Damcaniaeth amhariadau canonig

Ar ôl trin mudiant y lleuad o amgylch y ddaear, ac ar ôl cael orbit eliptig, ystyriodd [Newton] effaith yr haul ar orbit y lleuad drwy ystyried amrywiadau'r olaf. Fodd bynnag, achosodd y cyfrifiadau anawsterau mawr iddo … Yn wir, cymaint oedd y problemau a wynebodd fel yr ysgogwyd [Newton] i ddweud wrth y seryddwr John Machin “… ni fu erioed boen yn ei ben ond wrth astudio'r lleuad.”

June Barrow-Green, Poincaré and the Three Body Problem [7], t. 15

Anaml iawn y gellir dod o hyd i ddatrysiadau ffurf gaeedig i systemau deinamig. Fodd bynnag, mae rhai systemau yn wahanol i system ddatrysadwy drwy ychwanegu effaith fach. Nod damcaniaeth amhariadau yw cysylltu agweddau ar fudiant y system benodol ag agweddau ar fudiant y system ddatrysadwy gyfagos. Gallwn geisio dod o hyd i ffordd o drawsffurfio union ddatrysiad y broblem fras hon yn ddatrysiad bras i'r broblem wreiddiol. Gallwn hefyd ddefnyddio damcaniaeth amhariadau i geisio rhagfynegi nodweddion ansoddol y datrysiadau drwy ddisgrifio'r ffyrdd nodweddiadol y mae datrysiadau'r system ddatrysadwy yn cael eu hystumio gan yr effeithiau ychwanegol. Er enghraifft, efallai y byddem am ragfynegi lleoliadau'r ardaloedd cyseiniant mwyaf neu leoliadau a meintiau'r parthau anhrefnus mwyaf. Gall y gallu i ragfynegi nodweddion o'r fath roi dealltwriaeth o ymddygiad y system benodol dan sylw.

Tybiwch, er enghraifft, fod gennym system a nodweddir gan ffwythiant Hamilton sy'n rhannu'n ddwy ran fel a ganlyn:

$$\begin{array}{cc}H=H_0+\mathit{ϵ}{H}_1,& \left(7.1\right)\end{array}$$

lle mae H₀ yn ddatrysadwy a ϵ yn baramedr bach. Y gwahaniaeth rhwng ein system a system ddatrysadwy felly yw cymhlethdod adiol bach.

Ceir nifer o strategaethau ar gyfer gwneud hyn. Un strategaeth yw ceisio trawsffurfiad canonig sy'n dileu o'r ffwythiant Hamilton y termau trefn ϵ sy'n rhwystro datrys—mae hyn fel arfer yn cyflwyno termau newydd trefn ϵ². Yna ceisir trawsffurfiad canonig arall sy'n dileu'r termau trefn ϵ² sy'n rhwystro datrys, gan adael termau trefn ϵ³. Gallwn ddychmygu ailadrodd y broses hon nes bod y rhan sy'n rhwystro datrys o drefn mor uchel yn ϵ fel y gellir ei hanwybyddu. Ar ôl lleihau'r broblem i broblem ddatrysadwy, gallwn wrthdroi dilyniant y trawsffurfiadau i gael datrysiad bras i'r broblem wreiddiol. A yw'r broses hon yn cydgyfeirio? Sut y gwyddom y gallwn fyth anwybyddu'r termau sy'n weddill? Gadewch inni ddilyn y llwybr hwn a gweld i ble mae'n mynd.

7.1 Damcaniaeth Amhariadau gyda Chyfresi Lie

O gael system, edrychwn am ddadelfeniad o'r ffwythiant Hamilton yn y ffurf

$$\begin{array}{cc}H\left(t,q,p\right)=H_0\left(t,q,p\right)+\mathit{ϵ}{H}_1\left(t,q,p\right),& \left(7.2\right)\end{array}$$

lle mae H₀ yn ddatrysadwy. Tybiwn nad oes gan y ffwythiant Hamilton ddibyniaeth eglur ar amser; gellir sicrhau hyn drwy fynd i'r gofod gwedd estynedig os oes angen. Tybiwn hefyd fod trawsffurfiad canonig wedi'i wneud fel bod H₀ yn dibynnu ar y momenta yn unig:

$$\begin{array}{cc}{\partial }_1{H}_0=0.& \left(7.3\right)\end{array}$$

Cyflawnwn drawsffurfiad Lie a chanfod yr amodau y mae'n rhaid i'r generadur Lie W eu bodloni i ddileu'r termau trefn ϵ o'r ffwythiant Hamilton.

Mae'r trawsffurfiad Lie a'r gyfres Lie gysylltiedig yn pennu trawsffurfiad canonig:

$$\begin{array}{lll}\hfill H\prime & =E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }H=e^{\mathit{ϵ}{L}_W}H\hfill & \hfill \\ \hfill q& =(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }Q)(t,q\prime ,p\prime )=(e^{\mathit{ϵ}{L}_W}Q)(t,q\prime ,p\prime )\hfill & \hfill \\ \hfill p& =(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }P)(t,q\prime ,p\prime )=(e^{\mathit{ϵ}{L}_W}P)(t,q\prime ,p\prime )\hfill & \hfill \\ \hfill (t,q,p)& =(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }I)(t,q\prime ,p\prime )=(e^{\mathit{ϵ}{L}_W}I)(t,q\prime ,p\prime ),\hfill & (7.4)\hfill \end{array}$$

lle mae Q = I₁ a P = I₂ yn ddetholwyr cyfesurynnau a momenta ac I yn ffwythiant unfathiant. Cofiwch y diffiniadau

$$\begin{array}{lll}{e}^{\mathit{ϵ}{L}_W}F\hfill & =F+\mathit{ϵ}{L}_{W}F+\frac{1}{2}{\mathit{ϵ}}^2{L}_W^{2}F+\cdots \hfill & \hfill \\ \hfill & =F+\mathit{ϵ}\left\{F,W\right\}+\frac{1}{2}{\mathit{ϵ}}^2\left\{\left\{F,W\right\},W\right\}+\cdots ,\hfill & \left(7.5\right)\hfill \end{array}$$

gyda L_WF = {F, W }.

Mae cymhwyso'r trawsffurfiad Lie i H yn rhoi inni

$$\begin{array}{lll}H\prime \hfill & =e^{\mathit{ϵ}{L}_W}H\hfill & \hfill \\ \hfill & =H_0+\mathit{ϵ}{L}_W{H}_0+\frac{1}{2}{\mathit{ϵ}}^2{L}_W^2{H}_0+\cdots \hfill & \hfill \\ \hfill & +\mathit{ϵ}{H}_1+{\mathit{ϵ}}^2{L}_W{H}_1+\cdots \hfill & \hfill \\ \hfill & =H_0+\mathit{ϵ}\left(L_W{H}_0+H_1\right)+{\mathit{ϵ}}^2\left(\frac{1}{2}{L}_W^2{H}_0+L_W{H}_1\right)+\cdots .\hfill & \left(7.6\right)\hfill \end{array}$$

Mae'r term trefn gyntaf yn ϵ yn sero os yw W yn bodloni'r amod

$$\begin{array}{cc}{L}_W{H}_0+H_1=0,& \left(7.7\right)\end{array}$$

sy'n hafaliad differol rhannol llinol ar gyfer W. Y ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio yw

$$\begin{array}{lll}H\prime \hfill & =H_0+{\mathit{ϵ}}^2\left(\frac{1}{2}{L}_W^2{H}_0+L_{W}H1\right)+\cdots \hfill & \hfill \\ \hfill & =H_0+\frac{1}{2}{\mathit{ϵ}}^2{L}_W{H}_1+\cdots ,\hfill & \left(7.8\right)\hfill \end{array}$$

lle rydym wedi defnyddio amod (7.7) i symleiddio cyfraniad ϵ².

Mae'r cam sylfaenol hwn mewn damcaniaeth amhariadau wedi dileu termau o drefn benodol (trefn ϵ) o'r ffwythiant Hamilton, ond wrth wneud hynny mae wedi cynhyrchu termau newydd o drefn uwch (yma ϵ² ac uwch).

Ar y pwynt hwn gallwn gael datrysiad bras drwy dorri ffwythiant Hamilton (7.8) i lawr i H₀, sy'n ddatrysadwy. Ceir y datrysiad bras ar gyfer amodau cychwynnol penodol s₀ = (t₀, q₀, p₀) drwy ganfod y $\left(t_0,q_0^{\prime },p_0^{\prime }\right)$ cyfatebol gan ddefnyddio gwrthdro trawsffurfiad (7.4). Yna esblygir y system i amser t gan ddefnyddio datrysiadau'r ffwythiant Hamilton toredig H₀, gan roi'r cyflwr (t, q′, p′). Trawsffurfir cyfesurynnau gofod gwedd y pwynt esblygedig yn ôl i'r newidynnau gwreiddiol gan ddefnyddio trawsffurfiad (7.4) i'r cyflwr s = (t, q, p). Y datrysiad bras yw

$$\begin{array}{lll}s\hfill & =\left(\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }I\right)\circ \left(E_{t-t_0,H_0}I\right)\circ \left(E_{-\mathit{ϵ},W}^{\prime }I\right)\right)\left(s_0\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left(E_{-\mathit{ϵ},W}^{\prime }{E}_{t-t_0,H_0}{E}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }I\right)\left(s_0\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left(e^{-\mathit{ϵ}{L}_W}{e}^{\left(t-t_0\right)D_{H_0}}{e}^{\mathit{ϵ}{L}_W}I\right)\left(s_0\right),\hfill & \left(7.9\right)\hfill \end{array}$$

gan ddefnyddio'r unfathiant (6.111). Sylwch fod esblygiad amser H₀ yn cael ei fynegi yn nhermau'r gweithredydd esblygu E yn hytrach na'r gweithredydd trawsffurfiad Lie E′, oherwydd rhaid symud yr amser ymlaen hefyd. Mynegir ehangiad cyfres bŵer $E_{\Delta t,H_0}$ yn nhermau $D_{H_0}$ yn hytrach na $L_{H_0}$ (gweler 6.136). Os oes rhaid gwerthuso'r trawsffurfiad Lie $E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }=e^{\mathit{ϵ}{L}_W}$ drwy symio'r gyfres, yna rhaid inni bennu'r drefn y mae'r swm yn estyn iddi.

Gan dybio bod popeth yn mynd yn iawn, gallwn ddychmygu ailadrodd y broses hon i ddileu'r termau trefn ϵ² ac yn y blaen, gan ddod â'r ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio mor agos ag y dymunwn at H₀. Yn anffodus, ceir cymhlethdodau. Gallwn ddeall rhai o'r cymhlethdodau hyn a sut i ymdrin â hwy drwy ystyried rhai cymwysiadau penodol.

7.2 Y Pendil fel Rotor ag Amhariad

Mae'r pendil yn system syml ag un radd rhyddid, y mae ei datrysiadau yn hysbys. Os ystyriwn y pendil fel rotor rhydd gyda chymhlethdod ychwanegol disgyrchiant, yna gallwn gyflawni cam amhariad fel y disgrifiwyd i weld pa mor dda y mae'n brasamcanu mudiant hysbys y pendil.

Disgrifir mudiant pendil gan y ffwythiant Hamilton

$$\begin{array}{cc}H\left(t,\theta ,p\right)=\frac{p^2}{2\alpha }-\mathit{ϵ}\beta \cos \left(\theta \right),& \left(7.10\right)\end{array}$$

â chyfesuryn θ a momentwm onglaidd cyfiau p, lle mae α = ml² a β = mgl. Mae'r paramedr ϵ yn caniatáu inni raddio'r amhariad; mae'n 1 ar gyfer y pendil gwirioneddol. Rhannwn y ffwythiant Hamilton yn ffwythiant Hamilton y rotor rhydd a'r amhariad o ddisgyrchiant:

$$\begin{array}{cc}H=H_0+\mathit{ϵ}{H}_1,& \left(7.11\right)\end{array}$$

lle

$$\begin{array}{lll}\hfill H_0\left(t,\theta ,p\right)& =\frac{p^2}{2\alpha }\hfill & \hfill \\ \hfill \mathit{ϵ}{H}_1\left(t,\theta ,p\right)& =-\mathit{ϵ}\beta \cos \theta .\hfill & \left(7.12\right)\hfill \end{array}$$

Mae'r generadur Lie W yn bodloni amod (7.7):

$$\begin{array}{cc}\left\{H_0,W\right\}+H_1=0,& \left(7.13\right)\end{array}$$

neu

$$\begin{array}{cc}-\frac{p}{\alpha }{\partial }_{1}W\left(t,\theta ,p\right)-\beta \cos \theta =0.& \left(7.14\right)\end{array}$$

Felly

$$\begin{array}{cc}W\left(t,\theta ,p\right)=-\frac{\alpha \beta \sin \theta }{p},& \left(7.15\right)\end{array}$$

lle anwybyddir y cysonyn integru mympwyol.

Y ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio yw H′ = H₀ + o(ϵ²). Os gallwn anwybyddu cyfraniadau ϵ², yna'r ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio yn syml yw

$$\begin{array}{cc}H\prime \left(t,\theta \prime ,p\prime \right)=\frac{{(p\prime )}^2}{2\alpha },& \left(7.16\right)\end{array}$$

â'r datrysiadau

$$\begin{array}{lll}\theta \prime \hfill & ={\theta }_0^{\prime }+\frac{p_0^{\prime }}{\alpha }\left(t-t_0\right)\hfill & \hfill \\ p\prime \hfill & =p_0^{\prime }.\hfill & \left(7.17\right)\hfill \end{array}$$

I gysylltu'r datrysiadau hyn â datrysiadau'r broblem wreiddiol, defnyddiwn y gyfres Lie

$$\begin{array}{lll}\theta \hfill & =\left(e^{\mathit{ϵ}{L}_W}Q\right)\left(t,\theta \prime ,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\theta \prime +\mathit{ϵ}\left\{Q,W\right\}\left(t,\theta \prime ,p\prime \right)+\cdots \hfill & \hfill \\ \hfill & =\theta \prime +\mathit{ϵ}{\partial }_{2}W\left(t,\theta \prime ,p\prime \right)+\cdots \hfill & \hfill \\ \hfill & =\theta \prime +\mathit{ϵ}\frac{\alpha \beta \sin \theta \prime }{{(p\prime )}^2}+\cdots .\hfill & \left(7.18\right)\hfill \end{array}$$

Yn yr un modd,

$$\begin{array}{cc}p=p\prime +\mathit{ϵ}\frac{\alpha \beta \cos \theta \prime }{p\prime }+\cdots .& \left(7.19\right)\end{array}$$

Sylwch, os torrir y gyfres Lie, nad yw'n drawsffurfiad canonig yn union; dim ond y gyfres anfeidraidd sy'n ganonig.

Pennir y gwerthoedd cychwynnol ${\theta }_0^{\prime }$ a $p_0^{\prime }$ o werthoedd cychwynnol θ a p drwy'r trawsffurfiad Lie gwrthdro:

$$\begin{array}{lll}\theta \prime \hfill & =\left(e^{-\mathit{ϵ}{L}_W}Q\right)\left(t,\theta ,p\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\theta -\mathit{ϵ}\frac{\alpha \beta \sin \theta }{{\left(p\right)}^2}+\cdots \hfill & \left(7.20\right)\hfill \end{array}$$

a

$$\begin{array}{cc}p\prime =p-\mathit{ϵ}\frac{\alpha \beta \cos \theta }{p}+\cdots .& \left(7.21\right)\end{array}$$

Sylwch, os torrwn y trawsffurfiadau cyfesurynnau ar ôl y termau trefn gyntaf yn ϵ (neu unrhyw drefn feidraidd), nad yw'r trawsffurfiad gwrthdro yn wrthdro union y trawsffurfiad.

Ceir y datrysiad bras ar gyfer amodau cychwynnol penodol (t₀, θ₀, p₀) drwy ganfod y $\left(t_0,{\theta }_0^{\prime },p_0^{\prime }\right)$ cyfatebol gan ddefnyddio trawsffurfiad (7.20) a (7.21). Yna esblygir y system gan ddefnyddio'r datrysiadau (7.17). Trawsffurfir cyfesurynnau gofod gwedd y pwynt esblygedig yn ôl i'r newidynnau gwreiddiol gan ddefnyddio trawsffurfiad (7.18) a (7.19).

Diffiniwn ddwy ran ffwythiant Hamilton y pendil:

(define ((H0 alpha) state)
  (let ((p (momentum state)))
    (/ (square p) (* 2 alpha))))

(define ((H1 beta) state)
  (let ((theta (coordinate state)))
    (* -1 beta (cos theta))))

Gellir mynegi ffwythiant Hamilton y pendil fel ehangiad cyfres yn y paramedr ϵ drwy

(define (H-pendulum-series alpha beta epsilon)
  (series (H0 alpha) (* epsilon (H1 beta))))

lle mae'r weithdrefn series yn adeiladydd ar gyfer cyfres y rhoddir ei thermau cyntaf ac y mae pob term pellach yn sero. Y generadur Lie sy'n dileu'r termau trefn ϵ yw

(define ((W alpha beta) state)
  (let ((theta (coordinate state))
        (p (momentum state)))
    (/ (* -1 alpha beta (sin theta)) p)))

Gwiriwn fod W yn bodloni amod (7.7):

((+ ((Lie-derivative (W 'alpha 'beta)) (H0 'alpha))
    (H1 'beta))
 (up 't 'theta 'p))

0

a bod ganddo'r effaith a ddymunir ar y ffwythiant Hamilton:

(show-expression
  (series:sum
    (((exp (* 'epsilon (Lie-derivative (W 'alpha 'beta))))
      (H-pendulum-series 'alpha 'beta 'epsilon))
     (up 't 'theta 'p))
    2))

$$\frac{\frac{1}{2}{p}^2}{\alpha }+\frac{\frac{1}{2}\alpha {\beta }^2{\mathit{ϵ}}^2{\left(\sin \left(\theta \right)\right)}^2}{p^2}$$

Yn wir, mae'r term trefn ϵ wedi'i dynnu a therm trefn ϵ² wedi'i gyflwyno.

Gan anwybyddu'r termau ϵ² yn y ffwythiant Hamilton newydd, y datrysiad yw

(define (((solution0 alpha beta) t) state0)
  (let ((t0 (time state0))
        (theta0 (coordinate state0))
        (p0 (momentum state0)))
    (up t
        (+ theta0 (/ (* (- t t0) p0) alpha))
        p0)))

Y trawsffurfiad o gyfesurynnau gofod gwedd â phrim i rai heb brim, gan gynnwys termau hyd at order, yw

(define ((C alpha beta epsilon order) state)
  (series:sum
    (((Lie-transform (W alpha beta) epsilon)
      identity)
     state)
    order))

Hyd at ail drefn yn ϵ, y trawsffurfiad a gynhyrchir gan W yw

(show-expression
  ((C 'alpha 'beta 'epsilon 2) (up 't 'theta 'p)))

$$\left(\begin{array}{c}t\\ -\frac{\frac{1}{2}{\alpha }^2{\beta }^2{\mathit{ϵ}}^2\cos \left(\theta \right)\sin \left(\theta \right)}{p^4}+\frac{\alpha \beta \mathit{ϵ}\sin \left(\theta \right)}{p^2}+\theta \\ -\frac{\frac{1}{2}{\alpha }^2{\beta }^2{\mathit{ϵ}}^2}{p^3}+\frac{\alpha \beta \mathit{ϵ}\cos \left(\theta \right)}{p}+p\end{array}\right)$$

Y trawsffurfiad gwrthdro yw

(define (C-inv alpha beta epsilon order)
  (C alpha beta (- epsilon) order))

Gyda'r cydrannau hyn, y datrysiad amhariadol (hafaliad 7.9) yw

(define (((solution epsilon order) alpha beta) delta-t)
  (compose (C alpha beta epsilon order)
           ((solution0 alpha beta) delta-t)
           (C-inv alpha beta epsilon order)))

Mae'r weithdrefn a geir yn mapio cyflwr cychwynnol i gyflwr y datrysiad wedi'i symud ymlaen gan delta-t.

Gallwn archwilio ymddygiad y datrysiad amhariadol a'i gymharu â gwir ymddygiad y pendil. Ceir sawl ystyriaeth. Rydym wedi torri'r gyfres Lie ar gyfer y trawsffurfiad gofod gwedd. A yw'r rhan goll yn bwysig? Os nad yw'r rhan goll yn bwysig, pa mor dda y mae'r cam amhariad hwn yn gweithio?

Mae ffigur 7.1 yn dangos, wrth inni gynyddu nifer y termau yn y gyfres Lie ar gyfer trawsffurfiad cyfesurynnau'r gofod gwedd, fod y canlyniad yn ymddangos fel pe bai'n cydgyfeirio. Mae'r taflwybr unigol yn cynnwys termau trefn gyntaf yn unig. Mae'r lleill, sy'n cynnwys termau ail, trydedd, a phedwaredd drefn, wedi'u clystyru'n agos. Ar ymyl chwith y graff (yn θ = −π), mae trefn y datrysiad yn cynyddu o ben i waelod y graff. Yn y canol (yn θ = 0), mae cromlin y bedwaredd drefn rhwng cromlin yr ail drefn a chromlin y drydedd drefn. Yn ogystal â'r gwall yn y llwybr gofod gwedd, ceir hefyd wall yn y cyfnod—mae gan yr orbitau trefn uwch gyfnodau hirach na'r orbit trefn gyntaf. Y paramedrau yw α = 1.0 a β = 0.1. Rydym wedi gosod ϵ = 1. Dechreuwyd pob taflwybr yn θ = 0 gyda p = 0.7. Sylwch fod y pwynt cychwynnol ar y datrysiad yn amrywio rhwng taflwybrau. Mae hyn oherwydd nad yw'r trawsffurfiad yn cael ei wrthdroi'n berffaith gan y gyfres Lie doredig.

Mae ffigur 7.2 yn cymharu'r datrysiad amhariadol (â thermau hyd at y bedwaredd drefn) â gwir daflwybr y pendil. Mae'r pwyntiau cychwynnol yn cyd-daro, hyd at drachywiredd y graff, oherwydd mae'r termau hyd at y bedwaredd drefn yn ddigonol. Mae'r taflwybrau yn gwyro yn y plân gwedd ac yn y cyfnod, ond maent yn dal yn eithaf agos.

Mae taflwybrau ffigurau 7.1 a 7.2 oll ar gyfer yr un cyflwr cychwynnol. Wrth inni amrywio'r cyflwr cychwynnol canfyddwn fod y datrysiad amhariadol yn gweithio'n eithaf da ar gyfer taflwybrau yn yr ardal gylchdroi, ymhell o'r separatrics. Fodd bynnag, os awn yn agos at y separatrics neu os awn i mewn i ardal yr osgiliadau, nid yw'r datrysiad amhariadol yn debyg o gwbl i'r gwir ddatrysiad, ac nid yw hyd yn oed yn ymddangos fel pe bai'n cydgyfeirio. Mae ffigur 7.3 yn dangos beth sy'n digwydd pan geisiwn ddefnyddio'r datrysiad amhariadol y tu mewn i ardal yr osgiliadau. Dechreuwyd pob taflwybr yn θ = 0 gyda p = 0.55. Y paramedrau yw α = 1.0 a β = 0.1, fel o'r blaen.

Ni ddylai'r methiant hwn yn y datrysiad amhariadol fod yn syndod. Tybiasom fod y gwir fudiant yn fersiwn ystumiedig o fudiant y rotor rhydd. Ond yn ardal yr osgiliadau nid yw'r dybiaeth yn wir—nid yw'r pendil yn cylchdroi o gwbl. Dim ond mewn ardal lle mae topoleg y gwir orbitau yr un fath â thopoleg y datrysiadau amhariadol y gall y datrysiadau amhariadol fod yn ddilys (os ydynt yn gweithio o gwbl!).

Gallwn amcangyfrif amrediad dilysrwydd y datrysiad amhariadol yn fras drwy edrych ar y term cywiro cyntaf yn y trawsffurfiad gofod gwedd (7.18). Mae'r cywiriad yn θ yn gyfrannol i ϵαβ/(p′)². Nid amhariad bach yw hwn os

$$\begin{array}{cc}|p\prime |<\sqrt{\mathit{ϵ}\alpha \beta }.& \left(7.22\right)\end{array}$$

Mae hyn yn pennu graddfa dilysrwydd y datrysiad amhariadol.

Gallwn gymharu'r raddfa hon â maint ardal yr osgiliadau (gweler ffigur 7.4). Gallwn gael lled ardal osgiliadau'r pendil¹ drwy ystyried y separatrics. Mae gwerth y ffwythiant Hamilton ar y separatrics yr un fath â'r gwerth yn y cydbwysedd ansefydlog: H(t, θ = π, p = 0) = βϵ. Mae gan y separatrics fomentwm mwyaf p^sep yn θ = 0:

$$\begin{array}{cc}H\left(t,0,p^{\text{sep}}\right)=H\left(t,\pi ,0\right).& \left(7.23\right)\end{array}$$

Gan ddatrys ar gyfer p^sep, hanner lled ardal yr osgiliadau, cawn

$$\begin{array}{cc}{p}^{\text{sep}}=2\sqrt{\alpha \beta \mathit{ϵ}}.& \left(7.24\right)\end{array}$$

Wrth gymharu hafaliadau (7.22) a (7.24), gwelwn fod y gofyniad bod termau'r datrysiad amhariadol yn fach yn eithrio ardal o'r gofod gwedd sydd ar yr un raddfa ag ardal osgiliadau'r pendil.

Yr hyn y mae'r ddamcaniaeth amhariadau yn ei wneud yw anffurfio system gyfesurynnau'r gofod gwedd fel bod y broblem yn edrych fel problem y rotor rhydd. Dim ond yn yr achos cylchdroi y mae'r anffurfiad hwn yn synhwyrol. Felly, nid yw'n syndod bod y ddamcaniaeth amhariadau yn methu yn ardal yr osgiliadau. Yr hyn a all fod yn syndod yw pa mor dda y mae'r ddamcaniaeth amhariadau yn gweithio ychydig y tu allan i ardal yr osgiliadau. Mae amrediad p lle nad yw'r ddamcaniaeth amhariadau yn ddilys yn graddio yn yr un ffordd â lled ardal yr osgiliadau. Nid oedd rhaid i hyn fod yn wir—gallai'r ddamcaniaeth amhariadau fod wedi methu dros amrediad ehangach.

Ymarfer 7.1: Gweddill symplectig

Ar gyfer y trawsffurfiad (C alpha beta epsilon order), cyfrifwch y gweddillion yn y prawf symplectig ar gyfer gwahanol drefnau torri'r gyfres Lie.

7.2.1 Trefn Uwch

Gallwn wella'r datrysiad amhariadol drwy gyflawni camau amhariad ychwanegol. Mae'r cynllun cyffredinol yr un fath ag o'r blaen. Cyflawnwn drawsffurfiad Lie â generadur newydd sy'n dileu'r termau a ddymunir o'r ffwythiant Hamilton.

Ar ôl y cam cyntaf, y ffwythiant Hamilton, hyd at ail drefn yn ϵ, yw

$$\begin{array}{lll}H\prime \left(t,\theta \prime ,p\prime \right)\hfill & =\frac{{(p\prime )}^2}{2\alpha }+{\mathit{ϵ}}^2\frac{\alpha {\beta }^2}{2{(p\prime )}^2}{\left(\sin \theta \prime \right)}^2+\cdots \hfill & \hfill \\ \hfill & =\frac{{(p\prime )}^2}{2\alpha }+{\mathit{ϵ}}^2\frac{\alpha {\beta }^2}{4{(p\prime )}^2}\left(1-\cos \left(2\theta \prime \right)\right)+\cdots \hfill & \hfill \\ \hfill & =H_0(p\prime )+{\mathit{ϵ}}^2{H}_2\left(t,\theta \prime ,p\prime \right)+\cdots .\hfill & \left(7.25\right)\hfill \end{array}$$

Mae cyflawni trawsffurfiad Lie â generadur W′ yn rhoi'r ffwythiant Hamilton

$$\begin{array}{lll}H″\hfill & =e^{{\mathit{ϵ}}^2{L}_{W\prime }}H\prime \hfill & \hfill \\ \hfill & =H_0+{\mathit{ϵ}}^2\left(L_{W\prime }{H}_0+H_2\right)+\cdots .\hfill & \left(7.26\right)\hfill \end{array}$$

Felly'r amod ar W′ i ddileu'r termau ail drefn yw

$$\begin{array}{cc}{L}_{W\prime }{H}_0+H_2=0.& \left(7.27\right)\end{array}$$

Dyma

$$\begin{array}{cc}-\frac{p\prime }{\alpha }{\partial }_{1}W\prime \left(t,\theta \prime ,p\prime \right)+\frac{\alpha {\beta }^2}{4{(p\prime )}^2}\left(1-\cos \left(2\theta \prime \right)\right)=0.& \left(7.28\right)\end{array}$$

Generadur sy'n bodloni'r amod hwn yw

$$\begin{array}{cc}W\prime \left(t,\theta \prime ,p\prime \right)=\frac{{\alpha }^2{\beta }^2}{4{(p\prime )}^3}\theta \prime +\frac{{\alpha }^2{\beta }^2}{8{(p\prime )}^3}\sin \left(2\theta \prime \right).& \left(7.29\right)\end{array}$$

Ceir dau gyfraniad i'r generadur hwn, un yn gyfrannol i θ′ a'r llall yn cynnwys ffwythiant trigonometrig o θ′.

Ceir trawsffurfiad cyfesurynnau'r gofod gwedd sy'n deillio o'r trawsffurfiad Lie hwn fel o'r blaen. Ar gyfer amodau cychwynnol penodol, cyflawnwn yn gyntaf y trawsffurfiad gwrthdro sy'n cyfateb i W, yna'r un ar gyfer W′, datryswn ar gyfer esblygiad y system gan ddefnyddio H₀, yna trawsffurfiwn yn ôl gan ddefnyddio W′ ac yna W. Ar gyfer cyflwr cychwynnol s₀ = (t₀, θ₀, p₀) a chyflwr wedi'i symud ymlaen s = (t, θ, p), y datrysiad bras yw

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{lll}s\hfill & =\left(E_{-\mathit{ϵ},W}^{\prime }{E}_{-{\mathit{ϵ}}^2,W\prime }^{\prime }{E}_{\left(t-t_0\right),H_0}{E}_{{\mathit{ϵ}}^2,W\prime }^{\prime }{E}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }I\right)\left(s_0\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left(e^{-\mathit{ϵ}{L}_W}{e}^{-{\mathit{ϵ}}^2{L}_{W\prime }}{e}^{\left(t-t_0\right)D_{H_0}}{e}^{{\mathit{ϵ}}^2{L}_{W\prime }}{e}^{\mathit{ϵ}{L}_W}I\right)\left(s_0\right).\hfill & \left(7.30\right)\hfill \end{array}& \end{array}$$

Cymherir y datrysiad a geir fel hyn â gwir esblygiad y pendil yn ffigur 7.5. Cynhwysir termau ym mhob cyfres Lie hyd at ϵ⁴. Mae'r datrysiad amhariadol, gan gynnwys yr ail gam amhariad hwn, yn llawer agosach at y gwir ddatrysiad yn y rhan gychwynnol na'r datrysiad amhariadol trefn gyntaf (ffigur 7.2). Y cyfwng amser a gwmpesir yw 10. Dros amseroedd hirach, mae'r datrysiad amhariadol ail drefn yn dargyfeirio'n ddramatig oddi wrth y gwir ddatrysiad, fel y dangosir yn ffigur 7.6. Mae'r datrysiadau hyn yn dechrau yn θ = 0 gyda p = 0.7. Y paramedrau yw α = 1.0 a β = 0.1. Y cyfwng amser a gwmpesir yw 100.

Un broblem gyda'r datrysiad amhariadol yw bod termau yn W′ ac yn nhrawsffurfiad cyfatebol cyfesurynnau'r gofod gwedd sy'n gyfrannol i θ′, ac mae θ′ yn tyfu'n llinol gydag amser. Felly dim ond am amseroedd bach y gall y datrysiad fod yn ddilys; mae'r cyfwng dilysrwydd yn dibynnu ar amledd y taflwybr penodol dan ymchwiliad a maint y cyfernodau sy'n lluosi'r gwahanol dermau. Gelwir termau o'r fath mewn cynrychiolaeth amhariadol o'r datrysiad sy'n gyfrannol i amser yn dermau seciwlar. Maent yn cyfyngu dilysrwydd y ddamcaniaeth amhariadau i amseroedd bach.

7.2.2 Dileu Termau Seciwlar

Datblygwyd ateb i broblem termau seciwlar gan Lindstedt a Poincaré. Nod pob cam amhariad yw dileu termau yn y ffwythiant Hamilton sy'n atal datrys. Fodd bynnag, nid yw'r term yn H′ a arweiniodd at y term seciwlar yn y generadur W′ mewn gwirionedd yn rhwystro datrys. Felly dull gwell yw gadael y term hwnnw yn y ffwythiant Hamilton a chanfod y generadur W″ sy'n dileu dim ond y term sy'n gyfnodol yn θ′. Felly rhaid i W″ fodloni

$$\begin{array}{cc}-\frac{p\prime }{\alpha }{\partial }_{1}W″\left(t,\theta \prime ,p\prime \right)-\frac{\alpha {\beta }^2}{4{(p\prime )}^2}\cos \left(2\theta \prime \right)=0.& \left(7.31\right)\end{array}$$

Y generadur yw

$$\begin{array}{cc}W″\left(t,\theta \prime ,p\prime \right)=\frac{{\alpha }^2{\beta }^2}{8{(p\prime )}^3}\sin \left(2\theta \prime \right).& \left(7.32\right)\end{array}$$

Ar ôl inni gyflawni trawsffurfiad Lie â'r generadur hwn, y ffwythiant Hamilton newydd yw

$$\begin{array}{cc}H″\left(t,\theta ″,p″\right)=\frac{{(p″)}^2}{2\alpha }+{\mathit{ϵ}}^2\frac{\alpha {\beta }^2}{4{(p″)}^2}+\cdots .& \left(7.33\right)\end{array}$$

Gan gynnwys termau hyd at y term ϵ², y datrysiad yw

$$\begin{array}{lll}\theta ″\hfill & ={\theta }_0^{″}+\left(\frac{p_0^{″}}{\alpha }-{\mathit{ϵ}}^2\frac{\alpha {\beta }^2}{2{\left(p_0^{″}\right)}^3}\right)\left(t-t_0\right)\hfill & \hfill \\ p″\hfill & =p_0^{″}.\hfill & \left(7.34\right)\hfill \end{array}$$

Lluniwn y datrysiad ar gyfer amod cychwynnol penodol fel o'r blaen drwy gyfansoddi'r trawsffurfiadau, datrysiad y ffwythiant Hamilton wedi'i addasu, a'r trawsffurfiadau gwrthdro. Y datrysiad bras yw

$$\begin{array}{lll}\left(t,\theta ,p\right)\hfill & =\left(E_{-\mathit{ϵ},W}^{\prime }{E}_{-{\mathit{ϵ}}^2,W″}^{″}{E}_{\left(t-t_0\right),H″}{E}_{{\mathit{ϵ}}^2,W″}^{\prime }{E}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }I\right)\left(t_0,{\theta }_0,p_0\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left(e^{-\mathit{ϵ}{L}_W}{e}^{-{\mathit{ϵ}}^2{L}_{W″}}{e}^{\left(t-t_0\right)D_{H″}}{e}^{{\mathit{ϵ}}^2{L}_{W″}}{e}^{\mathit{ϵ}{L}_W}I\right)\left(t_0,{\theta }_0,p_0\right).\hfill & \left(7.35\right)\hfill \end{array}$$

Dangosir yr esblygiad mewn gofod gwedd a geir yn ffigur 7.7. Bellach mae'r datrysiad amhariadol yn gromlin gaeedig yn y plân gwedd ac yn cytuno'n eithaf da â'r gwir ddatrysiad.

Drwy addasu rhan ddatrysadwy'r ffwythiant Hamilton rydym yn addasu amledd y datrysiad. Ymddangosodd y termau seciwlar oherwydd ein bod yn ceisio brasamcanu datrysiad ag un amledd fel cyfres Fourier â'r amledd anghywir. Fel cydweddiad, ystyriwch

$$\begin{array}{lll}\sin \left(\omega +\Delta \omega \right)t\hfill & =\sin \omega t\cos \Delta \omega t+\cos \omega t\sin \Delta \omega t\hfill & \hfill \\ \hfill & =\sin \omega t\left(1-\frac{{\left(\Delta \omega t\right)}^2}{2}+\cdots \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +\cos \omega t\left(\Delta \omega t+\cdots \right).\hfill & \left(7.36\right)\hfill \end{array}$$

Lluosir y termau cyfnodol gan dermau sy'n bolynomialau yn yr amser. Y polynomialau hyn yw rhan gychwynnol y cyfresi pŵer ar gyfer ffwythiannau cyfnodol. Mae'r cyfresi anfeidraidd yn gydgyfeiriol, ond os torrir y cyfresi mae'r gwall yn fawr ar amseroedd mawr.

Mae parhau â'r datrysiad amhariadol i drefnau uwch bellach yn ailadrodd syml o'r camau a gyflawnwyd hyd yma. Ym mhob cam yn y datrysiad amhariadol bydd cyfraniadau newydd i ran ddatrysadwy'r ffwythiant Hamilton sy'n amsugno termau seciwlar posibl. Y cyfraniad yw'r rhan o'r ffwythiant Hamilton sy'n annibynnol ar yr ongl, ar ôl ysgrifennu'r ffwythiant Hamilton fel cyfres Fourier. Mae rhan gyson cyfres Fourier yr un fath â chyfartaledd y ffwythiant Hamilton dros yr ongl. Felly ym mhob cam yn y ddamcaniaeth amhariadau, cynhwysir cyfartaledd yr amhariad gyda rhan ddatrysadwy'r ffwythiant Hamilton a dilëir y rhan gyfnodol gan drawsffurfiad Lie.

7.3 Llawer o Raddau Rhyddid

Daw problemau eraill i'r amlwg wrth gymhwyso damcaniaeth amhariadau i systemau â mwy nag un radd rhyddid. Ystyriwch ffwythiant Hamilton ag n gradd rhyddid o'r ffurf

$$\begin{array}{cc}H=H_0+\mathit{ϵ}{H}_1,& \left(7.37\right)\end{array}$$

lle mae H₀ yn dibynnu ar y momenta yn unig ac felly'n ddatrysadwy. Tybiwn nad oes gan y ffwythiant Hamilton ddibyniaeth eglur ar amser. Tybiwn ymhellach fod y cyfesurynnau oll yn onglau a bod H₁ yn ffwythiant aml-gyfnodol o'r cyfesurynnau.

Mae cyflawni trawsffurfiad Lie â generadur W yn cynhyrchu'r ffwythiant Hamilton

$$\begin{array}{lll}H\prime \hfill & =e^{\mathit{ϵ}{L}_W}H\hfill & \hfill \\ \hfill & =H_0+\mathit{ϵ}\left(L_W{H}_0+H_1\right)+\cdots ,\hfill & \left(7.38\right)\hfill \end{array}$$

fel o'r blaen. Yr amod i ddileu'r termau trefn ϵ yw

$$\begin{array}{cc}\left\{H_0,W\right\}+H_1=0,& \left(7.39\right)\end{array}$$

sef hafaliad differol rhannol llinol. Yn ôl y dybiaeth, mae'r ffwythiant Hamilton H₀ yn dibynnu ar y momenta yn unig. Diffiniwn

$$\begin{array}{cc}{\omega }_0\left(p\right)={\partial }_2{H}_0\left(t,\theta ,p\right),& \left(7.40\right)\end{array}$$

lle mae θ = (θ⁰, …, θⁿ⁻¹), a p = [p₀, …, p_n−1]. Felly ω₀(p) yw twpled i fyny amleddau'r system heb amhariad. Yr amod ar W yw

$$\begin{array}{cc}{w}_0\left(p\right){\partial }_{1}W\left(t,\theta ,p\right)=H_1\left(t,\theta ,p\right).& \left(7.41\right)\end{array}$$

Gan fod H₁ yn ffwythiant aml-gyfnodol o'r cyfesurynnau, gallwn ei ysgrifennu fel cyfres Poisson:²

$$\begin{array}{cc}{H}_1\left(t,\theta ,p\right)={\displaystyle \sum _k{A}_k\left(p\right)\cos \left(k·\theta \right),}& \left(7.42\right)\end{array}$$

lle mae k = [k₀, …, k_n−1] yn amrywio dros bob n-twpled o gyfanrifau. Yn yr un modd, tybiwn y gellir ysgrifennu W fel cyfres Poisson:

$$\begin{array}{cc}W\left(t,\theta ,p\right)={\displaystyle \sum _k{B}_k\left(p\right)\sin \left(k·\theta \right).}& \left(7.43\right)\end{array}$$

Gan amnewid y rhain yn yr amod i ddileu termau trefn ϵ, cawn

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _k{B}_k\left(p\right)\left(k·{\omega }_0\left(p\right)\right)\cos \left(k·\theta \right)={\displaystyle \sum _k{A}_k\left(p\right)\cos \left(k·\theta \right).}}& \left(7.44\right)\end{array}$$

Mae'r cosinau yn orthogonal felly rhaid i gyfernodau termau cosin cyfatebol fod yn hafal:

$$\begin{array}{cc}{B}_k\left(p\right)=\frac{A_k\left(p\right)}{k·{\omega }_0\left(p\right)}& \left(7.45\right)\end{array}$$

a bod y generadur Lie angenrheidiol yn

$$\begin{array}{cc}W\left(t,\theta ,p\right)={\displaystyle \sum _k\frac{A_k\left(p\right)}{k·{\omega }_0\left(p\right)}\sin \left(k·\theta \right).}& \left(7.46\right)\end{array}$$

Ceir cwpl o broblemau. Yn gyntaf, os nad yw A_0,…,0 yn sero, yna mae'r mynegiad ar gyfer B_0,…,0 yn cynnwys rhannu â sero. Felly nid yw'r mynegiad ar gyfer B_0,…,0 yn gywir. Y broblem yw nad yw'r term cyfatebol yn H₁ yn cynnwys θ. Felly dylai'r integru ar gyfer B_0,…,0 gyflwyno termau llinol yn θ. Ond dyma'r un sefyllfa a arweiniodd at y termau seciwlar ym mrasamcan amhariadol y pendil. Ar ôl dysgu ein gwers yno, rydym yn osgoi'r termau seciwlar drwy ychwanegu'r term hwn at y ffwythiant Hamilton datrysadwy ac eithrio k = [0, …, 0] o'r swm ar gyfer W. Mae gennym

$$\begin{array}{cc}H\prime =H_0+\mathit{ϵ}{A}_{0,\dots ,0}+\cdots ,& \left(7.47\right)\end{array}$$

a

$$\begin{array}{cc}W\left(t,\theta ,p\right)={\displaystyle \sum _{k\ne \left[0,\dots ,0\right]}\frac{A_k\left(p\right)}{k·{\omega }_0\left(p\right)}\sin \left(k·\theta \right).}& \left(7.48\right)\end{array}$$

Problem arall yw bod llawer o gyfleoedd i enwaduron bach wneud yr amhariad yn fawr ac felly'n rhywbeth heblaw amhariad. Fel y gwelsom ym mrasamcan amhariadol y pendil yn nhermau'r rotor, rhaid inni eithrio rhai ardaloedd o barth cymhwysedd y brasamcan amhariadol. Mae'r ardaloedd a eithrir yn gysylltiedig â chymesuradwyedd rhwng yr amleddau ω₀(p). Ystyriwch drawsffurfiad gofod gwedd y cyfesurynnau

$$\begin{array}{lll}\theta \hfill & =\left(e^{\mathit{ϵ}{L}_W}Q\right)\left(t,\theta \prime ,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\theta \prime +\mathit{ϵ}{\partial }_{2}W\left(t,\theta \prime ,p\prime \right)+\cdots \hfill & \hfill \\ \hfill & =\theta \prime +\mathit{ϵ}{\displaystyle \sum _{k\ne \left[0,\dots ,0\right]}\left(\frac{D{A}_k(p\prime )}{k·{\omega }_0(p\prime )}-\frac{A_k(p\prime )\left(k·D\omega (p\prime )\right)}{{\left(k·{\omega }_0(p\prime )\right)}^2}\right)}\sin \left(k·\theta \right).\hfill & \left(7.49\right)\hfill \end{array}$$

Rhaid inni eithrio o'r parth cymhwysedd bob ardal lle mae'r cyfernodau yn fawr. Os yw'r ail derm yng nghyfernod sin yn tra-arglwyddiaethu, mae'r ardaloedd a eithrir yn bodloni

$$\begin{array}{cc}\left|(k·D\omega (p\prime ))A_k(p)\right|>{(k·{\omega }_0(p))}^2.& (7.50)\end{array}$$

O ystyried y ffaith y gallwn, ar gyfer unrhyw dwpled o amleddau ω₀(p′), ganfod twpled o gyfanrifau k fel bod k·ω(p′) mor fach ag y dymunir, mae'r broblem hon o ranwyr bach yn edrych yn ddifrifol iawn.

Fodd bynnag, er bod y broblem yn ddifrifol, nid yw mor ddrwg ag y gall ymddangos, am gwpl o resymau. Yn gyntaf, efallai mai dim ond ar gyfer rhai k y mae A_k ≠ 0. Yn yr achos hwn, dim ond ardaloedd y termau hyn a eithrir o'r parth cymhwysedd. Yn ail, ar gyfer ffwythiannau dadansoddol mae maint A_k yn lleihau'n gryf gyda maint k (gweler [4]):

$$\begin{array}{cc}\left|A_k(p\prime )\right|\le C{e}^{-\beta {\left|k\right|}_{+}},& \left(7.51\right)\end{array}$$

ar gyfer rhyw β a C positif, a lle mae |k|₊ = |k₀| + |k₁| + ⋯. Ar unrhyw gam mewn brasamcan amhariadol gallwn gyfyngu ein hystyriaeth i'r termau hynny yn unig sy'n fwy na maint penodedig. Mae maint yr ardal a eithrir sy'n cyfateb i derm o drefn ail isradd |A_k(p′)| ac mae'r anhafaledd (7.51) yn dangos bod |A_k(p′)| yn lleihau'n esbonyddol gyda threfn y term.

7.3.1 Y Pendil a Yrrir fel Rotor ag Amhariad

Yn fwy pendant, ystyriwch y pendil a yrrir yn gyfnodol. Byddwn yn datblygu datrysiadau bras i'r pendil a yrrir fel rotor ag amhariad.

Defnyddiwn y ffwythiant Hamilton

$$\begin{array}{cc}H\left(t,\theta ,p\right)=\frac{p^2}{2m{l}^2}-\mathit{ϵ}ml(g-A{\omega }^2\cos (\omega t))\cos \theta .& \left(7.52\right)\end{array}$$

Ar gyfer pendil gwirioneddol a yrrir, mae ϵ = 1; yma fe'i defnyddir i helpu i drefnu'r cyfrifiad. Fe welwn nad oes rhaid iddo fod yn fach ac y gellir ei osod yn 1 ar y diwedd. Gallwn dynnu'r ddibyniaeth eglur ar amser drwy fynd i'r gofod gwedd estynedig. Y ffwythiant Hamilton yw

$$\begin{array}{ll}H(\tau ;\theta ,t;p,p_t)\hfill & \hfill \\ =p_t+\frac{p^2}{2m{l}^2}-\mathit{ϵ}ml(g-A{\omega }^2\cos (\omega t))\cos \theta \hfill & \hfill \\ =p_t+\frac{p^2}{2\alpha }-\mathit{ϵ}\beta \cos (\theta )+\mathit{ϵ}\gamma \cos (\theta +\omega t)+\mathit{ϵ}\gamma \cos (\theta -\omega t),\hfill & (7.53)\hfill \end{array}$$

â'r cysonion α = ml², β = mlg, a $\gamma =\frac{1}{2}mlA{\omega }^2$.

Gyda'r bwriad o frasamcanu'r pendil a yrrir fel rotor ag amhariad, dewiswn

$$\begin{array}{lll}{H}_0\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)\hfill & =p_t+\frac{p^2}{2\alpha }\hfill & \hfill \\ H_1\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)\hfill & =-\beta \cos \theta +\gamma \cos \left(\theta +\omega t\right)+\gamma \cos \left(\theta -\omega t\right).\hfill & \left(7.54\right)\hfill \end{array}$$

Mae'r amhariad H₁ yn arbennig o syml: dim ond tri therm sydd ganddo, ac mae'r cyfernodau yn gysonion. Gan mai dim ond tri therm sydd yng nghyfres Poisson H₁, dim ond tair ardal a eithrir o'r parth cymhwysedd yn y cam amhariad cyntaf.

Y generadur cyfres Lie sy'n dileu'r termau yn H₁ hyd at drefn gyntaf yn ϵ, gan fodloni

$$\begin{array}{cc}\left\{H_0,W\right\}+H_1=0,& \left(7.55\right)\end{array}$$

yw

$$\begin{array}{lll}W\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)\hfill & =-\frac{\beta }{{\omega }_r\left(p\right)}\sin \theta \hfill & \hfill \\ \hfill & +\frac{\gamma }{{\omega }_r\left(p\right)+\omega }\sin \left(\theta +\omega t\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +\frac{\gamma }{{\omega }_r\left(p\right)-\omega }\sin \left(\theta -\omega t\right),\hfill & \left(7.56\right)\hfill \end{array}$$

lle mae ω_r(p) = ∂_2,0H₀(τ; θ, t; p, p_t) = p/α yn amledd y rotor heb amhariad.

Mae gan y datrysiad bras a geir dair ardal lle mae enwaduron bach, ac felly dair ardal a eithrir o gymhwysedd y datrysiad amhariadol. Eithrir ardaloedd o ofod gwedd lle mae ω_r(p) yn agos at 0, ω, a −ω. I ffwrdd o'r ardaloedd hyn mae'r datrysiad amhariadol yn gweithio'n dda, yn union fel ym mrasamcan rotor y pendil. Yn anffodus, eithrir rhai o ardaloedd mwy diddorol gofod gwedd y pendil a yrrir: eithrir yr ardal lle ceir gweddill y pendil heb yriant, yn ogystal â'r ddwy ardal gyseiniant lle mae cylchdro'r pendil yn gydamserol â'r gyriant. Mae angen inni ddatblygu dulliau o frasamcanu'r ardaloedd hyn.

7.4 Cyseiniant Aflinol

Gallwn ddatblygu brasamcan ar gyfer ardal gyseiniant ynysig fel a ganlyn. Ystyriwn eto ffwythiannau Hamilton o'r ffurf

$$\begin{array}{cc}H=H_0+\mathit{ϵ}{H}_1,& \left(7.57\right)\end{array}$$

lle mae H₀(t, q, p) = Ĥ₀(p) yn dibynnu ar y momenta yn unig ac felly'n ddatrysadwy. Tybiwn nad oes gan y ffwythiant Hamilton ddibyniaeth eglur ar amser. Tybiwn ymhellach fod y cyfesurynnau oll yn onglau, a bod H₁ yn ffwythiant aml-gyfnodol o'r cyfesurynnau y gellir ei ysgrifennu

$$\begin{array}{cc}{H}_1\left(t,\theta ,p\right)={\displaystyle \sum _k{A}_k\left(p\right)\cos \left(k·\theta \right).}& \left(7.58\right)\end{array}$$

Tybiwch fod gennym ddiddordeb mewn ardal o ofod gwedd lle mae n · ω₀(p) yn agos at sero, lle mae n yn dwpled o gyfanrifau, un ar gyfer pob gradd rhyddid. Os datblygwn y ddamcaniaeth amhariadau fel o'r blaen â'r generadur W sy'n dileu pob term trefn ϵ, yna'r ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio yw H₀, sy'n ddatrysadwy'n ddadansoddol, ond byddai termau â n · ω₀(p) yn yr enwadur. Nid yw'r datrysiad a geir yn gymwys ger y cyseiniant hwn.

Yn union fel y datryswyd problem termau seciwlar drwy grwpio mwy o dermau gyda rhan ddatrysadwy'r ffwythiant Hamilton, gallwn ddatblygu brasamcanion sy'n ddilys yn yr ardal gyseiniant drwy ddileu llai o dermau a grwpio mwy o dermau yn y rhan ddatrysadwy.

I ddatblygu brasamcan amhariadol yn yr ardal gyseiniant lle mae n · ω₀(p) yn agos at sero, cymerwn mai'r generadur W yw

$$\begin{array}{cc}{W}_n\left(t,\theta ,p\right)={\displaystyle \sum _{k\ne 0,k\ne n}\frac{A_k\left(p\right)}{k·{\omega }_0\left(p\right)}\sin \left(k·\theta \right),}& \left(7.59\right)\end{array}$$

gan eithrio termau yn W sy'n arwain at enwaduron bach yn yr ardal hon. Y ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio yw

$$\begin{array}{cc}{H}_n^{\prime }\left(t,\theta ,p\right)={\hat{H}}_0\left(p\right)+\mathit{ϵ}{A}_0\left(p\right)+\mathit{ϵ}{A}_n\left(p\right)\cos \left(n·\theta \right)+\cdots ,& \left(7.60\right)\end{array}$$

lle mae'r termau ychwanegol o drefn uwch yn ϵ. Gan fod y term k = n wedi'i eithrio o'r swm yn y ffwythiant generadu, gadewir y term hwnnw ar ôl y trawsffurfiad.

Mae'r ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio yn dibynnu ar un cyfuniad o onglau yn unig, felly gellir newid newidynnau fel bod y ffwythiant Hamilton newydd wedi'i drawsffurfio yn gylchol ym mhob cyfesuryn ond un, sef y cyfuniad hwn o onglau. Mae'r ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio hwn yn ddatrysadwy (gellir ei leihau i gwadraturau).

Er enghraifft, tybiwch fod dwy radd rhyddid θ = (θ₁, θ₂) a bod gennym ddiddordeb mewn ardal o ofod gwedd lle mae n · ω₀ yn agos at sero, gyda n = [n₁, n₂]. Mae'r cyfuniad o onglau n · θ yn amrywio'n araf yn yr ardal gyseiniant. Mae'r ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio (7.60) o'r ffurf

$$\begin{array}{lll}{H}_n^{\prime }\left(t;{\theta }_1,{\theta }_2;p_1,p_2\right)\hfill & ={\hat{H}}_0\left(p_1,p_2\right)+\mathit{ϵ}{A}_0\left(p_1,p_2\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +\mathit{ϵ}{A}_n\left(p_1,p_2\right)\cos \left(n_1{\theta }_1+n_2{\theta }_2\right).\hfill & \left(7.61\right)\hfill \end{array}$$

Gallwn drawsffurfio newidynnau i σ = n₁θ₁ + n₂θ₂, gyda'r ail gyfesuryn, dyweder, yn θ′ = θ₂.³ Gan ddefnyddio'r ffwythiant generadu o fath F₂

$$\begin{array}{cc}{F}_2\left(t;{\theta }_1,{\theta }_2;\Sigma ,\Theta \prime \right)=\left(n_1{\theta }_1+n_2{\theta }_2\right)\Sigma +{\theta }_2\Theta \prime ,& \left(7.62\right)\end{array}$$

cawn mai'r trawsffurfiad yw

$$\begin{array}{lll}\hfill p_1& =n_1\Sigma \hfill & \hfill \\ \hfill p_2& =n_2\Sigma +\Theta \prime \hfill & \hfill \\ \hfill \sigma & =n_1{\theta }_1+n_2{\theta }_2\hfill & \hfill \\ \hfill \theta \prime & ={\theta }_2.\hfill & \left(7.63\right)\hfill \end{array}$$

Yn y newidynnau hyn daw'r ffwythiant Hamilton cyseiniant wedi'i drawsffurfio $H_n^{\prime }$ yn

$$\begin{array}{lll}{H}_n^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;\Sigma ,\Theta \prime \right)\hfill & ={\hat{H}}_0\left(n_1\Sigma ,n_2\Sigma +\Theta \prime \right)+\mathit{ϵ}{A}_0\left(n_1\Sigma ,n_2\Sigma +\Theta \prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +\mathit{ϵ}{A}_n\left(n_1\Sigma ,n_2\Sigma +\Theta \prime \right)\cos \left(\sigma \right).\hfill & \left(7.64\right)\hfill \end{array}$$

Mae'r ffwythiant Hamilton hwn yn gylchol yn θ′, felly mae Θ′ yn gyson. Gyda'r momentwm cyson hwn, mae gan ffwythiant Hamilton y pâr cyfiau (σ, Σ) un radd rhyddid. Cromliniau lefel y ffwythiant Hamilton yw'r datrysiadau. Mae'r datrysiadau hyn, wedi'u hailfynegi yn nhermau cyfesurynnau gwreiddiol y gofod gwedd, yn rhoi esblygiad $H_n^{\prime }$. Felly datrysiad bras yn yr ardal gyseiniant yw

$$\begin{array}{cc}(t,\theta ,p)=(E_{-\mathit{ϵ},W_n^{\prime }}^{\prime }{E}_{t-t_0,H_n^{\prime }}{E}_{\mathit{ϵ},W_n^{\prime }}^{\prime }I)(t_0,{\theta }_0,p_0).& (7.65)\end{array}$$

Os yw'r ardaloedd cyseiniant wedi'u gwahanu'n ddigonol, yna gellir llunio datrysiad byd-eang drwy uno datrysiadau o'r fath ar gyfer pob ardal gyseiniant.

7.4.1 Brasamcan y Pendil

Mae gan ffwythiant Hamilton y cyseiniant (7.64) un radd rhyddid ac felly mae'n ddatrysadwy (gellir ei leihau i gwadraturau). Gallwn ddatblygu datrysiad dadansoddol bras yng nghyffiniau'r cyseiniant drwy ddefnyddio'r ffaith bod y datrysiad yn ddilys yno. Gellir brasamcanu ffwythiant Hamilton y cyseiniant gan ffwythiant Hamilton pendil cyffredinoledig.

Boed

$$\begin{array}{ll}{H}_{n,0}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;\Sigma ,\Theta \prime \right)\hfill & \hfill \\ ={\hat{H}}_0\left(n_1\Sigma ,n_2\Sigma +\Theta \prime \right)+\mathit{ϵ}{A}_0\left(n_1\Sigma ,n_2\Sigma +\Theta \prime \right)\hfill & \left(7.66\right)\hfill \end{array}$$

a

$$\begin{array}{cc}{H}_{n,1}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;\Sigma ,\Theta \prime \right)=A_n\left(n_1\Sigma ,n_2\Sigma +\Theta \prime \right)\cos \left(\sigma \right);& \left(7.67\right)\end{array}$$

yna ffwythiant Hamilton y cyseiniant yw

$$\begin{array}{cc}{H}_n^{″}=H_{n,0}^{″}+\mathit{ϵ}{H}_{n,1}^{″}.& \left(7.68\right)\end{array}$$

Diffiniwch ganol y cyseiniant Σ_n drwy'r gofyniad bod amledd y cyseiniant yn sero yno:

$$\begin{array}{cc}{\partial }_{2,0}{H}_{n,0}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;{\Sigma }_n,\Theta \prime \right)=0.& \left(7.69\right)\end{array}$$

Nawr ehangwch ddwy ran ffwythiant Hamilton y cyseiniant o amgylch canol y cyseiniant:

$$\begin{array}{lll}{H}_{n,0}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;\Sigma ,\Theta \prime \right)\hfill & =H_{n,0}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;{\Sigma }_n,\Theta \prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_{2,0}{H}_{n,0}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;{\Sigma }_n,\Theta \prime \right)\left(\Sigma -{\Sigma }_n\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +\frac{1}{2}{\partial }_{2,0}^2{H}_{n,0}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;{\Sigma }_n,\Theta \prime \right){\left(\Sigma -{\Sigma }_n\right)}^2\hfill & \hfill \\ \hfill & +\cdots ,\hfill & \left(7.70\right)\hfill \end{array}$$

a

$$\begin{array}{cc}{H}_{n,1}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;\Sigma ,\Theta \prime \right)=H_{n,1}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;{\Sigma }_n,\Theta \prime \right)+\cdots .& \left(7.71\right)\end{array}$$

Mae'r term cyntaf yn ehangiad $H_{n,0}^{″}$ yn gysonyn a gellir ei anwybyddu. Mae cyfernod yr ail derm yn sero, o ddiffiniad Σ_n. Y trydydd term yw'r term arwyddocaol cyntaf. Tybiwn yma fod term cyntaf $H_{n,1}^{″}$ yn gysonyn nad yw'n sero. Nawr mae graddfa'r separatrics yn Σ ar gyseiniant fel arfer yn gyfrannol i $\sqrt{\mathit{ϵ}}$. Felly mae trydydd term $H_{n,0}^{″}$ a therm cyntaf $H_{n,1}^{″}$ ill dau yn gyfrannol i ϵ. Mae termau dilynol o drefn uwch yn ϵ. Gan gadw dim ond y termau trefn ϵ, mae ffwythiant Hamilton bras y cyseiniant o'r ffurf

$$\begin{array}{cc}\frac{{\left(\Sigma -{\Sigma }_n\right)}^2}{2\alpha \prime }-\mathit{ϵ}\beta \prime \cos \sigma ,& \left(7.72\right)\end{array}$$

sef ffwythiant Hamilton pendil â chanol wedi'i symud mewn momentwm. Mae hwn yn ddatrysadwy'n ddadansoddol. Y cysonion yw:

$$\begin{array}{lll}\alpha \prime =\hfill & =1/\left({\partial }_{2,0}^2{H}_{n,0}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;{\Sigma }_n,\Theta \prime \right)\right)\hfill & \hfill \\ \beta \prime =\hfill & =H_{n,1}^{″}\left(t;\sigma ,\theta \prime ;{\Sigma }_n,\Theta \prime \right).\hfill & \left(7.73\right)\hfill \end{array}$$

Cyseiniannau'r pendil a yrrir

Ystyriwch ymddygiad y pendil a yrrir yn gyfnodol yng nghyffiniau'r cyseiniant ω_r(p) = ω.

Mae gan ffwythiant Hamilton (7.54) y pendil a yrrir dri therm cyseiniant yn H₁. Mae gan y generadur llawn (7.56) dri therm a gynlluniwyd i ddileu'r termau cyseiniant cyfatebol yn y ffwythiant Hamilton. Mae gan y datrysiad bras a geir enwaduron bach yn agos at bob un o'r tri chyseiniant, ω_r(p) = 0, ω_r(p) = ω, ac ω_r(p) = −ω.

I ddatblygu brasamcan cyseiniant ger ω_r(p) = ω, nid ydym yn cynnwys y term cyfatebol yn y generadur, fel bod y term cyfatebol yn aros yn y ffwythiant Hamilton. Mae'n ddefnyddiol rhoi enwau i'r gwahanol dermau yn y generadur llawn (7.56):

$$\begin{array}{lll}\hfill W^0\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)& =-\frac{\beta }{{\omega }_r\left(p\right)}\sin \theta \hfill & \hfill \\ \hfill W^{-}\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)& =\frac{\gamma }{{\omega }_r\left(p\right)+\omega }\sin \left(\theta +\omega t\right)\hfill & \hfill \\ \hfill W^{+}\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)& =\frac{\gamma }{{\omega }_r\left(p\right)-\omega }\sin \left(\theta -\omega t\right).\hfill & \left(7.74\right)\hfill \end{array}$$

Y generadur llawn yw W⁰ + W⁻ + W⁺.

I ymchwilio i'r mudiant yn y gofod gwedd ger y cyseiniant ω_r(p) = ω (y cyseiniant “+”), defnyddiwn y generadur sy'n eithrio'r term cyfatebol

$$\begin{array}{cc}{W}_{+}=W^0+W^{-}.& \left(7.75\right)\end{array}$$

Gyda'r generadur hwn, y ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio yw

$$\begin{array}{cc}{H}_{+}\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)=p_t+\frac{p^2}{2\alpha }+\mathit{ϵ}\gamma \cos \left(\theta -\omega t\right)+\cdots .& \left(7.76\right)\end{array}$$

Ar ôl inni eithrio'r termau trefn uwch, dim ond un cyfuniad o gyfesurynnau sydd gan y ffwythiant Hamilton hwn, ac felly gellir ei drawsffurfio'n ffwythiant Hamilton sy'n gylchol ym mhob gradd rhyddid ond un. Diffiniwch y trawsffurfiad drwy'r ffwythiant generadu â newidynnau cymysg

$$\begin{array}{cc}{F}_2\left(\tau ;t,\theta ;\Sigma ,p_t^{\prime }\right)=\left(\theta -\omega t\right)\Sigma +t{p}_t^{\prime },& \left(7.77\right)\end{array}$$

sy'n rhoi'r trawsffurfiad

$$\begin{array}{lll}\hfill \sigma & =\theta -\omega t\hfill & \hfill \\ \hfill t& =t\prime \hfill & \hfill \\ \hfill p& =\Sigma \hfill & \hfill \\ \hfill p_t& =p_t^{\prime }-\omega \Sigma .\hfill & \left(7.78\right)\hfill \end{array}$$

O'i fynegi yn y cyfesurynnau newydd hyn, ffwythiant Hamilton y cyseiniant yw

$$\begin{array}{lll}{H}_{+}\prime \left(\tau ;\sigma ,t\prime ;\Sigma ,p_t^{\prime }\right)\hfill & =p_t^{\prime }-\omega \Sigma +\frac{{\Sigma }^2}{2\alpha }+\mathit{ϵ}\gamma \cos \sigma \hfill & \hfill \\ \hfill & =\frac{{\left(\Sigma -\alpha \omega \right)}^2}{2\alpha }+\mathit{ϵ}\gamma \cos \sigma +p_t^{\prime }-\frac{1}{2}\alpha {\omega }^2.\hfill & \left(7.79\right)\hfill \end{array}$$

Mae'r ffwythiant Hamilton hwn yn gylchol yn t′, felly cromliniau lefel H₊′ yn (σ, Σ) yw'r datrysiadau. Mewn gwirionedd, gellir dweud mwy yma oherwydd mae H₊′ eisoes ar ffurf pendil wedi'i symud yn y cyfeiriad Σ gan αω ac wedi'i symud gan π mewn gwedd. Daw'r symudiad o π oherwydd mae arwydd y term cosin yn bositif, yn hytrach na negatif fel yn y pendil arferol. Rhoddir braslun o'r cromliniau lefel yn ffigur 7.8.

Ymarfer 7.2: Lled cyseiniant

Gwiriwch mai hanner lled yr ardal gyseiniant yw $2\sqrt{\alpha \gamma \mathit{ϵ}}$.

Ymarfer 7.3: Gyda'r cyfrifiadur

Gwiriwch, gyda'r cyfrifiadur, fod y ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio â'r generadur W₊ yn cael ei roi gan hafaliad (7.76).

Datrysiad bras i'r pendil a yrrir ger y cyseiniant ω_r(p) = ω yw

$$\begin{array}{cc}(\tau ;\theta ,t;p,p_t)=(E_{-\mathit{ϵ},W_{+}}^{\prime }{E}_{\tau -{\tau }_0,H+\prime }{E}_{\mathit{ϵ},W_{+}}^{\prime }I)({\tau }_0;{\theta }_0,t_0;p_0,{(p_t)}_0).& (7.80)\end{array}$$

I ganfod i ba raddau y mae'r datrysiad bras yn modelu'r gwir bendil a yrrir, gwnawn arwyneb toriad gan ddefnyddio'r datrysiad bras hwn a'i gymharu ag arwyneb toriad ar gyfer y gwir bendil a yrrir. Dangosir arwyneb toriad y datrysiad bras yn yr ardal gyseiniant yn ffigur 7.9. Dangosir arwyneb toriad y gwir bendil a yrrir yn rhan isaf ffigur 7.10. Mae'r cyfatebiaeth yn rhyfeddol o dda. Sylwch nad yw'r ynys gyseiniant yn gymesur o amgylch llinell momentwm cyson. Mae ffwythiant Hamilton y cyseiniant yn gymesur o amgylch Σ = αω, ac ar ei ben ei hun byddai'n rhoi ynys gyseiniant gymesur (gweler ffigur 7.8). Cyflwynir yr ystumiad angenrheidiol gan y trawsffurfiad W₊ sy'n dileu'r cyseiniannau eraill. Yn wir, yn y toriad llawn mae'r ystumiad yn ymddangos fel pe bai'n cael ei gynhyrchu gan y cyseiniant cyfagos ω_r(p) = 0 yn “gwthio i ffwrdd” nodweddion cyfagos fel bod lle iddo ffitio. Fodd bynnag, ni chynrychiolir rhai nodweddion o'r gwir doriad yn ffigur 7.9: er enghraifft, y parth anhrefnus bach ger y gwir separatrics.

Mae'r ystumiad a gyflwynir gan y trawsffurfiad a gynhyrchir gan W₊ yn fach oherwydd mae'r termau y mae'n eu cyflwyno yn gyfrannol i wrthdro cyfuniad o amleddau.⁴ Gan nad yw'r cyfuniad hwn yn fach, mae rhannu ag ef yn gwneud y cywiriad yn fach. Felly nid oes rhaid i'r “paramedr trefn” ϵ fod yn fach i wneud y termau cywiro yn fach, ac o hyn ymlaen gallwn osod ϵ = 1.

Mae'r datrysiad amhariadol ger y cyseiniant ω_r(p) = 0 yn uno'n esmwyth â'r datrysiadau amhariadol ar gyfer y cyseiniannau ω_r(p) = ω ac ω_r(p) = −ω. Gallwn wneud datrysiad amhariadol cyfansawdd drwy ddefnyddio'r datrysiad cyseiniant priodol ar gyfer pob ardal o ofod gwedd. Dangosir arwyneb toriad y datrysiad amhariadol cyfansawdd yn rhan uchaf ffigur 7.10, uwchben arwyneb toriad cyfatebol y gwir bendil a yrrir. Mae'r datrysiad amhariadol yn dal llawer o'r nodweddion a welir ar y gwir doriad. Mae siapiau'r ardaloedd cyseiniant yn cael eu hystumio gan y trawsffurfiadau sy'n dileu'r cyseiniannau cyfagos, felly mae'r darnau a geir yn ffitio at ei gilydd yn gyson. Mae lled rhagfynegol pob ardal gyseiniant yn cytuno â'r gwir led: nid yw'n cael ei newid yn sylweddol gan ystumiad yr ardal a gyflwynir wrth ddileu'r termau cyseiniant eraill. Ond ni chaiff pob nodwedd o'r gwir doriad ei hatgynhyrchu yn y cyfuniad hwn o frasamcanion trefn gyntaf. Nid yw'r datrysiad amhariadol trefn gyntaf yn dal yr ynysoedd cyseiniant rhwng y ddau brif gyseiniant na'r cadwyni ynysoedd eilaidd a gynhwysir o fewn prif ardal gyseiniant. Hefyd, nid yw'r datrysiad amhariadol trefn gyntaf yn dangos y parth anhrefnus ger y separatrics sy'n amlwg yn arwyneb toriad y gwir bendil a yrrir.

Ar gyfer gyriannau mwy, mae'r brasamcanion a ddeillir drwy amhariadau trefn gyntaf yn waeth. Yn rhan isaf ffigur 7.11, gyda gyriant sy'n fwy gan ffactor o bump, collwn y cromliniau annewidiol sy'n gwahanu'r ardaloedd cyseiniant. Mae'r prif ynysoedd cyseiniant yn parhau, ond mae'r parthau anhrefnus ger y separatricsau wedi uno'n un môr anhrefnus mawr.

Mae'r datrysiad amhariadol cyfansawdd trefn gyntaf i'r pendil a yrrir yn gryfach yn rhan uchaf ffigur 7.11 yn dal i frasamcanu canolfannau'r prif ynysoedd cyseiniant yn weddol dda, ond mae'n methu wrth inni symud allan a dod ar draws yr ynysoedd eilaidd sy'n weladwy yn yr ardal gyseiniant ar gyfer ω_r(p) = ω. Yma nid yw brasamcanion y ddwy ardal yn ffitio at ei gilydd cystal. Ceir y môr anhrefnus yn yr ardal lle nad yw'r datrysiadau amhariadol yn cyd-fynd.

7.4.2 Darllen y Ffwythiant Hamilton

Yn aml gellir darllen lleoliadau a lledau'r prif ynysoedd cyseiniant yn uniongyrchol o'r ffwythiant Hamilton pan fynegir ef fel cyfres Poisson. Ar gyfer pob term yng nghyfres yr amhariad ceir ynys gyseiniant gyfatebol. Yn aml gellir cyfrifo lled yr ynys yn syml o'r cyfernodau yn y ffwythiant Hamilton. Felly dim ond drwy edrych ar y ffwythiant Hamilton gallwn gael syniad da o'r math o ymddygiad a welwn ar yr arwyneb toriad. Er enghraifft, yn y pendil a yrrir, mae gan y ffwythiant Hamilton (7.54) dri therm. Gallem ragweld, dim ond drwy edrych ar y ffwythiant Hamilton, y ceir tair prif ynys gyseiniant ar yr arwyneb toriad. Gwyddom y bydd yr ynysoedd hyn wedi'u lleoli lle mae'r cyfuniad cyseiniol o onglau yn araf. Felly ar gyfer y pendil a yrrir yn gyfnodol mae'r cyseiniannau yn digwydd ger ω_r(p) = ω, ω_r(p) = 0, ac ω_r(p) = −ω. Gellir cael lledau bras yr ynysoedd cyseiniant drwy gyfrifiad syml.

7.4.3 Maen Prawf Gorgyffwrdd Cyseiniannau

Wrth i faint y gyriant gynyddu, mae'r parthau anhrefnus ger y separatricsau yn tyfu ac yna'n uno'n fôr anhrefnus mawr. Mae maen prawf gorgyffwrdd cyseiniannau yn rhoi amcangyfrif dadansoddol o bryd y mae hyn yn digwydd. Y syniad sylfaenol yw cymharu swm lledau cyseiniannau cyfagos â'r pellter rhyngddynt. Os yw swm yr hanner lledau yn fwy na'r pellter rhyngddynt, yna mae maen prawf gorgyffwrdd cyseiniannau yn rhagfynegi y bydd ymddygiad anhrefnus ar raddfa fawr ger y cyseiniannau sy'n gorgyffwrdd. Yn achos y pendil a yrrir yn gyfnodol, hanner lled y cyseiniant ω_r(p) = 0 yw $2\sqrt{\alpha \beta }$ a hanner lled y cyseiniant ω_r(p) = ω yw $2\sqrt{\alpha \gamma }$ (gweler ffigur 7.12). Y pellter rhwng y cyseiniannau yw αω. Felly mae cyseiniannau yn gorgyffwrdd os

$$\begin{array}{cc}2\sqrt{\alpha \beta }+2\sqrt{\alpha \gamma }\ge \alpha \omega .& \left(7.81\right)\end{array}$$

Daw osgled y gyriant i mewn drwy γ. Drwy ddatrys, cawn werth γ y mae gorgyffwrdd cyseiniannau yn digwydd uwchlaw iddo. Ar gyfer y paramedrau α = β = 1, ω = 5 a ddefnyddiwyd yn ffigurau 7.9–7.11, gwerth γ ar gyfer gorgyffwrdd cyseiniannau yw 9/4. Gwelwn, mewn gwirionedd, fod y parthau anhrefnus eisoes wedi uno ar gyfer γ = 5/4. Felly yn yr achos hwn mae maen prawf gorgyffwrdd cyseiniannau yn goramcangyfrif cryfder y cyseiniannau sydd ei angen i gael ymddygiad anhrefnus ar raddfa fawr. Mae hyn yn nodweddiadol o faen prawf gorgyffwrdd cyseiniannau.

Un ffordd o feddwl am pam mae maen prawf gorgyffwrdd cyseiniannau fel arfer yn goramcangyfrif y cryfder sydd ei angen i gael anhrefn ar raddfa fawr yw bod rhaid ystyried effeithiau eraill. Er enghraifft, wrth i'r gyriant gynyddu mae cyseiniannau ail drefn yn ymddangos rhwng y prif gyseiniannau; mae'r cyseiniannau hyn yn cymryd lle ac felly mae gorgyffwrdd cyseiniannau yn digwydd ar gyfer gyriant llai na'r disgwyl o ystyried y prif gyseiniannau yn unig. Hefyd, mae gan y parthau anhrefnus wrth bob separatrics arwynebedd y mae'n rhaid rhoi cyfrif amdano.

7.4.4 Damcaniaeth Amhariadau Trefn Uwch

Wrth i'r gyriant gynyddu, daw amrywiaeth o ynysoedd newydd i'r amlwg, nad ydynt yn amlwg yn y ffwythiant Hamilton gwreiddiol. I gael brasamcanion o fudiant yn yr ardaloedd hyn gallwn ddefnyddio damcaniaeth amhariadau trefn uwch. Mae'r cynllun sylfaenol yr un fath ag o'r blaen. Ar unrhyw gam mynegir y ffwythiant Hamilton (sydd efallai'n ganlyniad i gamau cynharach mewn damcaniaeth amhariadau) fel cyfres Poisson (cyfres Fourier aml-ongl). Dilëir y termau nad ydynt yn gyseiniol mewn ardal o ddiddordeb gan drawsffurfiad Lie. Mae'r termau cyseiniant sy'n weddill yn cynnwys un cyfuniad o onglau yn unig ac felly maent yn ddatrysadwy drwy wneud trawsffurfiad canonig i gyfesurynnau cyseiniant. Cwblhawn y datrysiad a thrawsffurfiwn yn ôl i'r cyfesurynnau gwreiddiol.

Gadewch inni gael brasamcan amhariadol ar gyfer yr ynysoedd ail drefn sy'n weladwy yn ffigur 7.10 rhwng y cyseiniant ω_r(p) = 0 a'r cyseiniant ω_r(p) = −ω. Mae'r manylion yn flêr, felly dim ond ychydig o ganlyniadau canolraddol a roddwn.

Nid yw'r cyseiniant hwn yn agos at y tri phrif gyseiniant, felly gallwn ddefnyddio'r generadur llawn (7.56) i ddileu'r tri phrif derm cyseiniant hynny o'r ffwythiant Hamilton. Ar ôl y cam amhariad hwn mae'r ffwythiant Hamilton yn rhy gymhleth i edrych arno.

Ehangwn y ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio ar ffurf Poisson a rhannwn y termau yn rhai sy'n gyseiniol a rhai nad ydynt. Gellir dileu'r termau nad ydynt yn gyseiniol gan drawsffurfiad Lie. Mae'r trawsffurfiad Lie hwn yn gadael y termau cyseiniol yn y ffwythiant Hamilton ac yn cyflwyno ystumiad ychwanegol i'r cromliniau ar yr arwyneb toriad. Yn yr achos hwn mae'r ystumiad ychwanegol yn fach, ond yn flêr iawn i'w gyfrifo, felly ni fyddwn yn cynnwys yr effaith hon. Yna ffwythiant Hamilton y cyseiniant yw (ar ôl cryn dipyn o algebra)

$$\begin{array}{ll}{H}_{2:1}\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)\hfill & \hfill \\ =\frac{p^2}{2\alpha }+p_t+\frac{\alpha \beta \gamma }{4p^2}\frac{{\alpha }^2{\omega }^2+2\alpha \omega p+2p^2}{{\left(\alpha \omega +p\right)}^2}\cos \left(2\theta +\omega t\right).\hfill & \left(7.82\right)\hfill \end{array}$$

Mae hwn yn ddatrysadwy oherwydd dim ond un cyfuniad o gyfesurynnau sydd.

Gallwn gael datrysiad dadansoddol drwy wneud brasamcan y pendil. Mae'r ffwythiant Hamilton eisoes yn gwadratig yn y momentwm p, felly'r cyfan sydd angen inni ei wneud yw gwerthuso cyfernod y termau potensial yng nghanol y cyseiniant p_2:1 = αω/2. Ffwythiant Hamilton y cyseiniant, ym mrasamcan y pendil, yw

$$\begin{array}{cc}{H}_{2:1}^{\prime }\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)=\frac{p^2}{2\alpha }+\frac{2\beta \gamma }{\alpha {\omega }^2}\cos \left(2\theta +\omega t\right).& \left(7.83\right)\end{array}$$

Mae cyflawni'r trawsffurfiad i'r newidyn cyseiniant σ = 2θ − ωt yn lleihau hwn i ffwythiant Hamilton pendil ag un radd rhyddid. Drwy gyfuno datrysiad dadansoddol y ffwythiant Hamilton pendil hwn â'r trawsffurfiadau a gynhyrchir gan W llawn, cawn ddatrysiad amhariadol bras

$$\begin{array}{cc}(\tau ;\theta ,t;p,p_t)=(E_{-\mathit{ϵ},W}^{\prime }{E}_{\tau -{\tau }_0,H_{2:1}^{″}}{E}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }I)({\tau }_0;{\theta }_0,t_0;p_0,{(p_t)}_0).& (7.84)\end{array}$$

Dangosir arwyneb toriad yn yr ardal gyseiniant briodol gan ddefnyddio'r datrysiad hwn yn ffigur 7.13. Wrth gymharu hwn â'r gwir arwyneb toriad (ffigur 7.10), gwelwn fod y datrysiad bras yn darparu cynrychiolaeth dda o'r mudiant cyseiniant hwn.

7.4.5 Sefydlogrwydd y Cydbwysedd Fertigol Gwrthdro

Fel ail gymhwysiad, defnyddiwn ddamcaniaeth amhariadau ail drefn i ymchwilio i gydbwysedd fertigol gwrthdro'r pendil a yrrir yn gyfnodol.

Yma, mae'r dull yn dilyn yr un a ddefnyddiwyd yn union o'r blaen, ond canolbwyntiwn ar set wahanol o dermau cyseiniant. Y termau sy'n amrywio'n araf ar gyfer y cydbwysedd fertigol yw'r rhai sy'n cynnwys θ ond nad ydynt yn cynnwys t, megis cos(θ) a cos(2θ). Felly rydym am ddefnyddio'r generadur W⁺ + W⁻ sy'n dileu'r termau nad ydynt yn gyseiniol ac sy'n cynnwys cyfuniadau o θ ac ωt, gan adael y cyseiniant canolog. Ar ôl trawsffurfio'r ffwythiant Hamilton drwy drawsffurfiad Lie â'r generadur hwn, ysgrifennwn y ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio fel cyfres Poisson a chasglwn y termau cyseiniol. Ffwythiant Hamilton y cyseiniant wedi'i drawsffurfio yw

$$\begin{array}{ll}{H}_V^{\prime }\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)\hfill & \hfill \\ =\frac{p^2}{2\alpha }-\beta \cos \theta +\frac{\alpha {\gamma }^2\left({\alpha }^2{\omega }^2+p^2\right)}{2{\left({\alpha }^2{\omega }^2-p^2\right)}^2}\cos \left(2\theta \right)+\cdots .\hfill & \left(7.85\right)\hfill \end{array}$$

Mae ffigur 7.14 yn dangos cyfuchliniau'r ffwythiant Hamilton cyseiniant hwn $H_V^{\prime }$ (uchod) ac arwyneb toriad i'r gwir bendil a yrrir (isod) ar gyfer yr un paramedrau. Ni ellir gwahaniaethu ymddygiad ffwythiant Hamilton y cyseiniant oddi wrth ymddygiad y gwir bendil a yrrir. Mae'r ddamcaniaeth yn gweithio'n arbennig o dda yma; nid oes cyseiniannau cyfagos oherwydd mae amledd y gyriant yn uchel.

Gallwn gael amcangyfrif dadansoddol o sefydlogrwydd y cydbwysedd fertigol gwrthdro drwy gyflawni dadansoddiad sefydlogrwydd llinol o bwynt sefydlog θ = π, p = 0 ffwythiant Hamilton y cyseiniant. Mae'r algebra ychydig yn symlach os gwnawn frasamcan y pendil o amgylch canol y cyseiniant yn gyntaf. Yna ffwythiant Hamilton y cyseiniant, yn fras, yw

$$\begin{array}{cc}{H}_V^{″}\left(\tau ;\theta ,t;p,p_t\right)=\frac{p^2}{2\alpha }-\beta \cos \theta +\frac{{\gamma }^2}{2\alpha {\omega }^2}\cos \left(2\theta \right)+\cdots .& \left(7.86\right)\end{array}$$

Mae dadansoddiad sefydlogrwydd llinol o'r cydbwysedd fertigol gwrthdro yn dangos sefydlogrwydd ar gyfer

$$\begin{array}{cc}{\gamma }^2>\alpha \beta {\omega }^2.& \left(7.87\right)\end{array}$$

Yn nhermau'r paramedrau ffisegol gwreiddiol, mae'r cydbwysedd fertigol yn sefydlog yn llinol os

$$\begin{array}{cc}\frac{\omega }{{\omega }_s}\frac{A}{l}>\sqrt{2},& \left(7.88\right)\end{array}$$

lle mae ${\omega }_s=\sqrt{g/l}$ yn amledd osgiliadau osgled bach. Er mwyn i'r cydbwysedd fertigol fod yn sefydlog, rhaid i luoswm wedi'i raddio osgled y gyriant ac amledd y gyriant fod yn ddigon mawr.

Cymherir yr amcangyfrif dadansoddol hwn ag ymddygiad y pendil a yrrir yn ffigur 7.15. Ar gyfer unrhyw aseiniad penodol o'r paramedrau, gellir profi'r pendil a yrrir am sefydlogrwydd llinol y cydbwysedd fertigol gwrthdro drwy ddulliau pennod 4; mae hyn yn golygu pennu gwreiddiau'r polynomial nodweddiadol ar gyfer orbit cyfeirio yng nghanol y cyseiniant. Yn y ffigur aseswyd sefydlogrwydd y cydbwysedd fertigol gwrthdro ym mhob pwynt ar grid o aseiniadau'r paramedrau. Dangosir dot ar gyfer cyfuniadau o baramedrau sy'n sefydlog yn llinol. Y llinell letraws yw ffin ddadansoddol ardal sefydlogrwydd y cydbwysedd gwrthdro: $\left(\omega /{\omega }_s\right)\left(A/l\right)=\sqrt{2}$. Gwelwn fod ffin yr ardal sefydlogrwydd yn cael ei brasamcanu'n dda gan yr amcangyfrif dadansoddol a ddeillir o ddamcaniaeth amhariadau. Sylwch fod ardal arall o ansefydlogrwydd ar gyfer osgledau gyriant uchel iawn, nad yw'r dadansoddiad amhariadol hwn yn ei dal.

7.5 Crynodeb

Nod damcaniaeth amhariadau yw cysylltu agweddau ar fudiadau system benodol ag agweddau ar fudiadau system ddatrysadwy gyfagos. Gellir defnyddio damcaniaeth amhariadau i ragfynegi nodweddion megis maint a lleoliad yr ynysoedd cyseiniant a'r parthau anhrefnus.

Drwy ddadansoddiad amhariadol cawn frasamcan o esblygiad system drwy gysylltu esblygiad y system ag esblygiad system wahanol y gellir, ar ôl ei brasamcanu, ei datrys yn union. Gallwn gario'r union ddatrysiad hwn i'r broblem fras yn ôl i'r system wreiddiol i gael datrysiad bras i'n problem wreiddiol. Strategaeth damcaniaeth amhariadau canonig yw gwneud trawsffurfiadau canonig sy'n dileu termau yn y ffwythiant Hamilton sy'n rhwystro datrys. Mae ffurfio damcaniaeth amhariadau yn nhermau cyfresi Lie yn arbennig o gyfleus.

Gallwn ddefnyddio damcaniaeth amhariadau trefn gyntaf i ddadansoddi mudiant y pendil heb yriant fel rotor rhydd yr ychwanegir disgyrchiant ato. Yn y dadansoddiad hwn canfyddwn fod enwadur bach yn y gyfres yn cyfyngu amrediad cymhwysedd y datrysiad amhariadol i ardaloedd sydd i ffwrdd o ardal yr osgiliadau cyseiniol.

Mewn damcaniaeth amhariadau trefn uwch ar gyfer y pendil darganfyddwn broblem termau seciwlar, sef termau sy'n cynhyrchu gwall sy'n tyfu gydag amser. Gellir osgoi ymddangosiad termau seciwlar drwy olrhain sut mae'r amleddau yn newid wrth gynnwys amhariadau. Mewn damcaniaeth amhariadau canonig gellir osgoi termau seciwlar drwy gysylltu rhan gyfartalog yr amhariad â rhan ddatrysadwy'r ffwythiant Hamilton.

Wrth gyflawni damcaniaeth amhariadau canonig mewn dimensiynau uwch canfyddwn fod problem enwaduron bach yn fwy difrifol. Mae enwaduron bach yn codi ger pob cymesuradwyedd, ac mae cymesuradwyedd yn gyffredin. Gellir osgoi enwaduron bach yn lleol ger cymesuradwyeddau penodol drwy ymgorffori'r termau problemus yn rhan ddatrysadwy'r ffwythiant Hamilton. Os yw'r cyseiniannau yn ynysig, mae ffwythiant Hamilton y cyseiniant a geir yn dal yn ddatrysadwy. Mewn llawer o achosion, mae ffwythiant Hamilton tebyg i un pendil yn brasamcanu ffwythiant Hamilton y cyseiniant yn dda. Gellir llunio darlun byd-eang drwy uno'r datrysiadau i bob ardal gyseiniant a luniwyd ar wahân.

Os yw dwy ardal gyseiniant yn gorgyffwrdd—hynny yw, os yw swm hanner lledau'r ardaloedd cyseiniant yn fwy na'r pellter rhyngddynt—yna mae anhrefn ar raddfa fawr yn dilyn. Mae'r ardaloedd anhrefnus sy'n gysylltiedig â separatricsau'r cyseiniannau sy'n gorgyffwrdd yn cysylltu â'i gilydd. Pan fo'r cyseiniannau yn cael eu brasamcanu'n dda gan gyseiniannau tebyg i bendil, gellir datblygu maen prawf dadansoddol syml ar gyfer ymddangosiad anhrefn ar raddfa fawr.

Gellir datblygu disgrifiadau amhariadol trefn uwch i ddisgrifio ynysoedd nad ydynt yn cyfateb i dermau penodol yn y ffwythiant Hamilton, cyseiniannau eilaidd, deuffyrchiadau, ac yn y blaen. Gellir estyn y ddamcaniaeth i ddisgrifio cymaint o fanylion ag y dymunir.

7.6 Prosiectau

Ymarfer 7.4: Pendil a yrrir yn gyfnodol

a. Gweithiwch allan fanylion y ddamcaniaeth amhariadau ar gyfer prif gyseiniannau'r pendil a yrrir, fel y dangosir yn ffigur 7.10.

b. Gweithiwch allan fanylion y ddamcaniaeth amhariadau ar gyfer sefydlogrwydd y cydbwysedd fertigol gwrthdro. Deilliwch ffwythiant Hamilton y cyseiniant a phlotiwch ei gyfuchliniau. Cymharwch y cyfuchliniau hyn ag arwynebau toriad ar gyfer amrywiaeth o baramedrau.

c. Cyflawnwch y dadansoddiad sefydlogrwydd llinol sy'n arwain at hafaliad (7.88). Beth sy'n digwydd yn rhan uchaf ffigur 7.15? Pam mae'r system yn ansefydlog pan fo maen prawf (7.88) yn rhagfynegi sefydlogrwydd? Defnyddiwch arwynebau toriad i ymchwilio i'r amrediad paramedrau hwn.

Ymarfer 7.5: Cyplu sbin-orbit

Ffwythiant Hamilton ar gyfer y broblem sbin-orbit a ddisgrifir yn adran 2.11.2 yw

$$\begin{array}{lll}H\left(t,\theta ,p_{\theta }\right)\hfill & =\frac{p_{\theta }^2}{2C}-\frac{n^2{\mathit{ϵ}}^{2}C}{4}\frac{a^3}{R^3\left(t\right)}\cos 2\left(\theta -f\left(t\right)\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\frac{p_{\theta }^2}{2C}-\frac{n^2{\mathit{ϵ}}^{2}C}{4}(\cos \left(2\theta -2nt\right)+\frac{7e}{2}\cos \left(2\theta -3nt\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & -\frac{e}{2}\cos \left(2\theta -nt\right)+\cdots )\hfill & \left(7.89\right)\hfill \end{array}$$

lle mae'r termau a anwybyddir o drefn uwch yn yr ecsentrigrwydd e. Sylwch mai ϵ yma yw'r paramedr gwyriad oddi wrth gryndod.

a. Darganfyddwch ledau a chanolfannau'r tri phrif gyseiniant. Cymharwch y rhagfynegiadau ar gyfer y lledau â lledau'r ynysoedd a welir ar arwynebau toriad. Ysgrifennwch y maen prawf gorgyffwrdd cyseiniannau a'i gymharu ag arbrofion rhifiadol ar gyfer y pontio i anhrefn ar raddfa fawr.

b. Mae pwynt sefydlog yr ynys gydamserol wedi'i ddadleoli oddi wrth gyfradd gylchdroi gyfartalog. Mae hyn yn arwydd o osgiliad “gorfodedig” yng nghylchdro'r Lleuad. Datblygwch ddamcaniaeth amhariadol ar gyfer mudiant yn yr ynys gydamserol drwy ddefnyddio trawsffurfiad Lie i ddileu'r ddau gyseiniant nad ydynt yn gydamserol. Rhagfynegwch leoliad y pwynt sefydlog yng nghanol y cyseiniant cydamserol ar yr arwyneb toriad, ac felly rhagfynegwch osgled osgiliad gorfodedig y Lleuad.

¹Mesurir y “lled” fel amrediad y momenta.

²Yn gyffredinol, mae angen inni gynnwys termau sin hefyd, ond mae'r ehangiad cosin yn ddigon ar gyfer yr enghraifft hon.

³Bydd unrhyw gyfuniad sy'n annibynnol yn llinol yn dderbyniol yma.

⁴Ar gyfer W₊ gweler hafaliadau 7.74 a 7.75; ar gyfer y berthynas gyffredinol rhwng term yn y generadur a'r trawsffurfiad cyfesurynnau a gynhyrchir gweler hafaliadau 7.48 a 7.49.