hamilton ar gyfer y 2n − 2 newidyn sy'n weddill yn y gofod gwedd yn cynnwys qⁱ (oherwydd nid yw'n ymddangos yn ffwythiant Hamilton), ac mae p_i yn gysonyn. Felly mae dimensiwn rhan anodd y broblem, sef y rhan sy'n ymwneud â datrys hafaliadau differol cyffredin cypledig, yn lleihau o ddau. Mae'r hafaliad sy'n weddill ac sy'n rheoli esblygiad qⁱ yn gyffredinol yn dibynnu ar yr holl newidynnau eraill, ond ar ôl datrys y broblem lai, gellir ysgrifennu hafaliad mudiant qⁱ fel ei fod yn rhoi Dqⁱ yn eglur fel ffwythiant o amser. Yna gallwn ganfod qⁱ fel integryn pendant o'r ffwythiant hwn.²¹

Cymharwch y canlyniad hwn â chanlyniadau cyfatebol ar gyfer systemau mwy cyffredinol o hafaliadau differol. Mae dau achos annibynnol. Un achos yw ein bod yn gwybod cysonyn y mudiant. Yn gyffredinol, gellir defnyddio cysonion y mudiant i leihau dimensiwn y rhan o'r broblem nad yw wedi'i datrys o un. I weld hyn, boed y system o hafaliadau yn

$$\begin{array}{ll}D{z}^i(t)=F^i(z^0(t),z^1(t),...,z^{m-1}(t)),\hfill & (3.97)\end{array}$$

lle mae m yn ddimensiwn y system. Tybiwch ein bod yn gwybod rhyw gysonyn y mudiant

$$\begin{array}{ll}C(z^0(t),z^1(t),...,z^{m-1}(t))=0.\hfill & (3.98)\end{array}$$

O leiaf yn lleol, disgwyliwn y gallwn ddefnyddio'r hafaliad hwn i ddatrys ar gyfer z^m−1(t) yn nhermau'r holl newidynnau eraill, a defnyddio'r datrysiad hwn i ddileu'r ddibyniaeth ar z^m−1(t). Yna mae'r m−1 hafaliad cyntaf yn dibynnu ar yr m − 1 newidyn cyntaf yn unig. Mae dimensiwn y system o hafaliadau sydd i'w datrys yn lleihau o un. Ar ôl canfod y datrysiad ar gyfer y newidynnau eraill, gellir canfod z^m−1(t) gan ddefnyddio cysonyn y mudiant.

Yr ail achos yw nad yw un o'r newidynnau, dyweder zⁱ, yn ymddangos yn yr hafaliadau mudiant (ond mae hafaliad ar gyfer Dzⁱ). Yn yr achos hwn, mae'r hafaliadau ar gyfer y newidynnau eraill yn ffurfio set annibynnol o hafaliadau, sydd ag un dimensiwn yn llai na'r system wreiddiol. Ar ôl datrys y rhain, gellir datrys yr hafaliad sy'n weddill ar gyfer zⁱ drwy integru pendant.

Yn y ddau achos, mae dimensiwn y system o hafaliadau cypledig yn lleihau o un. Mae hafaliadau Hamilton yn wahanol yn yr ystyr bod y ddau achos hyn yn cyd-ddigwydd. Os nad yw ffwythiant Hamilton ar gyfer system yn dibynnu ar gyfesuryn penodol, yna nid yw'r hafaliadau mudiant ar gyfer y cyfesurynnau a'r momenta eraill yn dibynnu ar y cyfesuryn hwnnw. At hynny, mae'r momentwm sy'n gyfiau i'r cyfesuryn hwnnw yn gysonyn y mudiant. Mantais ychwanegol yw bod defnyddio'r cysonyn mudiant hwn i leihau dimensiwn yr hafaliadau sy'n weddill yn digwydd yn awtomatig yn ffurfiad Hamilton. Mae'r momentwm cadwedig yn newidyn cyflwr ac yn ddim ond paramedr yn yr hafaliadau sy'n weddill.

Felly, os oes cymesuredd di-dor, mae'n debyg y bydd o fantais inni ddewis system gyfesurynnau sy'n ymgorffori'r cymesuredd yn eglur, gan wneud ffwythiant Hamilton yn annibynnol ar gyfesuryn. Yna bydd dimensiwn gofod gwedd y system gypledig yn lleihau o ddau am bob cyfesuryn nad yw'n ymddangos yn ffwythiant Hamilton.²²

Mudiant mewn potensial canolog

Ystyriwch fudiant gronyn â màs m mewn potensial canolog. Mae cyfesurynnau pegynol yn ddewis naturiol o gyfesurynnau cyffredinoledig sy'n adlewyrchu'r cymesuredd. Dyma ffwythiant Lagrange (hafaliad 1.69):

$$\begin{array}{ll}L(t;r,\phi ;\dot{r},\dot{\phi })=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2)-V(r).\hfill & (3.99)\end{array}$$

Y momenta yw p_r = mṙ ac $p_{\phi }=m{r}^2\dot{\phi }$. Mae'r egni cinetig yn ffurf gwadratig homogenaidd yn y cyflymderau, felly ffwythiant Hamilton yw T + V gyda'r cyflymderau wedi'u hailysgrifennu yn nhermau'r momenta:

$$\begin{array}{cc}H\left(t;r,\phi ;p_r,p_{\phi }\right)=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_{\phi }^2}{2m{r}^2}+V\left(r\right).& \left(3.100\right)\end{array}$$

Dyma hafaliadau Hamilton:

$$\begin{array}{lll}\hfill Dr(t)& =\frac{p_r(t)}{m}\hfill & \hfill \\ \hfill D\phi (t)& =\frac{p_{\phi }(t)}{m{(r(t))}^2}\hfill & \hfill \\ \hfill D{p}_r(t)& \hfill =\frac{{(p_{\phi }(t))}^2}{m{(r(t))}^3}-DV(r(t))& \hfill \\ \hfill D{p}_{\phi }(t)& =0.\hfill & (3.101)\hfill \end{array}$$

Mae'r egni potensial yn dibynnu ar y pellter o'r tarddbwynt, r, fel y mae'r egni cinetig mewn cyfesurynnau pegynol, ond nid yw'r egni potensial na'r egni cinetig yn dibynnu ar yr ongl begynol φ. Nid yw'r ongl φ yn ymddangos yn ffwythiant Lagrange, felly gwyddom fod p_φ, y momentwm sy'n gyfiau i φ, yn cael ei gadw ar hyd taflwybrau gwireddadwy. Mae un o hafaliadau Hamilton yn mynegi'r ffaith bod p_φ yn gyson ar hyd llwybrau gwireddadwy. Defnyddir gwerth cyson p_φ ar unwaith yn hafaliadau eraill Hamilton: mae'r hafaliadau sy'n weddill yn is-system hunangynhwysol â p_φ cyson. Er mwyn ffurfio is-system o ddimensiwn is yn ffurfiad Lagrange, mae'n rhaid inni ddefnyddio pob momentwm cadwedig i ddileu un o'r newidynnau cyflwr eraill, fel y gwnaethom ar gyfer y chwrligwgan echelin-gymesur (gweler adran 2.10).

Gallwn wirio ein deilliadau â'r cyfrifiadur. Mae gweithdrefn sy'n gweithredu ffwythiant Lagrange eisoes wedi'i chyflwyno (o dan hafaliad 1.69). Gallwn ddefnyddio hon i gael ffwythiant Hamilton:

(show-expression
  ((Lagrangian->Hamiltonian
     (L-central-polar 'm (literal-function 'V)))
   (up 't (up 'r 'phi) (down 'p_r 'p_phi))))

ac i ddatblygu hafaliadau Hamilton:

(show-expression
  (((Hamilton-equations
      (Lagrangian->Hamiltonian
        (L-central-polar 'm (literal-function 'V))))
    (up (literal-function 'r)
        (literal-function 'phi))
    (down (literal-function 'p_r)
          (literal-function 'p_phi)))
   't))

Chwrligwgan echelin-gymesur

Ailystyriwn y chwrligwgan echelin-gymesur (gweler adran 2.10) o safbwynt Hamilton. Cofiwch mai corff anhyblyg sy'n cylchdroi yw chwrligwgan, ac mae un pwynt ohono wedi'i sefydlogi yn y gofod. Nid yw y craidd màs yn y pwynt sefydlog, ac mae maes disgyrchiant unffurf. Chwrligwgan ag echelin gymesuredd yw chwrligwgan echelin-gymesur. Yma, ystyriwn chwrligwgan echelin-gymesur y mae ei bwynt sefydlog ar yr echelin gymesuredd.

Mae gan y chwrligwgan echelin-gymesur ddau gymesuredd di-dor yr hoffem eu defnyddio. Un cymesuredd yw nad yw'r egni cinetig na'r egni potensial yn sensitif i gyfeiriadaeth y chwrligwgan o amgylch yr echelin gymesuredd. Nid yw'r egni cinetig na'r egni potensial yn sensitif ychwaith i gylchdroi'r system ffisegol o amgylch yr echelin fertigol, oherwydd mae'r maes disgyrchiant yn unffurf. Manteisiwn ar y cymesureddau hyn drwy ddewis cyfesurynnau sy'n eu mynegi'n naturiol. Mae gennym eisoes system gyfesurynnau briodol sy'n gwneud y gwaith—onglau Euler. Dewiswn gyfeiriadaeth gyfeirio'r chwrligwgan fel bod yr echelin gymesuredd yn fertigol. Mae ongl gyntaf Euler, ψ, yn mynegi cylchdro o amgylch yr echelin gymesuredd. Ongl nesaf Euler, θ, yw gogwydd echelin gymesuredd y chwrligwgan oddi wrth y fertigol. Mae trydedd ongl Euler, φ, yn mynegi cylchdro'r chwrligwgan o amgylch yr echelin sefydlog ẑ. Mae cymesureddau'r broblem yn awgrymu nad yw ongl gyntaf a thrydedd ongl Euler yn ymddangos yn ffwythiant Hamilton. O ganlyniad, mae'r momenta sy'n gyfiau i'r onglau hyn yn feintiau cadwedig. Lleihawyd y broblem o bennu mudiant y chwrligwgan echelin-gymesur i'r broblem o bennu esblygiad θ a p_θ. Gadewch inni weithio drwy'r manylion.

Yn nhermau onglau Euler, dyma ffwythiant Lagrange ar gyfer y chwrligwgan echelin-gymesur (gweler adran 2.10):

(define ((L-axisymmetric-top A C gMR) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (qdot (velocity local)))
    (let ((theta (ref q 0))
          (thetadot (ref qdot 0))
          (phidot (ref qdot 1))
          (psidot (ref qdot 2)))
      (+ (* 1/2 A
            (+ (square thetadot)
               (square (* phidot (sin theta)))))
         (* 1/2 C
            (square (+ psidot (* phidot (cos theta)))))
         (* -1 gMR (cos theta))))))

lle mae gMR yn lluoswm y cyflymiad disgyrchiant, màs y chwrligwgan, a'r pellter o'r pwynt cynnal i'r craidd màs. Mae ffwythiant Hamilton yn fwy taclus nag y byddai gennym hawl i'w ddisgwyl:

(show-expression
  ((Lagrangian->Hamiltonian (L-axisymmetric-top 'A 'C 'gMR))
   (up 't
       (up 'theta 'phi 'psi)
       (down 'p_theta 'p_phi 'p_psi))))

Sylwch nad yw'r onglau φ a ψ yn ymddangos yn ffwythiant Hamilton, fel y disgwylid. Felly mae'r momenta p_φ a p_ψ yn gysonion y mudiant.

Ar gyfer gwerthoedd penodol p_φ a p_ψ, rhaid inni bennu esblygiad θ a p_θ. Mae gan y ffwythiant Hamilton effeithiol ar gyfer θ a p_θ un radd rhyddid, ac nid yw'n cynnwys amser. Felly cedwir gwerth ffwythiant Hamilton ar hyd taflwybrau gwireddadwy. Felly mae taflwybrau θ a p_θ yn dilyn cyfuchliniau'r ffwythiant Hamilton effeithiol. Mae hyn yn rhoi darlun cyffredinol inni o'r mathau posibl o fudiant a'r berthynas rhyngddynt, ar gyfer gwerthoedd penodol p_φ a p_ψ.

Os yw'r chwrligwgan yn sefyll yn fertigol, yna p_φ = p_ψ. Gadewch inni ganolbwyntio ar yr achos lle mae p_φ = p_ψ, a diffinio p = p_ψ = p_φ. Daw'r ffwythiant Hamilton effeithiol yn (ar ôl ychydig o symleiddio trigonometrig)

$$\begin{array}{ll}{H}_p(t,\theta ,p_{\theta })=\frac{p_{\theta }^2}{2A}+\frac{p^2}{2C}+\frac{p^2}{2A}{\tan }^2\frac{\theta }{2}+gMR\cos \theta .\hfill & (3.102)\hfill \end{array}$$

Gan ddiffinio'r egni potensial effeithiol

$$\begin{array}{ll}{V}_p(\theta )=\frac{p^2}{2C}+\frac{p^2}{2A}{\tan }^2\frac{\theta }{2}+gMR\cos \theta ,\hfill & (3.103)\hfill \end{array}$$

sy'n dibynnu'n barametrig ar p, y ffwythiant Hamilton effeithiol yw

$$\begin{array}{ll}{H}_p(t,\theta ,p_{\theta })=\frac{p_{\theta }^2}{2A}+V_p(\theta ).\hfill & (3.104)\hfill \end{array}$$

Os yw p yn fawr, mae gan V_p un isafswm yn θ = 0, fel y gwelir yn ffigur 3.5 (y gromlin uchaf). Ar gyfer p bach (y gromlin isaf), mae isafswm ar gyfer θ positif meidraidd ac isafswm cymesur ar gyfer θ negatif; mae uchafswm lleol yn θ = 0. Mae gwerth critigol i p lle mae θ = 0 yn newid o isafswm i uchafswm lleol. Dynodwch y gwerth critigol gan p_c. Mae cyfrifiad syml yn dangos $p_c=\sqrt{4gMRA}$. Ar gyfer θ = 0, mae gennym p = Cω, lle mae ω yn gyfradd cylchdroi. Felly mae cyfradd cylchdroi gritigol yn cyfateb i p_c:

$$\begin{array}{ll}{\omega }_c=\sqrt{4gMRA}/C.\hfill & (3.105)\hfill \end{array}$$

Ar gyfer ω > ω_c, gall y chwrligwgan sefyll yn fertigol; ar gyfer ω < ω_c, mae'r chwrligwgan yn disgyn os caiff ei ddadleoli ychydig oddi wrth y fertigol. Gelwir chwrligwgan sy'n sefyll yn fertigol yn chwrligwgan “cysgu”. Mewn chwrligwgan mwy realistig, mae ffrithiant yn arafu'r cylchdroi'n raddol; yn y pen draw mae'r gyfradd cylchdroi yn disgyn o dan y gyfradd cylchdroi gritigol, ac mae'r chwrligwgan yn “deffro”.

Cawn fewnwelediad pellach i'r chwrligwgan cysgu a'r chwrligwgan effro drwy edrych ar y taflwybrau yn y plân gwedd θ, p_θ. Dim ond cyfuchliniau ffwythiant Hamilton yw'r taflwybrau yn y plân hwn, oherwydd cedwir ffwythiant Hamilton. Mae ffigur 3.6 yn dangos portread gwedd ar gyfer ω > ω_c. Mae'r holl daflwybrau'n ddolenni o amgylch y fertigol (θ = 0). Nid yw dadleoli'r chwrligwgan ychydig oddi wrth y fertigol ond yn ei osod ar ddolen gyfagos, felly mae'r chwrligwgan yn aros bron yn fertigol. Mae ffigur 3.7 yn dangos y portread gwedd ar gyfer ω < ω_c. Yma, mae'r safle fertigol yn gydbwysedd ansefydlog. Mae'r taflwybrau sy'n nesáu at y fertigol yn asymptotig—maent yn cymryd amser anfeidraidd i'w gyrraedd, yn union fel y gall pendil â'r union amodau cychwynnol priodol nesáu at y fertigol ond byth ei gyrraedd. Os dadleolir y chwrligwgan ychydig oddi wrth y fertigol, yna mae'r taflwybrau'n ffurfio dolenni o amgylch canol arall lle nad yw θ yn sero. Mae chwrligwgan a gychwynnir ym mhwynt canol y ddolen yn aros yno, ac mae un a gychwynnir ger y pwynt cydbwysedd hwn yn dolennu'n sefydlog o'i amgylch. Felly gwelwn, pan fo'r chwrligwgan yn “deffro”, fod y fertigol yn ansefydlog, ond nid yw'r chwrligwgan yn syrthio i'r llawr. Yn hytrach, mae'n osgiliadu o amgylch cydbwysedd newydd.

Mae hefyd yn ddiddorol ystyried y chwrligwgan echelin-gymesur pan fo p_φ = p_ψ. Ystyriwch yr achos p_φ ≠ p_ψ. Dangosir rhai taflwybrau yn y plân θ, p_θ yn ffigur 3.8. Sylwch nad yw taflwybrau yn mynd drwy θ = 0 yn yr achos hwn. Mae'r portread gwedd ar gyfer p_φ < p_ψ yn debyg ac ni chaiff ei ddangos.

Rydym wedi lleihau mudiant y chwrligwgan echelin-gymesur i gwadraturau drwy ddewis cyfesurynnau sy'n mynegi'r cymesureddau. Mae'n ymddangos y gellir mynegi'r integrynnau sy'n deillio o hyn yn nhermau ffwythiannau eliptig. Felly gellir datrys y chwrligwgan echelin-gymesur yn analytig. Nid ydym yn oedi dros y datrysiad hwn, gan nad yw'n taflu llawer o oleuni: gan na ellir datrys y rhan fwyaf o broblemau yn analytig, ychydig o fudd sydd mewn oedi dros ddatrysiad analytig un o'r problemau prin y gellir eu datrys felly. Yn hytrach, rydym wedi canolbwyntio ar geometreg y datrysiadau yn y gofod gwedd ac ar ddefnyddio meintiau cadwedig i leihau dimensiwn y broblem. Drwy'r portread o'r gofod gwedd, rydym wedi canfod rhai nodweddion ansoddol diddorol ym mudiant y chwrligwgan.

Ymarfer 3.8: Chwrligwgan cysgu

Gwiriwch fod y cyflymder onglaidd critigol y gall chwrligwgan echelin-gymesur gysgu uwchlaw iddo yn cael ei roi gan hafaliad (3.105).

3.4.1 Lleihau yn ffurfiad Lagrange

Tybiwch fod cyfesurynnau cylchol. Yn ffurfiad Hamilton, mae'r hafaliadau mudiant ar gyfer cyfesurynnau a momenta'r graddau rhyddid eraill yn ffurfio is-system hunangynhwysol lle mae'r momenta sy'n gyfiau i'r cyfesurynnau cylchol yn baramedrau. Gallwn lunio ffwythiant Lagrange ar gyfer yr is-system hon drwy gymryd trawsffurfiad Legendre o'r ffwythiant Hamilton gostyngedig. Fel arall, gallwn ddechrau â'r ffwythiant Lagrange llawn a chymryd trawsffurfiad Legendre ar gyfer y cyfesurynnau cylchol yn unig. Hafaliadau Hamilton yw'r hafaliadau mudiant ar gyfer y newidynnau a drawsffurfir, a hafaliadau Lagrange ydynt ar gyfer y lleill. Cedwir y momenta sy'n gyfiau i'r cyfesurynnau cylchol, a gellir eu trin fel paramedrau yn ffwythiant Lagrange y cyfesurynnau sy'n weddill.

Rhannwch y twpled cyfesurynnau q yn ddau is-dwpled q = (x, y). Tybiwch fod L(t; x, y; v_x, v_y) yn ffwythiant Lagrange ar gyfer y system. Diffiniwch ffwythiant Routh R fel trawsffurfiad Legendre o L mewn perthynas â safle v_y:

$$\begin{array}{ll}\hfill p_y={\partial }_{2,1}L(t;x,y;v_x,v_y)& (3.106)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\hfill p_y{v}_y=R(t;x,y;v_x,p_y)+L(t;x,y;v_x,v_y)& (3.107)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\hfill v_y={\partial }_{2,1}R(t;x,y;v_x,p_y)& (3.108)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\hfill 0={\partial }_{0}R(t;x,y;v_x,p_y)+{\partial }_{0}L(t;x,y;v_x,v_y)& (3.109)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\hfill 0={\partial }_{1}R(t;x,y;v_x,p_y)+{\partial }_{1}L(t;x,y;v_x,v_y)& (3.110)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\hfill 0={\partial }_{2,0}R(t;x,y;v_x,p_y)+{\partial }_{2,0}L(t;x,y;v_x,v_y).& (3.111)\hfill \end{array}$$

I ddiffinio'r ffwythiant R, rhaid inni ddatrys hafaliad (3.106) ar gyfer v_y yn nhermau'r newidynnau eraill, ac amnewid hwn yn hafaliad (3.107).

Diffiniwch y llwybr cyflwr Ξ:

$$\begin{array}{ll}\Xi (t)=(t;x(t),y(t);Dx(t),p_y(t)),\hfill & (3.112)\hfill \end{array}$$

lle mae

$$\begin{array}{ll}{p}_y(t)={\partial }_{2,1}L(t;x(t),y(t);Dx(t),Dy(t)).\hfill & (3.113)\hfill \end{array}$$

Mae llwybrau gwireddadwy yn bodloni'r hafaliadau mudiant (gweler ymarfer 3.9)

$$\begin{array}{ll}D({\partial }_{2,0}R\circ \Xi )(t)={\partial }_{1,0}R\circ \Xi (t)\hfill & (3.114)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}Dy(t)={\partial }_{2,1}R\circ \Xi (t)\hfill & (3.115)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}D{p}_y(t)=-{\partial }_{1,1}R\circ \Xi (t),\hfill & (3.116)\hfill \end{array}$$

sef hafaliadau Lagrange ar gyfer x a hafaliadau Hamilton ar gyfer y a p_y.

Nawr tybiwch fod y yn gyfesuryn cylchol yn ffwythiant Lagrange. Yna ∂_1,1L = ∂_1,1R = 0, ac mae p_y(t) yn gysonyn c ar unrhyw lwybr gwireddadwy. Yn ôl ein tybiaeth, nid yw hafaliad (3.114) yn dibynnu ar y, a gallwn ddisodli p_y â'i werth cyson c. Felly mae hafaliad (3.114) yn ffurfio is-system gaeedig ar gyfer y llwybr x. Mae ffwythiant Lagrange L_c

$$\begin{array}{ll}{L}_c(t,x,v_x)=-R(t;x,•;v_x,c)\hfill & (3.117)\hfill \end{array}$$

yn disgrifio mudiant yr is-system (cyflwynir yr arwydd minws er hwylustod, ac mae ● yn dangos bod gwerth y ffwythiant yn annibynnol ar yr arg hwn). Gellir canfod y llwybr y drwy integru hafaliad (3.115) gan ddefnyddio'r llwybr x a bennwyd yn annibynnol.

Diffiniwch y weithred

$$\begin{array}{ll}{S}_c^{\prime }[x](t_1,t_2)={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{L}_c}\circ \Gamma [x].\hfill & (3.118)\hfill \end{array}$$

Mae'r llwybrau gwireddadwy x yn bodloni hafaliadau Lagrange â'r ffwythiant Lagrange L_c, felly mae'r weithred $S_c^{\prime }$ yn arhosol mewn perthynas ag amrywiadau ξ mewn x sy'n sero ar yr amseroedd terfyn:

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\xi }{S}_c^{\prime }(t_1,t_2)=0.\hfill & (3.119)\hfill \end{array}$$

Ar gyfer llwybrau gwireddadwy q, mae'r weithred S[q](t₁, t₂) yn arhosol mewn perthynas ag amrywiadau η mewn q sy'n sero ar yr amseroedd terfyn. Ar hyd y llwybrau hyn, mae gan y momentwm p_y(t) y gwerth cyson c. Ar gyfer yr un llwybrau, mae'r weithred $S_c^{\prime }\left[x\right]\left(t_1,t_2\right)$ yn arhosol mewn perthynas ag amrywiadau ξ mewn x sy'n sero ar yr amseroedd terfyn. Mae dimensiwn ξ yn llai na dimensiwn η.

Mae gwerthoedd y gweithredoedd $S_c^{\prime }\left[x\right]\left(t_1,t_2\right)$ ac S[q](t₁, t₂) yn gysylltiedig:

$$\begin{array}{lll}\hfill S[q](t_1,t_2)& =S_c^{\prime }[x]-{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}c{v}_y}\hfill & \hfill \\ \hfill & =S_c^{\prime }[x]-c(y(t_2)-y(t_1)).\hfill & (3.120)\hfill \end{array}$$

Ymarfer 3.9: Hafaliadau mudiant Routh

Gwiriwch fod yr hafaliadau mudiant yn cael eu rhoi gan hafaliadau (3.114–3.116).

3.5 Esblygiad yn y gofod gwedd

Nid oes gan y rhan fwyaf o broblemau ddigon o gymesureddau i'w lleihau i gwadratur. Mae'n naturiol troi at integru rhifiadol i ddysgu rhagor am esblygiad systemau o'r fath. Gellir canfod yr esblygiad yn y gofod gwedd drwy integru hafaliadau Hamilton yn rhifiadol.

Fel enghraifft eglurhaol, ystyriwch eto'r pendil a yrrir yn gyfnodol (gweler tudalen 74). Dyma ffwythiant Hamilton:

(show-expression
  ((Lagrangian->Hamiltonian
     (L-periodically-driven-pendulum 'm 'l 'g 'a 'omega))
   (up 't 'theta 'p_theta)))

Nid yw hafaliadau Hamilton ar gyfer y pendil a yrrir yn gyfnodol yn taflu goleuni ar yr ymddygiad, felly ni fyddwn yn eu dangos. Lluniwn ddeilliad system o ffwythiant Hamilton:

(define (H-pend-sysder m l g a omega)
  (Hamiltonian->state-derivative
    (Lagrangian->Hamiltonian
      (L-periodically-driven-pendulum m l g a omega))))

Nawr rydym yn integru'r system hon, â'r un amodau cychwynnol ag yn adran 1.7 (gweler ffigur 1.7), ond yn dangos y taflwybr yn y gofod gwedd (ffigur 3.9), gan ddefnyddio gweithdrefn fonitro:

(define window (frame :-pi :pi -10.0 10.0))

(define ((monitor-p-theta win) state)
  (let ((q ((principal-value :pi) (coordinate state)))
        (p (momentum state)))
    (plot-point win q p)))

Defnyddiwn evolve i archwilio esblygiad y system:

(let ((m 1.0)           ;m=1 kg
      (l 1.0)           ;l=1 m
      (g 9.8)           ;g=9.8 m/s²
      (A 0.1)           ;A=1/10 m
      (omega (* 2 (sqrt 9.8)))
      ((evolve H-pend-sysder m l g A omega)
       (up 0.0          ;t₀=0
           1.0          ;θ₀=1 rad
           0.0)         ;p₀=0 kg m²/s
       (monitor-p-theta window)
       0.01             ;plot interval
       100.0            ;final time
       1.0e-12)))

Weithiau mae'r taflwybr yn osgiliadu ac weithiau mae'n cylchdroi. Mae'r patrymau yn y plân gwedd yn dwyn i gof y taflwybrau ym mhlân gwedd y pendil heb ei yrru a ddangosir yn ffigur 3.4 ar dudalen 225.

3.5.1 Nid yw'r disgrifiad yn y gofod gwedd yn unigryw

Rydym yn gyfarwydd â'r ffaith bod mudiant penodol system yn cael ei fynegi'n wahanol mewn systemau cyfesurynnau gwahanol: mae'r ffwythiannau sy'n mynegi mudiant mewn cyfesurynnau petryalog yn wahanol i'r ffwythiannau sy'n mynegi'r un mudiant mewn cyfesurynnau pegynol. Fodd bynnag, mewn system gyfesurynnau benodol, mae esblygiad y twpled cyflwr lleol ar gyfer amodau cychwynnol penodol yn unigryw. Mae ffwythiant llwybr y cyflymder cyffredinoledig yn ddeilliad ffwythiant llwybr y cyfesuryn cyffredinoledig. Ar y llaw arall, nid yw'r system gyfesurynnau ar ei phen ei hun yn pennu'r disgrifiad yn y gofod gwedd yn unigryw. Mae perthynas y momentwm â'r cyfesurynnau a'r cyflymderau yn dibynnu ar ffwythiant Lagrange, a gellir defnyddio llawer o ffwythiannau Lagrange gwahanol i ddisgrifio ymddygiad yr un system ffisegol. Pan fo dau ffwythiant Lagrange ar gyfer yr un system ffisegol yn wahanol, mae'r disgrifiadau o gyflwr deinamig yn y gofod gwedd yn wahanol.

Rydym eisoes wedi gweld dau ffwythiant Lagrange gwahanol ar gyfer y pendil a yrrir (gweler adran 1.6.4): canfuwyd un gan ddefnyddio L = T −V, a chanfuwyd y llall drwy archwilio'r hafaliadau mudiant. Mae'r ddau ffwythiant Lagrange yn gwahaniaethu gan ddeilliad amser cyflawn. Mae'r momentwm p_θ sy'n gyfiau i θ yn dibynnu ar ba ffwythiant Lagrange y dewiswn weithio ag ef, ac mae'r disgrifiad o'r esblygiad yn y gofod gwedd cyfatebol hefyd yn dibynnu ar y dewis o ffwythiant Lagrange, er bod ymddygiad y system yn annibynnol ar y dull a ddefnyddir i'w disgrifio. Y momentwm sy'n gyfiau i θ, gan ddefnyddio'r ffwythiant Lagrange L = T − V ar gyfer y pendil a yrrir yn gyfnodol, yw

$$\begin{array}{ll}{p}_{\theta }=m{l}^2\dot{\theta }-alm\omega \sin \theta \sin \omega t,\hfill & (3.121)\hfill \end{array}$$

ond gyda'r ffwythiant Lagrange amgen, dyma ef:

$$\begin{array}{ll}{p}_{\theta }=m{l}^2\dot{\theta }.\hfill & (3.122)\hfill \end{array}$$

Mae'r ddau fomentwm yn gwahaniaethu gan afluniad adiol sy'n amrywio'n gyfnodol mewn amser ac yn dibynnu ar θ. Dangosir bod y disgrifiadau yn y gofod gwedd yn wahanol yn ffigur 3.10. Mae esblygiad y system yr un fath yn y ddau achos.

3.6 Arwynebau toriad

Dim ond dechrau deall y ddynameg yw cyfrifo esblygiad systemau mecanyddol. Fel arfer, rydym am wybod llawer mwy nag esblygiad taflwybr penodol yn y gofod gwedd. Rydym am gael dealltwriaeth ansoddol o'r mudiant. Rydym am wybod pa fathau o fudiant sy'n bosibl, a sut mae un math yn perthyn i fathau eraill. Rydym am haniaethu'r ddynameg hanfodol o'r myrdd o esblygiadau penodol y gallwn eu cyfrifo. Yn baradocsaidd, drwy daflu ymaith y rhan fwyaf o'r wybodaeth a gyfrifwyd am daflwybr, cawn wybodaeth newydd hanfodol am natur y taflwybr a'i berthynas â thaflwybrau eraill.

Offeryn rhyfeddol sy'n echdynnu'r hanfod drwy daflu gwybodaeth ymaith yw techneg o'r enw arwyneb toriad neu doriad Poincaré.²³ Cynhyrchir arwyneb toriad drwy edrych ar groestoriadau olynol taflwybr neu set o daflwybrau â phlân yn y gofod gwedd. Yn nodweddiadol, rhychwantir y plân gan echelin cyfesuryn ac echelin y momentwm sy'n gyfiau canonig iddo. Fe welwn fod gan arwynebau toriad a lunnir fel hyn briodweddau dymunol.

Defnyddiwyd techneg yr arwyneb toriad yn drawiadol ym mhapur arloesol 1964 [22] gan y seryddwyr Michel Hénon a Carl Heiles. Yn eu hymchwiliadau rhifiadol, canfuont fod rhai taflwybrau'n anhrefnus, tra bo taflwybrau eraill yn rheolaidd. Nodwedd hanfodol o'r mudiadau anhrefnus yw bod taflwybrau sy'n agos i'w gilydd ar y dechrau yn ymwahanu'n esbonyddol gydag amser; mae taflwybrau rheolaidd yn ymwahanu'n llinol.²⁴ Canfuont fod y ddau fath hyn o daflwybr yn nodweddiadol yn clystyru yn y gofod gwedd yn rhanbarthau o fudiant rheolaidd a rhanbarthau o fudiant anhrefnus.

3.6.1 Systemau a yrrir yn gyfnodol

Ar gyfer system a yrrir yn gyfnodol, mae'r arwyneb toriad yn olygfa strobosgopig o'r esblygiad; ystyriwn gyflwr y system ar amseroedd y strob yn unig, gyda chyfnod y strob yn hafal i'r cyfnod gyrru. Cynhyrchwn arwyneb toriad ar gyfer system a yrrir yn gyfnodol drwy gyfrifo nifer o daflwybrau a chasglu cyfesurynnau pob taflwybr yn y gofod gwedd bob tro y mae'r gyriant yn mynd drwy wedd benodol. Boed T yn gyfnod y gyriant; yna, ar gyfer pob taflwybr, mae'r arwyneb toriad yn casglu'r pwyntiau yn y gofod gwedd (q(t), p(t)), (q(t + T), p(t + T)), (q(t + 2T), p(t + 2T)), ac yn y blaen (gweler ffigur 3.11). Ar gyfer system ag un radd rhyddid, gallwn blotio dilyniant y pwyntiau yn y gofod gwedd ar arwyneb q, p.

Yn achos y toriad strobosgopig ar gyfer y system a yrrir yn gyfnodol, mae gwedd y gyriant yr un fath ar gyfer pob pwynt ar y toriad; felly gellir ystyried pob pwynt o'r gofod gwedd sydd ar y toriad, ynghyd â gwedd hysbys y gyriant, yn amod cychwynnol ar gyfer gweddill y taflwybr. Nid yw amser absoliwt y pwynt penodol ar y toriad yn effeithio ar yr esblygiad dilynol; y cyfan sy'n bwysig yw bod gan wedd y gyriant y gwerth a bennwyd ar gyfer y toriad. Felly gallwn feddwl am yr esblygiad deinamig fel rhywbeth sy'n cynhyrchu mapiad sy'n cymryd pwynt yn y gofod gwedd ac yn cynhyrchu pwynt newydd yn y gofod gwedd ar ôl esblygu'r system am un cyfnod gyrru. Gelwir y mapiad hwn o'r gofod gwedd arno'i hun yn fapiad Poincaré.

Mae ffigur 3.12 yn dangos enghraifft o doriad Poincaré ar gyfer y pendil a yrrir. Plotiwn y pwyntiau ar y toriad ar gyfer nifer o amodau cychwynnol gwahanol. Cyflwynir agwedd newydd ar systemau deinamig inni ar unwaith. Ar gyfer rhai amodau cychwynnol, ymddengys fod y pwyntiau dilynol yn llenwi set o gromliniau ar y toriad. Ar gyfer amodau cychwynnol eraill, nid felly y mae: yn hytrach, ymddengys fod y set o bwyntiau wedi'i gwasgaru dros ranbarth o'r toriad. Yn wir, cynhyrchwyd pob un o'r pwyntiau gwasgaredig yn ffigur 3.12 o un amod cychwynnol. Mae'r arwyneb toriad yn awgrymu bod dosbarthiadau ansoddol wahanol o daflwybrau, y gellir eu gwahaniaethu drwy ddimensiwn yr is-ofod o'r toriad y maent yn ei archwilio.

Gelwir taflwybrau sy'n llenwi cromliniau ar yr arwyneb toriad yn daflwybrau rheolaidd neu led-gyfnodol. Mae'r cromliniau a lenwir gan y taflwybrau rheolaidd yn gromliniau annewidiol. Maent yn annewidiol yn yr ystyr, os yw unrhyw bwynt ar y toriad ar gyfer taflwybr yn disgyn ar gromlin annewidiol, fod pob pwynt dilynol yn disgyn ar yr un gromlin annewidiol. Hynny yw, mae mapiad Poincaré yn mapio pob pwynt ar gromlin annewidiol i'r gromlin annewidiol.

Gelwir y taflwybrau yr ymddengys eu bod yn llenwi arwynebeddau yn daflwybrau anhrefnus. Ar gyfer y pwyntiau hyn, mae'r pellter yn y gofod gwedd rhwng pwyntiau sy'n agos i'w gilydd ar y dechrau yn tyfu, ar gyfartaledd, yn esbonyddol gydag amser.²⁵ Mewn cyferbyniad, ar gyfer y taflwybrau rheolaidd, mae'r pellter yn y gofod gwedd rhwng pwyntiau sy'n agos i'w gilydd ar y dechrau yn tyfu, ar gyfartaledd, yn llinol gydag amser.

Ymddengys fod y gofod gwedd wedi'i glystyru'n fras yn rhanbarthau gwahanol. Ymddengys fod amodau cychwynnol mewn rhai rhanbarthau'n arwain yn bennaf at daflwybrau rheolaidd, a bod rhanbarthau eraill yn arwain yn bennaf at daflwybrau anhrefnus. Gelwir y rhaniad bras hwn o'r gofod gwedd yn fathau ansoddol wahanol o daflwybrau yn ofod gwedd rhanedig. Fe welwn yn ddiweddarach fod llawer mwy o strwythur yma nag sy'n amlwg ar y raddfa hon, ac wrth chwyddo'r darlun ceir cydblethiad cymhleth o ranbarthau anhrefnus a rheolaidd ar raddfeydd manylach a manylach. Yn wir, fe welwn fod llawer o daflwybrau yr ymddengys eu bod yn cynhyrchu cromliniau ar yr arwyneb toriad, o'u chwyddo, mewn gwirionedd yn anhrefnus ac yn llenwi arwynebedd bychan iawn. Fe ganfyddwn hefyd fod taflwybrau ar gromliniau un-dimensiwn ar yr arwyneb toriad, ond eu bod yn archwilio dim ond is-set o'r gromlin hon, a ffurfir drwy dorri nifer anfeidraidd o dyllau allan ohoni.²⁶

Mae'r nodweddion a welir ar arwyneb toriad y pendil a yrrir yn eithaf cyffredinol. Gwelir yr un ffenomenau yn y rhan fwyaf o systemau deinamig. Yn gyffredinol, ceir taflwybrau rheolaidd ac anhrefnus, ac mae'r clystyru sy'n nodweddu'r gofod gwedd rhanedig yn bresennol. Mae'r manylion penodol yn dibynnu ar y system, ond mae'r ffenomenau sylfaenol yn gyffredinol. Wrth gwrs, mae gennym ddiddordeb yn y ddwy agwedd: y ffenomenau sy'n gyffredin i bob system, a'r manylion penodol ar gyfer systemau arbennig o ddiddordeb.

Mae gan arwyneb toriad y pendil a yrrir yn gyfnodol nodweddion penodol sy'n rhoi gwybodaeth ansoddol inni am ymddygiad y system hon. Mae'r ynys ganolog yn ffigur 3.12 yn weddill o ranbarth osgiliadu'r pendil heb rym gorfodi (gweler ffigur 3.4 yn adran 3.3). Mae rhanbarth sylweddol o daflwybrau rheolaidd yma sydd, mewn ystyr, yn debyg i daflwybrau'r pendil heb rym gorfodi. Yn y rhanbarth hwn, mae'r pendil yn osgiliadu yn ôl ac ymlaen, yn debyg iawn i'r pendil heb ei yrru, ond mae'r gyriant yn peri iddo ysgwyd wrth wneud hynny. Cesglir yr holl bwyntiau ar y toriad ar yr un wedd o'r gyriant, felly ni welwn yr ysgytiadau hyn ar y toriad.

Mae parth anhrefnus mawr yn amgylchynu'r ynys ganolog. Felly mae gan y rhanbarth o'r gofod gwedd sy'n cynnwys taflwybrau rheolaidd tebyg i'r taflwybrau heb rym gorfodi faint meidraidd. Ar y toriad, ymddengys fod ffin y rhanbarth “sefydlog” hwn wedi'i diffinio'n weddol glir—mae trosiad sydyn o gromliniau annewidiol rheolaidd llyfn i fudiant anhrefnus a all fynd â'r system ymhell o'r rhanbarth hwn o fudiant rheolaidd.

Mae dau ranbarth sylweddol arall o ymddygiad rheolaidd ag ystod onglaidd feidraidd. Mae'r taflwybrau yn y rhanbarthau hyn mewn cyseiniant â'r gyriant, gan gyflawni un cylchdro llawn ym mhob cylch o'r gyriant, ar gyfartaledd. Mae'r ddwy ynys yn wahanol o ran cyfeiriad y cylchdroi. Yn y rhanbarthau hyn, mae'r pendil yn gwneud cylchdroadau cyflawn, ond mae'r cylchdroi wedi'i gloi i'r gyriant fel bod pwyntiau ar y toriad yn ymddangos yn yr ynysoedd yn unig. Mae'r ffaith bod pwyntiau ar gyfer taflwybrau penodol yn dolennu o amgylch yr ynysoedd yn golygu bod y pendil weithiau'n cwblhau cylch yn gyflymach na'r gyriant ac weithiau'n arafach, ond byth yn colli'r cloi.

Mae gan bob rhanbarth rheolaidd faint meidraidd. Felly, o'r arwyneb toriad, gallwn weld yn uniongyrchol ystod yr amodau cychwynnol sy'n aros mewn cyseiniant â'r gyriant. Y tu allan i'r rhanbarth rheolaidd, mae amodau cychwynnol yn arwain at daflwybrau anhrefnus sy'n esblygu ymhell o'r rhanbarthau cyseiniant.

Mae ynysoedd cyseiniant amrywiol o drefn uwch hefyd yn weladwy, ynghyd ag orbitau cylchdroi rheolaidd nad ydynt mewn cyseiniant. Felly mae'r arwyneb toriad wedi rhoi trosolwg inni o'r prif fathau o fudiant sy'n bosibl a'r berthynas rhyngddynt.

Mae newid y paramedrau yn dangos ffenomenau diddorol eraill. Mae ffigur 3.13 yn dangos yr arwyneb toriad pan fo amledd y gyriant yn ddwywaith amledd naturiol osgiliadau bach eu hosgled y pendil heb ei yrru. Mae gan y toriad barth anhrefnus mawr, gyda set ddiddorol o ynysoedd. Mae'r cydbwysedd canolog wedi mynd yn ansefydlog, ac yn lle ynys ganolog cawn ddwy ynys oddi wrth y canol. Ymwelir â'r ynysoedd hyn bob yn ail, y naill ar ôl y llall. Wrth i'r cynhaliad fynd i fyny ac i lawr, mae'r pendil yn gogwyddo i un ochr ac yna i'r llall bob yn ail. Mae angen dau gyfnod o'r gyriant cyn i'r pendil ymweld â'r un ynys. Felly mae'r system wedi “dyblu ei chyfnod”. Disodlwyd un ynys gan bâr o ynysoedd â chyfnod dwbl. Sylwch fod ynysoedd eraill yn dal i fodoli. Yr ynysoedd ar frig a gwaelod y parth anhrefnus yw'r ynysoedd cyseiniant, lle mae'r pendil yn gwneud cylchdro llawn, ar gyfartaledd, am bob cylch o'r gyriant. Sylwch, fel o'r blaen, os yw'r pendil yn cylchdroi'n gyflym, fod y mudiant yn rheolaidd.

Mae'n ffaith annisgwyl, os ysgytiwn gynhaliad pendil yn ddigon cyflym, y gall y pendil sefyll yn unionsyth. Gellir gweld y ffenomen hon drwy'r arwyneb toriad. Mae ffigur 3.14 yn dangos arwyneb toriad pan fo amledd y gyriant yn fawr o'i gymharu â'r amledd naturiol. Mae bodolaeth ynys reolaidd wrth y cydbwysedd gwrthdro yn dangos y gall y pendil sefyll yn unionsyth. Mae'r arwyneb toriad yn dangos y gall y pendil aros yn unionsyth ar gyfer ystod o ddadleoliadau cychwynnol oddi wrth y fertigol.

3.6.2 Cyfrifo arwynebau toriad strobosgopig

Mae gennym eisoes ddeilliad y system ar gyfer y pendil a yrrir, a gallwn ei ddefnyddio i lunio mapiad parametrig ar gyfer adeiladu toriadau Poincaré:

(define (driven-pendulum-map m l g A omega)
  (let ((advance (state-advancer H-pend-sysder m l g A omega))
        (map-period (/ :2pi omega)))
    (lambda (theta ptheta return fail)
      (let ((ns (advance
                  (up 0 theta ptheta) ; initial state
                  map-period))) ; integration interval
        (return ((principal-value :pi)
                 (coordinate ns))
                (momentum ns))))))

Mae gweithdrefn mapiad yn cymryd dau gyfesuryn y toriad (yma theta ac ptheta) a dwy weithdrefn “parhad”. Os yw cyfesurynnau'r toriad a roddwyd ym mharth y mapiad, mae'n cynhyrchu dau gyfesuryn newydd ar y toriad ac yn eu pasio i'r parhad return; fel arall, mae'r weithdrefn mapiad yn galw'r weithdrefn parhad fail heb argiau.²⁷

Gellir archwilio taflwybrau mapiad â rhyngwyneb rhyngweithiol. Mae'r weithdrefn explore-map yn caniatáu inni ddefnyddio dyfais bwyntio i ddewis amodau cychwynnol ar gyfer taflwybrau. Er enghraifft, cynhyrchwyd yr arwyneb toriad yn ffigur 3.12 drwy blotio nifer o daflwybrau, gan ddefnyddio pwyntydd i ddewis amodau cychwynnol, â'r rhaglen ganlynol:

(define win (frame :-pi :pi -20 20))
(let ((m 1.0)   ;m=1kg
      (l 1.0)   ;l=1m
      (g 9.8)   ;g=9.8m/s^2
      (A 0.05)) ;A=1/20m
  (let ((omega0 (sqrt (/ g l))))
    (let ((omega (* 4.2 omega0)))
      (explore-map
        win
        (driven-pendulum-map m l g A omega)
        1000)))) ;1000 points for each initial condition

Ymarfer 3.10: Hwyl gyda phortreadau gwedd

Dewiswch system ddeinamig ag un radd rhyddid yr ydych yn chwilfrydig amdani ac y gellir ei gyrru â gyriant cyfnodol. Lluniwch fapiad o'r math a wnaethom ar gyfer y pendil a yrrir, ac ewch ati i archwilio. A oes rhanbarthau anhrefnus? A yw'r holl ranbarthau anhrefnus wedi'u cysylltu â'i gilydd?

3.6.3 Systemau ymreolaethol

Dangoswyd sut i ddefnyddio toriadau Poincaré i weld nodweddion ansoddol y gofod gwedd ar gyfer system ag un radd rhyddid a gyriant cyfnodol, ond mae'r syniad yn fwy cyffredinol. Yma dangoswn sut y defnyddiodd Hénon a Heiles [22] yr arwyneb toriad i egluro priodweddau system ymreolaethol.

Cefndir Hénon–Heiles

Yn gynnar yn y 1960au, roedd seryddwyr wedi cyrraedd pen eu tennyn. Roedd mesuriadau gofalus o fudiant sêr cyfagos yn yr alaeth wedi caniatáu pennu cyfartaleddau ystadegol penodol o'r mudiadau a arsylwyd, ac nid oedd y cyfartaleddau o gwbl fel y disgwylid. Yn benodol, cyfrifwyd y gwasgariad cyflymder: gwreiddyn sgwâr y gwyriad sgwâr cymedrig yn y cyflymder oddi wrth y cyfartaledd. Defnyddiwn gromfachau onglog i ddynodi cyfartaledd dros sêr cyfagos: < w > yw gwerth cyfartalog rhyw faint w ar gyfer y sêr yn yr ensemble. Y cyflymder cyfartalog yw $<\dot{\overrightarrow{x}}>$. Cydrannau'r gwasgariad cyflymder yw

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_x=<{(\dot{x}-<\dot{x}>)}^2{>}^{1/2}\hfill & (3.123)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_y=<{(\dot{y}-<\dot{y}>)}^2{>}^{1/2}\hfill & (3.124)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_z=<{(\dot{z}-<\dot{z}>)}^2{>}^{1/2}.\hfill & (3.125)\hfill \end{array}$$

Os defnyddiwn gyfesurynnau pegynol silindrog (r, θ, z) ac alinio'r echelinau â'r alaeth fel bod z yn berpendicwlar i'r plân galaethol a bod r yn cynyddu gyda'r pellter o ganol yr alaeth, yna dyma ddwy gydran benodol o'r gwasgariad cyflymder:

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_z=<{(\dot{z}-<\dot{z}>)}^2{>}^{1/2}\hfill & (3.126)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_r=<{(\dot{r}-<\dot{r}>)}^2{>}^{1/2}.\hfill & (3.127)\hfill \end{array}$$

Disgwylid ar y pryd y dylai'r ddwy gydran hyn o'r gwasgariad cyflymder fod yn hafal. Mewn gwirionedd, canfuwyd eu bod yn gwahaniaethu tua ffactor o 2: σ_r ≈ 2σ_z. Beth oedd y broblem? Roedd cryn drafodaeth yn y llenyddiaeth ar y pryd ynghylch beth allai fod o'i le. Ai rhyw effaith dethol yn yr arsylwadau oedd y broblem? A fesurwyd y cyflymderau'n anghywir? Ai nad oedd y tybiaethau a ddefnyddiwyd i ddeillio'r gymhareb ddisgwyliedig wedi'u bodloni'n ddigonol? Er enghraifft, roedd y deilliad yn tybio bod yr alaeth yn fras yn echelin-gymesur. Efallai mai cydrannau nad oeddent yn echelin-gymesur ym mhotensial yr alaeth oedd ar fai. Daeth yn amlwg fod y broblem yn llawer dyfnach. Roedd y ddealltwriaeth o fudiant yn anghywir.

Gadewch inni adolygu deilliad y berthynas ddisgwyliedig rhwng cydrannau'r gwasgariad cyflymder. Dymunwn roi disgrifiad ystadegol o ddosraniad y sêr yn yr alaeth. Cyflwynwn y ffwythiant dosraniad yn y gofod gwedd $f\left(\overrightarrow{x},\overrightarrow{p}\right)$, sy'n rhoi dwysedd y tebygolrwydd o ganfod seren yn y safle $\overrightarrow{x}$ â momentwm $\overrightarrow{p}$.²⁸ Mae integru'r dwysedd hwn dros ryw gyfaint meidraidd o'r gofod gwedd yn rhoi'r tebygolrwydd o ganfod seren yn y cyfaint hwnnw o'r gofod gwedd (yn y rhanbarth hwnnw o'r gofod o fewn rhanbarth penodol o fomenta). Tybiwn fod dwysedd y tebygolrwydd wedi'i normaleiddio fel bod yr integryn dros y gofod gwedd cyfan yn rhoi tebygolrwydd o un; mae'r seren yn rhywle ac mae ganddi ryw fomentwm yn sicr. Yn nhermau f, cyfartaledd ystadegol unrhyw faint deinamig w dros ryw gyfaint V o'r gofod gwedd yw, yn syml,

$$\begin{array}{ll}<w{>}_V={\displaystyle {\int }_{V}fw}\hfill & (3.128)\hfill \end{array}$$

lle mae'r integryn yn ymestyn dros gyfaint V y gofod gwedd. Wrth gyfrifo'r gwasgariad cyflymder mewn rhyw bwynt $\overrightarrow{x}$, byddem yn cyfrifo'r cyfartaleddau drwy integru dros yr holl fomenta.

Mae sêr unigol yn symud ym mhotensial disgyrchiant gweddill yr alaeth. Nid yw'n afresymol tybio nad yw dosraniad cyffredinol y sêr yn yr alaeth yn newid llawer gydag amser, neu ei fod yn newid yn araf iawn yn unig. Mewn gwirionedd, mae dwysedd y sêr yn yr alaeth yn fach iawn, ac anaml iawn y daw sêr yn agos at ei gilydd. Felly gallwn fodelu potensial disgyrchiant yr alaeth fel potensial allanol sefydlog y mae sêr unigol yn symud ynddo. Mae'r alaeth yn fras yn echelin-gymesur. Tybiwn nad yw'r gwyriad oddi wrth gymesuredd echelinol union yn effaith arwyddocaol, ac felly cymerwn fod potensial y model yn union echelin-gymesur.

Ystyriwch fudiant màs pwynt (seren) mewn potensial echelin-gymesur (potensial yr alaeth). Mewn cyfesurynnau pegynol silindrog, ffwythiant Hamilton yw

$$\begin{array}{ll}T+V=\frac{1}{2m}\left[p_r^2+\frac{p_{\theta }^2}{r^2}+p_z^2\right]+V(r,z),\hfill & (3.129)\hfill \end{array}$$

lle nad yw V yn dibynnu ar θ. Gan nad yw θ yn ymddangos, gwyddom fod y momentwm cyfiau p_θ yn gyson. Ar gyfer mudiant unrhyw seren benodol, gallwn drin p_θ fel paramedr. Felly mae gan y ffwythiant Hamilton effeithiol ddwy radd rhyddid:

$$\begin{array}{ll}\frac{1}{2m}\left[p_r^2+p_z^2\right]+U(r,z)\hfill & (3.130)\hfill \end{array}$$

lle mae

$$\begin{array}{ll}U(r,z)=V(r,z)+\frac{p_{\theta }^2}{2m{r}^2}.\hfill & (3.131)\hfill \end{array}$$

Mae gwerth E ffwythiant Hamilton yn gyson gan nad oes dibyniaeth eglur ar amser yn ffwythiant Hamilton. Felly mae gennym gysonion y mudiant E a p_θ.

Mae “theorem” Jeans yn haeru bod y ffwythiant dosraniad f yn dibynnu ar werthoedd y meintiau cadwedig yn unig, a elwir hefyd yn integrynnau mudiant. Hynny yw, gallwn gyflwyno ffwythiant dosraniad gwahanol f′ sy'n cynrychioli'r un dosraniad ffisegol:

$$\begin{array}{ll}f\prime (E,p_{\theta })=f(\overrightarrow{x},\overrightarrow{p}).\hfill & (3.132)\end{array}$$

Ar y pryd, roedd rheswm da dros gredu y gallai hyn fod yn gywir. Yn gyntaf, mae'n amlwg bod y ffwythiant dosraniad yn sicr yn dibynnu o leiaf ar E a p_θ. Y broblem yw, “O gael egni E a momentwm onglaidd p_θ, pa fudiant a ganiateir?” Mae'r meintiau cadwedig yn amlwg yn cyfyngu'r esblygiad. A yw'r esblygiad yn cludo'r system i bobman yn y gofod gwedd, yn ddarostyngedig i'r cyfyngiadau hysbys hyn? Yn gynnar yn yr 20fed ganrif, ymddangosai hyn yn gredadwy. Roedd mecaneg ystadegol yn llwyddiannus, a dyma'r union dybiaeth yr oedd mecaneg ystadegol yn ei gwneud. Efallai fod meintiau cadwedig eraill y mudiant yn bodoli, ond nad ydym eto wedi'u darganfod?

Profodd Poincaré theorem bwysig ynghylch meintiau cadwedig. Profodd Poincaré nad yw'r rhan fwyaf o feintiau cadwedig system ddeinamig fel arfer yn parhau pan ychwanegir amhariad at y system. Hynny yw, os ychwanegir amhariad bach at broblem, yna nid oes gan y rhan fwyaf o feintiau cadwedig y broblem wreiddiol gyfatebiaethau yn y broblem â'r amhariad. Dinistrir y meintiau cadwedig. Fodd bynnag, mae meintiau cadwedig sy'n deillio o gymesureddau'r broblem yn parhau i gael eu cadw os oes gan y system â'r amhariad yr un cymesureddau. Felly mae momentwm onglaidd yn parhau i gael ei gadw ar ôl cymhwyso unrhyw amhariad echelin-gymesur. Mae theorem Poincaré yn gywir, ond nid oedd yr hyn a ddilynodd yn gywir.

Fel canlyneb i theorem Poincaré, ym 1920 cyhoeddodd Fermi brawf o theorem a ddywedai fod mudiant problemau ag amhariadau fel arfer yn ergodig²⁹, yn ddarostyngedig i'r cyfyngiadau a osodir gan y meintiau cadwedig sy'n deillio o gymesureddau. Yn fras, mae hyn yn golygu bod taflwybrau'n mynd i bobman y mae'r cyfyngiadau cadwraeth yn caniatáu iddynt fynd. Dangoswyd yn ddiweddarach fod theorem Fermi yn anghywir, ond ar sail y theorem hon gallem ddisgwyl y byddai systemau fel arfer yn archwilio'r gofod gwedd yn llwyr, yn ddarostyngedig yn unig i'r cyfyngiadau a osodir gan y meintiau cadwedig sy'n deillio o gymesureddau. Tybiwch felly fod esblygiad sêr ym mhotensial yr alaeth yn ddarostyngedig yn unig i'r cyfyngiadau o gadw E a p_θ. Fe welwn nad yw hyn yn wir, ond pe bai'n wir, gallem wedyn gasglu mai dim ond ar E a p_θ y gall ffwythiant dosraniad sêr yn yr alaeth ddibynnu hefyd.

O gael y ffurf hon ar y ffwythiant dosraniad, gallwn ddiddwytho cymarebau'r gwasgariadau cyflymder a nodwyd. Sylwn fod p_z a p_r yn ymddangos yn yr un modd yn yr egni. Felly rhaid i gyfartaledd unrhyw ffwythiant o p_z, wedi'i gyfrifo â'r ffwythiant dosraniad, fod yn hafal i gyfartaledd yr un ffwythiant o p_r. Yn benodol, rhaid i'r gwasgariadau cyflymder yn y cyfeiriadau z ac r fod yn hafal:

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_z={\sigma }_r.\hfill & (3.133)\hfill \end{array}$$

Ond nid hyn a arsylwyd, sef

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_r\approx 2{\sigma }_z.\hfill & (3.134)\hfill \end{array}$$

Aeth Hénon a Heiles [22] ati i ymdrin â'r broblem hon mewn modd gwahanol i eraill ar y pryd. Yn hytrach na gwella'r modelau ar gyfer mudiant sêr yn yr alaeth, canolbwyntiasant ar yr hyn a ddaeth yn amlwg oedd y cwestiwn canolog: Beth yw natur ansoddol mudiant? Nid oedd gan y broblem unrhyw gysylltiad penodol â dynameg galaethol, ond â phroblem mudiant. Haniaethasant y broblem ddeinamig oddi wrth fanylion penodol dynameg galaethol.

System Hénon a Heiles

Rydym wedi gweld bod astudio mudiant pwynt â màs m ac egni potensial echelin-gymesur yn lleihau i astudio problem lai â dwy radd rhyddid yn r a z, ag egni potensial U(r, z). Dewisodd Hénon a Heiles astudio'r mudiant mewn system â dwy radd rhyddid ac egni potensial arbennig o syml, fel y byddai'r ddynameg yn glir a'r cyfrifiad yn syml ei ffurf. Dyma ffwythiant Hamilton Hénon–Heiles:

$$\begin{array}{ll}H(t;x,y;p_x,p_y)=\frac{1}{2}(p_x^2+p_y^2)+V(x,y)\hfill & (3.135)\hfill \end{array}$$

gydag egni potensial

$$\begin{array}{ll}V(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)+x^{2}y-\frac{1}{3}{y}^3.\hfill & (3.136)\hfill \end{array}$$

Mae gan yr egni potensial siâp powlen afluniaidd. Mae ganddo gymesuredd trionglog, fel sy'n amlwg pan gaiff ei ailysgrifennu mewn cyfesurynnau pegynol:

$$\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{r}^2+\frac{1}{3}{r}^3\sin 3\theta .\hfill & (3.137)\hfill \end{array}$$

Dangosir cyfuchliniau'r egni potensial yn ffigur 3.15. Ar werthoedd bach o'r egni potensial, mae'r cyfuchliniau bron yn gylchol; wrth i werth yr egni potensial nesáu at 1/6, mae'r cyfuchliniau'n troi'n drionglog, ac ar egni potensial uwch mae'r cyfuchliniau'n agor i anfeidredd.

Mae ffwythiant Hamilton yn annibynnol ar amser, felly cedwir egni. Yn yr achos hwn, dyma'r unig faint cadwedig hysbys. Yn gyntaf, pennwn y cyfyngiadau y mae cadwraeth egni yn eu gosod ar yr esblygiad. Mae gennym

$$\begin{array}{ll}E=\frac{1}{2}(p_x^2+p_y^2)+V(x,y)\ge V(x,y),\hfill & (3.138)\hfill \end{array}$$

felly cyfyngir y mudiant i'r rhanbarth y tu mewn i'r gyfuchlin V = E, oherwydd ni all swm sgwariau'r momenta fod yn negatif.

Gadewch inni gyfrifo rhai taflwybrau enghreifftiol. Er mwyn bod yn benodol, ymchwiliwn i daflwybrau ag egni E = 1/8. Mae amrywiaeth fawr o daflwybrau. Mae taflwybrau sy'n cylchdroi mewn ffordd reolaidd o amgylch y bowlen, ac mae taflwybrau sy'n osgiliadu yn ôl ac ymlaen (ffigur 3.16). Mae taflwybrau hefyd sy'n ymddangos yn fwy afreolaidd (ffigur 3.17). Nid oes diwedd ar y taflwybrau y gellid eu cyfrifo, ond rhaid wynebu'r gwir: siawns fod mwy i fywyd nag edrych ar daflwybrau.

Y broblem a wynebai Hénon a Heiles oedd cwestiwn meintiau cadwedig. A oes meintiau cadwedig eraill heblaw'r rhai amlwg? Ymchwiliasant i'r cwestiwn hwn â thechneg yr arwyneb toriad. Cynhyrchir yr arwyneb toriad drwy edrych ar hynt taflwybrau drwy blân yn y gofod gwedd dro ar ôl tro.

Yn benodol, cynhyrchir yr arwyneb toriad drwy gofnodi a phlotio p_y yn erbyn y bob tro y mae x = 0, fel y dangosir yn ffigur 3.18. O gael gwerth yr egni E a phwynt (y, p_y) ar y toriad x = 0, gallwn adfer p_x, hyd at arwydd. Os cyfyngwn ein sylw i groestoriadau â phlân y toriad sy'n croesi â p_x positif, dyweder, yna mae perthynas un-i-un rhwng pwyntiau'r toriad a thaflwybrau. Felly mae pwynt ar y toriad yn cyfateb i daflwybr unigryw.

Sut mae hyn yn mynd i'r afael â chwestiwn nifer y meintiau cadwedig? A priori, ymddengys fod dau bosibilrwydd: naill ai mae meintiau cadwedig cudd neu nid oes. Tybiwch nad oes maint cadwedig arall heblaw'r egni. Yna y disgwyl oedd y byddai croestoriadau olynol y taflwybr â phlân y toriad, yn y pen draw, yn archwilio'r holl ran o blân y toriad sy'n gyson â chadwraeth egni. Ar y llaw arall, os oes maint cadwedig cudd, byddai'r croestoriadau olynol wedi'u cyfyngu i ddisgyn ar gromlin.

Dehongliad

Ar y toriad, yr egni yw

$$\begin{array}{ll}E=H(t;0,y;p_x,p_y)=\frac{1}{2}(p_x^2+p_y^2)+V(0,y).\hfill & (3.139)\hfill \end{array}$$

Gan fod $p_x^2$ yn bositif, cyfyngir y taflwybr i ranbarthau o'r toriad fel bod

$$\begin{array}{ll}E\ge \frac{1}{2}{p}_y^2+V(x=0,y).\hfill & (3.140)\hfill \end{array}$$

Felly, os nad oes maint cadwedig arall, gallem ddisgwyl i'r pwyntiau ar y toriad, yn y pen draw, lenwi'r arwynebedd a amgaeir gan y gromlin ffin hon.

Ar y llaw arall, tybiwch fod maint cadwedig ychwanegol cudd I(x, y; p_x, p_y) = 0. Yna byddai'r maint cadwedig hwn yn darparu cyfyngiadau pellach ar y taflwybrau a'u croestoriadau â phlân y toriad. Mae maint cadwedig ychwanegol I yn darparu cyfyngiad rhwng pedwar newidyn y gofod gwedd x, y, p_x a p_y. Gallwn ddefnyddio E i ddatrys ar gyfer p_x, felly, ar gyfer E penodol, mae I yn rhoi perthynas rhwng x, y a p_y. Gan ddefnyddio'r ffaith bod x = 0 ar y toriad, mae I yn rhoi perthynas rhwng y a p_y ar y toriad ar gyfer E penodol. Felly disgwyliwn, os oes maint cadwedig arall, y bydd croestoriadau olynol taflwybr â phlân y toriad yn disgyn ar gromlin.

Os nad oes maint cadwedig ychwanegol, disgwyliwn i bwyntiau'r toriad lenwi arwynebedd; os oes maint cadwedig ychwanegol, disgwyliwn i bwyntiau'r toriad fod wedi'u cyfyngu i gromlin. Beth sy'n digwydd mewn gwirionedd? Mae ffigur 3.19 yn dangos arwyneb toriad ar gyfer E = 1/12; dangosir pwyntiau'r toriad ar gyfer sawl taflwybr cynrychioliadol. Ar y cyfan, ymddengys fod y pwyntiau wedi'u cyfyngu i gromliniau, felly ymddengys fod tystiolaeth o faint cadwedig ychwanegol. Ond edrychwch yn fanwl. Lle mae'r “cromliniau” yn croesi, mae'r llinellau ychydig yn niwlog. Hmmm.

Gadewch inni roi cynnig ar egni ychydig yn fwy, E = 1/8. Mae golwg y toriad yn newid yn ansoddol (ffigur 3.20). Ar gyfer rhai taflwybrau, ymddengys o hyd fod cyfyngiadau ychwanegol ar y mudiant. Ond ymddengys fod taflwybrau eraill yn llenwi arwynebedd o blân y toriad, fwy neu lai fel y disgwyliasom i daflwybrau wneud pe na bai maint cadwedig ychwanegol. Yn benodol, cynhyrchwyd yr holl bwyntiau gwasgaredig ar y toriad hwn gan un taflwybr. Felly mae rhai taflwybrau'n ymddwyn fel pe bai maint cadwedig ychwanegol, ac nid yw eraill. Waw!

Gadewch inni fynd ymlaen at egni uwch, E = 1/6, yn union ar yr egni dianc. Dangosir toriad ar gyfer yr egni hwn yn ffigur 3.21. Nawr mae un taflwybr yn archwilio'r rhan fwyaf o'r rhanbarth o blân y toriad a ganiateir gan gadwraeth egni, ond nid y rhanbarth cyfan. Mae taflwybrau o hyd yr ymddengys eu bod yn ddarostyngedig i gyfyngiadau ychwanegol.

Ymddengys fod pob posibilrwydd gennym. Ar egni isel, mae'r system ar y cyfan yn ymddwyn fel pe bai maint cadwedig ychwanegol, ond nid yn gyfan gwbl. Ar egni canolraddol, mae'r gofod gwedd wedi'i rannu: mae rhai taflwybrau'n archwilio arwynebeddau tra bo eraill wedi'u cyfyngu. Ar egni uchel, mae taflwybrau'n archwilio'r rhan fwyaf o'r arwyneb egni; ychydig o daflwybrau sy'n dangos cyfyngiadau ychwanegol. Rydym newydd weld ein trosiad cyntaf i anhrefn.

Mae'r arwyneb toriad hwn yn datgelu dau fath ansoddol wahanol o fudiant, yn union fel y gwelsom yn nhoriadau Poincaré ar gyfer y pendil a yrrir. Mae taflwybrau yr ymddengys eu bod wedi'u cyfyngu fel pe bai maint cadwedig ychwanegol. Ac mae taflwybrau sy'n archwilio arwynebedd ar y toriad fel pe na bai meintiau cadwedig ychwanegol. Ymddengys fod maint cadwedig ychwanegol yn cyfyngu taflwybrau rheolaidd i set un-dimensiwn ar y toriad; ni chyfyngir taflwybrau anhrefnus fel hyn, ac maent yn archwilio arwynebedd.³⁰

Mae'r arwyneb toriad nid yn unig yn datgelu bodolaeth mathau ansoddol wahanol o fudiant, ond hefyd yn rhoi trosolwg o'r gwahanol fathau o daflwybrau. Cymerwch yr arwyneb toriad ar gyfer E = 1/8 (ffigur 3.20). Mae pedair prif ynys, wedi'u hamgylchynu gan fôr anhrefnus. Mae'r taflwybrau penodol a ddangoswyd uchod yn darparu enghreifftiau o wahanol rannau'r toriad. Mae'r taflwybr sy'n dolennu o amgylch y bowlen (ffigur 3.16) yn perthyn i'r ynys fawr ar ochr chwith y toriad. Mae taflwybrau tebyg sy'n dolennu o amgylch y bowlen i'r cyfeiriad arall yn perthyn i'r ynys fawr ar ochr dde'r toriad. Mae'r taflwybrau sy'n osgiliadu yn ôl ac ymlaen ar draws y bowlen yn perthyn i'r ddwy ynys uwchlaw ac islaw canol y toriad. (Yn ôl cymesuredd, dylai fod tair ynys o'r fath. Mae'r drydedd ynys wedi'i lapio'n dynn yn erbyn ffin y toriad.) Mae cadwyn o ynysoedd eilaidd yn amgylchynu pob un o'r prif ynysoedd. Fe welwn fod mathau'r orbitau'n ddihysbydd, os edrychwn yn ddigon manwl. Mae'r taflwybr anhrefnus (ffigur 3.17) yn byw yn y môr anhrefnus. Felly mae'r toriad yn rhoi crynodeb o'r mathau o fudiant sy'n bosibl a'r berthynas rhyngddynt. Mae'n llawer mwy defnyddiol na phlotiau o filiynau ar filiynau o daflwybrau.

Mae'r toriad ar gyfer egni penodol yn crynhoi'r ddynameg ar yr egni hwnnw. Mae dilyniant o doriadau ar gyfer egni amrywiol yn dangos sut mae'r prif nodweddion yn newid gyda'r egni. Rydym eisoes wedi sylwi bod orbitau rheolaidd yn dominyddu'r toriad ar egni isel; ar egni canolraddol, mae'r toriad wedi'i rannu fwy neu lai'n gyfartal yn rhanbarthau rheolaidd ac anhrefnus; ac ar egni uchel, mae un parth anhrefnus yn dominyddu'r toriad. Fe welwn fod trosiadau o'r fath o ymddygiad rheolaidd i ymddygiad anhrefnus yn eithaf cyffredin; mae ffenomenau tebyg yn digwydd mewn systemau tra gwahanol, er bod y manylion yn dibynnu ar y system dan sylw.

3.6.4 Cyfrifo arwynebau toriad Hénon–Heiles

Mae'r gweithdrefnau canlynol yn gweithredu mapiad Poincaré ar gyfer system Hénon–Heiles:

(define (HHmap E dt sec-eps int-eps)
  (define ((make-advance advancer eps) s dt)
    (advancer s dt eps))
  (let ((adv
          (make-advance (state-advancer HHsysder) int-eps)))
    (lambda (y py cont fail)
      (let ((initial-state (section->state E y py)))
        (if (not initial-state)
          (fail)
          (find-next-crossing initial-state adv dt sec-eps
                              (lambda (crossing-state running-state)
                                (cont (ref (coordinate crossing-state)
                                           1)
                                      (ref (momentum crossing-state)
                                           1)))))))))

Yn ogystal â darparu egni E y toriad, rhaid inni hefyd ddarparu cam amser i'r integrwr ei gyrraedd, goddefiant i bwynt fod ar y toriad sec-eps, a manyleb gwall trychiad lleol ar gyfer yr integrwr int-eps.

Ar gyfer pob pwynt cychwynnol (y, p_y) ar yr arwyneb toriad, mae'r mapiad yn gyntaf yn canfod y cyflwr cychwynnol sydd â'r egni penodedig, os oes un yn bodoli. Mae'r weithdrefn section->state yn cyflawni'r dasg hon:

(define (section->state E y py)
  (let ((d (- E (+ (HHpotential (up 0 (up 0 y)))
                   (* 1/2 (square py))))))
    (if (>= d 0.0)
      (let ((px (sqrt (* 2 d))))
        (up 0 (up 0 y) (down px py)))
      #f)))

Mae'r weithdrefn section->state yn dychwelyd #f (anwir) os nad oes cyflwr sy'n gyson â'r egni penodedig.

Dyma'r weithdrefn ar gyfer ffwythiant Hamilton problem Hénon–Heiles:

(define (HHHam s)
  (+ (* 1/2 (square (momentum s)))
     (HHpotential s)))

gyda'r egni potensial

(define (HHpotential s)
  (let ((x (ref (coordinate s) 0))
        (y (ref (coordinate s) 1)))
    (+ (* 1/2 (+ (square x) (square y)))
       (- (* (square x) y) (* 1/3 (cube y))))))

Cyfrifir deilliad y system yn uniongyrchol o ffwythiant Hamilton.

(define (HHsysder)
  (Hamiltonian->state-derivative HHHam))

Mae'r weithdrefn find-next-crossing yn symud y cyflwr cychwynnol ymlaen nes bod cyflyrau olynol ar ochrau cyferbyn plân y toriad.

(define (find-next-crossing state advance dt sec-eps cont)
  (let lp ((s state))
    (let ((next-state (advance s dt)))
      (if (and (> (ref (coordinate next-state) 0) 0)
               (< (ref (coordinate s) 0) 0))
        (let ((crossing-state
                (refine-crossing sec-eps advance s)))
          (cont crossing-state next-state))
        (lp next-state)))))

Ar ôl canfod cyflyrau sydd bob ochr i blân y toriad, caiff y croesiad ei fireinio drwy ddull Newton, fel y'i gweithredir gan y weithdrefn refine-crossing. Mae'r weithdrefn find-next-crossing yn dychwelyd y pwynt croesi a'r cyflwr nesaf a gynhyrchir gan yr integrwr. Ni ddefnyddir y cyflwr nesaf yn y broblem hon, ond mae ei angen mewn achosion eraill.

(define (refine-crossing sec-eps advance state)
  (let lp ((state state))
    (let ((x (ref (coordinate state) 0))
          (xd (ref (momentum state) 0)))
      (let ((zstate (advance state (- (/ x xd)))))
        (if (< (abs (ref (coordinate zstate) 0))
               sec-eps)
          zstate
          (lp zstate))))))

I archwilio mapiad Hénon–Heiles, defnyddiwn explore-map fel o'r blaen. Cynhyrchodd yr archwiliad canlynol ffigur 3.20:

(define win (frame -0.5 0.7 -0.6 0.6))
(explore-map win (HHmap 0.125 0.1 1.0e-10 1.0e-12) 500)

3.6.5 Chwrligwgan nad yw'n echelin-gymesur

Rydym wedi gweld y gellir, yn ei hanfod, ddatrys mudiant chwrligwgan echelin-gymesur. Mae plot o gyfradd newid yr ongl ogwydd yn erbyn yr ongl ogwydd yn gromlin gaeedig syml. Gellir cael esblygiad yr onglau eraill sy'n disgrifio'r ffurfwedd drwy gwadratur, ar ôl datrys y mudiant gogwyddo. Nawr gadewch inni ystyried chwrligwgan nad yw'n echelin-gymesur. Chwrligwgan â thri moment inertia anghyfartal yw chwrligwgan nad yw'n echelin-gymesur. Nid yw'r colyn yn y craidd màs, felly mae disgyrchiant unffurf yn rhoi trorym. Tybiwn fod y llinell rhwng y colyn a'r craidd màs yn un o'r prif echelinau, a chymerwn mai ĉ ydyw. Nid oes trorymau o amgylch yr echelin fertigol, felly cedwir cydran fertigol y momentwm onglaidd. Os ysgrifennwn ffwythiant Hamilton yn nhermau onglau Euler, nid yw'r ongl φ, sy'n cyfateb i gylchdro o amgylch y fertigol, yn ymddangos. Felly cedwir y momentwm sy'n gyfiau i'r ongl hon. Y graddau rhyddid annistadl yw θ a ψ, ynghyd â'u momenta cyfiau.

Gallwn lunio arwyneb toriad (gweler ffigur 3.22) ar gyfer y broblem hon drwy ddangos p_θ yn erbyn θ pan fo ψ = 0. Yn gyffredinol, mae dau werth posibl i p_ψ ar gyfer gwerthoedd penodol o egni a p_φ. Plotiwn bwyntiau dim ond os yw gwerth p_ψ yn y croesiad y mwyaf o'r ddau bosibilrwydd. Mae hyn yn gwneud i bwyntiau'r toriad gyfateb yn unigryw i daflwybr.

Yn y toriad hwn, mae ynys led-gyfnodol fawr o amgylch pwynt sefydlog sy'n cyfateb i bwynt cydbwysedd gogwyddedig y chwrligwgan echelin-gymesur effro (gweler ffigur 3.7 yn adran 3.4). O amgylch hwn mae parth anhrefnus mawr sy'n ymestyn o θ = 0 i onglau ger π. Os gosodir y chwrligwgan hwn i ddechrau ger y fertigol, mae'n dangos mudiant anhrefnus sy'n ei gludo at onglau gogwydd mawr. Os cychwynnir y chwrligwgan o fewn yr ynys led-gyfnodol, mae'r gogwydd yn sefydlog.

3.7 Dargyfeirio esbonyddol

Darganfu Hénon a Heiles fod y taflwybrau anhrefnus yn hynod sensitif i newidiadau bach yn yr amodau cychwynnol—mae taflwybrau anhrefnus sydd yn agos i'w gilydd ar y dechrau yn ymwahanu'n fras yn esbonyddol gydag amser. Ar y llaw arall, nid yw taflwybrau rheolaidd yn dangos y sensitifrwydd hwn—mae taflwybrau rheolaidd sydd yn agos i'w gilydd ar y dechrau yn ymwahanu'n fras yn llinol gydag amser.

Ystyriwch esblygiad dau daflwybr sy'n agos i'w gilydd ar y dechrau ar gyfer problem Hénon–Heiles, ag egni E = 1/8. Boed d(t) yn bellter Ewclidaidd arferol yn y gofod x, y, p_x, p_y rhwng y ddau daflwybr ar amser t. Mae ffigur 3.23 yn dangos logarithm cyffredin d(t)/d(0) fel ffwythiant o amser t. Gwelwn fod disgrifio'r dargyfeirio fel un esbonyddol yn ddisgrifiad da.

Ar y llaw arall, mae'r pellter rhwng dau daflwybr rheolaidd sy'n agos i'w gilydd ar y dechrau yn tyfu'n llawer arafach. Mae ffigur 3.24 yn dangos y pellter rhwng dau daflwybr rheolaidd fel ffwythiant o amser. Mae'r pellter yn tyfu'n llinol gydag amser.

Mae'n rhyfeddol bod gan systemau Hamilton fathau mor wahanol o daflwybrau. Ar yr arwyneb toriad, mae'r taflwybrau anhrefnus a rheolaidd yn wahanol o ran dimensiwn y gofod y maent yn ei archwilio. Mae'n ddiddorol bod y gwahaniaeth dimensiynol hwn yn cyd-fynd â gwahaniaeth mawr yn y modd y mae taflwybrau anhrefnus a rheolaidd yn ymwahanu. Ar gyfer systemau â mwy o ddimensiynau, nid yw techneg yr arwyneb toriad mor ddefnyddiol, ond gellir o hyd wahaniaethu taflwybrau yn ôl sut mae taflwybrau cyfagos yn dargyfeirio: mae rhai yn dargyfeirio'n esbonyddol tra bo eraill yn dargyfeirio bron yn llinol. Dargyfeirio esbonyddol yw nodwedd nodedig ymddygiad anhrefnus.

Meintolir cyfradd y dargyfeirio esbonyddol gan raddiant graff log(d(t)/d(0)). Gallwn amcangyfrif cyfradd dargyfeirio esbonyddol taflwybrau oddi wrth daflwybr penodol σ yn y gofod gwedd drwy ddewis taflwybr cyfagos σ′ a chyfrifo

$$\begin{array}{ll}\gamma (t)=\frac{\log (d(t)/d(t_0))}{t-t_0},\hfill & (3.141)\hfill \end{array}$$

lle mae d(t) = ‖σ′ (t)−σ(t)‖. Dangosir problem gyda'r dull “dau daflwybr” hwn yn ffigur 3.23. Ar gyfer taflwybrau cryf anhrefnus, buan y bydd dau daflwybr sy'n agos i'w gilydd ar y dechrau mor bell oddi wrth ei gilydd ag y gallant fod. Ar ôl i hyn ddigwydd, nid yw'r pellter yn tyfu mwyach. Mae'r dirlenwi hwn yn cyfyngu ar yr amcangyfrif o gyfradd dargyfeirio'r taflwybrau.

Gallwn wella ar y dull hwn drwy astudio system amrywiadol o hafaliadau. Boed

$$\begin{array}{cc}Dz(t)=F(t,z(t))& (3.142)\end{array}$$

yn system o hafaliadau sy'n rheoli esblygiad y system. Mae taflwybr cyfagos z′ yn bodloni

$$\begin{array}{cc}Dz\prime (t)=F(t,z\prime (t)).& (3.143)\end{array}$$

Mae'r gwahaniaeth ζ = z′ − z rhwng y taflwybrau hyn yn bodloni

$$\begin{array}{lll}\hfill D\zeta (t)& =F(t,z\prime (t))-F(t,z(t))\hfill & \hfill \\ \hfill & =F(t,z(t)+\zeta (t))-F(t,z(t)).\hfill & (3.144)\hfill \end{array}$$

Os yw ζ yn fach, gallwn frasamcanu'r ochr dde â deilliad

$$\begin{array}{cc}D\zeta (t)={\partial }_{1}F(t,z(t))\zeta (t).& (3.145)\end{array}$$

Gelwir y set hon o hafaliadau differol cyffredin yn hafaliadau amrywiadol y system. Mae'n llinol yn ζ ac wedi'i gyrru gan z.

Boed d(t) = ‖ζ(t)‖; yna gellir amcangyfrif y gyfradd dargyfeirio fel o'r blaen. Mantais y “dull amrywiadol” hwn yw y gall ζ(t) fynd yn fympwyol fawr, a bod ei dwf o hyd yn mesur dargyfeiriad taflwybrau cyfagos. Gallwn weld yn ffigur 3.23 fod y dull amrywiadol yn rhoi bron yr un canlyniad â'r dull dau daflwybr hyd at y pwynt lle mae'r dull dau daflwybr yn dirlenwi.³¹

Diffinnir esbonydd Lyapunov yn derfyn amser anfeidraidd γ(t), a ddiffinnir gan hafaliad (3.141), lle cyfrifir y pellter d drwy'r dull amrywiadol. Mewn gwirionedd, ceir llawer o esbonyddion Lyapunov ar gyfer pob taflwybr, yn dibynnu ar gyfeiriad cychwynnol yr amrywiad ζ. Ar gyfer system N-dimensiwn, ceir N esbonydd Lyapunov. Os dewisir ζ(t₀) ar hap, mae gan dwf dilynol ζ(t) gydrannau sy'n tyfu yn ôl pob un o esbonyddion Lyapunov. Yn gyffredinol, fodd bynnag, yr esbonydd mwyaf fydd yn tra-arglwyddiaethu ar dwf ζ(t). Felly gellir dehongli esbonydd Lyapunov mwyaf fel cyfradd nodweddiadol dargyfeiriad esbonyddol taflwybrau cyfagos. Gellir dehongli swm y ddau esbonydd Lyapunov mwyaf fel cyfradd nodweddiadol twf arwynebedd elfennau dau ddimensiwn. Gellir estyn y dehongliad hwn i elfennau â mwy o ddimensiynau: swm holl esbonyddion Lyapunov yw cyfradd twf elfennau cyfaint.

Mewn systemau Hamilton, rhaid i esbonyddion Lyapunov fodloni'r cyfyngiadau canlynol. Daw esbonyddion Lyapunov mewn parau; ar gyfer pob esbonydd Lyapunov λ, mae ei negatif −λ hefyd yn esbonydd. Ar gyfer pob maint cadwedig, mae un o esbonyddion Lyapunov yn sero, ac felly hefyd ei negatif. Felly gellir defnyddio esbonyddion Lyapunov i wirio a oes meintiau cadwedig yn bodoli. Mae swm esbonyddion Lyapunov system Hamilton yn sero, felly nid yw elfennau cyfaint yn tyfu'n esbonyddol. Fe welwn yn yr adran nesaf fod cyfaint gofod gwedd mewn gwirionedd yn cael ei gadw mewn systemau Hamilton.

3.8 Theorem Liouville

Os yw ensemble o gyflyrau yn llenwi cyfaint penodol o ofod gwedd ar un ennyd, yna gall esblygiad dilynol y cyfaint hwnnw drwy'r llif a ddisgrifir gan hafaliadau Hamilton ystumio'r ensemble, ond nid yw'n newid y cyfaint y mae'r ensemble yn ei lenwi. Gelwir y ffaith bod cyfaint gofod gwedd yn cael ei gadw gan y llif gwedd yn theorem Liouville.

Yn gyntaf byddwn yn dangos cadwraeth cyfaint gofod gwedd drwy enghraifft syml, ac yna'n ei phrofi'n gyffredinol.

Llif gwedd y pendil

Ystyriwch bendil heb yriant a ddisgrifir gan y ffwythiant Hamilton

$$\begin{array}{ll}H(t,\theta ,p_{\theta })=\frac{p_{\theta }^2}{2l^{2}m}+glm\cos \theta .\hfill & (3.146)\hfill \end{array}$$

Yn ffigur 3.25 gwelwn esblygiad ardal eliptig o amgylch pwynt ar echelin θ, yn ardal osgiliadau'r pendil. Dangosir tri safle diweddarach yr ardal. Mae'r llif yn ymestyn ac yn cneifio'r ardal, ond cedwir yr arwynebedd. Ar ôl llawer o gylchoedd, bydd yr ardal gychwynnol wedi'i hymestyn yn haen denau wedi'i dosbarthu yn ongl gwedd y pendil. Mae ffigur 3.26 yn dangos esblygiad tebyg (ar gyfer cyfyngau amser llai) i ardal sy'n pontio'r separatrics³² ger y pwynt cydbwysedd ansefydlog. Mae'r ardal o ofod gwedd yn ymestyn yn gyflym ar hyd y separatrics, gan gadw'r arwynebedd. Bydd yr amodau cychwynnol sy'n dechrau yn ardal yr osgiliadau (y tu mewn i'r separatrics) yn parhau i ymledu'n ardal denau siâp cylch, tra bydd yr amodau cychwynnol sy'n dechrau y tu allan i'r separatrics yn ymledu'n ardal denau o gylchdro y tu allan i'r separatrics.

Prawf theorem Liouville

Ystyriwch set o hafaliadau differol cyffredin o'r ffurf

$$\begin{array}{cc}Dz(t)=F(t,z(t)),& (3.147)\end{array}$$

lle mae z yn dwpled o N newidyn cyflwr. Boed R(t₁) yn ardal o ofod y cyflwr ar amser t₁. Mae pob elfen o'r ardal hon yn amod cychwynnol ar amser t₁ i'r system, ac yn esblygu'n elfen ar amser t₂ yn ôl yr hafaliadau differol. Set yr elfennau hyn ar amser t₂ yw'r ardal R(t₂). Mae ardaloedd yn esblygu'n ardaloedd.

Mae esblygiad y system dros gyfwng amser Δt yn diffinio mapiad g_t,Δt o ofod y cyflwr iddo'i hun:

$$\begin{array}{ll}{g}_{t,\Delta t}(z(t))=z(t+\Delta t).\hfill & (3.148)\hfill \end{array}$$

Mapir ardaloedd i ardaloedd drwy fapio pob elfen yn yr ardal:

$$\begin{array}{ll}{g}_{t,\Delta t}(R(t))=R(t+\Delta t).\hfill & (3.149)\hfill \end{array}$$

Cyfaint V (t) ardal R(t) yw ${\int }_{R(t)}\hat{1}$, lle mae $\hat{1}$ yn ffwythiant sydd â'r gwerth un ar gyfer pob mewnbwn. Cyfaint yr ardal esblygedig R(t + Δt) yw

$$\begin{array}{lll}V(t+\Delta t)\hfill & ={\displaystyle {\int }_{R(t+\Delta t)}\hat{1}}\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle {\int }_{g_{t,\Delta t}(R(t))}\hat{1}}\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle {\int }_{R(t)}\text{Jac}(g_{t,\Delta t})},\hfill & (3.150)\hfill \end{array}$$

lle mae Jac(g_t,Δt) yn Jacobiad y mapiad g_t,Δt. Y Jacobiad yw determinant deilliad y mapiad.

Ar gyfer Δt bach

$$\begin{array}{ll}{g}_{t,\Delta t}(z(t))=z(t)+\Delta tF(t,z(t))+o(\Delta t^2),\hfill & (3.151)\hfill \end{array}$$

ac felly

$$\begin{array}{ll}D{g}_{t,\Delta t}(z(t))=DI(z(t))+\Delta t{\partial }_{1}F(t,z(t))+o(\Delta t^2),\hfill & (3.152)\hfill \end{array}$$

lle mae I yn ffwythiant unfathiant, felly mae DI(z(t)) yn lluosydd uned. Gallwn ddefnyddio'r ffaith, os yw A yn fatrics sgwâr N × N, yna

$$\begin{array}{ll}\det (1+\mathit{ϵ}A)=1+\mathit{ϵ}\text{trace}A+o({\mathit{ϵ}}^2)\hfill & (3.153)\hfill \end{array}$$

i ddangos bod

$$\begin{array}{ll}\text{Jac}(g_{t,\Delta t})(z)=1+\Delta t{G}_t(z)+o(\Delta t^2),\hfill & (3.154)\hfill \end{array}$$

lle

$$\begin{array}{ll}{G}_t(z)=\text{trace}({\partial }_{1}F(t,z)).\hfill & (3.155)\hfill \end{array}$$

Felly

$$\begin{array}{lll}V(t+\Delta t)\hfill & ={\displaystyle {\int }_{R(t)}[\hat{1}+\Delta t{G}_t+o(\Delta t^2)]}\hfill & \hfill \\ \hfill & =V(t)+\Delta t{\displaystyle {\int }_{R(t)}{G}_t+o(\Delta t^2).}\hfill & (3.156)\hfill \end{array}$$

Felly cyfradd newid y cyfaint ar amser t yw

$$\begin{array}{ll}DV(t)={\displaystyle {\int }_{R(t)}{G}_t.}\hfill & (3.157)\hfill \end{array}$$

Nawr cyfrifwn G_t ar gyfer system a ddisgrifir gan ffwythiant Hamilton H. Cydrannau z yw cydrannau'r cyfesurynnau a'r momenta: z^k = q^k a z^k+n = p_k ar gyfer k = 0, …, n − 1. Cydrannau F yw

$$\begin{array}{lll}\hfill F^k(t,z)& ={({\partial }_{2}H)}^k(t,q,p)\hfill & \hfill \\ \hfill F^{k+n}(t,z)& =-{({\partial }_{1}H)}_k(t,q,p),\hfill & (3.158)\hfill \end{array}$$

ar gyfer k = 0, …, n − 1. Cydrannau croeslinol y deilliad ∂₁F yw

$$\begin{array}{lll}\hfill {({\partial }_1)}_k{F}^k(t,z)& ={({\partial }_1)}_k{({\partial }_2)}^{k}H(t,q,p)\hfill & \hfill \\ \hfill {({\partial }_1)}_{k+n}{F}^{k+n}(t,z)& =-{({\partial }_2)}^k{({\partial }_1)}_{k}H(t,q,p).\hfill & (3.159)\hfill \end{array}$$

Mae deilliadau rhannol y cydrannau yn cymudo, felly mae'r cydrannau croeslinol â mynegrif k a mynegrif k + n yn hafal a dirgroes. Gwelwn fod yr ôl, sef swm y cydrannau croeslinol hyn, yn sero. Felly mae integryn G_t dros yr ardal R(t) yn sero, felly mae deilliad y cyfaint ar amser t yn sero. Gan fod t yn fympwyol, nid yw'r cyfaint yn newid. Mae hyn yn profi theorem Liouville: mae'r llif mewn gofod gwedd yn cadw cyfaint gofod gwedd.

Sylwch nad yw prawf theorem Liouville yn dibynnu ar a oes gan y ffwythiant Hamilton ddibyniaeth eglur ar amser ai peidio. Mae theorem Liouville yn ddilys ar gyfer systemau â ffwythiannau Hamilton sy'n dibynnu ar amser.

Gallwn feddwl am ensemble yr holl gyflyrau posibl fel hylif sy'n llifo o gwmpas dan reolaeth y ddynameg. Dywed theorem Liouville fod yr hylif hwn yn anghywasgadwy ar gyfer systemau Hamilton.

Ymarfer 3.11: Determinantau ac olion

Dangoswch fod hafaliad (3.153) yn gywir.

Cadwraeth arwynebedd arwynebau toriad strobosgopig

Mae arwynebau toriad systemau Hamilton a yrrir yn gyfnodol yn cadw arwynebedd os mai cyfesuryn a momentwm y gofod gwedd yw cyfesurynnau'r toriad. Mae hon yn nodwedd bwysig i arwynebau toriad. Mae'n ganlyniad i theorem Liouville ar gyfer problemau ag un radd rhyddid.

Mae hefyd yn wir fod arwynebau toriad fel y rhai a ddefnyddiwyd gennym ar gyfer problem Hénon–Heiles yn cadw arwynebedd, ond nid ydym yn barod i brofi hyn eto!

Ailddigwyddiad Poincaré

Mae theorem ailddigwyddiad Poincaré yn theorem ryfeddol sy'n ganlyniad dibwys i theorem Liouville. Yn fras, dywed y theorem fod bron pob taflwybr yn dychwelyd yn y pen draw mor agos ag y dymunir at ei fan cychwyn. Mae hyn yn wir p'un a yw'r taflwybrau yn anhrefnus neu'n rheolaidd.

Yn fwy manwl gywir, ystyriwch system ddeinamig Hamilton y mae ei gofod gwedd yn barth ffiniol D. Nodwn ryw bwynt cychwynnol yn y gofod gwedd, dyweder z₀. Yna, ar gyfer unrhyw gymdogaeth feidraidd U o z₀ a ddewiswn, ceir taflwybrau sy'n tarddu o bwyntiau cychwynnol yn y gymdogaeth honno ac yn dychwelyd i'r gymdogaeth yn y pen draw.

Gallwn brofi hyn drwy ystyried delweddau olynol U dan yr esblygiad amser. Er symlrwydd, cyfyngwn ein hystyriaeth i esblygiad amser dros gyfwng amser Δ. Galwn y mapiad o'r gofod gwedd arno'i hun a gynhyrchir gan esblygiad amser dros gyfwng Δ yn C. Mae cymhwyso'r mapiad dro ar ôl tro yn cynhyrchu esblygiad amser arwahanol. Mae setiau o bwyntiau mewn gofod gwedd yn trawsffurfio drwy esblygu'r holl bwyntiau yn y set; dynodir delwedd y set U gan C(U). Nawr ystyriwch daflwybr y set U, hynny yw, y setiau Cⁿ(U) lle mae Cⁿ yn dynodi cyfansoddi C ag ef ei hun n gwaith. Nawr ceir dau bosibilrwydd: naill ai mae'r delweddau olynol Cⁱ(U) yn croestorri neu nid ydynt. Os nad ydynt yn croestorri, yna gyda phob iteriad, mae cyfaint o D sy'n hafal i gyfaint U yn cael ei “ddefnyddio” ac ni all berthyn i'r ddelwedd bellach. Ond mae cyfaint D yn feidraidd, felly ni allwn gynnwys nifer anfeidraidd o gyfeintiau meidraidd nad ydynt yn croestorri ynddo. Felly, ar ôl rhyw nifer o iteriadau, mae'r delweddau yn croestorri. Tybiwch fod Cⁱ(U) yn croestorri â C^j(U), gyda j < i, i bennu'r drefn. Yna rhaid i rag-ddelwedd pob un groestorri hefyd, gan fod rhag-ddelwedd pwynt yn y croestoriad yn perthyn i'r ddwy set. Felly mae Cⁱ⁻¹(U) yn croestorri C^j−1(U). Gellir parhau â hyn nes bod gennym yn y diwedd C^i−j(U) yn croestorri U. Felly rydym wedi profi bod set o bwyntiau sydd yn U i ddechrau yn dychwelyd i'r gymdogaeth U ar ôl i − j iteriad o'r mapiad C.

Felly, ar gyfer pob cymdogaeth i bob pwynt yn y gofod gwedd, ceir is-gymdogaeth fel bod y taflwybrau sy'n tarddu o bob un o'r pwyntiau yn yr is-gymdogaeth honno yn dychwelyd i'r is-gymdogaeth honno. Felly mae bron pob taflwybr yn dychwelyd mor agos ag y dymunir at ei fan cychwyn.

Y nwy yng nghornel yr ystafell

Tybiwch fod gennym gasgliad o N atom clasurol mewn ystafell sydd wedi'i selio'n berffaith. Dimensiwn gofod gwedd y system hon yw 6N. Dynodir pwynt yn y gofod gwedd hwn gan z. Tybiwch fod yr holl atomau i ddechrau, dyweder, o fewn un centimetr i un gornel, gyda chyflymderau meidraidd a ddewiswyd yn fympwyol. Mae hyn yn cyfateb i ryw bwynt cychwynnol z₀ yn y gofod gwedd. Cyfyngir gofod gwedd y system mewn gofod gan yr ystafell ac mewn momentwm gan gadwraeth egni; mae'r gofod gwedd yn ffiniol. Dywed y theorem ailddigwyddiad felly fod amod cychwynnol i'r system yng nghymdogaeth z₀ sy'n dychwelyd i gymdogaeth z₀ ar ôl rhyw amser. I'r atomau unigol mae hyn yn golygu y ceir, ar ôl rhyw amser, yr holl atomau yng nghornel yr ystafell eto, ac eto, ac eto. Mae'n peri i rywun feddwl am ail ddeddf thermodynameg, onid yw?³³

Diffyg atynwyr mewn systemau Hamilton

Mae gan rai systemau atynwyr. Mae atynnwr yn ardal o ofod gwedd sy'n llyncu cyfeintiau o daflwybrau. Ar gyfer atynnwr ceir rhyw ardal fwy, y basn atynnu, fel bod setiau o daflwybrau â chyfaint nad yw'n sero yn cyrraedd yr atynnwr yn y pen draw a byth yn ei adael. Mae'r theorem ailddigwyddiad yn dangos nad oes gan systemau Hamilton â gofod gwedd ffiniol atynwyr. Ystyriwch ryw gyfaint ymgeisiol yn y basn atynnu arfaethedig. Mae'r theorem ailddigwyddiad yn gwarantu bod rhai taflwybrau yn y cyfaint ymgeisiol yn dychwelyd i'r cyfaint dro ar ôl tro. Felly nid yw'r cyfaint mewn basn atynnu. Nid oes atynwyr yn bodoli mewn systemau Hamilton â gofod gwedd ffiniol.

Nid yw hyn yn golygu bod pob taflwybr bob amser yn dychwelyd. Y pendil yw enghraifft syml. Tybiwch ein bod yn cymryd clwstwr o daflwybrau sy'n pontio'r separatrics, sef y taflwybr sy'n nesáu'n asymptotig at y cydbwysedd ansefydlog gyda'r pendil yn pwyntio i fyny. Mae taflwybrau sydd â mwy o egni na'r separatrics yn gwneud dolen lawn o gwmpas ac yn dychwelyd i'w pwynt cychwynnol; mae taflwybrau sydd â llai o egni na'r separatrics yn osgiliadu unwaith ar draws ac yn ôl i'w safle cychwynnol; ond mae taflwybr y separatrics ei hun yn gadael yr ardal gychwynnol am byth, ac yn nesáu'n barhaus at y pwynt ansefydlog.

Cadwraeth cyfaint gwedd mewn system afradlon

Nid yw diffiniad system afradlon mor eglur â hynny. I rai, mae “afradlon” yn awgrymu nad yw cyfaint gofod gwedd yn cael ei gadw, sydd yr un fath â dweud nad hafaliadau Hamilton sy'n rheoli esblygiad y system. I eraill, mae “afradlon” yn awgrymu bod ffrithiant yn bresennol, sy'n cynrychioli colli egni i raddau rhyddid nad ydynt yn y model. Dyma enghraifft ryfedd. Yr osgiliadur harmonig wedi'i dampio yw patrwm system afradlon. Yma dangoswn y gellir disgrifio'r osgiliadur harmonig wedi'i dampio gan hafaliadau Hamilton a bod cyfaint gofod gwedd yn cael ei gadw.

Rheolir yr osgiliadur harmonig wedi'i dampio gan yr hafaliad differol cyffredin

$$\begin{array}{ll}m{D}^{2}x+\alpha Dx+kx=0\hfill & (3.160)\hfill \end{array}$$

lle mae α yn gyfernod dampio. Gallwn ffurfio'r system hon â'r ffwythiant Lagrange³⁴

$$\begin{array}{ll}L(t,x,\dot{x})=(\frac{m}{2}{\dot{x}}^2-\frac{k}{2}{x}^2)e^{\frac{\alpha }{m}t}.\hfill & (3.161)\hfill \end{array}$$

Hafaliad Lagrange y ffwythiant Lagrange hwn yw

$$\begin{array}{ll}(m{D}^{2}x(t)+\alpha Dx(t)+kx(t))e^{\frac{\alpha }{m}t}=0.\hfill & (3.162)\hfill \end{array}$$

Gan nad yw'r ffwythiant esbonyddol byth yn sero, mae gan yr hafaliad hwn yr un taflwybrau â hafaliad (3.160) uchod.

Y momentwm cyfiau i x yw

$$\begin{array}{ll}p=m\dot{x}{e}^{\frac{\alpha }{m}t},\hfill & (3.163)\hfill \end{array}$$

a'r ffwythiant Hamilton yw

$$\begin{array}{ll}H(t,x,p)=(\frac{1}{2m}{p}^2)e^{-\frac{\alpha }{m}t}+(\frac{k}{2}{x}^2)e^{\frac{\alpha }{m}t}.\hfill & (3.164)\hfill \end{array}$$

Ar gyfer y system hon, nid yw'r ffwythiant Hamilton yn swm egni cinetig mudiant y màs a'r egni potensial a storir yn y sbring. Nid yw gwerth y ffwythiant Hamilton yn cael ei gadw (∂₀H ≠ 0). Hafaliadau Hamilton yw

$$\begin{array}{ll}Dx(t)=\frac{p(t)}{m}{e}^{-\frac{\alpha }{m}t}\hfill & \hfill \\ Dp(t)=-kx(t)e^{\frac{\alpha }{m}t}.\hfill & (3.165)\hfill \end{array}$$

Gadewch inni ystyried achos rhifiadol. Boed m = 5, k = 1/4, α = 3. Yma gwreiddiau nodweddiadol yr hafaliad differol cyffredin llinol â chyfernodau cyson (3.160) yw s = −1/10, −1/2. Felly'r datrysiadau yw

$$\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{l}x(t)\hfill \\ p(t)\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{10}t}& e^{-\frac{1}{2}t}\\ -\frac{1}{2}{e}^{+\frac{1}{2}t}& -\frac{5}{2}{e}^{+\frac{1}{10}t}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right),\hfill & (3.166)\hfill \end{array}$$

ar gyfer A₁ ac A₂ a bennir gan yr amodau cychwynnol

$$\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{l}x(0)\hfill \\ p(0)\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -\frac{1}{2}& -\frac{5}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right).\hfill & (3.167)\hfill \end{array}$$

Felly gallwn ffurfio'r trawsffurfiad o'r cyflwr cychwynnol i'r cyflwr terfynol:

$$\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{l}x(t)\hfill \\ p(t)\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{10}t}& e^{-\frac{1}{2}t}\\ -\frac{1}{2}{e}^{+\frac{1}{2}t}& -\frac{5}{2}{e}^{+\frac{1}{10}t}\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -\frac{1}{2}& -\frac{5}{2}\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}x(0)\\ p(0)\end{array}\right).\hfill & (3.168)\hfill \end{array}$$

Mae'r trawsffurfiad yn llinol, felly trawsffurfir yr arwynebedd gan y determinant, sy'n 1 yn yr achos hwn. Felly, yn groes i reddf, cedwir cyfaint gofod gwedd. Felly pam nad yw hyn yn gwrth-ddweud y gosodiad nad oes atynwyr mewn systemau Hamilton? Yr ateb yw bod dadl ailddigwyddiad Poincaré yn wir ar gyfer gofodau gwedd ffiniol yn unig. Yma, mae'r momentwm yn ehangu'n esbonyddol gydag amser (wrth i'r cyfesuryn grebachu), felly mae'n ddiderfyn.

Ni ddylem mewn gwirionedd synnu gormod at y ffordd y mae'r ddamcaniaeth yn ei hamddiffyn ei hun rhag paradocs ymddangosiadol—bod cyfaint gwedd yn cael ei gadw er bod pob taflwybr yn dadfeilio at gyflymder a chyfesurynnau sero. Mae prawf theorem Liouville yn caniatáu ffwythiannau Hamilton sy'n dibynnu ar amser. Yn yr achos hwn gallwn fodelu'r afradu drwy ffwythiant Hamilton o'r union fath hwn.

Ymarfer 3.12: Systemau sy'n dibynnu ar amser

I wneud y ffaith bod theorem Liouville yn ddilys ar gyfer systemau sy'n dibynnu ar amser hyd yn oed yn fwy pendant, estynnwch ganlyniadau adran 3.8 i ddangos sut mae haid o bwyntiau cychwynnol sy'n amlinellu arwynebedd yng ngofod gwedd y pendil a yrrir yn anffurfio wrth iddi esblygu. Lluniwch luniau sy'n cyfateb i ffigurau 3.25 a 3.26 ar gyfer un o'r achosion diddorol y mae gennym arwynebau toriad ar eu cyfer. A yw'r ystumiad yn edrych yn wahanol mewn gwahanol rannau o'r gofod gwedd? Sut?

Ffwythiannau dosraniad

Dim ond yn fras y gwyddom gyflwr system. Mae'n rhesymol modelu cyflwr ein gwybodaeth drwy ffwythiant dwysedd tebygolrwydd ar y set o gyflyrau posibl. O ystyried gwybodaeth anghyflawn o'r fath, beth yw'r canlyniadau tebygol? Wrth i'r system esblygu, mae'r ffwythiant dwysedd hefyd yn esblygu. Mae theorem Liouville yn rhoi modd inni drin y math hwn o broblem.

Boed f(t, q, p) yn ffwythiant dwysedd tebygolrwydd ar y gofod gwedd ar amser t. Er mwyn iddo fod yn ffwythiant dwysedd tebygolrwydd dilys, mynnwn fod integryn f dros yr holl gyfesurynnau a momenta yn 1—mae'n sicr bod y system yn rhywle.

Ceir set o daflwybrau sy'n mynd drwy unrhyw ardal benodol o ofod gwedd ar amser penodol. Ni chaiff y taflwybrau hyn eu creu na'u dinistrio, ac maent yn symud fel bwndel i ardal arall o ofod gwedd ar amser diweddarach. Mae theorem Liouville yn dweud wrthym fod cyfaint yr ardal ffynhonnell yr un fath â chyfaint yr ardal darged, felly rhaid i'r dwysedd aros yn gyson. Felly D(f ∘ σ) = 0. Os oes gennym system a ddisgrifir gan y ffwythiant Hamilton H, yna

$$\begin{array}{cc}D(f\circ \sigma )={\partial }_{0}f\circ \sigma +\{f,H\}\circ \sigma ,& (3.169)\end{array}$$

felly gallwn gasglu bod

$$\begin{array}{cc}{\partial }_{0}f\circ \sigma +\{f,H\}\circ \sigma =0,& (3.170)\end{array}$$

neu

$$\begin{array}{cc}({\partial }_{0}f+\{f,H\})\circ \sigma =0.& (3.171)\end{array}$$

Gan fod rhaid i hyn fod yn wir ar bob ennyd a chan fod taflwybr datrysiad yn tarddu o bob pwynt mewn gofod gwedd, gallwn dynnu oddi wrth lwybrau datrysiad penodol a diddwytho cyfyngiad ar f:

$$\begin{array}{cc}{\partial }_{0}f+\{f,H\}=0.& (3.172)\end{array}$$

Mae'r hafaliad differol rhannol llinol hwn yn rheoli esblygiad y ffwythiant dwysedd, ac felly'n dangos sut mae cyflwr ein gwybodaeth yn esblygu.

3.9 Y Mapiad Safonol

Rydym wedi gweld bod arwynebau toriad nifer o wahanol broblemau yn debyg iawn yn ansoddol. Maent oll yn dangos dau fath o fudiant sy'n wahanol yn ansoddol: mudiant rheolaidd a mudiant anhrefnus. Maent yn dangos bod y mathau hyn o orbitau yn clystyru: ceir ardaloedd o'r arwyneb toriad sydd â thaflwybrau rheolaidd yn bennaf ac ardaloedd eraill lle mae ymddygiad anhrefnus yn tra-arglwyddiaethu. Rydym hefyd wedi gweld pontio i ymddygiad anhrefnus ar raddfa fawr wrth amrywio rhyw baramedr. Bellach rydym wedi dysgu bod y mapiad sy'n mynd â phwyntiau ar arwyneb toriad dau ddimensiwn i bwyntiau newydd ar yr arwyneb toriad yn cadw arwynebedd. Yr unig briodwedd sydd gan y mapiadau hyn o'r toriad arno'i hun yn gyffredin (y gwyddom amdani ar hyn o bryd) yw eu bod yn cadw arwynebedd. Fel arall maent yn bur wahanol. Tybiwch ein bod yn ystyried mapiad haniaethol o'r toriad arno'i hun sy'n cadw arwynebedd, heb ystyried a yw'r mapiad yn cael ei gynhyrchu gan ryw system ddeinamig. A yw mapiadau sy'n cadw arwynebedd yn nodweddiadol yn dangos ffenomenau tebyg, neu a yw tarddiad deinamig y mapiad yn hanfodol i'r ffenomenau a ganfuom?³⁵

Ystyriwch fapiad o'r plân gwedd arno'i hun a ddiffinnir yn nhermau'r newidynnau deinamig θ a'i “fomentwm cyfiau” I. Y mapiad yw

$$\begin{array}{cc}I\prime =(I+K\sin \theta )\mathrm{mod}2\pi & (3.173)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\theta \prime =(\theta +I\prime )\mathrm{mod}2\pi .& (3.174)\end{array}$$

Gelwir y mapiad hwn yn “fapiad safonol.”³⁶ Un nodwedd ryfedd ar y mapiad safonol yw bod y newidyn momentwm I yn cael ei drin fel maint onglaidd. Mae gan ddeilliad y mapiad ddeterminant un, sy'n awgrymu bod y mapiad yn cadw arwynebedd.

Gallwn weithredu'r mapiad safonol:

(define ((standard-map K) theta I return failure)
  (let ((nI (+ I (* K (sin theta)))))
    (return ((principal-value :2pi) (+ theta nI))
            ((principal-value :2pi) nI))))

Defnyddiwn y weithdrefn explore-map a gyflwynwyd yn gynharach i ddefnyddio dyfais bwyntio i archwilio'r arwyneb toriad yn rhyngweithiol. Er enghraifft, i archwilio'r arwyneb toriad ar gyfer y paramedr K = 0.6 defnyddiwn:

(define window (frame 0.0 :2pi 0.0 :2pi))
(explore-map window (standard-map 0.6) 2000)

Dangosir yr arwyneb toriad a geir, ar gyfer amrywiaeth o orbitau a ddewiswyd â'r pwyntydd, yn ffigur 3.27. Mae'r arwyneb toriad yn wir yn edrych yn debyg yn ansoddol i'r arwynebau toriad a gynhyrchir gan systemau deinamig.

Mae parth anhrefnus mawr yn tra-arglwyddiaethu ar yr arwyneb toriad ar gyfer K = 1.4 (fel y dangosir yn ffigur 3.28). Mae'r mapiad safonol yn dangos pontio i anhrefn ar raddfa fawr ger K = 1. Felly mae'r mapiad haniaethol hwn o'r plân gwedd arno'i hun sy'n cadw arwynebedd yn dangos ymddygiad tebyg i ymddygiad yn y toriadau a gynhyrchir gan system ddeinamig Hamilton. Yn amlwg, mae priodwedd y ddynameg o gadw arwynebedd yn y gofod gwedd yn chwarae rôl benderfynol mewn llawer o briodweddau diddorol taflwybrau systemau mecanyddol.

Ymarfer 3.13: Hwyl gyda mapiad cwadratig Hénon

Ystyriwch y mapiad o'r plân a ddiffinnir gan yr hafaliadau:

x′ = x cos α − (y − x²) sin α

y′ = x sin α + (y − x²) cos α

a. Dangoswch fod y mapiad yn cadw arwynebedd.

b. Gweithredwch y mapiad fel gweithdrefn. Yr amrediad diddorol ar gyfer x ac y yw (−1, 1). Bydd orbitau sy'n dianc. Dylech wirio am werthoedd x ac y sy'n dianc o'r amrediad hwn a galw'r parhad methiant pan fydd hyn yn digwydd.

c. Archwiliwch bortread gwedd y mapiad hwn ar gyfer ychydig o werthoedd y paramedr α. Mae'r mapiad yn arbennig o ddiddorol ar gyfer α = 1.32 a α = 1.2. Beth sy'n digwydd rhyngddynt?

3.10 Crynodeb

Mae hafaliadau Lagrange yn system o n hafaliad differol cyffredin ail drefn yn yr amser, y cyfesurynnau cyffredinoledig, y cyflymderau cyffredinoledig, a'r cyflymiadau cyffredinoledig. Pennir taflwybrau gan y cyfesurynnau a'r cyflymderau ar un ennyd.

Mae hafaliadau Hamilton yn pennu'r ddynameg fel system o hafaliadau differol cyffredin trefn gyntaf yn yr amser, y cyfesurynnau cyffredinoledig, a'r momenta cyfiau. Pennir taflwybrau mewn gofod gwedd gan bwynt cychwynnol yn y gofod gwedd ar un ennyd.

Mae ffurfiad Hamilton a ffurfiad Lagrange yn gyfwerth yn yr ystyr bod amodau cychwynnol cyfwerth yn cynhyrchu'r un llwybr ffurfwedd.

Os oes cymesuredd yn y broblem a fynegir yn naturiol fel cyfesuryn cylchol, yna cedwir y momentwm cyfiau. Yn ffurfiad Hamilton, mae cymesuredd o'r fath yn arwain yn naturiol at leihau dimensiwn gofod gwedd rhan anodd y broblem. Os oes digon o gymesureddau, yna gellir lleihau'r broblem o bennu'r esblygiad amser i werthuso integrynnau pendant (ei lleihau i gwadraturau).

Gellir astudio systemau nad oes ganddynt ddigon o gymesureddau i'w lleihau i gwadraturau yn effeithiol drwy dechneg yr arwyneb toriad. Mae hyn yn arbennig o fanteisiol mewn systemau lle mae gan y broblem lai ddwy radd rhyddid, neu un radd rhyddid gyda dibyniaeth gyfnodol eglur ar amser.

Mae arwynebau toriad yn datgelu strwythur aruthrol yn y gofod gwedd. Ceir parthau anhrefnus ac ynysoedd o ymddygiad rheolaidd. Ceir pontiadau diddorol wrth amrywio paramedrau rhwng mudiant sy'n rheolaidd yn bennaf a mudiant sy'n anhrefnus yn bennaf.

Mae taflwybrau anhrefnus yn dangos dibyniaeth sensitif ar amodau cychwynnol, gan ymwahanu'n esbonyddol oddi wrth daflwybrau cyfagos. Nid yw taflwybrau rheolaidd yn dangos sensitifrwydd o'r fath. Yn rhyfedd, gellir gwahaniaethu taflwybrau anhrefnus drwy ddimensiwn y gofod y maent yn ei archwilio a thrwy eu dargyfeiriad esbonyddol.

Mae esblygiad amser ardal 2n-dimensiwn mewn gofod gwedd yn cadw'r cyfaint. Mae llif Hamilton yn llif “anghywasgadwy” o'r “hylif gwedd.”

Mae arwynebau toriad systemau â dwy radd rhyddid a systemau ag un radd rhyddid a yrrir yn gyfnodol yn cadw arwynebedd. Mae mapiadau haniaethol o blân gwedd arno'i hun sy'n cadw arwynebedd yn dangos yr un rhaniad o'r gofod gwedd yn ardaloedd anhrefnus a rheolaidd ag arwynebau toriad a gynhyrchir gan systemau deinamig. Maent hefyd yn dangos pontiadau i anhrefn ar raddfa fawr.

3.11 Prosiectau

Ymarfer 3.14: Pendil a yrrir yn gyfnodol

Archwiliwch ddynameg y pendil a yrrir, gan ddefnyddio dull yr arwyneb toriad. Mae gennym ddiddordeb mewn archwilio'r ardaloedd o ofod paramedrau lle mae gwahanol ffenomenau yn digwydd. Ystyriwch bendil â hyd 9.8 m, màs 1 kg, a chyflymiad disgyrchiant g = 9.8 m s⁻², sy'n rhoi ω₀ = 1 rad s⁻¹. Archwiliwch blân paramedrau osgled A ac amledd ω y gyriant cyfnodol.

Enghreifftiau o'r ffenomenau i'w hymchwilio:

a. Cydbwysedd gwrthdro. Dangoswch yr ardal o ofod paramedrau (A, ω) lle mae'r cydbwysedd gwrthdro yn sefydlog. Os yw'r cydbwysedd gwrthdro yn sefydlog, ceir rhyw amrediad sefydlogrwydd, h.y., mae ongl ddadleoli uchaf o'r cydbwysedd y mae osgiliadau sefydlog yn ei chyrraedd. Os oes gennych ddigon o amser, plotiwch gyfuchliniau yn y gofod paramedrau ar gyfer gwahanol osgledau'r ardal sefydlog.

b. Dyblu cyfnod y cydbwysedd arferol. Ar gyfer yr achos hwn, plotiwch fomenta onglaidd y cydbwyseddau sefydlog ac ansefydlog fel ffwythiannau o'r amledd ar gyfer rhyw osgled penodol.

c. Pontio i anhrefn ar raddfa fawr. Dangoswch yr ardal o ofod paramedrau (A, ω) lle mae'r parthau anhrefnus o amgylch y tair prif ynys gyseiniant yn cysylltu â'i gilydd.

Ymarfer 3.15: Arwynebau toriad sbin-orbit

Ysgrifennwch raglen i gyfrifo arwynebau toriad y broblem sbin-orbit, gan gofnodi'r pwyntiau toriad yn y periganol. Ymchwiliwch i'r canlynol:

a. Rhowch ffurfiad Hamilton i'r broblem sbin-orbit a gyflwynwyd yn adran 2.11.2.

b. Ar gyfer paramedr gwyriad oddi wrth gryndod ϵ = 0.1 ac ecsentrigrwydd e = 0.1, mesurwch ledau, mewn momentwm, yr ynysoedd rheolaidd sy'n gysylltiedig â'r cyseiniannau 1:1, 3:2, ac 1:2.

c. Archwiliwch yr arwynebau toriad ar gyfer amrediad o ϵ gyda e = 0.1 yn sefydlog. Amcangyfrifwch werth critigol ϵ y mae'r prif barthau anhrefnus o amgylch yr ynysoedd cyseiniant 3:2 a 1:1 yn uno uwchlaw iddo.

d. Ar gyfer ecsentrigrwydd sefydlog e = 0.1, olrheiniwch leoliad y pwyntiau sefydlog sefydlog ac ansefydlog sy'n gysylltiedig â'r cyseiniant 1:1 ar yr arwyneb toriad fel ffwythiant o'r gwyriad oddi wrth gryndod ϵ.

Ymarfer 3.16: Y broblem tri chorff gyfyngedig

Ymchwiliwch i ddynameg y broblem tri chorff gyfyngedig ar gyfer yr achos â masau cyfartal lle mae M₀ = M₁.

a. Deilliwch ffwythiant Hamilton y broblem tri chorff gyfyngedig, gan ddechrau â ffwythiant Lagrange (1.150).

b. Mae cysonyn Jacobi, hafaliad (1.151), yn swm term cwadratig positif bendant yn y cyflymderau a therm egni potensial, hafaliad (1.152), felly cyfuchliniau'r ffwythiant egni potensial yw ffiniau'r mudiant a ganiateir. Ysgrifennwch raglen i arddangos y ffiniau hyn ar gyfer gwerth penodol o gysonyn Jacobi. Ble y caniateir mudiant mewn perthynas â'r cyfuchliniau hyn? (Sylwch fod mwy nag un ardal o fudiant a ganiateir ar gyfer rhai gwerthoedd o gysonyn Jacobi.)

c. Esblygwch rai taflwybrau ar gyfer cysonyn Jacobi ℰ = −1.75 (C_J = 3.5). Arddangoswch y taflwybrau ar yr un plot â ffiniau'r mudiant a ganiateir.

d. Ysgrifennwch raglen i gyfrifo arwynebau toriad y broblem tri chorff gyfyngedig. Mae'r rhaglen hon yn debyg i raglen Hénon-Heiles sy'n dechrau ar dudalen 261. Plotiwch bwyntiau toriad pan fydd y taflwybr yn croesi echelin y_r = 0 gyda ẏ_r yn bositif; plotiwch ẋ_r yn erbyn x_r. Sylwch fod p_x = mẋ_r − mΩy_r, ond ar y toriad hwn mae y_r = 0, felly mae'r cyflymder yn gyfrannol i'r momentwm, ac felly mae'r toriad yn cadw arwynebedd. Plotiwch ffiniau'r mudiant a ganiateir ar yr arwyneb toriad ar gyfer cysonyn Jacobi a awgrymwyd uchod. Archwiliwch y toriad a plotiwch orbitau nodweddiadol ar gyfer pob prif ardal yn y toriad.

¹Yma cyfyngwn ein sylw i ffwythiannau Lagrange sy'n dibynnu ar yr amser, y cyfesurynnau, a'r cyflymderau yn unig.

²Yma rydym yn defnyddio'r enwau cofiadwy t, q, p ar gyfer paramedrau ffurfiol y ffwythiant sy'n cael ei ddiffinio. Gallem fod wedi defnyddio enwau fel a, b, c fel uchod, ond byddai hyn wedi gwneud y ddadl yn anos ei darllen.

³P = I₂. Gweler hafaliadau (9.7) yn yr atodiad ar nodiant.

⁴Mae'r arwydd minws cyffredinol yn niffiniad y ffwythiant Hamilton yn draddodiadol.

⁵Mewn nodiant traddodiadol, ysgrifennir hafaliadau Hamilton fel hafaliad ar wahân ar gyfer pob cydran:

$\begin{array}{lll}\frac{d{q}^i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i}\hfill & \text{and}\hfill & \frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q^i}.\hfill \end{array}$

⁶Yn draddodiadol, ysgrifennir y ffwythiant Hamilton

$H=p\dot{q}-L.$

Mae'r ffordd hon o ysgrifennu'r ffwythiant Hamilton yn drysu gwerthoedd ffwythiannau â'r ffwythiannau sy'n eu cynhyrchu: rhaid ailfynegi $\dot{q}$ ac L ill dau fel ffwythiannau o amser, cyfesurynnau, a momenta.

⁷Wrth lunio deilliad cyflwr Lagrange o hafaliadau Lagrange rhaid inni ddatrys ar gyfer y deilliad o'r drefn uchaf. Mae'r broses ddatrys yn gofyn am wrthdroi ∂₂∂₂L. Wrth lunio hafaliadau Hamilton, mae llunio $\mathcal{V}$ o ffwythiant cyflwr y momentwm ∂₂L yn gofyn am wrthdro'r un strwythur. Os oes gan ffurfiad Lagrange hynodion, ni ellir eu hosgoi drwy fynd i ffurfiad Hamilton.

⁸Cyflwynwyd y term gofod gwedd gan Josiah Willard Gibbs yn ei ffurfiad o fecaneg ystadegol. Mae'r ffwythiant Hamilton yn chwarae rôl sylfaenol yn ffurfiad Boltzmann–Gibbs o fecaneg ystadegol ac yn ymagweddau Heisenberg a Schrödinger at fecaneg cwantwm.

⁹Mae trawsffurfiad Legendre yn fwy cyffredinol na'i ddefnydd mewn mecaneg gan ei fod yn dal y berthynas rhwng newidynnau cyfiau mewn systemau mor amrywiol â thermodynameg, cylchedau, a damcaniaeth meysydd.

¹⁰Gellir gwneud hyn cyhyd ag nad yw'r deilliad yn sero.

¹¹Mae hafaliad (3.28) yn edrych fel cymhwyso rheol lluoswm deilliadau, $D\left(I\mathcal{V}\right)=DI\mathcal{V}+ID\mathcal{V}$. Er bod hyn yn gweithio i ffwythiannau â gwerthoedd real, mae'n annigonol i ffwythiannau ag allbynnau strwythuredig. Mae'r canlyniad $D\left(I\mathcal{V}\right)=\mathcal{V}+ID\mathcal{V}$ yn gywir, ond i'w wirio rhaid gwneud y cyfrifiad ar ôl lluosi'r strwythurau allan. Gweler tudalen 522.

¹²Os yw M yn gynrychiolaeth fatrics o M, yna M = M^T.

¹³Cyflwynwyd y weithdrefn solve-linear-left yn nhroednodyn 75 ar dudalen 71.

¹⁴Mae'r ffwythiant Π[q] yr un fath â Π_L[q] a gyflwynwyd ar dudalen 203. Yn wir, mae angen y ffwythiant Lagrange i ddiffinio momentwm ym mhob achos, ond rydym yn cuddio'r ddibyniaeth yma oherwydd nad yw'n bwysig yn y ddadl hon.

¹⁵Nid oes angen ehangu amrywiad y momentwm $\delta \tilde{p}\left[q\right]$ ymhellach yn y ddadl hon oherwydd mae'n troi allan bod y ffactor sy'n ei luosi yn sero. Fodd bynnag, mae'n ddefnyddiol gweld sut mae'n gysylltiedig â'r amrywiadau yn y llwybr cyfesurynnau δq:

$\delta p=\delta \tilde{p}\left[q\right]\left(t\right)={\partial }_1{\partial }_{2}L\left(t,q\left(t\right),Dq\left(t\right)\right)\delta q\left(t\right)+{\partial }_2{\partial }_{2}L\left(t,q\left(t\right),Dq\left(t\right)\right)D\delta q\left(t\right).$

¹⁶Honnir weithiau fod gan y momenta statws gwahanol yn ffurfiadau Lagrange a Hamilton: bod y momenta yn fframwaith Hamilton yn “annibynnol” ar y cyfesurynnau. O hyn dadleuir bod yr amrywiadau δq a δp yn fympwyol ac yn annibynnol, gan awgrymu felly fod rhaid i'r ffactor sy'n lluosi pob un ohonynt yn integryn y weithred (3.75) fod yn sero'n annibynnol, gan ddeillio'r ddau hafaliad Hamilton, yn ôl pob golwg. Mae'r ddadl yn wallus: gallwn ysgrifennu δp yn nhermau δq (gweler troednodyn 15).

¹⁷Mewn nodiant traddodiadol ysgrifennir cromfach Poisson

$\{F,H\}={\displaystyle \sum _i\left(\frac{\partial F}{\partial q^i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q^i}\right).}$

¹⁸Ar gyfer systemau ag egni cinetig sy'n gwadratig yn y cyflymder, nid yw'r hafaliad hwn yn bodloni amod Lipschitz mewn pwyntiau ynysig lle mae'r cyflymder yn sero. Fodd bynnag, gellir cael y datrysiad ar gyfer q drwy ddefnyddio integryn pendant.

¹⁹Dim ond un cydbwysedd ansefydlog sydd gan y pendil. Cofiwch mai ongl yw'r cyfesuryn.

²⁰Os nad yw ffwythiant Lagrange yn dibynnu ar gyfesuryn penodol, nid yw'r ffwythiant Hamilton cyfatebol ychwaith, oherwydd mae'r cyfesuryn yn newidyn goddefol yn y trawsffurfiad Legendre. Dywedir bod ffwythiant Hamilton o'r fath yn gylchol yn y cyfesuryn hwnnw.

²¹Yn draddodiadol, pan fo problem wedi'i lleihau i werthuso integryn pendant dywedir ei bod wedi'i lleihau i “gwadratur.” Felly mae pennu esblygiad cyfesuryn cylchol qⁱ yn cael ei leihau i broblem cwadratur.

²²Nid yw bob amser yn bosibl dewis set o gyfesurynnau cyffredinoledig lle mae'r holl gymesureddau yn amlwg ar yr un pryd. Ar gyfer y systemau hyn, mae lleihau'r gofod gwedd yn fwy cymhleth. Rydym eisoes wedi dod ar draws problem o'r fath: mudiant corff anhyblyg rhydd. Mae'r system yn annewidiol dan gylchdro o amgylch unrhyw echelin, ac eto ni all unrhyw un system gyfesurynnau adlewyrchu'r cymesuredd hwn. Serch hynny, rydym eisoes wedi canfod bod y ddynameg yn cael ei disgrifio gan system o ddimensiwn is na'r gofod gwedd llawn: hafaliadau Euler.

²³Cyflwynwyd techneg yr arwyneb toriad gan Poincaré yn ei Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste [35]. Profodd Poincaré ganlyniadau rhyfeddol am systemau deinamig drwy ddefnyddio techneg yr arwyneb toriad, a dychwelwn at rai o'r rhain yn ddiweddarach. Mae techneg yr arwyneb toriad yn offeryn allweddol wrth astudio systemau deinamig yn fodern, ar gyfer ymchwiliadau dadansoddol a rhifiadol.

²⁴Darganfu Edward Lorenz [31] yn annibynnol y gall datrysiadau hafaliadau differol cyffredin ddangos sensitifrwydd esbonyddol i amodau cychwynnol, yng nghyd-destun model syml o ddarfudiad yn atmosffer y Ddaear. Bathodd Lorenz y term lliwgar “effaith y glöyn byw” i ddisgrifio'r sensitifrwydd hwn: mae ei fodel system dywydd mor sensitif i amodau cychwynnol fel y gall “curo adenydd glöyn byw ym Mrasil newid cwrs teiffŵn yn Japan.”

²⁵Gwelsom enghraifft o'r sensitifrwydd eithafol hwn i amodau cychwynnol yn ffigur 1.7 (adran 1.7) a hefyd yn y prosiect pendil dwbl (ymarfer 1.44).

²⁶Darganfuwyd setiau annewidiol un dimensiwn â nifer anfeidraidd o dyllau gan John Mather. Gelwir hwy weithiau yn cantori (unigol cantorus), drwy gydweddiad â setiau Cantor, ond nid yw'n Mather mewn gwirionedd.

²⁷Yn achos penodol y pendil a yrrir nid oes rheswm dros alw fail. Cedwir y posibilrwydd hwn ar gyfer systemau lle mae orbitau yn dianc neu'n peidio â bodloni rhyw gyfyngiad.

²⁸Fe welwn ei bod yn gyfleus edrych ar ffwythiannau dosraniad yng nghyfesurynnau'r gofod gwedd oherwydd mae canlyniadau momenta cadwedig yn fwy amlwg, a hefyd oherwydd cedwir cyfaint mewn gofod gwedd wrth esblygu (gweler adran 3.8).

²⁹Mae system yn ergodig os yw cyfartaleddau amser ar hyd taflwybrau yr un fath â chyfartaleddau gofod gwedd dros yr ardal a archwilir gan y taflwybrau.

³⁰Fel o'r blaen, o edrych yn fanwl gallwn ganfod bod taflwybrau sy'n ymddangos wedi'u cyfyngu i gromlin ar y toriad yn daflwybrau anhrefnus sy'n archwilio ardal gyfyng iawn. Mae'n hysbys, fodd bynnag, fod rhai taflwybrau mewn gwirionedd wedi'u cyfyngu i gromliniau ar y toriad. Mae taflwybrau sy'n dechrau ar y cromliniau hyn yn aros arnynt am byth, ac maent yn llenwi'r cromliniau hyn yn ddwys. Cedwir y cromliniau annewidiol hyn gan yr esblygiad deinamig. Ceir hefyd is-setiau annewidiol o gromliniau â nifer anfeidraidd o dyllau.

³¹Mewn systemau sy'n anhrefnus iawn gall ζ(t) fynd mor fawr fel na all y cyfrifiadur ei gynrychioli mwyach. I atal hyn gallwn roi ζ/c yn lle ζ pryd bynnag y bydd ζ(t) yn mynd yn anghyfforddus o fawr. Mae'r hafaliad sy'n rheoli ζ yn llinol, felly ar wahân i'r newid graddfa, nid yw'r esblygiad yn newid. Wrth gwrs rhaid inni gadw cyfrif o'r newidiadau graddfa hyn wrth gyfrifo'r gyfradd dwf gyfartalog. Gelwir y broses hon yn “ailnormaleiddio” i wneud iddi swnio'n drawiadol.

³²Y separatrics yw'r gromlin sy'n gwahanu'r mudiant osgiliadol oddi wrth y mudiant cylchol. Mae'n cynnwys sawl taflwybr sy'n asymptotig i'r cydbwysedd ansefydlog.

³³Dywedir bod Boltzmann, pan wynebwyd ef â'r broblem hon, wedi ateb, “Dylech aros cyhyd â hynny!”

³⁴Yn syml, dyma luoswm ffwythiant Lagrange yr osgiliadur harmonig heb ddampio â ffwythiant esbonyddol cynyddol o amser.

³⁵Ymdriniwyd â'r cwestiwn hwn hefyd yn y papur rhyfeddol gan Hénon a Heiles, ond â mapiad gwahanol i'r un a ddefnyddiwn yma.

³⁶Mae'r mapiad safonol wedi'i astudio'n helaeth. Gwnaed ymchwiliadau cynnar gan Chirikov [12] a chan Taylor [44], felly gelwir y mapiad weithiau yn fapiad Chirikov–Taylor. Bathodd Chirikov y term “mapiad safonol,” a ddefnyddiwn ninnau.