Mecaneg Lagrange

Diben mecaneg yw disgrifio sut mae cyrff yn newid eu safle yn y gofod gydag “amser”. Byddwn yn llwytho fy nghydwybod â phechodau difrifol yn erbyn ysbryd sanctaidd eglurder pe bawn yn llunio nodau mecaneg yn y modd hwn, heb fyfyrio o ddifrif ac esbonio'n fanwl. Awn ati i ddatgelu'r pechodau hyn.

Albert Einstein, Relativity, the Special and General Theory [16], t. 9

Testun y llyfr hwn yw mudiant a'r offer mathemategol a ddefnyddir i'w ddisgrifio.

Datgelodd canrifoedd o arsylwi gofalus ar fudiadau'r planedau batrymau rheolaidd yn y mudiadau hynny, gan alluogi rhagfynegiadau cywir o ffenomenau megis diffygion a chydgysylltiadau planedol. Arweiniodd yr ymdrech i lunio'r patrymau rheolaidd hyn, ac yn y pen draw i'w deall, at ddatblygu mathemateg ac at y darganfyddiad y gellid defnyddio mathemateg yn effeithiol i ddisgrifio agweddau ar y byd ffisegol. Mae'r ffaith y gellir defnyddio mathemateg i ddisgrifio ffenomenau naturiol yn rhyfeddol.

Mae clwb a deflir gan jyglwr yn dilyn llwybr eithaf rhagweladwy ac yn cylchdroi mewn modd eithaf rhagweladwy. Yn wir, mae sgìl jyglo yn dibynnu'n hollbwysig ar y rhagweladwyedd hwn. Mae hefyd yn ddarganfyddiad rhyfeddol y gellir defnyddio'r un offer mathemategol a ddefnyddir i ddisgrifio mudiadau'r planedau i ddisgrifio mudiant y clwb jyglo.

Mae mecaneg glasurol yn disgrifio mudiant system o ronynnau sy'n ddarostyngedig i rymoedd sy'n disgrifio eu rhyngweithiadau. Gellir modelu gwrthrychau ffisegol cymhleth, megis clybiau jyglo, fel myrdd o ronynnau â pherthnasoedd gofodol sefydlog a gynhelir gan rymoedd rhyngweithio anhyblyg.

Mae llawer o ffyrdd y gellir dychmygu i system symud nad ydynt byth yn digwydd. Gallwn ddychmygu y gallai'r clwb jyglo oedi yng nghanol yr awyr neu fynd bedair gwaith ar ddeg o amgylch pen y jyglwr cyn cael ei ddal, ond nid yw'r mudiadau hyn yn digwydd. Sut y gallwn wahaniaethu rhwng mudiadau system a all ddigwydd mewn gwirionedd a mudiadau dychmygol eraill? Efallai y gallwn ddyfeisio rhyw ffwythiant mathemategol sy'n ein galluogi i wahaniaethu rhwng mudiadau gwireddadwy a'r holl fudiadau dychmygol.

Gellir disgrifio mudiant system drwy roi safle pob darn ohoni ar bob eiliad. Gelwir disgrifiad o'r fath o fudiant y system yn llwybr ffurfwedd; mae'r llwybr ffurfwedd yn pennu'r ffurfwedd fel ffwythiant amser. Mae'r clwb jyglo yn cylchdroi wrth hedfan drwy'r awyr; pennir ffurfwedd y clwb jyglo drwy roi safle a chyfeiriadedd y clwb. Pennir mudiant y clwb jyglo drwy roi ei safle a'i gyfeiriadedd fel ffwythiant amser.

Mae'r ffwythiant gwahaniaethu llwybrau yr ydym yn ei geisio yn cymryd llwybr ffurfwedd fel mewnbwn ac yn cynhyrchu rhyw allbwn. Hoffem i'r ffwythiant hwn arddangos rhyw ymddygiad nodweddiadol pan fo'i fewnbwn yn llwybr gwireddadwy. Er enghraifft, gallai'r allbwn fod yn rhif, a gallem geisio trefnu mai dim ond ar lwybrau gwireddadwy y byddai'r rhif hwn yn sero. Mae hafaliadau mudiant Newton o'r ffurf hon; rhaid bod hafaliadau differol Newton yn cael eu bodloni ar bob eiliad.

Fodd bynnag, mae strategaeth arall sy'n rhoi mwy o fewnwelediad a grym: gallem geisio ffwythiant gwahaniaethu llwybrau sydd ag isafswm ar y llwybrau gwireddadwy—ar lwybrau anwireddadwy cyfagos mae gwerth y ffwythiant yn uwch nag ar y llwybr gwireddadwy. Dyma'r strategaeth amrywiadol: ar gyfer pob system ffisegol, dyfeisiwn ffwythiant gwahaniaethu llwybrau sy'n gwahaniaethu mudiadau gwireddadwy'r system drwy fod â phwynt arhosol ar gyfer pob llwybr gwireddadwy.¹ Ar gyfer amrywiaeth fawr o systemau, gellir llunio mudiadau gwireddadwy'r system yn nhermau egwyddor amrywiadol.²

Mae mecaneg, fel y'i dyfeisiwyd gan Newton ac eraill yn ei oes, yn disgrifio mudiant system yn nhermau safleoedd, cyflymderau a chyflymiadau pob gronyn yn y system. Yn wahanol i ffurfiad Newton o fecaneg, mae'r ffurfiad amrywiadol o fecaneg yn disgrifio mudiant system yn nhermau meintiau cyfun sy'n gysylltiedig â mudiant y system gyfan.

Yn ffurfiad Newton, yn aml gellir ysgrifennu'r grymoedd fel deilliadau o egni potensial y system. Pennir mudiant y system drwy ystyried sut mae'r gronynnau unigol sy'n ei chyfansoddi yn ymateb i'r grymoedd hyn. Yn ei hanfod, disgrifiad fesul gronyn yw ffurfiad Newton o'r hafaliadau mudiant.

Yn y ffurfiad amrywiadol, llunnir yr hafaliadau mudiant yn nhermau'r gwahaniaeth rhwng yr egni cinetig a'r egni potensial. Rhif sy'n nodweddu trefniant y gronynnau yn y system yw'r egni potensial; rhif a bennir gan gyflymderau'r gronynnau yn y system yw'r egni cinetig. Nid yw'r egni potensial na'r egni cinetig yn dibynnu ar sut y pennir y safleoedd a'r cyflymderau hynny. Mae'r gwahaniaeth yn nodweddu'r system gyfan ac nid yw'n dibynnu ar fanylion sut y pennir y system. Felly rydym yn rhydd i ddewis ffyrdd o ddisgrifio'r system sy'n hawdd gweithio â hwy; cawn ein rhyddhau o'r disgrifiad fesul gronyn sy'n gynhenid i ffurfiad Newton.

Mae gan y ffurfiad amrywiadol nifer o fanteision dros ffurfiad Newton. Deillir hafaliadau mudiant y paramedrau hynny sy'n disgrifio cyflwr y system yn yr un modd, pa baramedrau bynnag a ddewisir: nid yw'r dull ffurfio'n dibynnu ar y dewis o system gyfesurynnau. Os oes cyfyngiadau safle rhwng gronynnau system, mae ffurfiad Newton yn ei gwneud yn ofynnol inni ystyried y grymoedd sy'n cynnal y cyfyngiadau hyn, tra gellir ymgorffori'r cyfyngiadau yn y cyfesurynnau yn y ffurfiad amrywiadol. Mae'r ffurfiad amrywiadol yn datgelu'r cysylltiad rhwng deddfau cadwraeth a chymesureddau. Mae'r ffurfiad amrywiadol yn darparu fframwaith ar gyfer gosod unrhyw fudiant penodol system yng nghyd-destun holl fudiadau posibl y system. Dilynwn y ffurfiad amrywiadol oherwydd y manteision hyn.

1.1 Gofodau Ffurfweddau

Gadewch inni ystyried systemau mecanyddol y gellir meddwl amdanynt fel rhai sydd wedi'u cyfansoddi o ronynnau pwynt cyfansoddol, â màs a safle, ond heb strwythur mewnol.³ Gellir meddwl am gyrff estynedig fel rhai sydd wedi'u cyfansoddi o nifer fawr o'r gronynnau cyfansoddol hyn â pherthnasoedd gofodol penodol rhyngddynt. Mae cyrff estynedig yn cadw eu siâp oherwydd cyfyngiadau gofodol rhwng y gronynnau cyfansoddol. Mae pennu safle holl ronynnau cyfansoddol system yn pennu ffurfwedd y system. Mae bodolaeth cyfyngiadau rhwng rhannau'r system, megis y rhai sy'n pennu siâp corff estynedig, yn golygu na all y gronynnau cyfansoddol gymryd pob safle posibl. Gelwir y set o holl ffurfweddau'r system y gellir eu cymryd yn ofod ffurfweddau y system. Dimensiwn y gofod ffurfweddau yw'r nifer lleiaf o baramedrau y mae'n rhaid eu rhoi i bennu ffurfwedd yn llwyr. Gelwir dimensiwn y gofod ffurfweddau hefyd yn nifer graddau rhyddid y system.⁴

Ar gyfer un gronyn heb gyfyngiadau, mae angen tri pharamedr i bennu'r ffurfwedd; mae gan ronyn pwynt ofod ffurfweddau tri dimensiwn. Os ydym yn ymdrin â system â mwy nag un gronyn pwynt, mae'r gofod ffurfweddau yn fwy cymhleth. Os oes k gronyn ar wahân, mae angen 3k paramedr arnom i ddisgrifio'r ffurfweddau posibl. Os oes cyfyngiadau rhwng rhannau system, cyfyngir y ffurfwedd i ofod o ddimensiwn is. Er enghraifft, mae gan system sy'n cynnwys dau ronyn pwynt, wedi'u cyfyngu i symud mewn tri dimensiwn fel bod y pellter rhwng y gronynnau'n aros yn sefydlog, ofod ffurfweddau pum dimensiwn: felly gallwn bennu safle un gronyn â thri rhif, a rhoi safle'r gronyn arall mewn perthynas â'r cyntaf â dau rif arall.

Ystyriwch glwb jyglo. Pennir ffurfwedd y clwb os rhoddwn safleoedd yr atomau sy'n ei gyfansoddi. Fodd bynnag, ceir disgrifiadau mwy darbodus o'r ffurfwedd. Yn y model delfrydol lle mae'r clwb jyglo yn wirioneddol anhyblyg, mae'r pellteroedd rhwng holl atomau'r clwb yn aros yn gyson. Felly gallwn bennu ffurfwedd y clwb drwy roi safle un atom a chyfeiriadedd y clwb. Gan ddefnyddio'r cyfyngiadau, gellir pennu safleoedd holl gyfansoddion eraill y clwb o'r wybodaeth hon. Chwech yw dimensiwn gofod ffurfweddau'r clwb jyglo: tri yw'r nifer lleiaf o baramedrau sy'n pennu'r safle yn y gofod, a thri hefyd yw'r nifer lleiaf o baramedrau sy'n pennu cyfeiriadedd.

Wrth i system esblygu dros amser, mae'r gronynnau cyfansoddol yn symud yn ddarostyngedig i'r cyfyngiadau. Pennir mudiant pob gronyn cyfansoddol drwy ddisgrifio'r ffurfwedd newidiol. Felly gellir disgrifio mudiant y system fel esblygiad ar hyd llwybr mewn gofod ffurfweddau. Gellir pennu'r llwybr ffurfwedd drwy ffwythiant, y ffwythiant llwybr ffurfwedd, sy'n rhoi ffurfwedd y system ar unrhyw adeg.

Ymarfer 1.1: Graddau rhyddid

Ar gyfer pob un o'r systemau mecanyddol a ddisgrifir isod, rhowch nifer graddau rhyddid y gofod ffurfweddau.

a. Tri chlwb jyglo.

b. Pendil sfferig, sy'n cynnwys màs pwynt (pelen y pendil) yn hongian o wialen anhyblyg ddi-fàs sydd wedi'i chysylltu â phwynt cynnal sefydlog. Gall pelen y pendil symud i unrhyw gyfeiriad yn ddarostyngedig i'r cyfyngiad a osodir gan y wialen anhyblyg. Mae'r màs pwynt yn ddarostyngedig i rym unffurf disgyrchiant.

c. Pendil dwbl sfferig, sy'n cynnwys un màs pwynt yn hongian o wialen anhyblyg ddi-fàs sydd wedi'i chysylltu ag ail fàs pwynt yn hongian o ail wialen ddi-fàs sydd wedi'i chysylltu â phwynt cynnal sefydlog. Mae'r masau pwynt yn ddarostyngedig i rym unffurf disgyrchiant.

d. Màs pwynt yn llithro heb ffrithiant ar wifren grwm anhyblyg.

e. Chwrligwgan sy'n cynnwys corff anhyblyg cymesur o amgylch echelin, ag un pwynt ar echelin cymesuredd y corff wedi'i gysylltu â chynhaliad sefydlog, yn ddarostyngedig i rym disgyrchiant unffurf.

f. Yr un fath ag e, ond heb fod yn gymesur o amgylch echelin.

1.2 Cyfesurynnau Cyffredinoledig

Er mwyn gallu trafod ffurfweddau penodol, mae angen set o baramedrau arnom sy'n labelu'r ffurfweddau. Gelwir y paramedrau a ddefnyddir i bennu ffurfwedd y system yn gyfesurynnau cyffredinoledig. Ystyriwch ronyn rhydd heb gyfyngiadau. Pennir ffurfwedd y gronyn drwy roi ei safle. Mae hyn yn gofyn am dri pharamedr. Mae gan y gronyn heb gyfyngiadau dair gradd rhyddid. Un ffordd o bennu safle gronyn yw pennu ei gyfesurynnau petryal mewn perthynas â rhai echelinau cyfesurynnau a ddewiswyd. Mae cydrannau petryal y safle yn gyfesurynnau cyffredinoledig ar gyfer gronyn heb gyfyngiadau. Neu ystyriwch bendil dwbl plân delfrydol: màs pwynt wedi'i gyfyngu i fod bellter penodol o bwynt sefydlog gan wialen anhyblyg, gydag ail fàs wedi'i gyfyngu i fod bellter penodol o'r màs cyntaf gan wialen anhyblyg arall, a'r cyfan wedi'i gyfyngu i blân fertigol. Pennir y ffurfwedd os rhoddir cyfeiriadedd y ddwy wialen. Mae hyn yn gofyn am o leiaf ddau baramedr; mae gan y pendil dwbl plân ddwy radd rhyddid. Un ffordd o bennu cyfeiriadedd pob gwialen yw pennu'r ongl y mae'n ei gwneud â llinell blwm fertigol. Mae'r ddwy ongl hyn yn gyfesurynnau cyffredinoledig ar gyfer y pendil dwbl plân.

Nid oes rhaid i nifer y cyfesurynnau fod yr un fath â dimensiwn y gofod ffurfweddau, er bod yn rhaid cael o leiaf gymaint â hynny. Gallwn ddewis gweithio gyda mwy o baramedrau nag sydd eu hangen, ond yna bydd y paramedrau'n ddarostyngedig i gyfyngiadau sy'n cyfyngu'r system i ffurfweddau posibl, hynny yw, i elfennau o'r gofod ffurfweddau.

Ar gyfer y pendil dwbl plân a ddisgrifiwyd uchod, mae'r ddau gyfesuryn onglaidd yn ddigon i bennu'r ffurfwedd. Gallem hefyd gymryd cyfesurynnau petryal pob un o'r masau yn y plân, mewn perthynas â rhai echelinau cyfesurynnau a ddewiswyd, yn gyfesurynnau cyffredinoledig. Mae'r rhain hefyd yn gyfesurynnau addas, ond byddai'n rhaid inni gadw mewn cof yn benodol y cyfyngiadau sy'n cyfyngu'r ffurfweddau posibl i geometreg wirioneddol y system. Mae'n haws gweithio â setiau o gyfesurynnau sydd â'r un dimensiwn â'r gofod ffurfweddau oherwydd nad oes rhaid inni ymdrin â chyfyngiadau eglur rhwng y cyfesurynnau. Felly, am y tro, dim ond ffurfiadau lle mae nifer y cyfesurynnau ffurfwedd yn hafal i nifer y graddau rhyddid y byddwn yn eu hystyried; yn ddiweddarach dysgwn sut i drin systemau â chyfesurynnau diangen a chyfyngiadau eglur.

Yn gyffredinol, mae'r ffurfweddau'n ffurfio gofod M o ryw ddimensiwn n. Gellir paramedreiddio'r gofod ffurfweddau n-dimensiwn drwy ddewis ffwythiant cyfesurynnau χ sy'n mapio elfennau'r gofod ffurfweddau i dwpledi n o rifau real.⁵ Os oes mwy nag un dimensiwn, twpled o n ffwythiant cyfesurynnau annibynnol yw'r ffwythiant χ⁶ χⁱ, i = 0, …, n − 1, lle mae pob χⁱ yn ffwythiant â gwerthoedd real wedi'i ddiffinio ar ryw ranbarth o'r gofod ffurfweddau.⁷ Ar gyfer ffurfwedd benodol m yn y gofod ffurfweddau M, gwerthoedd χⁱ(m) y ffwythiannau cyfesurynnau yw cyfesurynnau cyffredinoledig y ffurfwedd. Mae'r cyfesurynnau cyffredinoledig hyn yn ein galluogi i uniaethu pwyntiau'r gofod ffurfweddau n-dimensiwn â thwpledi n o rifau real.⁸ Ar gyfer unrhyw ofod ffurfweddau penodol, mae amrywiaeth fawr o ffyrdd o ddewis cyfesurynnau cyffredinoledig. Hyd yn oed ar gyfer un pwynt yn symud heb gyfyngiadau, gallwn ddewis cyfesurynnau petryal, cyfesurynnau pegynol, neu unrhyw system gyfesurynnau arall sy'n apelio atom.

Gellir disgrifio mudiant y system drwy lwybr ffurfwedd γ sy'n mapio amser i bwyntiau'r gofod ffurfweddau. Yn cyfateb i'r llwybr ffurfwedd ceir llwybr cyfesurynnau q = χ ∘ γ sy'n mapio amser i dwpledi o gyfesurynnau cyffredinoledig.⁹ Os oes mwy nag un radd rhyddid, gwrthrych strwythuredig yw'r llwybr cyfesurynnau: mae q yn dwpled o ffwythiannau llwybr cyfesurynnau cydrannol qⁱ = χⁱ ∘ γ. Ar bob ennyd amser t, mae'r gwerthoedd q(t) = (q⁰(t), …, qⁿ⁻¹(t)) yn gyfesurynnau cyffredinoledig ffurfwedd.

Ffwythiant¹⁰ yw deilliad Dq y llwybr cyfesurynnau q, sy'n rhoi cyfradd newid cyfesurynnau'r ffurfwedd ar adeg benodol: Dq(t) = (Dq⁰(t), …, Dqⁿ⁻¹(t)). Gelwir cyfradd newid cyfesuryn cyffredinoledig yn gyflymder cyffredinoledig.

Ymarfer 1.2: Cyfesurynnau cyffredinoledig

Ar gyfer pob un o'r systemau yn ymarfer 1.1, pennwch system o gyfesurynnau cyffredinoledig y gellir ei defnyddio i ddisgrifio ymddygiad y system.

1.3 Egwyddor y Weithred Arhosol

Gadewch inni dybio bod, ar gyfer pob system ffisegol, ffwythiant gwahaniaethu llwybrau sy'n arhosol ar lwybrau gwireddadwy. Ceisiwn ddiddwytho rhai o'i briodweddau.

Profiad o fudiant

Mae ein profiad beunyddiol yn awgrymu y gellir disgrifio mudiant ffisegol drwy lwybrau ffurfwedd sy'n ddi-dor ac yn llyfn.¹¹ Nid ydym yn gweld y clwb jyglo yn neidio o un lle i'r llall. Ni welwn y clwb jyglo yn newid yn sydyn y modd y mae'n symud chwaith.

Mae ein profiad beunyddiol yn awgrymu nad yw mudiant systemau ffisegol yn dibynnu ar holl hanes y system. Os awn i mewn i'r ystafell ar ôl i'r clwb jyglo gael ei daflu i'r awyr, ni allwn ddweud pryd y gadawodd law'r jyglwr. Gallai'r jyglwr fod wedi taflu'r clwb o amrywiaeth o leoedd ar amrywiaeth o adegau, â'r un canlyniad ymddangosiadol wrth inni gerdded drwy'r drws.¹² Felly nid yw mudiant y clwb yn dibynnu ar fanylion yr hanes.

Mae ein profiad beunyddiol yn awgrymu bod mudiant systemau ffisegol yn benderfynedig. Yn wir, mae nifer fach o baramedrau yn crynhoi agweddau pwysig hanes y system ac yn pennu ei hesblygiad yn y dyfodol. Er enghraifft, ar unrhyw adeg, mae safle, cyflymder, cyfeiriadedd a chyfradd newid cyfeiriadedd y clwb jyglo yn ddigon i bennu mudiant y clwb yn y dyfodol yn llwyr.

Llwybrau gwireddadwy

O'n profiad o fudiant datblygwn ddisgwyliadau penodol ynghylch llwybrau ffurfwedd gwireddadwy. Os yw llwybr yn wireddadwy, yna mae unrhyw segment o'r llwybr yn segment llwybr gwireddadwy. I'r gwrthwyneb, mae llwybr yn wireddadwy os yw pob segment ohono yn segment llwybr gwireddadwy. Mae gwireddadwyedd segment llwybr yn dibynnu ar holl bwyntiau'r llwybr yn y segment. Mae gwireddadwyedd segment llwybr yn dibynnu ar bob pwynt yn y segment yn yr un modd; nid oes unrhyw ran o'r llwybr yn arbennig. Mae gwireddadwyedd segment llwybr yn dibynnu ar bwyntiau'r llwybr o fewn y segment yn unig; priodwedd leol yw gwireddadwyedd segment llwybr.

Felly mae'r ffwythiant gwahaniaethu llwybrau yn cyfuno rhyw briodwedd leol o'r system a fesurir ar bob eiliad ar hyd y segment llwybr. Rhaid trin pob eiliad ar hyd y llwybr yn yr un modd. Rhaid cyfuno'r cyfraniadau o bob eiliad ar hyd y segment llwybr mewn modd sy'n cynnal annibyniaeth y cyfraniadau o is-segmentau digyswllt. Un dull o gyfuno sy'n bodloni'r gofynion hyn yw adio'r cyfraniadau, gan wneud y ffwythiant gwahaniaethu llwybrau yn integryn dros y segment llwybr o ryw briodwedd leol o'r llwybr.¹³

Felly ceisiwn drefnu bod y ffwythiant gwahaniaethu llwybrau, a luniwyd fel integryn o briodwedd leol ar hyd y llwybr, yn cymryd gwerth arhosol ar gyfer unrhyw lwybr gwireddadwy. Yn draddodiadol, gelwir ffwythiant gwahaniaethu llwybrau o'r fath yn weithred ar gyfer y system. Defnyddiwn y gair “gweithred” i gyd-fynd â'r defnydd cyffredin. Efallai y byddai'n gliriach parhau i'w alw'n “ffwythiant gwahaniaethu llwybrau”, ond yna byddai'n anoddach i eraill wybod am beth yr oeddem yn sôn.¹⁴

Er mwyn bwrw ymlaen â rhaglen mecaneg amrywiadol, rhaid inni ddyfeisio ffwythiannau gweithred sy'n arhosol ar daflwybrau gwireddadwy'r systemau rydym yn eu hastudio. Byddwn yn ystyried gweithredoedd sy'n integrynnau o ryw briodwedd leol o'r llwybr ffurfwedd ar bob eiliad. Gadewch i q = χ ∘ γ fod yn llwybr cyfesurynnau yn y gofod ffurfweddau; q(t) yw cyfesurynnau'r ffurfwedd ar amser t. Yna gweithred segment o'r llwybr yn y cyfwng amser o t₁ i t₂ yw¹⁵

$$\begin{array}{ll}S[q](t_1,t_2)={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}F[q].}\hfill & (1.1)\hfill \end{array}$$

lle mae F[q] yn ffwythiant amser sy'n mesur rhyw briodwedd leol o'r llwybr. Gall ddibynnu ar werth y ffwythiant q ar yr adeg honno a gwerth unrhyw ddeilliadau o q ar yr adeg honno.¹⁶

Gellir disgrifio'r llwybr ffurfwedd yn lleol ar ennyd yn nhermau'r cyfesurynnau, cyfradd newid y cyfesurynnau, a holl ddeilliadau uwch y cyfesurynnau ar yr ennyd benodol. O wybod hyn, gellir ail-greu'r llwybr mewn rhyw gyfwng sy'n cynnwys yr ennyd honno.¹⁷ Ni all priodweddau lleol llwybrau ddibynnu ar fwy na disgrifiad lleol y llwybr.

Mae'r ffwythiant F yn mesur rhyw briodwedd leol o'r llwybr cyfesurynnau q. Gallwn ddadelfennu F [q] yn ddwy ran: rhan sy'n mesur rhyw briodwedd o ddisgrifiad lleol a rhan sy'n tynnu disgrifiad lleol o'r llwybr o'r ffwythiant llwybr. Mae'r ffwythiant sy'n mesur priodwedd leol y system yn dibynnu ar y system ffisegol benodol; mae'r dull o lunio disgrifiad lleol o lwybr o'r llwybr ei hun yr un fath ar gyfer unrhyw system. Gallwn ysgrifennu F[q] fel cyfansoddiad y ddau ffwythiant hyn:¹⁸

$$\begin{array}{ll}F[q]=L\circ \Gamma [q].\hfill & (1.2)\hfill \end{array}$$

Mae'r ffwythiant Γ yn cymryd y llwybr cyfesurynnau ac yn cynhyrchu ffwythiant amser y mae ei werth yn dwpled trefnedig sy'n cynnwys yr amser, y cyfesurynnau ar yr adeg honno, cyfradd newid y cyfesurynnau ar yr adeg honno, a gwerthoedd deilliadau uwch y cyfesurynnau wedi'u gwerthuso ar yr adeg honno. Ar gyfer y llwybr q a'r amser t:

$$\begin{array}{ll}\Gamma [q](t)=(t,q(t),Dq(t),\dots ).\hfill & (1.3)\hfill \end{array}$$

Cyfeiriwn at y twpled hwn, sy'n cynnwys cynifer o ddeilliadau ag sydd eu hangen, fel y twpled lleol. Mae'r ffwythiant Γ[q] yn dibynnu ar y llwybr cyfesurynnau q a'i ddeilliadau yn unig; nid yw'r ffwythiant Γ[q] yn dibynnu ar χ nac ar y ffaith bod q yn cael ei greu drwy gyfansoddi χ â γ.

Mae'r ffwythiant L yn dibynnu ar fanylion penodol y system ffisegol sy'n cael ei harchwilio, ond nid yw'n dibynnu ar unrhyw lwybr ffurfwedd penodol. Mae'r ffwythiant L yn cyfrifo priodwedd leol â gwerth real o'r llwybr. Canfyddwn mai dim ond nifer feidraidd o gydrannau'r twpled lleol sydd eu hangen ar L i gyfrifo'r briodwedd hon: gellir ail-greu'r llwybr yn lleol o'r disgrifiad lleol llawn; mae'r ffaith bod L yn dibynnu ar nifer feidraidd o gydrannau'r twpled lleol yn gwarantu ei fod yn mesur priodwedd leol.¹⁹

Mantais y dadelfeniad hwn yw bod disgrifiad lleol y llwybr yn cael ei gyfrifo drwy broses unffurf o'r llwybr ffurfwedd, yn annibynnol ar y system sy'n cael ei hystyried. Mae'r holl wybodaeth sy'n benodol i'r system wedi'i chynnwys yn y ffwythiant L.

Gelwir y ffwythiant L yn ffwythiant Lagrange²⁰ ar gyfer y system, a gelwir y weithred sy'n deillio ohono,

$$\begin{array}{ll}S[q](t_1,t_2)={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}L\circ \Gamma [q],}\hfill & (1.4)\hfill \end{array}$$

yn weithred Lagrange. Ar gyfer ffwythiannau Lagrange sy'n dibynnu ar amser, safleoedd a chyflymderau yn unig, gellir hefyd ysgrifennu'r weithred fel

$$\begin{array}{ll}S[q](t_1,t_2)={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}L(t,q(t),Dq(t))dt.}\hfill & (1.5)\hfill \end{array}$$

Gellir canfod ffwythiannau Lagrange ar gyfer amrywiaeth fawr o systemau. Gwelwn, ar gyfer llawer o systemau, y gellir cymryd ffwythiant Lagrange yn wahaniaeth rhwng yr egni cinetig a'r egni potensial. Mae ffwythiannau Lagrange o'r fath yn dibynnu ar yr amser, y ffurfwedd a chyfradd newid y ffurfwedd yn unig. Byddwn yn canolbwyntio ar y dosbarth hwn o systemau, ond byddwn hefyd yn ystyried systemau mwy cyffredinol o bryd i'w gilydd.

Rhaid gwahaniaethu llwybr gwireddadwy'r system oddi wrth lwybrau eraill drwy fod â gweithred arhosol mewn perthynas â rhyw set o lwybrau anwireddadwy cyfagos. Ond bydd rhai llwybrau ger llwybrau gwireddadwy hefyd yn wireddadwy: ar gyfer unrhyw fudiant y clwb jyglo, mae un arall sydd ychydig yn wahanol. Felly, wrth ymdrin â'r cwestiwn a yw'r weithred yn arhosol mewn perthynas ag amrywiadau'r llwybr, rhaid inni rywsut gyfyngu'r set o lwybrau rydym yn eu hystyried fel mai dim ond un llwybr gwireddadwy sydd ynddi. Fe welwn, ar gyfer ffwythiannau Lagrange sy'n dibynnu ar y ffurfwedd a chyfradd newid y ffurfwedd yn unig, ei bod yn ddigon cyfyngu'r set o lwybrau i'r rhai sydd â'r un ffurfwedd ym mhwyntiau terfyn y segment llwybr.

Mae egwyddor y weithred arhosol yn honni y gallwn, ar gyfer pob system ddynamig, lunio ffwythiant Lagrange fel bod llwybr gwireddadwy sy'n cysylltu'r ffurfweddau ar ddau amser t₁ a t₂ yn cael ei wahaniaethu oddi wrth bob llwybr dychmygol gan y ffaith bod y weithred S[q](t₁, t₂) yn arhosol mewn perthynas ag amrywiadau'r llwybr.²¹ Ar gyfer ffwythiannau Lagrange sy'n dibynnu ar y ffurfwedd a chyfradd newid y ffurfwedd yn unig, cyfyngir yr amrywiadau i'r rhai sy'n cadw'r ffurfweddau ar t₁ a t₂.²²

Ymarfer 1.3: Opteg Fermat

Sylwodd Fermat y gellid esbonio deddfau adlewyrchiad a phlygiant drwy'r ffeithiau canlynol: mae golau'n teithio mewn llinell syth mewn unrhyw gyfrwng penodol â chyflymder sy'n dibynnu ar y cyfrwng. Mae'r llwybr a gymerir gan belydr o ffynhonnell i gyrchfan drwy unrhyw ddilyniant o gyfryngau yn llwybr sydd â'r amser cyfan lleiaf, o'i gymharu â llwybrau cyfagos. Dangoswch fod y ffeithiau hyn yn awgrymu deddfau adlewyrchiad a phlygiant.²³

1.4 Cyfrifo Gweithredoedd

I ddangos y syniadau uchod, ac i gyflwyno eu ffurfiad fel rhaglenni cyfrifiadurol, ystyriwn y system fecanyddol symlaf—gronyn rhydd yn symud mewn tri dimensiwn. Darganfu Euler a Lagrange fod, ar gyfer gronyn rhydd, integryn amser yr egni cinetig dros lwybr gwirioneddol y gronyn yn llai na'r un integryn ar hyd unrhyw lwybr arall rhwng yr un pwyntiau: mae gronyn rhydd yn symud yn ôl egwyddor y weithred arhosol, ar yr amod ein bod yn cymryd ffwythiant Lagrange yn egni cinetig. Egni cinetig gronyn â màs m a chyflymder $\overrightarrow{v}$ yw $\frac{1}{2}m{v}^2$, lle mae v yn faint $\overrightarrow{v}$. Yn yr achos hwn gallwn ddewis y cyfesurynnau petryal arferol yn gyfesurynnau cyffredinoledig.

Gan ddilyn Euler a Lagrange, ffwythiant Lagrange y gronyn rhydd yw²⁴

$$\begin{array}{ll}L(t,x,v)=\frac{1}{2}m(v·v),\hfill & (1.6)\hfill \end{array}$$

lle mae'r paramedr ffurfiol x yn enwi twpled o gydrannau'r safle mewn perthynas â system gyfesurynnau petryal benodol, ac mae'r paramedr ffurfiol v yn enwi twpled o gydrannau cyflymder.²⁵

Gallwn fynegi'r fformiwla hon fel gweithdrefn:

(define ((L-free-particle mass) local)
  (let ((v (velocity local)))
    (* 1/2 mass (dot-product v v))))

Mae'r diffiniad yn nodi bod L-free-particle yn weithdrefn sy'n cymryd màs yn arg ac yn dychwelyd gweithdrefn sy'n cymryd twpled lleol local, yn tynnu'r cyflymder cyffredinoledig drwy'r weithdrefn velocity, ac yn defnyddio'r cyflymder i gyfrifo gwerth ffwythiant Lagrange.²⁶

Tybiwch ein bod yn gadael i q ddynodi ffwythiant llwybr cyfesurynnau sy'n mapio amser i gydrannau safle:²⁷

$$\begin{array}{ll}q(t)=(x(t),y(t),z(t)).\hfill & (1.7)\hfill \end{array}$$

Gallwn wneud y diffiniad hwn²⁸

(define q
  (up (literal-function 'x)
      (literal-function 'y)
      (literal-function 'z)))

lle mae literal-function yn creu gweithdrefn sy'n cynrychioli ffwythiant un arg heb unrhyw briodweddau hysbys heblaw'r enw symbolaidd a roddwyd. Mae'r symbol q bellach yn enwi gweithdrefn un arg real (amser) sy'n cynhyrchu twpled o dair cydran sy'n cynrychioli'r cyfesurynnau ar yr adeg honno. Er enghraifft, gallwn werthuso'r weithdrefn hon ar gyfer amser symbolaidd t fel a ganlyn:

(q 't)

(up (x t) (y t) (z t))

Deilliad y llwybr cyfesurynnau Dq yw'r ffwythiant sy'n mapio amser i gydrannau cyflymder:

$Dq(t)=(Dx(t),Dy(t),Dz(t)).$

Gallwn greu a defnyddio deilliad ffwythiant.²⁹ Er enghraifft, gallwn ysgrifennu:

((D q) 't)

(up ((D x) t) ((D y) t) ((D z) t))

Mae'r ffwythiant Γ yn cymryd llwybr cyfesurynnau ac yn dychwelyd ffwythiant amser sy'n rhoi'r twpled lleol (t, q(t), Dq(t), …). Gweithredwn y Γ hwn drwy'r weithdrefn Gamma.³⁰ Dyma beth mae Gamma yn ei wneud:

((Gamma q) 't)

(up t
    (up (x t) (y t) (z t))
    (up ((D x) t) ((D y) t) ((D z) t)))

Felly mae'r cyfansoddiad L ∘ Γ yn ffwythiant amser sy'n dychwelyd gwerth ffwythiant Lagrange ar gyfer y pwynt hwn ar y llwybr:³¹

((compose (L-free-particle 'm) (Gamma q)) 't)

(+ (* 1/2 m (expt ((D x) t) 2))
    (* 1/2 m (expt ((D y) t) 2))
    (* 1/2 m (expt ((D z) t) 2)))

Mae'r weithdrefn show-expression yn symleiddio'r mynegiad ac yn defnyddio T_EX i arddangos y canlyniad ar ffurf fewnosod draddodiadol. Defnyddiwn y dull arddangos hwn i greu'r mynegiadau mewn blychau yn y llyfr hwn. Mae'r weithdrefn show-expression hefyd yn cynhyrchu'r ffurf rhagddodiad, ond nid ydym fel arfer yn dangos hon.³²

(show-expression
  ((compose (L-free-particle 'm) (Gamma q)) 't))

Yn ôl hafaliad (1.4), gallwn gyfrifo gweithred Lagrange o amser t₁ i amser t₂ fel:

(define (Lagrangian-action L q t1 t2)
  (definite-integral (compose L (Gamma q)) t1 t2))

Mae Lagrangian-action yn cymryd yn argiau weithdrefn L sy'n cyfrifo ffwythiant Lagrange, gweithdrefn q sy'n cyfrifo llwybr cyfesurynnau, ac amseroedd dechrau a gorffen t1 a t2. Mae'r definite-integral a ddefnyddir yma yn cymryd yn argiau ffwythiant a dau derfyn t1 a t2, ac yn cyfrifo integryn pendant y ffwythiant dros y cyfwng o t1 i t2.³³ Sylwch nad yw diffiniad Lagrangian-action yn dibynnu ar unrhyw set benodol o gyfesurynnau na hyd yn oed ar ddimensiwn y gofod ffurfweddau. Nid yw'r dull o gyfrifo'r weithred o gynrychioliad cyfesurynnau o ffwythiant Lagrange a llwybr cyfesurynnau yn dibynnu ar y system gyfesurynnau.

Gallwn bellach gyfrifo gweithred y gronyn rhydd ar hyd llwybr. Er enghraifft, ystyriwch ronyn yn symud â buanedd unffurf ar hyd llinell syth t ↦ (4t + 7, 3t + 5, 2t + 1).³⁴ Cynrychiolwn y llwybr fel gweithdrefn

(define (test-path t)
  (up (+ (* 4 t) 7)
      (+ (* 3 t) 5)
      (+ (* 2 t) 1)))

Ar gyfer gronyn â màs 3, cawn y weithred rhwng t = 0 a t = 10 fel³⁵

(Lagrangian-action (L-free-particle 3.0)
                   test-path 0.0 10.0)

435

Ymarfer 1.4: Gweithredoedd Lagrange

Ar gyfer gronyn rhydd, ffwythiant Lagrange addas yw³⁶

$$\begin{array}{ll}L(t,x,v)=\frac{1}{2}m{v}^2.\hfill & (1.8)\hfill \end{array}$$

Tybiwch mai x yw llwybr llinell syth â chyflymder cyson gronyn rhydd, fel bod x_a = x(t_a) ac x_b = x(t_b). Dangoswch mai'r weithred ar y llwybr datrysiad yw

$$\begin{array}{ll}\frac{m}{2}\frac{{(x_b-x_a)}^2}{t_b-t_a}.\hfill & (1.9)\hfill \end{array}$$

Llwybrau gweithred leiaf

Gwyddom eisoes mai mudiant unffurf mewn llinell syth yw llwybr gwirioneddol gronyn rhydd. Yn ôl Euler a Lagrange, mae'r weithred yn llai ar hyd llwybr prawf llinell syth nag ar hyd llwybrau cyfagos. Gadewch i q fod yn llwybr prawf llinell syth â gweithred S[q](t₁, t₂). Gadewch i q + ϵη fod yn llwybr cyfagos, a geir o q drwy ychwanegu amrywiad llwybr η wedi'i raddio gan y paramedr real ϵ.³⁷ Y weithred ar y llwybr amrywedig yw S[q + ϵη](t₁, t₂). Canfu Euler a Lagrange fod S[q + ϵη](t₁, t₂) > S[q](t₁, t₂) ar gyfer unrhyw η sy'n sero yn y pwyntiau terfyn ac ar gyfer unrhyw ϵ bach nad yw'n sero.

Gadewch inni wirio hyn yn rhifiadol drwy amrywio'r llwybr prawf, gan ychwanegu rhywfaint o ffwythiant prawf sy'n sero yn y pwyntiau terfyn t = t₁ a t = t₂. I greu ffwythiant η sy'n sero yn y pwyntiau terfyn, o wybod ffwythiant ν sy'n ymddwyn yn ddigon da, gallwn ddefnyddio η(t) = (t − t₁)(t − t₂)ν(t). Gellir gweithredu hyn fel a ganlyn:

(define ((make-eta nu t1 t2) t)
  (* (- t t1) (- t t2) (nu t)))

Gallwn ddefnyddio hyn i gyfrifo gweithred gronyn rhydd dros lwybr sydd wedi'i amrywio o'r llwybr penodol, fel ffwythiant ϵ:³⁸

(define ((varied-free-particle-action mass q nu t1 t2) eps)
  (let ((eta (make-eta nu t1 t2)))
    (Lagrangian-action (L-free-particle mass)
                       (+ q (* eps eta))
                       t1
                       t2)))

Mae'r weithred ar gyfer y llwybr amrywedig, gyda ν(t) = (sin t, cos t, t²) ac ϵ = 0.001, fel y disgwylir, yn fwy na'r weithred ar gyfer y llwybr prawf:

((varied-free-particle-action 3.0 test-path
                              (up sin cos square)
                              0.0 10.0)
 0.001)

436.29121428571153

Gallwn gyfrifo'n rhifiadol werth ϵ sy'n gwneud y weithred yn lleiaf. Chwiliwn rhwng, er enghraifft, −2 ac 1:³⁹

(minimize
  (varied-free-particle-action 3.0 test-path
                               (up sin cos square)
                               0.0 10.0)
  -2.0 1.0)

(-1.5987211554602254e-14 435.0000000000237 5)

Canfyddwn yn union yr hyn a ddisgwylir—mai sero yw'r gwerth gorau ar gyfer ϵ,⁴⁰ ac mai gwerth lleiaf y weithred yw'r weithred ar hyd y llwybr syth.

Canfod taflwybrau sy'n gwneud y weithred yn lleiaf

Rydym wedi defnyddio'r egwyddor amrywiadol i benderfynu a yw taflwybr penodol yn wireddadwy. Gallwn hefyd ddefnyddio'r egwyddor amrywiadol i ganfod taflwybrau. O wybod set o daflwybrau a bennir gan nifer feidraidd o baramedrau, gallwn chwilio'r gofod paramedrau am y taflwybr yn y set sy'n brasamcanu'r taflwybr gwirioneddol orau, drwy ganfod un sy'n gwneud y weithred yn lleiaf. Drwy ddewis set dda o ffwythiannau brasamcanu, gallwn fynd mor agos ag y mynnwn at y taflwybr gwirioneddol.⁴¹

Un ffordd o greu llwybr parametrig â phwyntiau terfyn sefydlog yw defnyddio polynomial sy'n mynd drwy'r pwyntiau terfyn yn ogystal â nifer o bwyntiau canolradd. Mae amrywio safleoedd y pwyntiau canolradd yn amrywio'r llwybr; paramedrau'r llwybr amrywedig yw cyfesurynnau'r safleoedd canolradd. Mae'r weithdrefn make-path yn llunio llwybr o'r fath gan ddefnyddio polynomial rhyngosod Lagrange. Gelwir y weithdrefn make-path â phum arg: (make-path t0 q0 t1 q1 qs), lle mae q0 a q1 yn bwyntiau terfyn, t0 a t1 yn amseroedd cyfatebol, ac qs yn rhestr o bwyntiau canolradd.⁴²

Ar ôl pennu llwybr parametrig, gallwn lunio gweithred barametrig sydd yn syml yn weithred a gyfrifir ar hyd y llwybr parametrig:

(define ((parametric-path-action Lagrangian t0 q0 t1 q1) qs)
  (let ((path (make-path t0 q0 t1 q1 qs)))
    (Lagrangian-action Lagrangian path t0 t1)))

Gallwn ganfod llwybrau datrysiad bras drwy ganfod paramedrau sy'n gwneud y weithred yn lleiaf. Gwnawn y lleihau hwn drwy weithdrefn leihau aml-ddimensiwn barod:⁴³

(define (find-path Lagrangian t0 q0 t1 q1 n)
  (let ((initial-qs (linear-interpolants q0 q1 n)))
    (let ((minimizing-qs
            (multidimensional-minimize
              (parametric-path-action Lagrangian t0 q0 t1 q1)
              initial-qs)))
      (make-path t0 q0 t1 q1 minimizing-qs))))

Mae'r weithdrefn multidimensional-minimize yn cymryd gweithdrefn (yn yr achos hwn, gwerth yr alwad i parametric-path-action) sy'n cyfrifo'r ffwythiant sydd i'w leihau (yn yr achos hwn, y weithred), a dyfaliad cychwynnol ar gyfer y paramedrau. Yma dewiswn bwyntiau sydd â bylchau cyfartal rhyngddynt ar linell syth rhwng y ddau bwynt terfyn, a gyfrifir drwy linear-interpolants, yn ddyfaliad cychwynnol.

I ddangos defnydd y strategaeth hon, byddwn yn canfod taflwybrau'r osgiliadur harmonig, â ffwythiant Lagrange⁴⁴

$$\begin{array}{ll}L(t,q,v)=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}k{q}^2,\hfill & (1.10)\hfill \end{array}$$

ar gyfer màs m a chysonyn sbring k. Gweithredir y ffwythiant Lagrange hwn gan⁴⁵

(define ((L-harmonic m k) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (v (velocity local)))
    (- (* 1/2 m (square v)) (* 1/2 k (square q)))))

Gallwn ganfod brasamcan o'r llwybr a gymerir gan yr osgiliadur harmonig ar gyfer m = 1 a k = 1 rhwng q(0) = 1 a q(π/2) = 0 fel a ganlyn:⁴⁶

(define q
  (find-path (L-harmonic 1.0 1.0) 0.0 1.0 :pi/2 0.0 3))

Gwyddom mai taflwybrau'r osgiliadur harmonig hwn, ar gyfer m = 1 a k = 1, yw

$$\begin{array}{ll}q(t)=A\text{cos}(t+\phi )\hfill & (1.11)\hfill \end{array}$$

lle pennir yr osgled A a'r wedd φ gan yr amodau cychwynnol. Ar gyfer yr amodau pwyntiau terfyn a ddewiswyd, y datrysiad yw q(t) = cos(t). Dylai'r llwybr bras fod yn frasamcan o gosin dros yr ystod o 0 i π/2. Mae Ffigur 1.1 yn dangos y gwall yn y brasamcan polynomial a gynhyrchir gan y broses hon. Mae'r gwall mwyaf yn y brasamcan â thri phwynt canolradd yn llai nag 1.7 × 10⁻⁴. Canfyddwn, fel y disgwylir, fod y gwall yn y brasamcan yn lleihau wrth gynyddu nifer y pwyntiau canolradd. Gyda phedwar pwynt canolradd, mae tua 15 gwaith yn well.

Ymarfer 1.5: Y broses ddatrys

Gallwn wylio cynnydd y lleihau drwy addasu'r weithdrefn parametric-path-action i blotio'r llwybr bob tro y cyfrifir y weithred. Rhowch gynnig ar hyn:

(define win2 (frame 0.0 :pi/2 0.0 1.2))

(define ((parametric-path-action Lagrangian t0 q0 t1 q1)
         intermediate-qs)
  (let ((path (make-path t0 q0 t1 q1 intermediate-qs)))
    ;; display path
    (graphics-clear win2)
    (plot-function win2 path t0 t1 (/ (- t1 t0) 100))
    ;; compute action
    (Lagrangian-action Lagrangian path t0 t1)))

(find-path (L-harmonic 1.0 1.0) 0.0 1.0 :pi/2 0.0 2)

Ymarfer 1.6: Lleihau'r weithred

Tybiwch ein bod yn ceisio cael llwybr drwy leihau gweithred ar gyfer problem amhosibl. Er enghraifft, tybiwch fod gennym ronyn rhydd a'n bod yn gosod amodau pwyntiau terfyn ar y cyflymderau yn ogystal â'r safleoedd, sy'n anghyson â'r gronyn yn rhydd. A yw'r ffurfiadaeth yn ei hamddiffyn ei hun rhag ymosodiad mor annymunol? Efallai y bydd yn oleuedig ei raglennu a gweld beth sy'n digwydd.

1.5 Hafaliadau Euler–Lagrange

Mae egwyddor y weithred arhosol yn nodweddu llwybrau gwireddadwy systemau mewn gofod ffurfweddau fel y rhai y mae gan y weithred werth arhosol arnynt. Mewn calcwlws elfennol, dysgwn mai pwyntiau critigol ffwythiant yw'r pwyntiau lle mae'r deilliad yn sero. Mewn modd cyfatebol, datrysiadau system o hafaliadau differol yw'r llwybrau y mae'r weithred yn arhosol ar eu hyd. Y system hon, a elwir yn hafaliadau Euler–Lagrange neu'n syml yn hafaliadau Lagrange, yw'r cyswllt sy'n ein galluogi i ddefnyddio egwyddor y weithred arhosol i gyfrifo mudiadau systemau mecanyddol, ac i gysylltu'r ffurfiadau amrywiadol a Newtonaidd o fecaneg.

Hafaliadau Lagrange

Canfyddwn, os yw L yn ffwythiant Lagrange ar gyfer system sy'n dibynnu ar amser, cyfesurynnau a chyflymderau, ac os yw q yn llwybr cyfesurynnau y mae'r weithred S[q](t₁, t₂) yn arhosol ar ei gyfer (mewn perthynas ag unrhyw amrywiad yn y llwybr sy'n cadw pwyntiau terfyn y llwybr yn sefydlog), yna

$$\begin{array}{ll}D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])-{\partial }_{1}L\circ \Gamma [q]=0.\hfill & (1.12)\hfill \end{array}$$

Yma mae L yn ffwythiant â gwerthoedd real o dwpled lleol; mae ∂₁L a ∂₂L yn dynodi deilliadau rhannol L mewn perthynas â'i arg safle cyffredinoledig a'i arg cyflymder cyffredinoledig, yn ôl eu trefn.⁴⁷ Mae'r ffwythiant ∂₂L yn mapio twpled lleol i strwythur y mae ei gydrannau yn ddeilliadau L mewn perthynas â phob cydran o'r cyflymder cyffredinoledig. Mae'r ffwythiant Γ[q] yn mapio amser i'r twpled lleol: Γ[q](t) = (t, q(t), Dq(t), …). Felly mae'r cyfansoddiadau ∂₁L ∘ Γ[q] a ∂₂L ∘ Γ[q] yn ffwythiannau un arg, sef amser. Mae hafaliadau Lagrange yn honni bod deilliad ∂₂L ∘ Γ[q] yn hafal i ∂₁L ∘ Γ[q], ar unrhyw adeg. O wybod ffwythiant Lagrange, mae hafaliadau Lagrange yn ffurfio system o hafaliadau differol cyffredin y mae'n rhaid i lwybrau gwireddadwy eu bodloni.

Yn draddodiadol, ysgrifennir hafaliadau Lagrange fel hafaliad ar wahân ar gyfer pob cydran o q:

$\begin{array}{ll}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}-\frac{\partial L}{\partial q^i}=0\hfill & i=0,\dots ,n-1.\hfill \end{array}$

Yn y ffordd hon o ysgrifennu hafaliadau Lagrange, nid yw'r nodiant yn gwahaniaethu rhwng L, sef ffwythiant â gwerthoedd real o dri newidyn (t, q, $$ \dot{q}$$), ac L ∘ Γ[q], sef ffwythiant â gwerthoedd real o un newidyn real t. Os nad ydym yn sylweddoli'r chwarae nodiannol hwn ar ystyr, nid yw'r hafaliadau'n gwneud synnwyr fel y'u hysgrifennwyd—mae ∂L/∂$$ \dot{q}$$ yn ffwythiant tri newidyn, felly rhaid inni ystyried yr argiau q, $$ \dot{q}$$ fel ffwythiannau t cyn cymryd d/dt o'r mynegiad. Yn yr un modd, mae ∂L/∂q yn ffwythiant tri newidyn y mae'n rhaid inni ei ystyried yn ffwythiant t cyn ei osod yn hafal i $d/dt\left(\partial L/\partial \dot{q}\right)$.

Mae defnydd cywir o'r nodiant traddodiadol yn fwy eglur:

$\frac{d}{dt}\left({\frac{\partial L\left(t,w,\dot{w}\right)}{\partial {\dot{w}}^i}|}_{\begin{array}{l}w=q\left(t\right)\hfill \\ \dot{w}=\frac{dq\left(t\right)}{dt}\hfill \end{array}}\right)-{\frac{\partial L\left(t,w,\dot{w}\right)}{\partial w^i}|}_{\begin{array}{l}w=q\left(t\right)\hfill \\ \dot{w}=\frac{dq\left(t\right)}{dt}\hfill \end{array}}=0,$

lle mae i = 0, …, n − 1. Yn yr hafaliadau hyn gwelwn fod deilliadau rhannol ffwythiant Lagrange yn cael eu cymryd, ac yna bod y llwybr a'i ddeilliad yn cael eu hamnewid am argiau safle a chyflymder ffwythiant Lagrange, gan roi mynegiad yn nhermau'r amser.

1.5.1 Deillio Hafaliadau Lagrange

Byddwn yn dangos bod egwyddor y weithred arhosol yn awgrymu bod llwybrau gwireddadwy yn bodloni hafaliadau Euler–Lagrange.

Deilliad Uniongyrchol

Gadewch i q fod yn llwybr cyfesurynnau gwireddadwy o (t₁, q(t₁)) i (t₂, q(t₂)). Ystyriwch lwybrau cyfagos q + ϵη lle mae η(t₁) = η(t₂) = 0. Gadewch i

$$\begin{array}{lll}g(\mathit{ϵ})\hfill & =S[q+\mathit{ϵ}\eta ](t_1,t_2)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}L(t,q(t)+\mathit{ϵ}\eta (t),Dq(t)+\mathit{ϵ}D\eta (t))dt.}\hfill & (1.13)\hfill \end{array}$$

Gan ehangu fel cyfres bwerau yn ϵ

$$\begin{array}{ll}g(\mathit{ϵ})=g(0)+\mathit{ϵ}Dg(0)+\cdots \hfill & (1.14)\hfill \end{array}$$

a defnyddio'r rheol gadwyn, cawn

$$\begin{array}{lll}Dg(0)\hfill & ={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}({\partial }_{1}L(t,q(t),Dq(t))\eta (t))dt}\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}({\partial }_{2}L(t,q(t),Dq(t))D\eta (t))dt.}\hfill & (1.15)\hfill \end{array}$$

Drwy integru'r ail derm fesul rhan, cawn

$$\begin{array}{lll}Dg(0)\hfill & ={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}({\partial }_{1}L(t,q(t),Dq(t))\eta (t))dt}\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_{2}L(t,q(t),Dq(t)D\eta (t))\eta (t){|}_{t_1}^{t_2}\hfill & \hfill \\ \hfill & -{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}({\partial }_{2}L(t,q(t),Dq(t)))\eta (t)dt}.\hfill & (1.16)\hfill \end{array}$$

Y cynyddiad ΔS yn y weithred oherwydd yr amrywiad yn y llwybr, hyd at drefn gyntaf yn ϵ, yw ϵDg(0). Gan fod η yn sero yn y pwyntiau terfyn, mae'r term wedi'i integru yn sero. Gan gasglu'r ddau derm arall at ei gilydd a dychwelyd at nodiant ffwythiannol, canfyddwn mai'r cynyddiad yw

$$\begin{array}{ll}\Delta S=\mathit{ϵ}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\{{\partial }_{1}L\circ \Gamma [q]-D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])\}}\eta .\hfill & (1.17)\hfill \end{array}$$

Os yw ΔS yn sero, mae'r weithred yn arhosol. Cadwn ddigon o ryddid wrth ddewis yr amrywiad i orfodi'r ffactor yn yr integrand sy'n lluosi η i fod yn sero ar bob pwynt ar hyd y llwybr. Dadleuwn drwy wrthddywediad: tybiwch nad yw'r ffactor hwn yn sero ar ryw adeg benodol. Yna byddai'n rhaid iddo fod yn ansero mewn o leiaf un o'i gydrannau. Ond os dewiswn ein η yn dwmpath sydd yn ansero yn y gydran honno yn unig mewn cymdogaeth o'r adeg honno, ac yn sero ym mhobman arall, yna bydd yr integryn yn ansero. Felly gallwn gasglu bod y ffactor mewn cromfachau cyrliog yn sero yn unfath, a thrwy hynny gael hafaliadau Lagrange:⁴⁸

$$\begin{array}{ll}D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])-{\partial }_{1}L\circ \Gamma [q]=0.\hfill & (1.18)\hfill \end{array}$$

Y Gweithredydd Amrywiad

Yn gyntaf datblygwn offer ar gyfer archwilio sut mae ffwythiannau sy'n dibynnu ar lwybrau yn amrywio wrth i'r llwybrau gael eu hamrywio. Yna cymhwyswn yr offer hyn i'r weithred, er mwyn deillio hafaliadau Lagrange.

Tybiwch fod gennym ffwythiant f[q] sy'n dibynnu ar lwybr q. Sut mae'r ffwythiant yn amrywio wrth i'r llwybr gael ei amrywio? Gadewch i q fod yn llwybr cyfesurynnau ac i q + ϵη fod yn llwybr amrywedig, lle mae'r ffwythiant η yn ffwythiant tebyg i lwybr y gellir ei adio at y llwybr q, a'r ffactor ϵ yn ffactor graddio. Diffiniwn amrywiad δ_ηf[q] y ffwythiant f ar y llwybr q gan⁴⁹

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }f[q]=\underset{\mathit{ϵ}\to 0}{\lim }\left(\frac{f[q+\mathit{ϵ}\eta ]-f[q]}{\mathit{ϵ}}\right).\hfill & (1.19)\hfill \end{array}$$

Brasamcan llinol o'r newid yn y ffwythiant f ar gyfer amrywiadau bach yn y llwybr yw amrywiad f. Mae amrywiad f yn dibynnu ar η.

Enghraifft syml yw amrywiad y ffwythiant llwybr unfathiant: I[q] = q. Wrth gymhwyso'r diffiniad, cawn

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }I[q]=\underset{\mathit{ϵ}\to 0}{\lim }\left(\frac{(q+\mathit{ϵ}\eta )-q}{\mathit{ϵ}}\right)=\eta .\hfill & (1.20)\hfill \end{array}$$

Yn draddodiadol, ysgrifennir δ_ηI[q] yn syml fel δq. Enghraifft arall yw amrywiad y ffwythiant llwybr sy'n dychwelyd deilliad y llwybr. Mae gennym⁵⁰

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }g[q]=\underset{\mathit{ϵ}\to 0}{\lim }\left(\frac{D(q+\mathit{ϵ}\eta )-Dq}{\mathit{ϵ}}\right)=D\eta \text{with}g[q]=Dq.\hfill & (1.21)\hfill \end{array}$$

Yn draddodiadol, ysgrifennir δ_ηg[q] fel δDq.

Gellir cynrychioli'r amrywiad yn nhermau deilliad. Gadewch i g(ϵ) = f[q + ϵη]; yna

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }f[q]=\underset{\mathit{ϵ}\to 0}{\lim }\left(\frac{g(\mathit{ϵ})-g(0)}{\mathit{ϵ}}\right)=Dg(0).\hfill & (1.22)\hfill \end{array}$$

Mae gan amrywiadau'r priodweddau canlynol sy'n debyg i rai deilliadau. Ar gyfer ffwythiannau f a g sy'n dibynnu ar lwybrau, a chysonyn c:

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }(fg)[q]={\delta }_{\eta }f[q]g[q]+f[q]{\delta }_{\eta }g[q]\hfill & (1.23)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }(f+g)[q]={\delta }_{\eta }f[q]+{\delta }_{\eta }g[q]\hfill & (1.24)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }(cf)[q]=c{\delta }_{\eta }f[q].\hfill & (1.25)\hfill \end{array}$$

Gadewch i F fod yn ffwythiant annibynnol ar lwybr ac i g fod yn ffwythiant sy'n dibynnu ar lwybr; yna

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }h[q]=(DF\circ g[q]){\delta }_{\eta }g[q]\text{with}h[q]=F\circ g[q].\hfill & (1.26)\hfill \end{array}$$

Mae'r gweithredyddion D (differu) a δ (amrywio) yn cymudo yn yr ystyr ganlynol:

$$D\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }f[q]={\delta }_{\eta }g[q]\text{with}g[q]=D(f[q]).\hfill & (1.27)\hfill \end{array}$$

Mae amrywiadau hefyd yn cymudo ag integru mewn ystyr debyg.

Os yw ffwythiant f sy'n dibynnu ar lwybr yn arhosol ar gyfer llwybr penodol q mewn perthynas â newidiadau bach yn y llwybr hwnnw, yna rhaid iddo fod yn arhosol ar gyfer is-set o'r amrywiadau hynny sy'n deillio o adio lluosrifau bach o ffwythiant penodol η at q. Felly mae'r gosodiad δ_ηf[q] = 0 ar gyfer η mympwyol yn awgrymu bod y ffwythiant f yn arhosol ar gyfer amrywiadau bach o'r llwybr o amgylch q.

Ymarfer 1.7: Priodweddau δ

Dangoswch fod gan δ y priodweddau 1.23–1.27.

Ymarfer 1.8: Gweithredu δ

a. Tybiwch fod gennym weithdrefn f sy'n gweithredu ffwythiant sy'n dibynnu ar lwybr: ar gyfer llwybr q ac amser t mae ganddi'r gwerth ((f q) t). Mae'r weithdrefn delta yn cyfrifo'r amrywiad (δ_ηf)[q](t) fel gwerth y mynegiad ((((delta eta) f) q) t). Cwblhewch ddiffiniad delta:

(define (((delta eta) f) q)
    ...
)

b. Defnyddiwch eich gweithdrefn delta i wirio priodweddau δ a restrir yn ymarfer 1.7 ar gyfer ffwythiannau syml megis y rhai a weithredir gan y weithdrefn f:⁵¹

(define (f q)
  (compose
    (literal-function 'F
                      (-> (UP Real (UP* Real) (UP* Real)) Real))
    (Gamma q)))

Mae hyn yn gweithredu ffwythiant ag n gradd rhyddid sy'n dibynnu ar lwybr, ac sy'n dibynnu ar dwpled lleol y llwybr ar bob eiliad. Gallwch ddiffinio llwybr llythrennol dau ddimensiwn drwy

(define q (literal-function 'q (-> Real (UP Real Real))))

Dylech gyfrifo dwy ochr y cydraddoldebau a thynnu'r canlyniadau oddi wrth ei gilydd. Dylai'r ateb fod yn sero.

Deilliad gyda'r Gweithredydd Amrywiad

Y weithred yw integryn ffwythiant Lagrange ar hyd llwybr:

$$\begin{array}{ll}S[q](t_1,t_2)={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}L\circ \Gamma [q].}\hfill & (1.28)\hfill \end{array}$$

Ar gyfer llwybr gwireddadwy q, mae amrywiad y weithred mewn perthynas ag unrhyw amrywiad η sy'n cadw'r pwyntiau terfyn, η(t₁) = η(t₂) = 0, yn sero:

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }S[q](t_1,t_2)=0.\hfill & (1.29)\hfill \end{array}$$

Mae amrywio'n cymudo ag integru, felly amrywiad y weithred yw

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }S[q](t_1,t_2)={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\delta }_{\eta }h[q]\text{where}h[q]=L\circ \Gamma [q].}\hfill & (1.30)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio'r ffaith bod

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }\Gamma [q](t)=(0,\eta (t),D\eta (t)),\hfill & (1.31)\hfill \end{array}$$

sy'n dilyn o hafaliadau (1.20) ac (1.21), a chan ddefnyddio'r rheol gadwyn ar gyfer amrywiadau (1.26), cawn⁵²

$$\begin{array}{lll}{\delta }_{\eta }S[q](t_1,t_2)\hfill & ={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}(DL\circ \Gamma [q]){\delta }_{\eta }\Gamma [q]}\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}(({\partial }_{1}L\circ \Gamma [q])\eta +({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])D\eta ).}\hfill & (1.32)\hfill \end{array}$$

Mae integru term olaf hafaliad (1.32) fesul rhan yn rhoi

$$\begin{array}{lll}{\delta }_{\eta }S[q](t_1,t_2)=\hfill & ({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])\eta {|}_{t_1}^{t_2}\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\{({\partial }_{1}L\circ \Gamma [q])-D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])\}\eta .}\hfill & (1.33)\hfill \end{array}$$

Ar gyfer ein hamrywiad η, mae gennym η(t₁) = η(t₂) = 0, felly mae'r term cyntaf yn diflannu.

Felly mae amrywiad y weithred yn sero os, a dim ond os,

$$\begin{array}{ll}0={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\{({\partial }_{1}L\circ \Gamma [q])-D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])\}\eta .}\hfill & (1.34)\hfill \end{array}$$

Mae amrywiad y weithred yn sero oherwydd, yn ôl y dybiaeth, mae q yn llwybr gwireddadwy. Felly rhaid bod (1.34) yn wir ar gyfer unrhyw ffwythiant η sy'n sero yn y pwyntiau terfyn. Gan fod η yn fympwyol, heblaw ei fod yn sero yn y pwyntiau terfyn, mae ffactor yr integrand sydd mewn cromfachau yn sero. Felly

$$\begin{array}{ll}D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])-({\partial }_{1}L\circ \Gamma [q])=0.\hfill & (1.35)\hfill \end{array}$$

Dyma'n union yr hyn yr aethom ati i'w gael, sef hafaliadau Lagrange.

Mae llwybr sy'n bodloni hafaliadau Lagrange yn un y mae'r weithred yn arhosol ar ei gyfer, ac mae'r ffaith bod y weithred yn arhosol yn dibynnu ar werthoedd L ym mhob pwynt ar y llwybr (ac ym mhob pwynt ar lwybrau cyfagos) yn unig, nid ar y system gyfesurynnau a ddefnyddiwn i gyfrifo'r gwerthoedd hyn. Felly, os yw llwybr y system yn bodloni hafaliadau Lagrange mewn rhyw system gyfesurynnau benodol, rhaid iddo fodloni hafaliadau Lagrange mewn unrhyw system gyfesurynnau. Felly deillir hafaliadau mecaneg amrywiadol yn yr un modd mewn unrhyw ofod ffurfweddau ac unrhyw system gyfesurynnau.

Osgiliadur harmonig

Fel enghraifft, ystyriwch yr osgiliadur harmonig. Un ffwythiant Lagrange yw

$$\begin{array}{ll}L(t,x,v)=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}k{x}^2.\hfill & (1.36)\hfill \end{array}$$

Yna

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{1}L(t,x,v)=-kx\text{and}{\partial }_{2}L(t,x,v)=mv.\hfill & (1.37)\hfill \end{array}$$

Cymhwysir ffwythiant Lagrange i dwpled sy'n cynnwys yr amser, cyfesuryn a chyflymder. Mae'r symbolau t, x, a v yn fympwyol; fe'u defnyddir i bennu paramedrau ffurfiol ffwythiant Lagrange.

Nawr tybiwch fod gennym lwybr ffurfwedd y, sy'n rhoi cyfesuryn yr osgiliadur y(t) ar gyfer pob amser t. Segment cychwynnol y twpled lleol cyfatebol ar amser t yw

$$\begin{array}{ll}\Gamma [y](t)=(t,y(t),Dy(t)).\hfill & (1.38)\hfill \end{array}$$

Felly

$$\begin{array}{ll}({\partial }_{1}L\circ \Gamma [y])(t)=-ky(t)\text{and}({\partial }_{2}L\circ \Gamma [y])(t)=mDy(t),\hfill & (1.39)\hfill \end{array}$$

ac

$$\begin{array}{ll}D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [y])(t)=m{D}^{2}y(t),\hfill & (1.40)\hfill \end{array}$$

felly hafaliad Lagrange yw

$$\begin{array}{ll}m{D}^{2}y(t)+ky(t)=0,\hfill & (1.41)\hfill \end{array}$$

sef hafaliad mudiant yr osgiliadur harmonig.

Mudiant orbitol

Fel enghraifft arall, ystyriwch fudiant dau ddimensiwn gronyn â màs m yn cylchdroi o amgylch canol atyniad sefydlog, ag egni potensial disgyrchiant −μ/r, lle mae r yn bellter i ganol yr atyniad. Gelwir hyn yn broblem Kepler.

Un ffwythiant Lagrange ar gyfer y broblem hon yw⁵³

$$\begin{array}{ll}L(t;\xi ,\eta ;v_{\xi },v_{\eta })=\frac{1}{2}m(v_{\xi }^2+v_{\eta }^2)+\frac{\mu }{\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2}},\hfill & (1.42)\hfill \end{array}$$

lle mae ξ ac η yn baramedrau ffurfiol ar gyfer cyfesurynnau petryal y gronyn, ac mae v_ξ a v_η yn baramedrau ffurfiol ar gyfer y cydrannau cyflymder petryal cyfatebol. Yna

$$\begin{array}{lll}{\partial }_{1}L(t;\xi ,\eta ;v_{\xi },v_{\eta })\hfill & =[{\partial }_{1,0}L(t;\xi ,\eta ;v_{\xi },v_{\eta }),{\partial }_{1,1}L(t;\xi ,\eta ;v_{\xi },v_{\eta })]\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left[\frac{-\mu \xi }{{({\xi }^2+{\eta }^2)}^{3/2}},\frac{-\mu \eta }{{({\xi }^2+{\eta }^2)}^{3/2}}\right].\hfill & (1.43)\hfill \end{array}$$

Yn yr un modd,

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{2}L(t;\xi ,\eta ;v_{\xi },v_{\eta })=[m{v}_{\xi },m{v}_{\eta }].\hfill & (1.44)\hfill \end{array}$$

Nawr tybiwch fod gennym lwybr ffurfwedd q = (x, y), fel mai'r twpled cyfesurynnau ar amser t yw q(t) = (x(t), y(t)). Segment cychwynnol y twpled lleol ar amser t yw

$$\begin{array}{ll}\Gamma [q](t)=(t;x(t),y(t);Dx(t),Dy(t)).\hfill & (1.45)\hfill \end{array}$$

Felly

$$\begin{array}{lll}({\partial }_{1}L\circ \Gamma [q])(t)\hfill & =\left[\frac{-\mu x(t)}{{({(x(t))}^2+{(y(t))}^2)}^{3/2}},\frac{-\mu y(t)}{{({(x(t))}^2+{(y(t))}^2)}^{3/2}}\right]\hfill & \hfill \\ ({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])(t)\hfill & =[mDx(t),mDy(t)]\hfill & (1.46)\hfill \end{array}$$

ac

$$\begin{array}{ll}D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])(t)=[m{D}^{2}x(t),m{D}^{2}y(t)].\hfill & (1.47)\hfill \end{array}$$

Hafaliadau Lagrange y cydrannau ar amser t yw

$$\begin{array}{ll}m{D}^{2}x(t)+\frac{\mu x(t)}{{({(x(t))}^2+{(y(t))}^2)}^{3/2}}=0\hfill & \hfill \\ m{D}^{2}y(t)+\frac{\mu y(t)}{{({(x(t))}^2+{(y(t))}^2)}^{3/2}}=0.\hfill & (1.48)\hfill \end{array}$$

Ymarfer 1.9: Hafaliadau Lagrange

Deilliwch hafaliadau Lagrange ar gyfer y systemau canlynol, gan ddangos yr holl gamau canolradd fel yn yr enghreifftiau o'r osgiliadur harmonig a mudiant orbitol.

a. Mae pendil plân delfrydol yn cynnwys pelen â màs m wedi'i chysylltu â cholyn gan wialen ddi-fàs o hyd l, yn ddarostyngedig i gyflymiad disgyrchiant unffurf g. Un ffwythiant Lagrange yw $L(t,\theta ,\dot{\theta })=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+mgl\cos \theta$. Paramedrau ffurfiol L yw t, θ, ac $\dot{\theta }$; mae θ yn mesur ongl gwialen y pendil â llinell blwm, ac $\dot{\theta }$ yw cyflymder onglaidd y wialen.⁵⁴

b. Mae gronyn â màs m yn symud mewn potensial dau ddimensiwn V (x, y) = (x² + y²)/2 + x²y − y³/3, lle mae x ac y yn gyfesurynnau petryal y gronyn. Un ffwythiant Lagrange yw $L(t;x,y;v_x,v_y)=\frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)-V(x,y)$.

c. Un ffwythiant Lagrange ar gyfer gronyn â màs m wedi'i gyfyngu i symud ar sffêr â radiws R yw $L(t;\theta ,\phi ;\alpha ,\beta )=\frac{1}{2}m{R}^2({\alpha }^2+{(\beta \sin \theta )}^2)$. Yr ongl θ yw cydledred y gronyn ac φ yw ei hydred; cyfradd newid y cydledred yw α a chyfradd newid yr hydred yw β.

Ymarfer 1.10: Ffwythiannau Lagrange â deilliadau uwch

Deilliwch hafaliadau Lagrange ar gyfer ffwythiannau Lagrange sy'n dibynnu ar gyflymiadau. Yn benodol, dangoswch mai hafaliadau Lagrange ar gyfer ffwythiannau Lagrange o'r ffurf L(t, q, $$ \dot{q}$$, $$ \ddot{q}$$) â thermau $$ \ddot{q}$$ yw⁵⁵

$$\begin{array}{ll}{D}^2({\partial }_{3}L\circ \Gamma [q])-D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])+{\partial }_{1}L\circ \Gamma [q])=0.\hfill & (1.49)\hfill \end{array}$$

Yn gyffredinol, bydd yr hafaliadau hyn, a ddeilliwyd gyntaf gan Poisson, yn cynnwys pedwerydd deilliad q. Sylwch fod y deilliad yn gwbl gyfatebol i ddeilliad hafaliadau Lagrange heb gyflymiadau; dim ond ei fod yn hwy. Pa gyfyngiadau y mae'n rhaid inni eu gosod ar yr amrywiadau er mwyn i'r llwybr critigol fodloni hafaliad differol?

1.5.2 Cyfrifo Hafaliadau Lagrange

Mae'r weithdrefn ar gyfer cyfrifo hafaliadau Lagrange yn adlewyrchu'r mynegiad ffwythiannol (1.12), lle mae'r weithdrefn Gamma yn gweithredu Γ:⁵⁶

(define ((Lagrange-equations Lagrangian) q)
  (- (D (compose ((partial 2) Lagrangian) (Gamma q)))
     (compose ((partial 1) Lagrangian) (Gamma q))))

Arg Lagrange-equations yw gweithdrefn sy'n cyfrifo ffwythiant Lagrange. Mae'r weithdrefn Lagrange-equations yn dychwelyd gweithdrefn sydd, o'i chymhwyso i lwybr q, yn dychwelyd gweithdrefn un arg (amser) sy'n cyfrifo ochr chwith hafaliadau Lagrange (1.12). Mae'r gwerthoedd gweddilliol hyn yn sero os yw q yn llwybr y mae gweithred Lagrange yn arhosol ar ei gyfer.

Sylwch fod y weithdrefn Lagrange-equations, fel hafaliadau Lagrange eu hunain, yn ddilys ar gyfer unrhyw system gyfesurynnau cyffredinoledig. Wrth ysgrifennu rhaglenni i archwilio systemau penodol, bydd y gweithdrefnau sy'n gweithredu ffwythiant Lagrange a'r llwybr q yn adlewyrchu'r cyfesurynnau gwirioneddol a ddewiswyd i gynrychioli'r system, ond defnyddiwn yr un weithdrefn Lagrange-equations ym mhob achos. Mae'r haniaethu hwn yn adlewyrchu'r ffaith bwysig bod y dull o ddeillio hafaliadau Lagrange o ffwythiant Lagrange bob amser yr un fath; mae'n annibynnol ar nifer y graddau rhyddid, topoleg y gofod ffurfweddau, a'r system gyfesurynnau a ddefnyddir i ddisgrifio pwyntiau yn y gofod ffurfweddau.

Y gronyn rhydd

Ystyriwch achos gronyn rhydd unwaith eto. Gweithredir ffwythiant Lagrange gan y weithdrefn L-free-particle. Yn hytrach nag integru'n rhifiadol a lleihau'r weithred, fel y gwnaethom yn adran 1.4, gallwn wirio hafaliadau Lagrange ar gyfer llwybr llinell syth mympwyol t ↦ (at + a₀, bt + b₀, ct + c₀):

(define (test-path t)
  (up (+ (* 'a t) 'a0)
      (+ (* 'b t) 'b0)
      (+ (* 'c t) 'c0)))

(((Lagrange-equations (L-free-particle 'm))
  test-path)
 't)

(down 0 0 0)

Mae'r ffaith bod y gweddillion yn sero yn dangos bod y llwybr prawf yn bodloni hafaliadau Lagrange.⁵⁷

Gallwn hefyd gymhwyso'r weithdrefn Lagrange-equations i ffwythiant mympwyol:⁵⁸

(show-expression
  (((Lagrange-equations (L-free-particle 'm))
    (literal-function 'x))
   't))
(*(((expt D 2) x) t) m)

Y canlyniad yw mynegiad sy'n cynnwys yr amser mympwyol t a'r màs m, felly mae'n sero yn union pan fo D²x = 0, sef yr hafaliad disgwyliedig ar gyfer gronyn rhydd.

Yr osgiliadur harmonig

Ystyriwch yr osgiliadur harmonig unwaith eto, â ffwythiant Lagrange (1.10). Gwyddom mai sinwsoid ag osgled, amledd a gwedd benodol yw mudiant osgiliadur harmonig:

$$\begin{array}{ll}x(t)=a\cos (\omega t+\phi ).\hfill & (1.50)\hfill \end{array}$$

Tybiwch ein bod wedi anghofio sut mae'r cysonion yn y datrysiad yn gysylltiedig â màs m a chysonyn sbring k yr osgiliadur. Gadewch inni fewnosod y datrysiad arfaethedig ac edrych ar y gweddill:

(define (proposed-solution t)
  (* 'A (cos (+ (* 'omega t) 'phi))))

(show-expression
  (((Lagrange-equations (L-harmonic 'm 'k))
    proposed-solution)
   't))

Mae'r gweddill yma yn dangos, ar gyfer osgled ansero, mai'r unig ddatrysiadau a ganiateir yw'r rhai lle mae (k − mω²) = 0 neu $\omega =\sqrt{k/m}.$

Ymarfer 1.11: Trydedd ddeddf Kepler

Ffwythiant Lagrange sy'n addas ar gyfer astudio mudiant cymharol dau ronyn, â masau m₁ ac m₂ ac egni potensial V, yw:

(define ((L-central-polar m V) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (qdot (velocity local)))
    (let ((r (ref q 0))     (phi (ref q 1))
                            (rdot (ref qdot 0)) (phidot (ref qdot 1)))
      (- (* 1/2 m
            (+ (square rdot) (square (* r phidot))) )
         (V r)))))

Yr arg m yw màs gostyngol y system

$$\begin{array}{ll}m=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}.\hfill & (1.51)\hfill \end{array}$$

Ar gyfer disgyrchiant, y ffwythiant egni potensial yw

(define ((gravitational-energy G m1 m2) r)
  (- (/ (* G m1 m2) r)))

lle mae r yn bellter rhwng y ddau ronyn.

Ystyriwch y sefyllfa syml lle mae'r gronynnau mewn orbitau cylchol o amgylch eu craidd màs cyffredin. Lluniwch orbit cylchol a'i fewnosod yn hafaliadau Lagrange. Dangoswch fod y gweddill yn rhoi deddf Kepler:

$$\begin{array}{ll}{n}^2{a}^3=G(m_1+m_2)\hfill & (1.52)\hfill \end{array}$$

lle mae n yn amledd onglaidd yr orbit ac a yn bellter rhwng y gronynnau.

Ymarfer 1.12: Hafaliadau Lagrange

Cyfrifwch hafaliadau Lagrange ar gyfer y ffwythiannau Lagrange yn ymarfer 1.9 gan ddefnyddio'r weithdrefn Lagrange-equations. Yn ogystal, defnyddiwch y cyfrifiadur i gyflawni pob un o'r camau yn y weithdrefn Lagrange-equations a dangoswch y canlyniadau canolradd. Cysylltwch y camau hyn â'r rhai a ddangosoch yn y deilliad â llaw yn ymarfer 1.9.

Ymarfer 1.13: Ffwythiannau Lagrange â deilliadau uwch

a. Ysgrifennwch weithdrefn i gyfrifo hafaliadau Lagrange ar gyfer ffwythiannau Lagrange sy'n dibynnu ar gyflymiad, fel yn ymarfer 1.10. Sylwch y gall Gamma gymryd arg dewisol sy'n rhoi hyd segment cychwynnol y twpled lleol sydd ei angen. Yr hyd rhagosodedig yw 3, gan roi cydrannau'r twpled lleol hyd at y cyflymderau, gan eu cynnwys.

b. Defnyddiwch eich gweithdrefn i gyfrifo hafaliadau Lagrange ar gyfer y ffwythiant Lagrange

$L(t,x,v,a)=-\frac{1}{2}mxa-\frac{1}{2}k{x}^2.$

A ydych yn adnabod yr hafaliad mudiant sy'n deillio o hyn?

c. Am ragor o hwyl, ysgrifennwch y weithdrefn gyffredinol ar gyfer hafaliad Lagrange sy'n cymryd ffwythiant Lagrange sy'n dibynnu ar unrhyw nifer o ddeilliadau, a nifer y deilliadau, i gynhyrchu'r hafaliadau mudiant gofynnol.

1.6 Sut i Ganfod Ffwythiannau Lagrange

System o hafaliadau differol ail drefn yw hafaliadau Lagrange. Er mwyn eu defnyddio i gyfrifo esblygiad system fecanyddol, rhaid inni ganfod ffwythiant Lagrange addas ar gyfer y system. Nid oes dull cyffredinol o lunio ffwythiant Lagrange ar gyfer pob system, ond ceir dosbarth pwysig o systemau y gallwn adnabod ffwythiannau Lagrange ar eu cyfer mewn modd syml yn nhermau egni cinetig ac egni potensial. Y syniad allweddol yw llunio ffwythiant Lagrange L fel bod hafaliadau Lagrange yn hafaliadau Newton $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$.

Tybiwch fod ein system yn cynnwys N gronyn wedi'u mynegeio gan α, â màs m_α a safle fector ${\overrightarrow{x}}_{\alpha }(t)$. Tybiwch ymhellach y gellir ysgrifennu'r grymoedd sy'n gweithredu ar y gronynnau yn nhermau graddiant egni potensial $\mathcal{V}$ sy'n ffwythiant safleoedd y gronynnau ac o bosibl amser, ond nad yw'n dibynnu ar y cyflymderau. Hynny yw, y grym ar ronyn α yw ${\overrightarrow{F}}_{\alpha }=-{\overrightarrow{\nabla }}_{{\overrightarrow{x}}_{\alpha }}\mathcal{V}$, lle mae ${\overrightarrow{\nabla }}_{{\overrightarrow{x}}_{\alpha }}\mathcal{V}$ yn raddiant $\mathcal{V}$ mewn perthynas â safle'r gronyn â mynegai α. Gallwn ysgrifennu hafaliadau Newton fel

$$\begin{array}{ll}D(m_{\alpha }D{\overrightarrow{x}}_{\alpha })(t)+{\overrightarrow{\nabla }}_{{\overrightarrow{x}}_{\alpha }}\mathcal{V}(t,{\overrightarrow{x}}_0(t),\dots ,{\overrightarrow{x}}_{N-1}(t))=0.\hfill & (1.53)\hfill \end{array}$$

Gellir cynrychioli fectorau fel twpledi o gydrannau'r fectorau ar sail betryal. Felly cynrychiolir ${\overrightarrow{x}}_1(t)$ fel y twpled x₁(t). Gadewch i V fod yn ffwythiant egni potensial wedi'i fynegi yn nhermau cydrannau:

$$\begin{array}{ll}V(t;x_0(t),\dots ,x_{N-1}(t))=\mathcal{V}(t,{\overrightarrow{x}}_0(t),\dots ,{\overrightarrow{x}}_{N-1}(t)).\hfill & (1.54)\hfill \end{array}$$

Hafaliadau Newton yw

$$\begin{array}{ll}D(m_{\alpha }D{x}_{\alpha })(t)+{\partial }_{1,\alpha }V(t;x_0(t),\dots ,x_{\alpha }(t),\dots ,x_{N-1}(t))=0,\hfill & (1.55)\hfill \end{array}$$

lle mae ∂_1,αV yn ddeilliad rhannol V mewn perthynas â safle'r arg x_α(t).

I ffurfio hafaliadau Lagrange, casglwn holl gydrannau safle'r holl ronynnau mewn un twpled x(t), felly x(t) = (x₀(t), …, x_N−1(t)). Hafaliadau Lagrange ar gyfer y llwybr cyfesurynnau x yw

$$\begin{array}{ll}D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [x])-{\partial }_{1}L\circ \Gamma [x]=0.\hfill & (1.56)\hfill \end{array}$$

Sylwch mai hafaliadau Newton (1.55) yw cydrannau hafaliadau Lagrange (1.56) os dewiswn L â'r priodweddau

$$\begin{array}{lll}({\partial }_{2}L\circ \Gamma [x])(t)\hfill & =[m_{0}D{x}_0(t),\dots ,m_{N-1}D{x}_{N-1}(t)]\hfill & \hfill \\ ({\partial }_{1}L\circ \Gamma [x])(t)\hfill & =[-{\partial }_{1,0}V(t,x(t)),\dots ,-{\partial }_{1,N-1}V(t,x(t))];\hfill & (1.57)\hfill \end{array}$$

yma V (t, x(t)) = V (t; x₀(t), …, x_N−1(t)) ac ∂_1,αV (t, x(t)) yw twpled cydrannau deilliad V mewn perthynas â chyfesurynnau'r gronyn â mynegai α, wedi'i werthuso ar amser t a chyfesurynnau x(t). Bodlonir yr amodau hyn os, ar gyfer pob x_α a v_α,

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{2}L(t;x_0,\dots ,x_{N-1};v_0,\dots ,v_{N-1})\hfill & \hfill \\ =[m_0{v}_0,\dots ,m_{N-1}{v}_{N-1}]\hfill & (1.58)\hfill \end{array}$$

ac

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{1}L(t;x_0,\dots ,x_{N-1};v_0,\dots ,v_{N-1})\hfill & \hfill \\ =[-{\partial }_{1,0}V(t,x),\dots ,-{\partial }_{1,N-1}V(t,x)],\hfill & (1.59)\hfill \end{array}$$

lle mae x = (x₀, …, x_N−1). Un dewis o L sydd â'r priodweddau gofynnol (1.58–1.59) yw

$$\begin{array}{ll}L(t,x,v)=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{v}_{\alpha }^2-V(t,x),}\hfill & (1.60)\hfill \end{array}$$

lle mae $v_{\alpha }^2$ yn swm sgwariau cydrannau v_α.⁵⁹

Y term cyntaf yw'r egni cinetig, a ddynodir yn gonfensiynol gan T. Felly y dewis hwn o ffwythiant Lagrange yw L(t, x, v) = T (t, x, v)−V (t, x), sef y gwahaniaeth rhwng yr egni cinetig a'r egni potensial. Byddwn yn aml yn ymestyn argiau'r ffwythiant egni potensial i gynnwys y cyflymderau fel y gallwn ysgrifennu L = T − V.⁶⁰

Egwyddor Hamilton

O wybod system o ronynnau pwynt y gallwn adnabod y grym ar ei chyfer fel deilliad (negyddol) egni potensial V sy'n annibynnol ar gyflymder, rydym wedi dangos bod y system yn esblygu ar hyd llwybr sy'n bodloni hafaliadau Lagrange gyda L = T − V. Ar ôl adnabod ffwythiant Lagrange ar gyfer y dosbarth hwn o systemau, gallwn ailddatgan egwyddor y weithred arhosol yn nhermau egni. Gelwir y gosodiad hwn yn egwyddor Hamilton: mae system o ronynnau pwynt y deillir y grym ar ei chyfer o egni potensial annibynnol ar gyflymder yn esblygu ar hyd llwybr q y mae'r weithred

$S[q](t_1,t_2)={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}L\circ \Gamma [q]}$

yn arhosol ar ei gyfer mewn perthynas ag amrywiadau'r llwybr q sy'n gadael y pwyntiau terfyn yn sefydlog, lle mae L = T − V yn wahaniaeth rhwng yr egni cinetig a'r egni potensial.⁶¹

Gallai ymddangos ein bod wedi lleihau hafaliadau Lagrange i ddim mwy na $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$, ac yn wir, cymharu'r ddau hafaliad ar gyfer y dosbarth arbennig hwn o systemau sy'n cymell yr egwyddor. Fodd bynnag, mae gan ffurfiad Lagrange o'r hafaliadau mudiant fantais bwysig dros $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$. Defnyddiodd ein deilliad gydrannau petryal x_α safleoedd y gronynnau cyfansoddol yn gyfesurynnau cyffredinoledig, ond os yw llwybr y system yn bodloni hafaliadau Lagrange mewn rhyw system gyfesurynnau benodol, rhaid iddo fodloni'r hafaliadau mewn unrhyw system gyfesurynnau. Felly gwelwn fod L = T − V yn addas fel ffwythiant Lagrange gydag unrhyw set o gyfesurynnau cyffredinoledig. Deillir hafaliadau mecaneg amrywiadol yn yr un modd mewn unrhyw ofod ffurfweddau ac unrhyw system gyfesurynnau. Mewn cyferbyniad, mae ffurfiad Newton yn seiliedig ar geometreg elfennol: er mwyn i $D^2\overrightarrow{x}(t)$ fod yn ystyrlon fel cyflymiad, rhaid i $\overrightarrow{x}(t)$ fod yn fector mewn gofod ffisegol. Nid oes gan hafaliadau Lagrange gyfyngiad o'r fath ar ystyr y cyfesuryn q. Gall y cyfesurynnau cyffredinoledig fod yn unrhyw baramedrau sy'n disgrifio ffurfweddau'r system yn gyfleus.

Cyflymiad cyson

Ystyriwch ronyn â màs m mewn maes disgyrchiant unffurf â chyflymiad g. Yr egni potensial yw mgh, lle mae h yn uchder y gronyn. Yr egni cinetig yn syml yw $\frac{1}{2}m{v}^2$. Un ffwythiant Lagrange ar gyfer y system yw'r gwahaniaeth rhwng yr egni cinetig a'r egni potensial. Mewn cyfesurynnau petryal, gydag y yn mesur y safle fertigol ac x yn mesur y safle llorweddol, ffwythiant Lagrange yw $L(t;x,y;v_x,v_y)=\frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)-mgy$. Mae gennym⁶²

(define ((L-uniform-acceleration m g) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (v (velocity local)))
    (let ((y (ref q 1)))
      (- (* 1/2 m (square v)) (* m g y)))))

(show-expression
  (((Lagrange-equations
      (L-uniform-acceleration 'm 'g))
    (up (literal-function 'x)
        (literal-function 'y)))
   't))

Mae'r hafaliad hwn yn disgrifio mudiant heb gyflymiad i'r cyfeiriad llorweddol (mD²x(t) = 0) a chyflymiad cyson i'r cyfeiriad fertigol (mD²y(t) = −gm).

Maes grym canolog

Ystyriwch fudiant plân gronyn â màs m mewn maes grym canolog, ag egni potensial mympwyol U(r) sy'n dibynnu ar y pellter r i ganol yr atyniad yn unig. Deilliwn hafaliadau Lagrange ar gyfer y system hon mewn cyfesurynnau petryal a chyfesurynnau pegynol.

Mewn cyfesurynnau petryal (x, y), â'r tarddbwynt yng nghanol yr atyniad, yr egni potensial yw $V(t;x,y)=U(\sqrt{x^2+y^2})$ ac yr egni cinetig yw $T(t;x,y;v_x,v_y)=\frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)$. Un ffwythiant Lagrange ar gyfer y system yw L = T − V:

$$\begin{array}{ll}L(t;x,y;v_x,v_y)=\frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)-U(\sqrt{x^2+y^2}).\hfill & (1.61)\hfill \end{array}$$

Fel gweithdrefn:

(define ((L-central-rectangular m U) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (v (velocity local)))
    (- (* 1/2 m (square v))
       (U (sqrt (square q))))))

Hafaliadau Lagrange yw

(show-expression
  (((Lagrange-equations
      (L-central-rectangular 'm (literal-function 'U)))
    (up (literal-function 'x)
        (literal-function 'y)))
   't))

Gallwn ailysgrifennu'r hafaliadau Lagrange hyn fel:

$$\begin{array}{ll}m{D}^{2}x(t)=-\frac{x(t)}{r(t)}DU(r(t))\hfill & (1.62)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}m{D}^{2}y(t)=-\frac{y(t)}{r(t)}DU(r(t)),\hfill & (1.63)\hfill \end{array}$$

lle mae $r(t)=\sqrt{{(x(t))}^2+{(y(t))}^2}$. Gallwn ddehongli'r rhain fel a ganlyn. Mae'r gronyn yn ddarostyngedig i rym wedi'i gyfeirio'n rheiddiol â maint −DU(r). Mae hafaliadau Newton yn gosod y grym yn hafal i luoswm y màs a'r cyflymiad. Cydrannau petryal hafaliadau Newton yn unig yw'r ddau hafaliad Lagrange.

Gallwn ddisgrifio'r un system mewn cyfesurynnau pegynol. Y berthynas rhwng cyfesurynnau petryal (x, y) a chyfesurynnau pegynol (r, φ) yw

$$\begin{array}{ll}x=r\cos \phi \hfill & \hfill \\ y=r\sin \phi .\hfill & (1.64)\hfill \end{array}$$

Deillir perthynas y cyflymderau cyffredinoledig o'r trawsffurfiad cyfesurynnau. Ystyriwch lwybr ffurfwedd a gynrychiolir mewn cyfesurynnau petryal a chyfesurynnau pegynol. Gadewch i $\tilde{x}$ ac $\tilde{y}$ fod yn gydrannau'r llwybr cyfesurynnau petryal, ac i $\tilde{r}$ ac $\tilde{\phi }$ fod yn gydrannau'r llwybr cyfesurynnau pegynol cyfatebol. Y cydrannau petryal ar amser t yw $(\tilde{x}(t),\tilde{y}(t))$ a'r cyfesurynnau pegynol ar amser t yw $(\tilde{r}(t),\tilde{\phi }(t))$. Cânt eu cysylltu gan (1.64):

$$\begin{array}{ll}\tilde{x}(t)=\tilde{r}(t)\cos \tilde{\phi }(t)\hfill & \hfill \\ \tilde{y}(t)=\tilde{r}(t)\sin \tilde{\phi }(t).\hfill & (1.65)\hfill \end{array}$$

Y cyflymder petryal ar amser t yw $(D\tilde{x}(t),D\tilde{y}(t))$. Mae differu (1.65) yn rhoi'r berthynas rhwng y cyflymderau

$$\begin{array}{lll}D\tilde{x}(t)\hfill & =D\tilde{r}(t)\cos \tilde{\phi }(t)-\tilde{r}(t)D\tilde{\phi }(t)\sin \tilde{\phi }(t)\hfill & \hfill \\ D\tilde{y}(t)\hfill & =D\tilde{r}(t)\sin \tilde{\phi }(t)+\tilde{r}(t)D\tilde{\phi }(t)\cos \tilde{\phi }(t).\hfill & (1.66)\hfill \end{array}$$

Mae'r perthnasoedd hyn yn ddilys ar gyfer unrhyw lwybr ffurfwedd ar unrhyw adeg, felly gallwn eu haniaethu'n berthnasoedd rhwng cynrychioliadau cyfesurynnau o gyflymder mympwyol. Gadewch i v_x a v_y fod yn gydrannau petryal y cyflymder, ac i $\dot{r}$ ac $\dot{\phi }$ fod yn gyfraddau newid r ac φ. Yna

$$\begin{array}{ll}{v}_x=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi \hfill & \hfill \\ v_y=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi .\hfill & (1.67)\hfill \end{array}$$

Yr egni cinetig yw $\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)$:

$$\begin{array}{ll}T(t;r,\phi ;\dot{r},\dot{\phi })=\frac{1}{2}m\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2\right),\hfill & (1.68)\hfill \end{array}$$

a ffwythiant Lagrange yw

$$\begin{array}{ll}L(t;r,\phi ;\dot{r},\dot{\phi })=\frac{1}{2}m\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2\right)-U(r).\hfill & (1.69)\hfill \end{array}$$

Mynegwn y ffwythiant Lagrange hwn fel a ganlyn:

(define ((L-central-polar m U) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (qdot (velocity local)))
    (let ((r (ref q 0)) (phi (ref q 1))
                        (rdot (ref qdot 0)) (phidot (ref qdot 1)))
      (- (* 1/2 m
            (+ (square rdot)
               (square (* r phidot))) )
         (U r)))))

Hafaliadau Lagrange yw

(show-expression
  (((Lagrange-equations
      (L-central-polar 'm (literal-function 'U)))
    (up (literal-function 'r)
        (literal-function 'phi)))
   't))

Gallwn ddehongli'r hafaliad cyntaf fel un sy'n dweud bod lluoswm y màs a'r cyflymiad rheiddiol yn swm y grym oherwydd y potensial a'r grym allgyrchol. Gellir dehongli'r ail hafaliad fel un sy'n dweud bod deilliad y momentwm onglaidd mr²Dφ yn sero, felly cedwir momentwm onglaidd.

Sylwch inni ddefnyddio'r un weithdrefn Lagrange-equations ar gyfer y deilliad yn y ddwy system gyfesurynnau. Mae cynrychioliadau cyfesurynnau ffwythiant Lagrange yn wahanol ar gyfer systemau cyfesurynnau gwahanol, ac mae hafaliadau Lagrange mewn systemau cyfesurynnau gwahanol yn edrych yn wahanol. Eto defnyddir yr un dull i ddeillio hafaliadau Lagrange mewn unrhyw system gyfesurynnau.

Ymarfer 1.14: Annibyniaeth hafaliadau Lagrange ar gyfesurynnau

Gwiriwch fod hafaliadau Lagrange ar gyfer mudiant grym canolog mewn cyfesurynnau pegynol ac mewn cyfesurynnau petryal yn gywerth. Pennwch y berthynas rhwng yr ail ddeilliadau drwy amnewid llwybrau yn yr hafaliadau trawsffurfio a chyfrifo deilliadau, ac yna amnewidiwch y perthnasoedd hyn yn yr hafaliadau mudiant.

1.6.1 Trawsffurfiadau Cyfesurynnau

Mae mudiant system yn annibynnol ar y cyfesurynnau a ddefnyddiwn i'w ddisgrifio. Mae natur rydd y mudiant o gyfesurynnau yn amlwg yn egwyddor y weithred. Mae'r weithred yn dibynnu ar werth ffwythiant Lagrange ar hyd y llwybr yn unig, nid ar y cyfesurynnau penodol a ddefnyddir wrth gynrychioli ffwythiant Lagrange. Gallwn ddefnyddio'r briodwedd hon i ganfod ffwythiant Lagrange mewn un system gyfesurynnau yn nhermau ffwythiant Lagrange mewn system gyfesurynnau arall.

Tybiwch fod gennym system fecanyddol y disgrifir ei mudiant gan ffwythiant Lagrange L sy'n dibynnu ar amser, cyfesurynnau a chyflymderau. A thybiwch fod gennym drawsffurfiad cyfesurynnau F fel bod x = F (t, x′). Mynegir ffwythiant Lagrange L yn nhermau'r cyfesurynnau heb brifnod. Hoffem ganfod ffwythiant Lagrange L′ wedi'i fynegi yn y cyfesurynnau â phrifnod sy'n disgrifio'r un system. Un ffordd o wneud hyn yw mynnu bod gwerth ffwythiant Lagrange ar hyd unrhyw lwybr ffurfwedd yn annibynnol ar y system gyfesurynnau. Os yw q yn llwybr yn y cyfesurynnau heb brifnod ac q′ yn llwybr cyfatebol yn y cyfesurynnau â phrifnod, yna rhaid i'r ffwythiannau Lagrange fodloni:

$$\begin{array}{ll}L\prime \circ \Gamma [q\prime ]=L\circ \Gamma [q].\hfill & (1.70)\hfill \end{array}$$

Rydym wedi gweld bod y trawsffurfiad o gyfesurynnau petryal i gyfesurynnau pegynol yn awgrymu bod y cyflymderau cyffredinoledig yn trawsffurfio mewn modd penodol. Gellir diddwytho'r trawsffurfiad cyflymder o'r gofyniad bod llwybr mewn cyfesurynnau pegynol a llwybr cyfatebol mewn cyfesurynnau petryal yn gyson â'r trawsffurfiad cyfesurynnau. Yn gyffredinol, gellir defnyddio'r gofyniad bod llwybrau mewn dwy system gyfesurynnau wahanol yn gyson â'r trawsffurfiad cyfesurynnau i ddiddwytho sut mae holl gydrannau'r twpled lleol yn trawsffurfio. O wybod trawsffurfiad cyfesurynnau F, gadewch i C fod yn ffwythiant cyfatebol sy'n mapio twpledi lleol yn y system gyfesurynnau â phrifnod i dwpledi lleol cyfatebol yn y system gyfesurynnau heb brifnod:

$$\begin{array}{ll}C\circ \Gamma [q\prime ]=\Gamma [q].\hfill & (1.71)\hfill \end{array}$$

Byddwn yn diddwytho ffurf gyffredinol C isod.

O wybod trawsffurfiad twpledi lleol C o'r fath, ffwythiant Lagrange L′ sy'n bodloni hafaliad (1.70) yw

$$\begin{array}{ll}L\prime =L\circ C.\hfill & (1.72)\hfill \end{array}$$

Gallwn weld hyn drwy amnewid am L′ yn hafaliad (1.70):

$$\begin{array}{ll}L\prime \circ \Gamma [q\prime ]=L\circ C\circ \Gamma [q\prime ]=L\circ \Gamma [q].\hfill & (1.73)\hfill \end{array}$$

I ganfod y trawsffurfiad twpledi lleol C o wybod trawsffurfiad cyfesurynnau F, diddwythwn sut mae pob cydran o'r twpled lleol yn trawsffurfio. Mae'r trawsffurfiad cyfesurynnau yn pennu sut mae cydran gyfesurynnau'r twpled lleol yn trawsffurfio

$$\begin{array}{ll}x=F(t,x\prime ).\hfill & (1.74)\hfill \end{array}$$

Gellir diddwytho cydran cyflymder cyffredinoledig y trawsffurfiad twpledi lleol fel a ganlyn. Gadewch i q a q′ fod yr un llwybr ffurfwedd wedi'i fynegi yn y ddwy system gyfesurynnau. Gan amnewid y llwybrau hyn yn y trawsffurfiad cyfesurynnau a chyfrifo'r deilliad, cawn

$$\begin{array}{ll}Dq(t)={\partial }_{0}F(t,q\prime (t))+{\partial }_{1}F(t,q\prime (t))Dq\prime (t).\hfill & (1.75)\hfill \end{array}$$

Drwy unrhyw bwynt mae llwybr ag unrhyw gyflymder penodol bob amser, felly gallwn gyffredinoli a chasglu bod y cyflymderau cyffredinoledig ar hyd llwybrau cyfesurynnau cyfatebol yn bodloni

$$\begin{array}{ll}v={\partial }_{0}F(t,x\prime )+{\partial }_{1}F(t,x\prime )v\prime .\hfill & (1.76)\hfill \end{array}$$

Os oes angen, gellir pennu rheolau ar gyfer cydrannau deilliadau uwch y twpled lleol mewn modd tebyg. Llunnir y trawsffurfiad twpledi lleol sy'n cymryd twpled lleol yn y system â phrifnod i dwpled lleol yn y system heb brifnod o drawsffurfiadau'r cydrannau:

$$\begin{array}{lll}(t,x,v,\dots )\hfill & =C(t,x\prime ,v\prime ,\dots )\hfill & \hfill \\ \hfill & =(t,F(t,x\prime ),{\partial }_{0}F(t,x\prime )+{\partial }_{1}F(t,x\prime )v\prime ,\dots ).\hfill & (1.77)\hfill \end{array}$$

Felly os cymerwn ffwythiant Lagrange L′ yn

$$\begin{array}{ll}L\prime =L\circ C,\hfill & (1.78)\hfill \end{array}$$

yna mae gan y weithred werth sy'n annibynnol ar y system gyfesurynnau a ddefnyddir i'w gyfrifo. Nid yw llwybr ffurfwedd y weithred arhosol yn dibynnu ar ba system gyfesurynnau a ddefnyddir i ddisgrifio'r llwybr. Yn gyffredinol bydd yr hafaliadau Lagrange a ddeillir o'r ffwythiannau Lagrange hyn yn edrych yn wahanol iawn i'w gilydd, ond rhaid iddynt fod yn gywerth.

Ymarfer 1.15: Cywerthedd

Dangoswch drwy gyfrifiad uniongyrchol fod hafaliadau Lagrange ar gyfer L′ yn cael eu bodloni os yw hafaliadau Lagrange ar gyfer L yn cael eu bodloni.

O wybod trawsffurfiad cyfesurynnau F, gallwn ddefnyddio (1.77) i ganfod y ffwythiant C sy'n trawsffurfio twpledi lleol. Mae'r weithdrefn F->C yn gweithredu hyn:⁶³

(define ((F->C F) local)
  (up (time local)
      (F local)
      (+ (((partial 0) F) local)
         (* (((partial 1) F) local)
            (velocity local)))))

Fel enghraifft, ystyriwch y trawsffurfiad o gyfesurynnau pegynol i gyfesurynnau petryal, x = r cos φ ac y = r sin φ, â'r gweithrediad canlynol:

(define (p->r local)
  (let ((polar-tuple (coordinate local)))
    (let ((r (ref polar-tuple 0))
          (phi (ref polar-tuple 1)))
      (let ((x (* r (cos phi)))
            (y (* r (sin phi))))
        (up x y)))))

Yn nhermau'r cyfesurynnau pegynol a chyfraddau newid y cyfesurynnau pegynol, cyfraddau newid y cydrannau petryal yw⁶⁴

(show-expression
  (velocity
    ((F->C p->r)
     (up 't (up 'r 'phi) (up 'rdot 'phidot)))))

Gallwn ddefnyddio F->C i ganfod ffwythiant Lagrange ar gyfer mudiant grym canolog mewn cyfesurynnau pegynol o ffwythiant Lagrange mewn cydrannau petryal, gan ddefnyddio hafaliad (1.72):

(define (L-central-polar m U)
  (compose (L-central-rectangular m U) (F->C p->r)))

(show-expression
  ((L-central-polar 'm (literal-function 'U))
   (up 't (up 'r 'phi) (up 'rdot 'phidot))))

Mae'r canlyniad yr un fath â ffwythiant Lagrange (1.69).

Ymarfer 1.16: Mudiant grym canolog

Canfyddwch ffwythiannau Lagrange ar gyfer mudiant grym canolog mewn tri dimensiwn mewn cyfesurynnau petryal ac mewn cyfesurynnau sfferig. Yn gyntaf, canfyddwch y ffwythiannau Lagrange yn ddadansoddol, ac yna gwiriwch y canlyniadau â'r cyfrifiadur drwy gyffredinoli'r rhaglenni rydym wedi'u cyflwyno.

Grymoedd Coriolis ac allgyrchol

Mae gan hafaliadau mudiant gronyn rhydd mewn system gyfesurynnau sy'n cylchdroi dermau ychwanegol. Ystyriwch ronyn rhydd yn symud mewn dau ddimensiwn. Un ffwythiant Lagrange yw:

(define ((L-free-rectangular m) local)
  (let ((vx (ref (velocities local) 0))
        (vy (ref (velocities local) 1)))
    (* 1/2 m (+ (square vx) (square vy)))))

Bydd y cylchdroi'n hawdd ei ddisgrifio mewn cyfesurynnau pegynol, felly trawsffurfiwn i gyfesurynnau pegynol:

(define (L-free-polar m)
  (compose (L-free-rectangular m) (F->C p->r)))

Nawr gallwn wneud trawsffurfiad syml sy'n dibynnu ar amser i gyfesurynnau sy'n cylchdroi, â chyfradd cylchdroi Omega:

(define ((F Omega) local)
  (let ((t (time local))
        (r (ref (coordinates local) 0))
        (theta (ref (coordinates local) 1)))
    (up r (+ theta (* Omega t)))))

(define (L-rotating-polar m Omega)
  (compose (L-free-polar m) (F->C (F Omega))))

Nawr gadewch inni drawsffurfio yn ôl i gyfesurynnau petryal:

(define (L-rotating-rectangular m Omega)
  (compose (L-rotating-polar m Omega) (F->C r->p)))

Y ffwythiant Lagrange newydd, yn y system gyfesurynnau petryal sy'n cylchdroi, yw:

((L-rotating-rectangular 'm 'Omega)
 (up 't (up 'x_r 'y_r) (up 'xdot_r 'ydot_r)))
(+ (* 1/2 (expt Omega 2) m (expt x_r 2))
   (* 1/2 (expt Omega 2) m (expt y_r 2))
   (* -1 Omega m xdot_r y_r)
   (* Omega m ydot_r x_r)
   (* 1/2 m (expt xdot_r 2))
   (* 1/2 m (expt ydot_r 2)))

Er bod y trawsffurfiad cyfesurynnau yn dibynnu ar amser, mae'r ffwythiant Lagrange sy'n deillio ohono yn annibynnol ar amser.

Mae gan hafaliadau Lagrange ar gyfer y gronyn rhydd yn y system gyfesurynnau sy'n cylchdroi dermau grym sy'n cynnwys y cyflymder onglaidd Ω:

(((Lagrange-equations (L-rotating-rectangular 'm 'Omega))
  (up (literal-function 'x r) (literal-function 'y r)))
 't)
(down
  (+ (* -1 (expt Omega 2) m (x_r t))
     (* -2 Omega m ((D y_r) t))
     (* m (((expt D 2) x_r) t)))
  (+ (* -1 (expt Omega 2) m (y_r t))
     (* 2 Omega m ((D x_r) t))
     (* m (((expt D 2) y_r) t))))

Gelwir y termau sy'n gyfrannol ag Ω² yn dermau grym allgyrchol, a'r rhai sy'n gyfrannol ag Ω yn dermau grym Coriolis. Sylwch fod termau'r grym allgyrchol yn rheiddiol, gan bwyntio oddi wrth ganol y cylchdroi. Deillir y termau grym ychwanegol hyn o'r termau cyfatebol yn ffwythiant Lagrange. Gellir meddwl am y termau yn ffwythiant Lagrange sy'n gyfrannol ag Ω² fel negydd egni potensial allgyrchol.

Gan mai gronyn rhydd yw hwn, mae'r cyflymder yn y cyfesurynnau gwreiddiol nad ydynt yn cylchdroi yn gyson. Mewn cyfesurynnau sy'n cylchdroi, mae termau Coriolis yn disgrifio cyflymiad sy'n berpendicwlar i'r cyflymder, gan beri i'r taflwybr grymu.

1.6.2 Systemau â Chyfyngiadau Anhyblyg

Rydym wedi canfod bod L = T − V yn ffwythiant Lagrange addas ar gyfer system o ronynnau pwynt sy'n ddarostyngedig i rymoedd a ddeillir o botensial. Weithiau mae'n gyfleus delfrydu cyrff estynedig fel system o ronynnau pwynt wedi'u cysylltu gan gyfyngiadau anhyblyg. Canfyddwn fod L = T − V, wedi'i fynegi mewn cyfesurynnau heb ddiangenrwydd, hefyd yn ffwythiant Lagrange addas ar gyfer modelu systemau o ronynnau pwynt â chyfyngiadau anhyblyg. Yn gyntaf dangoswn y dull ac yna rhoddwn gyfiawnhad.

Ffwythiannau Lagrange ar gyfer systemau wedi'u cyfyngu'n anhyblyg

Tybir bod y system wedi'i gwneud o N màs pwynt, wedi'u mynegeio gan α, mewn gofod tri dimensiwn arferol. Y cam cyntaf yw dewis set gyfleus o gyfesurynnau cyffredinoledig q heb ddiangenrwydd ac ailddisgrifio'r system yn eu termau. Yn nhermau'r cyfesurynnau cyffredinoledig, cyfesurynnau petryal gronyn α yw

$$\begin{array}{ll}{x}_{\alpha }=f_{\alpha }(t,q).\hfill & (1.79)\hfill \end{array}$$

Ar gyfer cyfesurynnau q heb ddiangenrwydd, mae'r holl gyfyngiadau cyfesurynnau wedi'u hymgorffori yn y ffwythiannau f_α. Diddwythwn y berthynas rhwng y cyflymderau cyffredinoledig v a chyflymderau'r gronynnau cyfansoddol v_α drwy fewnosod ffwythiannau llwybr yn hafaliad (1.79), differu, ac yna haniaethu i gyflymderau mympwyol (gweler adran 1.6.1). Cawn

$$\begin{array}{ll}{v}_{\alpha }={\partial }_0{f}_{\alpha }(t,q)+{\partial }_1{f}_{\alpha }(t,q)v.\hfill & (1.80)\hfill \end{array}$$

Defnyddiwn hafaliadau (1.79) ac (1.80) i fynegi'r egni cinetig yn nhermau'r cyfesurynnau a'r cyflymderau cyffredinoledig. Gadewch i $\tilde{T}$ fod yn egni cinetig fel ffwythiant y cyfesurynnau a'r cyflymderau petryal:

$$\begin{array}{ll}\tilde{T}(t;x_0,\dots ,x_{N-1};v_0,\dots ,v_{N-1})={\displaystyle \sum _{\alpha }\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{v}_{\alpha }^2,}\hfill & (1.81)\hfill \end{array}$$

lle mae $v_{\alpha }^2$ yn sgwâr maint v_α. Fel ffwythiant y twpled cyfesurynnau cyffredinoledig q a'r twpled cyflymderau cyffredinoledig v, yr egni cinetig yw

$$\begin{array}{lll}T(t,q,v)\hfill & =\tilde{T}(t,f(t,q),{\partial }_{0}f(t,q)+{\partial }_{1}f(t,q)v)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle \sum _{\alpha }\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{({\partial }_0{f}_{\alpha }(t,q)+{\partial }_1{f}_{\alpha }(t,q)v)}^2.}\hfill & (1.82)\hfill \end{array}$$

Yn yr un modd, defnyddiwn hafaliad (1.79) i ailfynegi'r egni potensial yn nhermau'r cyfesurynnau cyffredinoledig. Gadewch i $\tilde{V}(t,x)$ fod yn egni potensial ar amser t yn y ffurfwedd a bennir gan y twpled cyfesurynnau petryal x. Wedi'i fynegi mewn cyfesurynnau cyffredinoledig, yr egni potensial yw

$$\begin{array}{ll}V(t,q,v)=\tilde{V}(t,f(t,q)).\hfill & (1.83)\hfill \end{array}$$

Cymerwn ffwythiant Lagrange yn wahaniaeth rhwng yr egni cinetig a'r egni potensial: L = T − V.

Pendil wedi'i yrru wrth y colyn

Ystyriwch bendil (gweler ffigur 1.2) o hyd l a màs m, wedi'i fodelu fel màs pwynt, wedi'i gynnal gan golyn a yrrir i'r cyfeiriad fertigol gan ffwythiant amser penodol y_s.

Un yw dimensiwn y gofod ffurfweddau ar gyfer y system hon; dewiswn θ, a ddangosir yn ffigur 1.2, yn gyfesuryn cyffredinoledig.

Rhoddir safle'r belen, mewn cyfesurynnau petryal, gan

$$\begin{array}{llll}x=l\sin \theta \hfill & \text{and}\hfill & y=y_s(t)-l\cos \theta .\hfill & (1.84)\hfill \end{array}$$

Y cyflymderau yw

$$\begin{array}{llll}{v}_x=l\dot{\theta }\cos \theta \hfill & \text{and}\hfill & v_y=D{y}_s(t)+l\dot{\theta }\sin \theta ,\hfill & (1.85)\hfill \end{array}$$

a geir drwy ddifferu ar hyd llwybr a haniaethu i gyflymderau ar yr ennyd.

Yr egni cinetig yw $\tilde{T}(t;x,y;v_x,v_y)=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)$. Wedi'i fynegi mewn cyfesurynnau cyffredinoledig, yr egni cinetig yw

$$\begin{array}{ll}T(t,\theta ,\dot{\theta })=\frac{1}{2}m(l^2{\dot{\theta }}^2+{(D{y}_s(t))}^2+2lD{y}_s(t)\dot{\theta }\sin \theta ).\hfill & (1.86)\hfill \end{array}$$

Yr egni potensial yw $\tilde{V}(t;x,y)=mgy$. Wedi'i fynegi mewn cyfesurynnau cyffredinoledig, yr egni potensial yw

$$\begin{array}{ll}V(t,\theta ,\dot{\theta })=gm(y_s(t)-l\cos \theta ).\hfill & (1.87)\hfill \end{array}$$

Un ffwythiant Lagrange yw L = T − V :

$$\begin{array}{lll}L(t,\theta ,\dot{\theta })\hfill & =\frac{1}{2}m(l^2{\dot{\theta }}^2+{(D{y}_s(t))}^2+2lD{y}_s(t)\dot{\theta }\sin \theta )\hfill & \hfill \\ \hfill & -gm(y_s(t)-l\cos \theta ).\hfill & (1.88)\hfill \end{array}$$

Mynegir ffwythiant Lagrange fel

(define ((T-pend m l g ys) local)
  (let ((t (time local))
        (theta (coordinate local))
        (thetadot (velocity local)))
    (let ((vys (D ys)))
      (* 1/2 m
         (+ (square (* l thetadot))
            (square (vys t))
            (* 2 l (vys t) thetadot (sin theta)))))))

(define ((V-pend m l g ys) local)
  (let ((t (time local))
        (theta (coordinate local)))
    (* m g (- (ys t) (* l (cos theta))))))

(define L-pend (- T-pend V-pend))

Hafaliad Lagrange ar gyfer y system hon yw

(show-expression
  (((Lagrange-equations
      (L-pend 'm 'l 'g (literal-function 'y_s)))
    (literal-function 'theta))
   't))

Ymarfer 1.17: Glain ar wifren helics

Cyfyngir glain â màs m i symud ar wifren helics heb ffrithiant. Mae'r helics wedi'i chyfeirio fel bod ei hechelin yn llorweddol. Diamedr yr helics yw d a'i thraw (troeon fesul uned hyd) yw h. Mae'r system mewn maes disgyrchiant unffurf â chyflymiad fertigol g. Lluniwch ffwythiant Lagrange sy'n disgrifio'r system a chanfyddwch hafaliadau mudiant Lagrange.

Ymarfer 1.18: Glain ar arwyneb triechelin

Mae glain â màs m yn symud heb ffrithiant ar arwyneb elipsoid triechelin. Mewn cyfesurynnau petryal, mae'r arwyneb yn bodloni

$$\begin{array}{ll}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\hfill & (1.89)\hfill \end{array}$$

ar gyfer rhai cysonion a, b, ac c. Nodwch gyfesurynnau cyffredinoledig addas, lluniwch ffwythiant Lagrange, a chanfyddwch hafaliadau Lagrange.

Ymarfer 1.19: Dolenwaith dau far

Cyfyngir y dolenwaith dau far a ddangosir yn ffigur 1.3 i symud yn y plân. Mae wedi'i gyfansoddi o dri chorff bach â màs wedi'u cydgysylltu gan ddwy wialen anhyblyg ddi-fàs mewn maes disgyrchiant unffurf â chyflymiad fertigol g. Cysylltir y gwiail â'r corff canolog gan golfach sy'n caniatáu i'r dolenwaith blygu. Trefnir y system fel bod y colfach yn gwbl rydd: gall yr aelodau fynd drwy bob ffurfwedd heb wrthdaro. Lluniwch ffwythiant Lagrange sy'n disgrifio'r system a chanfyddwch hafaliadau mudiant Lagrange. Defnyddiwch y cyfrifiadur i wneud hyn, oherwydd mae'r hafaliadau braidd yn fawr.

Ymarfer 1.20: Pendil llithro

Ystyriwch bendil o hyd l wedi'i gysylltu â chynhaliad sy'n rhydd i symud yn llorweddol, fel y dangosir yn ffigur 1.4. Gadewch i fàs y cynhaliad fod yn m₁ ac i fàs pelen y pendil fod yn m₂. Lluniwch ffwythiant Lagrange a deilliwch hafaliadau Lagrange ar gyfer y system hon.

Pam mae'n gweithio

Yn yr adran hon dangoswn fod L = T − V yn wir yn ffwythiant Lagrange addas ar gyfer systemau wedi'u cyfyngu'n anhyblyg. Gwnawn hyn drwy fynnu bod hafaliadau Lagrange yn gywerth â dynameg fectoraidd Newton â grymoedd cyfyngu fectoraidd.⁶⁵

Ystyriwn system o ronynnau. Mae gan y gronyn â mynegai α fàs m_α a safle ${\overrightarrow{x}}_{\alpha }(t)$ ar amser t. Gall fod nifer fawr iawn o'r gronynnau hyn, neu dim ond ychydig. Gall rhai o'r safleoedd hefyd fod yn ffwythiannau amser penodedig, megis safle colyn pendil wedi'i yrru. Mae cyfyngiadau safle anhyblyg rhwng rhai o'r gronynnau. Tybiwn fod yr holl gyfyngiadau hyn o'r ffurf

$$\begin{array}{ll}({\overrightarrow{x}}_{\alpha }(t)-{\overrightarrow{x}}_{\beta }(t))·({\overrightarrow{x}}_{\alpha }(t)-{\overrightarrow{x}}_{\beta }(t))=l_{\alpha \beta }^2;\hfill & (1.90)\hfill \end{array}$$

hynny yw, y pellter rhwng gronynnau α a β yw l_αβ.

Mae hafaliad mudiant Newton ar gyfer gronyn α yn dweud bod màs gronyn α wedi'i luosi â'i gyflymiad yn hafal i swm y grymoedd potensial a'r grymoedd cyfyngu. Deillir y grymoedd potensial fel graddiant negyddol yr egni potensial, a gallant ddibynnu ar safleoedd y gronynnau eraill a'r amser. Y grymoedd cyfyngu ${\overrightarrow{F}}_{\alpha \beta }$ yw'r grymoedd cyfyngu fectoraidd sy'n gysylltiedig â'r cyfyngiad anhyblyg rhwng gronyn α a gronyn β. Felly

$$\begin{array}{ll}D(m_{\alpha }D{\overrightarrow{x}}_{\alpha })(t)\hfill & \hfill \\ =-{\overrightarrow{\nabla }}_{\overrightarrow{x}\alpha }\mathcal{V}(t,{\overrightarrow{x}}_0(t),\dots ,{\overrightarrow{x}}_{N-1}(t))+{\displaystyle \sum _{\left\{\beta \right|\beta \leftrightarrow \alpha \}}{\overrightarrow{F}}_{\alpha \beta }(t),}\hfill & (1.91)\hfill \end{array}$$

lle mae β yn y symiad yn rhedeg dros y mynegeion gronynnau hynny yn unig y mae cyfyngiadau anhyblyg rhyngddynt a'r gronyn â mynegai α; defnyddiwn y nodiant β ↔ α ar gyfer y berthynas bod cyfyngiad anhyblyg rhwng y gronynnau a nodir.

Cyfeirir y grym cyfyngu ar hyd y llinell rhwng y gronynnau, felly gallwn ysgrifennu

$$\begin{array}{ll}{\overrightarrow{F}}_{\alpha \beta }(t)=F_{\alpha \beta }(t)\frac{{\overrightarrow{x}}_{\beta }(t)-{\overrightarrow{x}}_{\alpha }(t)}{l_{\alpha \beta }}\hfill & (1.92)\hfill \end{array}$$

lle mae F_αβ(t) yn faint sgalar y tyniant yn y cyfyngiad ar amser t. Sylwch fod ${\overrightarrow{F}}_{\alpha \beta }=-{\overrightarrow{F}}_{\beta \alpha }$. Yn gyffredinol, mae'r grymoedd cyfyngu sgalar yn newid wrth i'r system esblygu.

Yn ffurfiol, gallwn atgynhyrchu hafaliadau Newton â'r ffwythiant Lagrange⁶⁶

$$\begin{array}{lll}L(t;x,F;\dot{x},\dot{F})=\hfill & {\displaystyle \sum _{\alpha }\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{\dot{x}}_{\alpha }^2-V(t,x)}\hfill & \hfill \\ \hfill & -{\displaystyle \sum _{\{\alpha ,\beta |\alpha <\beta ,\alpha \leftrightarrow \beta \}}\frac{F_{\alpha \beta }}{2l_{\alpha \beta }}[{(x_{\beta }-x_{\alpha })}^2-l_{\alpha \beta }^2]}\hfill & (1.93)\hfill \end{array}$$

lle mae'r grymoedd cyfyngu yn cael eu trin fel cyfesurynnau cyffredinoledig ychwanegol. Yma mae x yn strwythur wedi'i gyfansoddi o holl gydrannau petryal x_α yr holl ${\overrightarrow{x}}_{\alpha },\dot{x}$ yw strwythur wedi'i gyfansoddi o holl gydrannau petryal ${\dot{x}}_{\alpha }$ yr holl fectorau cyflymder ${\overrightarrow{v}}_{\alpha }$, ac mae F yn strwythur wedi'i gyfansoddi o'r holl F_αβ. Nid yw cyflymder F yn ymddangos yn ffwythiant Lagrange, a dim ond yn llinol y mae F ei hun yn ymddangos. Felly hafaliadau Lagrange sy'n gysylltiedig ag F yw

$$\begin{array}{ll}{(x_{\beta }(t)-x_{\alpha }(t))}^2-l_{\alpha \beta }^2=0\hfill & (1.94)\hfill \end{array}$$

ond dim ond ailddatganiad o'r cyfyngiadau yw hyn. Hafaliadau Lagrange ar gyfer cyfesurynnau'r gronynnau yw hafaliadau Newton (1.91)

$$\begin{array}{lll}D(mD{x}_{\alpha })(t)\hfill & =-{\partial }_{1,\alpha }V(t,x(t))\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\displaystyle \sum _{\left\{\beta \right|\alpha \leftrightarrow \beta \}}{F}_{\alpha \beta }(t)\frac{x_{\beta }(t)-x_{\alpha }(t)}{l_{\alpha \beta }}}.\hfill & (1.95)\hfill \end{array}$$

Nawr bod gennym ffwythiant Lagrange addas, gallwn ddefnyddio'r ffaith y gellir ailfynegi ffwythiannau Lagrange mewn unrhyw gyfesurynnau cyffredinoledig i ganfod ffwythiant Lagrange symlach. Y strategaeth yw dewis set newydd o gyfesurynnau lle mae llawer o'r cyfesurynnau yn gysonion ac nad oes diangenrwydd yn y cyfesurynnau sy'n weddill.

Gadewch i q fod yn dwpled o gyfesurynnau cyffredinoledig sy'n pennu graddau rhyddid y system heb ddiangenrwydd. Gadewch i c fod yn dwpled o gyfesurynnau cyffredinoledig eraill sy'n pennu'r pellteroedd rhwng gronynnau y pennir cyfyngiadau ar eu cyfer. Bydd gan y cyfesurynnau c werthoedd cyson. Mae'r cyfuniad o q ac c yn disodli'r cyfesurynnau petryal diangen x.⁶⁷ Yn ogystal, mae gennym o hyd y cyfesurynnau F, sef y grymoedd cyfyngu sgalar. Ein cyfesurynnau newydd yw cydrannau q, c, ac F.

Ceir ffwythiannau f_α sy'n rhoi cyfesurynnau petryal y gronynnau cyfansoddol yn nhermau q ac c:

$$\begin{array}{ll}{x}_{\alpha }=f_{\alpha }(t,q,c).\hfill & (1.96)\hfill \end{array}$$

I ailfynegi ffwythiant Lagrange yn nhermau q, c, ac F, mae angen inni ganfod v_α yn nhermau'r cyflymderau cyffredinoledig $$ \dot{q}$$ ac $$ \dot{c}$$: gwnawn hyn drwy ddifferu f_α ar hyd llwybr a haniaethu i gyflymderau mympwyol (gweler adran 1.6.1):

$$\begin{array}{ll}{v}_{\alpha }={\partial }_0{f}_{\alpha }(t,q,c)+{\partial }_1{f}_{\alpha }(t,q,c)\dot{q}+{\partial }_2{f}_{\alpha }(t,q,c)\dot{c}.\hfill & (1.97)\hfill \end{array}$$

Gan amnewid y rhain yn ffwythiant Lagrange (1.93), a defnyddio

$$\begin{array}{ll}{c}_{\alpha \beta }^2={({\mathbf{x}}_{\beta }-{\mathbf{x}}_{\alpha })}^2,\hfill & (1.98)\hfill \end{array}$$

cawn

$$\begin{array}{ll}L\prime (t;q,c,F;\dot{q},\dot{c},\dot{F})\hfill & \hfill \\ ={\displaystyle \sum _{\alpha }\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{({\partial }_0{f}_{\alpha }(t,q,c)+{\partial }_1{f}_{\alpha }(t,q,c)\dot{q}+{\partial }_2{f}_{\alpha }(t,q,c)\dot{c})}^2}\hfill & \hfill \\ -V(t,f(t,q,c))-{\displaystyle \sum _{\{\alpha ,\beta |\alpha <\beta ,\alpha \leftrightarrow \beta \}}\frac{F_{\alpha \beta }}{2l_{\alpha \beta }}[c_{\alpha \beta }^2-l_{\alpha \beta }^2].}\hfill & (1.99)\hfill \end{array}$$

Deillir hafaliadau Lagrange drwy'r weithdrefn arferol. Yn hytrach nag ysgrifennu'r holl fanylion dyrys, gadewch inni feddwl sut y bydd hyn yn mynd.

Dim ond ailddatgan y cyfyngiadau y mae hafaliadau Lagrange sy'n gysylltiedig ag F:

$$\begin{array}{ll}0=c_{\alpha \beta }^2(t)-l_{\alpha \beta }^2\hfill & (1.100)\hfill \end{array}$$

ac o ganlyniad gwyddom fod, ar hyd llwybr datrysiad, c(t) = l a Dc(t) = D²c(t) = 0. Gallwn ddefnyddio'r canlyniad hwn i symleiddio hafaliadau Lagrange sy'n gysylltiedig â q ac c.

Mae hafaliadau Lagrange sy'n gysylltiedig â q yr un fath â phe baent wedi'u deillio o'r ffwythiant Lagrange⁶⁸

$$\begin{array}{lll}L″(t,q,\dot{q})\hfill & ={\displaystyle \sum _{\alpha }\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{({\partial }_0{f}_{\alpha }(t,q,l)+{\partial }_1{f}_{\alpha }(t,q,l)\dot{q})}^2}\hfill & \hfill \\ \hfill & -V(t,f(t,q,l)),\hfill & (1.101)\hfill \end{array}$$

ond dyma'n union T − V, lle cyfrifir T a V o'r cyfesurynnau cyffredinoledig q, â chyfyngiadau sefydlog. Sylwch nad yw'r grymoedd cyfyngu yn ymddangos yn hafaliadau Lagrange ar gyfer q oherwydd, yn hafaliadau Lagrange, cânt eu lluosi â therm sy'n sero yn unfath ar y llwybrau datrysiad. Felly mae hafaliadau Lagrange ar gyfer T − V â chyfesurynnau cyffredinoledig q heb ddiangenrwydd a chyfyngiadau sefydlog yn gywerth â hafaliadau Newton â grymoedd cyfyngu fectoraidd.

Gellir defnyddio hafaliadau Lagrange ar gyfer c i ganfod y grymoedd cyfyngu. Mae hafaliadau Lagrange yn llanast mawr, felly ni fyddwn yn eu dangos yn eglur, ond yn gyffredinol maent yn hafaliadau mewn D²c, Dc, ac c a fydd yn dibynnu ar q, Dq, ac F. Mae'r ddibyniaeth ar F yn llinol, felly gallwn ddatrys ar gyfer F yn nhermau'r llwybr datrysiad q a Dq, gydag c = l a Dc = D²c = 0.

Os nad oes gennym ddiddordeb yn y grymoedd cyfyngu, gallwn roi'r gorau i'r ffwythiant Lagrange llawn (1.99) o blaid ffwythiant Lagrange (1.101), sy'n gywerth o safbwynt esblygiad y cyfesurynnau cyffredinoledig q.

Mae'r un deilliad yn dal hyd yn oed os yw'r hydoedd l_αβ a bennir yn y cyfyngiadau pellter rhwng gronynnau yn ffwythiant amser. Gellir ei gyffredinoli hefyd i ganiatáu cyfyngiadau pellter i safleoedd sy'n dibynnu ar amser, drwy wneud rhai o safleoedd y gronynnau ${\overrightarrow{x}}_{\beta }$ yn ffwythiannau amser penodedig.

Ymarfer 1.21: Pwysyn dau ben

Yn yr ymarfer hwn byddwn yn ailadrodd deilliad ffwythiant Lagrange ar gyfer systemau cyfyngedig ar gyfer system syml benodol.

Ystyriwch ddau ronyn â màs yn y plân wedi'u cyfyngu gan wialen anhyblyg ddi-fàs i aros bellter l oddi wrth ei gilydd, fel yn ffigur 1.5. Mae'n ymddangos bod pedair gradd rhyddid ar gyfer dau ronyn â màs yn y plân, ond mae'r wialen anhyblyg yn lleihau'r nifer hwn i dri.

Gallwn bennu'r ffurfwedd yn unigryw drwy gyfesurynnau diangen y gronynnau, er enghraifft x₀(t), y₀(t) ac x₁(t), y₁(t). Mae'r cyfyngiad (x₁(t) − x₀(t))² + (y₁(t) − y₀(t))² = l² yn dileu un radd rhyddid.

a. Ysgrifennwch hafaliadau Newton ar gyfer cydbwysedd y grymoedd ar gyfer pedwar cyfesuryn petryal y ddau ronyn, o wybod mai F yw'r tyniant sgalar yn y wialen.

b. Ysgrifennwch y ffwythiant Lagrange ffurfiol

$L(t;x_0,y_0,x_1,y_1,F;{\dot{x}}_0,{\dot{y}}_0,{\dot{x}}_1,{\dot{y}}_1,\dot{F})$

fel y bydd hafaliadau Lagrange yn rhoi'r hafaliadau Newton a ddeillioch yn rhan a.

c. Newidiwch gyfesurynnau i system gyfesurynnau â chyfesurynnau craidd màs x_CM, y_CM, ongl θ, pellter rhwng y gronynnau c, a grym tyniant F. Ysgrifennwch ffwythiant Lagrange yn y cyfesurynnau hyn, ac ysgrifennwch hafaliadau Lagrange.

d. Gallwch ddiddwytho o un o'r hafaliadau hyn fod c(t) = l. O'r ffaith hon cawn fod Dc = 0 a D²c = 0. Amnewidiwch y rhain yn yr hafaliadau Lagrange yr ydych newydd eu cyfrifo i gael hafaliad mudiant x_CM, y_CM, θ.

e. Lluniwch ffwythiant Lagrange (= T − V) ar gyfer y system a ddisgrifir gan y cyfesurynnau cyffredinoledig heb ddiangenrwydd x_CM, y_CM, θ, a chyfrifwch hafaliadau Lagrange o'r ffwythiant Lagrange hwn. Dylent fod yr un hafaliadau â'r rhai a ddeillioch ar gyfer yr un cyfesurynnau yn rhan d.

Ymarfer 1.22: Pendil wedi'i yrru

Dangoswch y gellir defnyddio ffwythiant Lagrange (1.93) i ddisgrifio'r pendil wedi'i yrru (adran 1.6.2), lle mae safle'r colyn yn ffwythiant amser penodedig: deilliwch yr hafaliadau mudiant gan ddefnyddio dull grymoedd cyfyngu Newton, a dangoswch eu bod yr un fath â hafaliadau Lagrange. Gwnewch yn siŵr eich bod yn archwilio'r hafaliadau ar gyfer y grymoedd cyfyngu yn ogystal â safle pelen y pendil.

Ymarfer 1.23: Cwblhau'r manylion

Dangoswch fod hafaliadau Lagrange ar gyfer ffwythiant Lagrange (1.101) yr un fath â hafaliadau Lagrange ar gyfer ffwythiant Lagrange (1.99) â'r amnewidiad c(t) = l, Dc(t) = D²c(t) = 0.

Ymarfer 1.24: Grymoedd cyfyngu

Canfyddwch y tyniant mewn pendil plân heb ei yrru.

1.6.3 Cyfyngiadau fel Trawsffurfiadau Cyfesurynnau

Mae deillio ffwythiant Lagrange ar gyfer system gyfyngedig yn cynnwys camau sy'n cyfateb i'r rhai wrth ddeillio trawsffurfiad cyfesurynnau.

Gallwn lunio ffwythiant Lagrange ar gyfer y system gronynnau heb gyfyngiadau mewn cyfesurynnau petryal. Yn gyffredinol bydd mwy o gyfesurynnau nag o raddau rhyddid gwirioneddol; bydd y cyfyngiadau'n dileu'r diangenrwydd. Yna dewiswn set gyfleus o gyfesurynnau cyffredinoledig heb ddiangenrwydd sy'n ymgorffori'r cyfyngiadau i ddisgrifio ein system. Mynegwn y cyfesurynnau a'r cyflymderau petryal diangen yn nhermau'r cyfesurynnau cyffredinoledig heb ddiangenrwydd a'r cyflymderau cyffredinoledig, a defnyddiwn y trawsffurfiadau hyn i ailfynegi ffwythiant Lagrange yn y cyfesurynnau cyffredinoledig.

I gyflawni trawsffurfiad cyfesurynnau, pennwn sut y gellir ailfynegi ffurfwedd system a fynegir mewn un set o gyfesurynnau cyffredinoledig yn nhermau set arall o gyfesurynnau cyffredinoledig. Yna pennwn y trawsffurfiad cyflymderau cyffredinoledig a awgrymir gan y trawsffurfiad cyfesurynnau cyffredinoledig. Yna gellir ailfynegi ffwythiant Lagrange a fynegir yn nhermau un o'r setiau o gyfesurynnau cyffredinoledig yn nhermau'r set arall o gyfesurynnau cyffredinoledig.

Mewn gwirionedd, dau gymhwysiad o'r un broses yw'r rhain, felly gallwn lunio ffwythiannau Lagrange ar gyfer systemau cyfyngedig drwy gyfansoddi ffwythiant Lagrange ar gyfer gronynnau heb gyfyngiadau â thrawsffurfiad cyfesurynnau sy'n ymgorffori'r cyfyngiad. Roedd ein diddwythiad bod L = T − V yn ffwythiant Lagrange addas ar gyfer system gyfyngedig mewn gwirionedd yn seiliedig ar drawsffurfiad cyfesurynnau o set o gyfesurynnau sy'n ddarostyngedig i gyfyngiadau i set o gyfesurynnau heb ddiangenrwydd ynghyd â chyfesurynnau cyfyngiad sy'n gyson.

Gadewch i x_α fod yn dwpled cydrannau petryal y gronyn cyfansoddol â mynegai α, ac i v_α fod yn gyflymder iddo. Mae'r ffwythiant Lagrange

$$\begin{array}{ll}{L}_f(t;x_0,\dots ,x_{N-1};v_0,\dots ,v_{N-1})\hfill & \hfill \\ ={\displaystyle \sum _{\alpha }\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{v}_{\alpha }^2-V(t;x_0,\dots ,x_{N-1};v_0,\dots ,v_{N-1})}\hfill & (1.102)\hfill \end{array}$$

yn wahaniaeth rhwng egni cinetig ac egni potensial y gronynnau cyfansoddol. Mae hwn yn ffwythiant Lagrange addas ar gyfer set o ronynnau rhydd heb gyfyngiadau ag egni potensial V.

Gadewch i q fod yn dwpled o gyfesurynnau cyffredinoledig heb ddiangenrwydd ac i v fod yn dwpled cyflymderau cyffredinoledig cyfatebol. Mae'r cyfesurynnau q yn gysylltiedig â x_α, cyfesurynnau'r gronynnau cyfansoddol, gan x_α = f_α(t, q), fel o'r blaen. Ystyrir y cyfyngiadau rhwng y gronynnau cyfansoddol yn niffiniad y f_α. Yma ystyriwn hyn yn drawsffurfiad cyfesurynnau. Yr hyn sy'n anghyffredin ynghylch hyn fel trawsffurfiad cyfesurynnau yw nad yw dimensiwn x yr un fath â dimensiwn q. O'r trawsffurfiad cyfesurynnau hwn gallwn ganfod y ffwythiant trawsffurfio twpledi lleol (gweler adran 1.6.1)

$$\begin{array}{ll}(t;x_0,\dots ,x_{N-1};v_0,\dots ,v_{N-1})=C(t,q,v).\hfill & (1.103)\hfill \end{array}$$

Gellir cael ffwythiant Lagrange ar gyfer y system gyfyngedig o ffwythiant Lagrange y system heb gyfyngiadau drwy ei gyfansoddi â ffwythiant trawsffurfio twpledi lleol o gyfesurynnau cyfyngedig i gyfesurynnau heb gyfyngiadau:

$$\begin{array}{ll}L=L_f\circ C.\hfill & (1.104)\hfill \end{array}$$

Dim ond drwy'r trawsffurfiad y mae'r cyfyngiadau'n dod i mewn.

I ddangos hyn, byddwn yn canfod ffwythiant Lagrange ar gyfer y pendil wedi'i yrru a gyflwynwyd yn adran 1.6.2. Fel y gwelsom ar dudalen 40, y ffwythiant Lagrange T − V ar gyfer gronyn rhydd â màs m mewn plân fertigol sy'n ddarostyngedig i botensial disgyrchiant â chyflymiad g yw

$$\begin{array}{ll}{L}_f\left(t;x,y;v_x,v_y\right)=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)-mgy,\hfill & (1.105)\hfill \end{array}$$

lle mae y yn mesur uchder y màs pwynt. Rhaglen sy'n cyfrifo'r ffwythiant Lagrange hwn yw

(define ((L-uniform-acceleration m g) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (v (velocity local)))
    (let ((y (ref q 1)))
      (- (* 1/2 m (square v)) (* m g y)))))

Y trawsffurfiad cyfesurynnau o'r cyfesuryn cyffredinoledig θ i gyfesurynnau petryal yw x = l sin θ, y = y_s(t) − l cos θ, lle mae l yn hyd y pendil ac mae y_s yn rhoi uchder y cynhaliad fel ffwythiant amser. Mae'n ddiddorol mai dim ond drwy bennu'r cyfyngiadau y mae'r gyriant yn dod i mewn. Rhaglen sy'n gweithredu'r trawsffurfiad cyfesurynnau hwn yw

(define ((dp-coordinates l y_s) local)
  (let ((t (time local))
        (theta (coordinate local)))
    (let ((x (* l (sin theta)))
          (y (- (y_s t) (* l (cos theta)))))
      (up x y))))

Gan ddefnyddio F->C, gallwn ddiddwytho'r trawsffurfiad twpledi lleol a diffinio ffwythiant Lagrange ar gyfer y pendil wedi'i yrru drwy gyfansoddi:

(define (L-pend m l g y_s)
  (compose (L-uniform-acceleration m g)
           (F->C (dp-coordinates l y_s))))

Ffwythiant Lagrange yw

(show-expression
  ((L-pend 'm 'l 'g (literal-function 'y_s))
   (up 't 'theta 'thetadot)))

Mae hwn yr un fath â ffwythiant Lagrange hafaliad (1.88) ar dudalen 51.

Rydym wedi canfod dadelfeniad diddorol iawn o ffwythiant Lagrange ar gyfer systemau cyfyngedig. Mae un rhan yn cynnwys y gwahaniaeth rhwng egni cinetig ac egni potensial y cyfansoddion. Mae'r rhan arall yn disgrifio'r cyfyngiadau sy'n benodol i ffurfwedd system benodol.

Ymarfer 1.25: Ffwythiant Lagrange pendil Foucault

Pendil â chyfnod hir, o hyd l a màs m, wedi'i grogi ar uchder l uwchben wyneb y Ddaear (radiws R) ar gydledred ϕ, yw pendil Foucault. Os rhyddheir y pendil, o ddisymud, â dadleoliad ansero o'r fertigol lleol, bydd yn osgiliadu mewn plân ymddangosiadol. Fodd bynnag, mae'r plân osgiliad ymddangosiadol yn rhagflaenu wrth i'r Ddaear gylchdroi. Mae'r Ddaear yn cylchdroi â buanedd onglaidd Ω.

Un ffordd o bennu safle'r belen yw codi pendil Foucault ym Mhegwn y Gogledd a'i gylchdroi i bwynt ar wyneb y Ddaear ar y cydledred priodol a hydred sefydlog. Gan fod y Ddaear yn cylchdroi, mae hwn yn drawsffurfiad sy'n amrywio ag amser. Mae dwy ran i'r trawsffurfiad hwn.

Yn gyntaf, cysylltwn y cyfesurynnau cyffredinoledig θ a λ â chyfesurynnau pelen y pendil pan fo'r pendil ym Mhegwn y Gogledd. Gadewch i θ fod yn ongl y belen mewn perthynas â'r llinell drwy ganol y Ddaear, ac i λ fod yn ongl rhagflaenu. Cyfesurynnau petryal y belen ar gyfer pendil ym Mhegwn y Gogledd yw:

x₀ = l sin θ cos λ

y₀ = l sin θ sin λ

z₀ = (R + l) − l cos θ.

Nesaf, cylchdrown y pendil i'w leoliad gwirioneddol ar gydledred ϕ. Gallwn ddewis yr hydred yn sero, felly cylchdroir safle onglaidd cynhaliad y belen gan Ωt. Y trawsffurfiad cyfesurynnau yw:⁶⁹

$(x,y,z)=R_z(\Omega t)R_y(\varphi )(x_0,y_0,z_0).$

Gellir gweithredu'r ail drawsffurfiad hwn â'r cod canlynol:

((compose (Rz (* 'Omega 't)) (Ry 'phi))
 (up 'x_0 'y_0 'z_0))
(up
  (+ (* x_0 (cos phi) (cos (* Omega t)))
     (* z_0 (sin phi) (cos (* Omega t)))
     (* -1 y_0 (sin (* Omega t))))
  (+ (* x_0 (cos phi) (sin (* Omega t)))
     (* z_0 (sin phi) (sin (* Omega t)))
     (* y_0 (cos (* Omega t))))
  (+ (* -1 x_0 (sin phi)) (* z_0 (cos phi))))

Lluniwch drawsffurfiad cyfesurynnau F o'r rhannau hyn y gallwch ei ddefnyddio gyda F->C i gyfansoddi â ffwythiant Lagrange rhydd gronyn mewn potensial disgyrchiant i greu ffwythiant Lagrange ar gyfer pendil Foucault. Egni potensial Newton yw −GMm/r, lle mae r yn bellter y belen o ganol y Ddaear ac M yn fàs y Ddaear.

1.6.4 Nid yw Ffwythiant Lagrange yn Unigryw

Nid oes perthynas un-i-un rhwng ffwythiannau Lagrange a systemau ffisegol—gellir defnyddio llawer o ffwythiannau Lagrange i ddisgrifio'r un system ffisegol. Yn yr adran hon dangoswn hyn drwy brofi nad yw ychwanegu “deilliad amser cyflawn” ffwythiant y cyfesurynnau a'r amser at ffwythiant Lagrange yn newid llwybrau'r weithred arhosol na'r hafaliadau mudiant a ddiddwythir o egwyddor y weithred.

Deilliadau amser cyflawn

Gadewch inni esbonio'n gyntaf beth a olygwn wrth “ddeilliad amser cyflawn”. Gadewch i F fod yn ffwythiant amser a chyfesurynnau. Y ffwythiant F ar y llwybr ar amser t yw

$$\begin{array}{ll}(F\circ \Gamma [q])(t)=F(t,q(t)).\hfill & (1.106)\hfill \end{array}$$

Felly, yn ôl y rheol gadwyn

$$\begin{array}{ll}D(F\circ \Gamma [q])(t)={\partial }_{0}F(t,q(t))+{\partial }_{1}F(t,q(t))Dq(t).\hfill & (1.107)\hfill \end{array}$$

Yn fwy ffurfiol, deilliad amser F ar hyd llwybr q yw

$$\begin{array}{ll}D(F\circ \Gamma [q])=(DF\circ \Gamma [q])D\Gamma [q].\hfill & (1.108)\hfill \end{array}$$

Gan fod F yn dibynnu ar amser a chyfesurynnau yn unig, mae gennym

$$\begin{array}{ll}DF\circ \Gamma [q]=[{\partial }_{0}F\circ \Gamma [q],{\partial }_{1}F\circ \Gamma [q]].\hfill & (1.109)\hfill \end{array}$$

Felly dim ond dwy gydran gyntaf DΓ[q] sydd eu hangen arnom,

$$\begin{array}{ll}(D\Gamma [q])(t)=(1,Dq(t),D^{2}q(t),\dots ),\hfill & (1.110)\hfill \end{array}$$

i ffurfio'r lluoswm

$$\begin{array}{lll}D(F\circ \Gamma [q])\hfill & ={\partial }_{0}F\circ \Gamma [q]+({\partial }_{1}F\circ \Gamma [q])Dq\hfill & \hfill \\ \hfill & =({\partial }_{0}F+({\partial }_{1}F)\dot{Q})\circ \Gamma [q],\hfill & (1.111)\hfill \end{array}$$

lle mae $\dot{Q}=I_2$ yn ffwythiant dethol:⁷⁰ $c=\dot{Q}(a,b,c)$, felly $Dq=\dot{Q}\circ \Gamma [q]$.

Gelwir y ffwythiant

$$\begin{array}{ll}{D}_{t}F={\partial }_{0}F+({\partial }_{1}F)\dot{Q}\hfill & (1.112)\hfill \end{array}$$

yn ddeilliad amser cyflawn F; mae'n ffwythiant tri arg: yr amser, y cyfesurynnau cyffredinoledig, a'r cyflymderau cyffredinoledig.

Yn gyffredinol, deilliad amser cyflawn ffwythiant twpled lleol F yw'r ffwythiant D_tF sydd, o'i gyfansoddi â llwybr twpled lleol, yn ddeilliad amser cyfansoddiad y ffwythiant F â'r un llwybr twpled lleol:

$$\begin{array}{ll}{D}_{t}F\circ \Gamma [q]=D(F\circ \Gamma [q]).\hfill & (1.113)\hfill \end{array}$$

Rhoddir y deilliad amser cyflawn D_tF yn eglur gan

$$\begin{array}{lll}{D}_{t}F(t,q,v,a,\dots )=\hfill & {\partial }_{0}F(t,q,v,a,\dots )\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_{1}F(t,q,v,a,\dots )v\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_{2}F(t,q,v,a,\dots )a+\cdots ,\hfill & (1.114)\hfill \end{array}$$

lle cymerwn gynifer o dermau ag sydd eu hangen i gynnwys holl argiau F.

Ymarfer 1.26: Priodweddau D_t

Nid yw'r deilliad amser cyflawn D_tF yn ddeilliad y ffwythiant F. Serch hynny, mae'r deilliad amser cyflawn yn rhannu llawer o briodweddau â'r deilliad. Dangoswch fod gan D_t y priodweddau canlynol ar gyfer ffwythiannau twpled lleol F a G, rhif c, a ffwythiant H y mae ei barth yn cynnwys amrediad G.

a. D_t(F + G) = D_tF + D_tG

b. D_t(cF) = cD_tF

c. D_t(FG) = FD_tG + (D_tF)G

d. D_t(H ∘ G) = (DH ∘ G)D_tG

Ychwanegu deilliadau amser cyflawn at ffwythiannau Lagrange

Ystyriwch ddau ffwythiant Lagrange L a L′ sy'n gwahaniaethu drwy ychwanegu deilliad amser cyflawn ffwythiant F sy'n dibynnu ar yr amser a'r cyfesurynnau yn unig

$$\begin{array}{ll}L\prime =L+D_{t}F.\hfill & (1.115)\hfill \end{array}$$

Yr integryn gweithred cyfatebol yw

$$\begin{array}{lll}S\prime [q](t_1,t_2)\hfill & ={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}L\prime \circ \Gamma [q]}\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}(L+D_{t}F)\circ \Gamma [q]}\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}L\circ \Gamma [q]+{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}D(F\circ \Gamma [q])}}\hfill & \hfill \\ \hfill & =S[q](t_1,t_2)+(F\circ \Gamma [q]){|}_{t_1}^{t_2}.\hfill & (1.116)\hfill \end{array}$$

Mae'r egwyddor amrywiadol yn datgan bod integryn y weithred ar hyd taflwybr gwireddadwy yn arhosol mewn perthynas ag amrywiadau'r taflwybr sy'n gadael y ffurfwedd yn y pwyntiau terfyn yn sefydlog. Mae'r integrynnau gweithred S[q](t₁, t₂) ac S′[q](t₁, t₂) yn gwahaniaethu gan derm

$$\begin{array}{ll}(F\circ \Gamma [q]){|}_{t_1}^{t_2}=F(t_2,q(t_2))-F(t_1,q(t_1))\hfill & (1.117)\hfill \end{array}$$

sy'n dibynnu ar y cyfesurynnau a'r amser yn y pwyntiau terfyn yn unig, ac ni chaniateir i'r rhain amrywio. Felly, os yw S[q](t₁, t₂) yn arhosol ar gyfer llwybr, yna bydd S′[q](t₁, t₂) hefyd yn arhosol. Felly gellir defnyddio'r naill ffwythiant Lagrange neu'r llall i wahaniaethu'r llwybrau gwireddadwy.

Nid yw ychwanegu deilliad amser cyflawn at ffwythiant Lagrange yn effeithio ar a yw'r weithred yn arhosol ar gyfer llwybr penodol. Felly, os oes gennym ddau ffwythiant Lagrange sy'n gwahaniaethu gan ddeilliad amser cyflawn, mae'r hafaliadau Lagrange cyfatebol yn gywerth yn yr ystyr bod yr un llwybrau yn bodloni'r ddau. Ar ben hynny, dim ond yn yr amod pwyntiau terfyn y mae'r termau ychwanegol a gyflwynir i'r weithred gan y deilliad amser cyflawn yn ymddangos, ac felly nid ydynt yn effeithio ar hafaliadau Lagrange a ddeillir o amrywiad y weithred, felly mae hafaliadau Lagrange yr un fath. Nid yw ychwanegu deilliad amser cyflawn at ffwythiant Lagrange yn newid hafaliadau Lagrange.

Ymarfer 1.27: Hafaliadau Lagrange ar gyfer deilliadau amser cyflawn

Gadewch i F (t, q) fod yn ffwythiant t a q yn unig, â deilliad amser cyflawn

$$\begin{array}{ll}{D}_{t}F={\partial }_{0}F+({\partial }_{1}F)\dot{Q}.\hfill & (1.118)\hfill \end{array}$$

Dangoswch yn eglur fod hafaliadau Lagrange ar gyfer D_tF yn sero yn unfath, ac felly nad yw ychwanegu D_tF at ffwythiant Lagrange yn effeithio ar hafaliadau Lagrange.

Mae'r pendil wedi'i yrru yn rhoi enghraifft dda o ychwanegu deilliadau amser cyflawn at ffwythiannau Lagrange. Mae gan hafaliad mudiant y pendil wedi'i yrru (gweler adran 1.6.2),

$$\begin{array}{ll}m{l}^2{D}^2\theta (t)+ml(g+D^2{y}_s(t))\sin \theta (t)=0,\hfill & (1.119)\hfill \end{array}$$

ddehongliad diddorol ac awgrymog: mae'r un fath â hafaliad mudiant pendil heb ei yrru, heblaw bod cyflymiad disgyrchiant g yn cael ei gynyddu gan gyflymiad y colyn D²y_s. Nid oedd y dehongliad greddfol hwn yn amlwg yn y ffwythiant Lagrange a ddeilliwyd fel y gwahaniaeth rhwng yr egni cinetig a'r egni potensial yn adran 1.6.2. Fodd bynnag, gallwn ysgrifennu ffwythiant Lagrange arall â'r un hafaliad mudiant sydd yr un mor hawdd ei ddehongli â'r hafaliad mudiant:

$$\begin{array}{ll}L\prime (t,\theta ,\dot{\theta })=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+ml(g+D^2{y}_s(t))\cos \theta .\hfill & (1.120)\hfill \end{array}$$

Gyda'r ffwythiant Lagrange hwn, mae'n amlwg mai effaith y colyn sy'n cyflymu yw addasu cyflymiad disgyrchiant. Sylwch, fodd bynnag, nad y gwahaniaeth rhwng yr egni cinetig a'r egni potensial ydyw. Gadewch inni gymharu'r ddau ffwythiant Lagrange ar gyfer y pendil wedi'i yrru. Y gwahaniaeth ΔL = L − L′ yw

$$\begin{array}{lll}\Delta L(t,\theta ,\dot{\theta })=\hfill & \frac{1}{2}m{(D{y}_s(t))}^2+mlD{y}_s(t)\dot{\theta }\sin \theta \hfill & \hfill \\ \hfill & -gm{y}_s(t)-ml{D}^2{y}_s(t)\cos \theta .\hfill & (1.121)\hfill \end{array}$$

Nid yw'r ddau derm yn ΔL nad ydynt yn dibynnu ar θ nac ar $\dot{\theta }$ yn effeithio ar yr hafaliadau mudiant. Y ddau derm sy'n weddill yw deilliad amser cyflawn y ffwythiant F (t, θ) = −mlDy_s(t) cos θ, nad yw'n dibynnu ar $\dot{\theta }$. Nid yw ychwanegu termau o'r fath at ffwythiant Lagrange yn effeithio ar yr hafaliadau mudiant.

Priodweddau deilliadau amser cyflawn

Os yw'r ffwythiant twpled lleol G, ag argiau (t, q, v), yn ddeilliad amser cyflawn ffwythiant F, ag argiau (t, q), yna rhaid bod gan G briodweddau penodol.

O hafaliad (1.112), gwelwn fod yn rhaid i G fod yn llinol yn y cyflymderau cyffredinoledig

$$\begin{array}{ll}G(t,q,v)=G_0(t,q,v)+G_1(t,q,v)v\hfill & (1.122)\hfill \end{array}$$

lle nad yw G₁ na G₀ yn dibynnu ar y cyflymderau cyffredinoledig: ∂₂G₁ = ∂₂G₀ = 0.

Os yw G yn ddeilliad amser cyflawn F, yna G₁ = ∂₁F a G₀ = ∂₀F, felly

$$\begin{array}{ll}{\partial }_0{G}_1={\partial }_0{\partial }_{1}F\hfill & \hfill \\ {\partial }_1{G}_0={\partial }_1{\partial }_{0}F.\hfill & (1.123)\hfill \end{array}$$

Nid oes strwythur i'r deilliad rhannol mewn perthynas â'r arg amser, felly ∂₀∂₁F = ∂₁∂₀F. Felly, os yw G yn ddeilliad amser cyflawn F, yna

$$\begin{array}{ll}{\partial }_0{G}_1={\partial }_1{G}_0.\hfill & (1.124)\hfill \end{array}$$

Ar ben hynny, G₁ = ∂₁F, felly

$$\begin{array}{ll}{\partial }_1{G}_1={\partial }_1{\partial }_{1}F.\hfill & (1.125)\hfill \end{array}$$

Os oes mwy nag un radd rhyddid, mae'r deilliadau rhannol hyn mewn gwirionedd yn strwythurau o ddeilliadau rhannol mewn perthynas â phob cyfesuryn. Rhaid i'r deilliadau rhannol mewn perthynas â dau gyfesuryn gwahanol fod yr un fath, beth bynnag yw trefn y differu. Felly rhaid i ∂₁G₁ fod yn gymesur.

Sylwch nad ydym wedi dangos bod yr amodau hyn yn ddigonol i benderfynu bod ffwythiant yn ddeilliad amser cyflawn, dim ond eu bod yn angenrheidiol.

Ymarfer 1.28: Adnabod deilliadau amser cyflawn

Ar gyfer pob un o'r ffwythiannau canlynol, naill ai dangoswch nad yw'n ddeilliad amser cyflawn neu rhowch ffwythiant y gellir ei ddeillio ohono.

a. G(t, x, v_x) = mv_x

b. G(t, x, v_x) = mv_x cos t

c. G(t, x, v_x) = v_x cos t − x sin t

d. G(t, x, v_x) = v_x cos t + x sin t

e. G(t; x, y; v_x, v_y) = 2(xv_x + yv_y) cos t − (x² + y²) sin t

f. G(t; x, y; v_x, v_y) = 2(xv_x + yv_y) cos t − (x² + y²) sin t + y³v_x + xv_y

Ymarfer 1.29: Annewidioldeb Galileaidd egni cinetig

Rydym wedi cymryd egni cinetig set o ronynnau wedi'u mynegeio gan α yn ${\displaystyle {\sum }_{\alpha }\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{v}_{\alpha }^2}$. Mae'r ffurf hon yn annewidiol o dan drawsffurfiadau Galileaidd.

a. Dechreuwch â ffwythiant Lagrange ar gyfer gronynnau rhydd, sef swm eu hegni cinetig yn unig:

$$\begin{array}{ll}L(t,x,v)={\displaystyle \sum _{\alpha }\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{v}_{\alpha }^2.}\hfill & (1.126)\hfill \end{array}$$

Cyflawnwch drawsffurfiad cyfesurynnau o hen gyfesurynnau i rai newydd sy'n cynnwys symudiad a throsiad unffurf

$$\begin{array}{ll}{x}_{\alpha }=x_{\alpha }^{\prime }+\Delta x+\Delta vt.\hfill & (1.127)\hfill \end{array}$$

Deilliwch ffwythiant Lagrange yn y cyfesurynnau newydd.

b. Gellir rhoi'r ffwythiant Lagrange newydd ar y ffurf ${\displaystyle {\sum }_{\alpha }\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{(v_{\alpha }^{\prime })}^2}$ ynghyd â rhai termau ychwanegol. Dangoswch fod y termau ychwanegol yn ddeilliad amser cyflawn.

Felly gellir cymryd yr egni cinetig yn ${\displaystyle {\sum }_{\alpha }\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{v}_{\alpha }^2}$ mewn unrhyw system gyfesurynnau sy'n symud yn unffurf.

1.7 Esblygiad Cyflwr Dynamig

Hafaliadau differol cyffredin y mae'n rhaid i'r llwybr eu bodloni yw hafaliadau Lagrange. Gellir eu defnyddio i brofi a yw llwybr arfaethedig yn llwybr gwireddadwy'r system. Fodd bynnag, gallwn hefyd eu defnyddio i ddatblygu llwybr, gan ddechrau gydag amodau cychwynnol.

Diffinnir cyflwr system yn wybodaeth y mae'n rhaid ei phennu er mwyn pennu'r esblygiad dilynol. Cofiwch ein jyglwr: rhaid iddo ef neu iddi hi daflu'r clwb mewn modd penodol er mwyn iddo gyflawni'r mudiant a ddymunir. Mae'r jyglwr yn rheoli safle a chyfeiriadedd cychwynnol y clwb, a chyflymder a sbin cychwynnol y clwb. Mae ein profiad o jyglo a systemau tebyg yn awgrymu bod y ffurfwedd gychwynnol a chyfradd newid y ffurfwedd yn ddigon i bennu'r mudiant dilynol. Efallai y bydd angen deilliadau uwch o'r ffurfwedd ar systemau eraill.

Ar gyfer ffwythiannau Lagrange a ysgrifennir yn nhermau set o gyfesurynnau a chyflymderau cyffredinoledig, rydym wedi dangos bod hafaliadau Lagrange yn hafaliadau differol cyffredin ail drefn. Os gellir datrys yr hafaliadau differol ar gyfer y deilliadau o'r drefn uchaf, ac os yw'r hafaliadau differol yn bodloni amodau Lipschitz,⁷¹ yna ceir datrysiad unigryw i'r broblem gwerth cychwynnol: o wybod gwerthoedd y datrysiad a deilliadau is y datrysiad ar ennyd benodol, mae ffwythiant datrysiad unigryw. O ddefnyddio cyfesurynnau heb ddiangenrwydd, mae hafaliadau Lagrange yn bodloni'r amodau hyn.⁷² Felly pennir taflwybr gan y cyfesurynnau cyffredinoledig a'r cyflymderau cyffredinoledig ar unrhyw adeg. Dyma'r wybodaeth sydd ei hangen i bennu'r cyflwr dynamig.

Mae disgrifiad lleol cyflawn o lwybr yn cynnwys y llwybr a'i holl ddeilliadau ar un foment. Gellir ailadeiladu disgrifiad lleol cyflawn o lwybr o ran gychwynnol o'r twpled lleol, os rhoddir rheol ar gyfer cyfrifo deilliadau uwch y llwybr yn nhermau deilliadau is. Pennir cyflwr y system gan y rhan gychwynnol honno o'r twpled lleol y gellir diddwytho gweddill y disgrifiad lleol cyflawn ohoni. Mae'r disgrifiad lleol cyflawn yn rhoi'r llwybr inni ger y foment honno. Mewn gwirionedd, y cyfan sydd ei angen yw rheol ar gyfer cyfrifo'r deilliad nesaf uwch; gallwn gael y gweddill i gyd o hwn. Tybiwch fod cyflwr system yn cael ei roi gan y twpled (t, q, v). Os rhoddir rheol inni ar gyfer cyfrifo'r cyflymiad a = A(t, q, v), yna

$$\begin{array}{ll}{D}^{2}q=A\circ \Gamma [q],\hfill & (1.128)\hfill \end{array}$$

ac o ganlyniad mae gennym

$$\begin{array}{ll}{D}^{3}q=D(A\circ \Gamma [q])=D_{t}A\circ \Gamma [q],\hfill & (1.129)\hfill \end{array}$$

ac yn y blaen. Felly rhoddir cydrannau deilliadau uwch y twpled lleol gan ffwythiannau $D_{t}A,D_t^{2}A,\dots$. Mae pob un o'r ffwythiannau hyn yn dibynnu ar gydrannau deilliadau is y twpled lleol. Y cyfan sydd ei angen i ddiddwytho'r llwybr o'r cyflwr yw ffwythiant sy'n rhoi cydran y deilliad nesaf uwch yn y disgrifiad lleol o'r cyflwr. Defnyddiwn hafaliadau Lagrange i ganfod y ffwythiant hwn.

Yn gyntaf, ehangwn hafaliadau Lagrange

${\partial }_{1}L\circ \Gamma [q]=D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])$

fel bod yr ail ddeilliad yn ymddangos yn benodol:

$\begin{array}{l}{\partial }_{1}L\circ \Gamma [q]\hfill \\ ={\partial }_0{\partial }_{2}L\circ \Gamma [q]+({\partial }_1{\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])Dq+({\partial }_2{\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])D^{2}q.\hfill \end{array}$

Wrth ddatrys y system hon ar gyfer D²q, ceir y cyflymiad cyffredinoledig ar hyd llwybr datrysiad q:

$\begin{array}{l}{D}^{2}q=\hfill \\ {[{\partial }_2{\partial }_{2}L\circ \Gamma [q]]}^{-1}[{\partial }_{1}L\circ \Gamma [q]-({\partial }_1{\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])Dq-{\partial }_0{\partial }_{2}L\circ \Gamma [q]]\hfill \end{array}$

lle mae [∂₂∂₂L ∘ Γ] yn strwythur y gellir ei gynrychioli gan fatrics sgwâr cymesur, felly gallwn gyfrifo ei wrthdro.⁷³ Y ffwythiant sy'n rhoi'r cyflymiad yw

$$\begin{array}{ll}A={({\partial }_2{\partial }_{2}L)}^{-1}[{\partial }_{1}L-{\partial }_0{\partial }_{2}L-({\partial }_1{\partial }_{2}L)\dot{Q}],\hfill & (1.130)\hfill \end{array}$$

lle mae $\dot{Q}=I_2$ yn ddetholwr cydran y cyflymder.

Gelwir y rhan gychwynnol honno o'r twpled lleol sy'n pennu'r cyflwr yn dwpled y cyflwr lleol, neu, yn symlach, yn dwpled y cyflwr.⁷⁴

Gallwn fynegi'r ffwythiant sy'n rhoi'r cyflymiad fel ffwythiant o dwpled y cyflwr drwy'r weithdrefn ganlynol. Mae'n cymryd gweithdrefn sy'n cyfrifo ffwythiant Lagrange, ac yn dychwelyd gweithdrefn sy'n cymryd twpled cyflwr yn arg iddi ac yn dychwelyd y cyflymiad.⁷⁵

(define (Lagrangian->acceleration L)
  (let ((P ((partial 2) L)) (F ((partial 1) L)))
    (solve-linear-left
      ((partial 2) P)
      (- F
         (+ ((partial 0) P)
            (* ((partial 1) P) velocity))))))

Unwaith y bydd gennym ffordd o gyfrifo'r cyflymiad o'r cyfesurynnau a'r cyflymderau, gallwn roi rheol ar gyfer cyfrifo deilliad y cyflwr fel ffwythiant o'r cyflwr. Ar gyfer y cyflwr (t, q(t), Dq(t)) ar y foment t deilliad y cyflwr yw (1, Dq(t), D²q(t)) = (1, Dq(t), A(t, q(t), Dq(t))). Mae'r weithdrefn Lagrangian->state-derivative yn cymryd ffwythiant Lagrange ac yn dychwelyd gweithdrefn sy'n cymryd cyflwr ac yn dychwelyd deilliad y cyflwr:

(define (Lagrangian->state-derivative L)
  (let ((acceleration (Lagrangian->acceleration L)))
    (lambda (state)
      (up 1
          (velocity state)
          (acceleration state)))))

Cynrychiolwn gyflwr gan dwpled i fyny o gydrannau'r rhan gychwynnol honno o'r twpled lleol sy'n pennu'r cyflwr.

Er enghraifft, deilliad cyflwr parametrig osgiliadur harmonig yw

(define (harmonic-state-derivative m k)
  (Lagrangian->state-derivative (L-harmonic m k)))

((harmonic-state-derivative 'm 'k)
 (up 't (up 'x 'y) (up 'v_x 'v_y)))
(up 1 (up v_x v_y) (up (/ (* -1 k x) m) (/ (* -1 k y) m)))

System ail drefn o hafaliadau differol sy'n cyfyngu llwybrau gwireddadwy q yw hafaliadau Lagrange. Gallwn ddefnyddio deilliad y cyflwr i fynegi hafaliadau Lagrange fel system drefn gyntaf o hafaliadau differol sy'n cyfyngu llwybrau cyfesurynnau gwireddadwy q a llwybrau cyflymder v:

(define ((Lagrange-equations-first-order L) q v)
  (let ((state-path (qv->state-path q v)))
    (- (D state-path)
       (compose (Lagrangian->state-derivative L)
                state-path))))

(define ((qv->state-path q v) t)
  (up t (q t) (v t)))

Er enghraifft, gallwn ganfod ffurf drefn gyntaf hafaliadau mudiant osgiliadur harmonig dau ddimensiwn:

(show-expression
  (((Lagrange-equations-first-order (L-harmonic 'm 'k))
    (up (literal-function 'x)
        (literal-function 'y))
    (up (literal-function 'v_x)
        (literal-function 'v_y)))
   't))

Y sero yn elfen gyntaf strwythur gweddillion hafaliadau Lagrange yw'r hunanwirionedd bod amser yn mynd rhagddo'n unffurf: yr unfathiant yn unig yw'r ffwythiant amser, felly un yw ei ddeilliad a sero yw'r gweddill. Mae'r hafaliadau yn yr ail elfen yn cyfyngu'r llwybr cyflymder i fod yn ddeilliad y llwybr cyfesurynnau. Mae'r hafaliadau yn y drydedd elfen yn rhoi cyfradd newid y cyflymder yn nhermau'r grymoedd cymhwysol.

Integru rhifiadol

Gellir integru set o hafaliadau differol cyffredin trefn gyntaf sy'n rhoi deilliad y cyflwr yn nhermau'r cyflwr i ganfod y llwybr cyflwr sy'n deillio o gyflwr cychwynnol penodol. Mae integryddion rhifiadol yn canfod datrysiadau bras i hafaliadau differol o'r fath drwy'r broses a ddangosir yn ffigur 1.6. Gall pecyn sy'n integru systemau o hafaliadau differol cyffredin trefn gyntaf yn rhifiadol ddefnyddio'r deilliad cyflwr a gynhyrchir gan Lagrangian->state-derivative.

Gellir defnyddio'r weithdrefn state-advancer i ganfod cyflwr system ar amser penodedig, o gael cyflwr cychwynnol, sy'n cynnwys yr amser cychwynnol, a gweithdrefn deilliad cyflwr barametrig.⁷⁶ Er enghraifft, i symud cyflwr osgiliadur harmonig dau ddimensiwn ymlaen ysgrifennwn⁷⁷

((state-advancer harmonic-state-derivative 2.0 1.0)
 (up 1.0 (up 1.0 2.0) (up 3.0 4.0))
 10.0
 1.0e-12)
(up 11.0
    (up 3.7127916645844437 5.420620823651583)
    (up 1.6148030925459782 1.8189103724750855))

Yr argiau i state-advancer yw deilliad cyflwr parametrig, harmonic-state-derivative, a pharamedrau deilliad y cyflwr (màs 2 a chysonyn sbring 1). Dychwelir gweithdrefn sy'n cymryd cyflwr cychwynnol, (up 1 (up 1 2) (up 3 4)); cynyddiad amser, 10; a goddefiant gwall cymharol, 1.0e-12. Yr allbwn yw brasamcan o'r cyflwr ar yr amser terfynol penodedig.

Ystyriwch y pendil wedi'i yrru a ddisgrifir yn adran 1.6.2 â gyriad cyfnodol. Dewiswn y_s(t) = A cos ωt.

(define ((periodic-drive amplitude frequency phase) t)
  (* amplitude (cos (+ (* frequency t) phase))))

(define (L-periodically-driven-pendulum m l g A omega)
  (let ((ys (periodic-drive A omega 0)))
    (L-pend m l g ys)))

Hafaliad Lagrange ar gyfer y system hon yw

(show-expression
  (((Lagrange-equations
      (L-periodically-driven-pendulum 'm 'l 'g 'A 'omega))
    (literal-function 'theta))
   't))

Deilliad cyflwr parametrig y pendil wedi'i yrru'n gyfnodol yw

(define (pend-state-derivative m l g A omega)
  (Lagrangian->state-derivative
    (L-periodically-driven-pendulum m l g A omega)))

(show-expression
  ((pend-state-derivative 'm 'l 'g 'A 'omega)
   (up 't 'theta 'thetadot)))

I archwilio esblygiad y pendil wedi'i yrru mae angen mecanwaith sy'n esblygu system dros ryw gyfwng wrth fonitro agweddau ar y system wrth iddi esblygu. Mae'r weithdrefn evolve yn darparu'r gwasanaeth hwn, gan ddefnyddio state-advancer dro ar ôl tro i symud y cyflwr ymlaen i'r adegau gofynnol. Mae'r weithdrefn evolve yn cymryd deilliad cyflwr parametrig a'i baramedrau ac yn dychwelyd gweithdrefn sy'n esblygu'r system o gyflwr cychwynnol penodedig i nifer o amserau eraill, gan fonitro rhyw agwedd ar y cyflwr ar yr adegau hynny. I gynhyrchu plot o'r ongl yn erbyn amser lluniwn weithdrefn fonitro sy'n cynhyrchu'r plot wrth i'r esblygiad fynd rhagddo:⁷⁸

(define ((monitor-theta win) state)
  (let ((theta ((principal-value :pi) (coordinate state))))
    (plot-point win (time state) theta)))

(define plot-win (frame 0.0 100.0 :-pi :pi))

((evolve pend-state-derivative
         1.0 ;m=1kg
         1.0 ;l=1m
         9.8 ;g=9.8m/s^2
         0.1 ;a=1/10 m
         (* 2.0 (sqrt 9.8)) ) ;omega
 (up 0.0 ;t0=0
     1.0 ;theta0=1 radian
     0.0) ;thetadot0=0 radians/s
 (monitor-theta plot-win)
 0.01 ;step between plotted points
 100.0 ;final time
 1.0e-13) ;local error tolerance

Mae ffigur 1.7 yn dangos yr ongl θ yn erbyn amser ar gyfer dau orbit y pendil wedi'i yrru. Mae'r amodau cychwynnol ar gyfer y ddau rediad yr un fath heblaw bod y belen yn cael cyflymder bychan iawn o 10⁻¹⁰m/s mewn un ohonynt, tua lled un atom yr eiliad. Nid oes modd gwahaniaethu rhwng rhannau cychwynnol y ddau orbit. Ar ôl tua 75 eiliad mae'r ddau orbit yn ymwahanu ac yn mynd yn gwbl wahanol. Mae'r sensitifrwydd eithriadol hwn i newidiadau bychain iawn yn yr amodau cychwynnol yn nodweddiadol o'r hyn a elwir yn ymddygiad anhrefnus. Yn ddiweddarach, byddwn yn ymchwilio ymhellach i'r enghraifft hon, gan ddefnyddio offer eraill megis esbonyddion Lyapunov, gofod gwedd, a thoriadau Poincaré.

Ymarfer 1.30: Orbitau mewn potensial canolog

Ffwythiant Lagrange ar gyfer mudiant gronyn â màs m mewn plân mewn maes canolog ag egni potensial V (r) = −βr^α yw

$L(t;r,\theta ;\dot{r},\dot{\theta })=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+{(r\dot{\theta })}^2)+V(r).$

a. Ysgrifennwch raglen i esblygu mudiant gronyn sy'n ddarostyngedig i'r ffwythiant Lagrange hwn ac i ddangos yr orbit yn y plân.

b. Esblygwch y system hon gyda α = +2 (osgiliadur harmonig). Sylwch ei bod yn disgrifio elips â'i ganol yn y tarddbwynt, ar gyfer amrywiaeth eang o amodau cychwynnol.

c. Esblygwch y system hon gyda α = −1 (disgyrchiant Newtonaidd). Sylwch ei bod yn disgrifio elips ag un ffocws yn y tarddbwynt, ar gyfer amrywiaeth eang o amodau cychwynnol.

d. Esblygwch y system hon gyda α = +1/4. Sylwch ei bod yn disgrifio siâp meillionen â'i ganol yn y tarddbwynt.

Ymarfer 1.31: Esblygiad pendil Foucault

Os gosodir pendil Foucault ym Mhegwn y Gogledd, bydd yn rhagflaenu unwaith yn union mewn diwrnod. Os gosodir ef ar y Cyhydedd ni fydd yn rhagflaenu o gwbl. Dywedir yn aml fod y gyfradd rhagflaenu yn gyfrannol â chosin y cydledred.

a. Esblygwch bendil Foucault, gan ddefnyddio'r ffwythiant Lagrange a luniwyd gennych yn ymarfer 1.25 ar dudalen 62. Dylech edrych ar yr ongl rhagflaenu λ fel ffwythiant o amser.

b. Sut mae cyfradd y rhagflaenu yn cymharu â'r gyfradd a ragfynegir? Dylech ddisgwyl gweld gwall a achosir gan y ffaith nad yw'r fertigol lleol, fel y'i diffinnir gan blwm, wedi'i gyfeirio at ganol y Ddaear.

c. Boed Δϕ yr ongl rhwng y fertigol lleol a'r cyfeiriad at ganol y Ddaear. Sut mae'r gyfradd rhagflaenu yn cymharu â'r gyfradd rhagflaenu a ragfynegir os cywirir y cydledred i ϕ − Δϕ? A yw hyn yn berffaith?

1.8 Meintiau a Gedwir

Gelwir ffwythiant o gyflwr y system sy'n gyson ar hyd llwybr datrysiad yn faint a gedwir neu'n gysonyn mudiant.⁷⁹ Os yw C yn faint a gedwir, yna

$$\begin{array}{ll}D(C\circ \Gamma [q])=D_{t}C\circ \Gamma [q]=0\hfill & (1.131)\hfill \end{array}$$

ar gyfer llwybrau datrysiad q. Yn yr adran hon, byddwn yn ymchwilio i systemau â chymesuredd ac yn canfod bod cymesureddau'n gysylltiedig â meintiau a gedwir. Er enghraifft, cedwir momentwm llinol mewn system â chymesuredd trawsfudol, cedwir momentwm onglaidd os oes cymesuredd cylchdro, a chedwir egni os nad yw'r system yn dibynnu ar darddbwynt amser. Ystyriwn yn gyntaf systemau lle gellir dewis system gyfesurynnau sy'n mynegi'r cymesuredd yn naturiol, ac yn ddiweddarach trafodwn systemau lle na ellir dewis system gyfesurynnau sy'n mynegi pob cymesuredd ar yr un pryd.

1.8.1 Momenta a Gedwir

Os nad yw ffwythiant Lagrange L(t, q, v) yn dibynnu ar ryw gyfesuryn penodol qⁱ, yna

$$\begin{array}{ll}{({\partial }_{1}L)}_i=0,\hfill & (1.132)\hfill \end{array}$$

a'r gydran ifed gyfatebol o hafaliadau Lagrange yw

$$\begin{array}{ll}{(D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q]))}_i=0.\hfill & (1.133)\hfill \end{array}$$

Mae deilliad cydran yn hafal i gydran y deilliad, felly mae hyn yr un fath â

$$\begin{array}{ll}D({({\partial }_{2}L)}_i\circ \Gamma [q])=0,\hfill & (1.134)\hfill \end{array}$$

a gallwn weld bod

$$\begin{array}{ll}{\mathcal{P}}_i={({\partial }_{2}L)}_i\hfill & (1.135)\hfill \end{array}$$

yn faint a gedwir. Gelwir y ffwythiant $\mathcal{P}$ yn ffwythiant cyflwr y momentwm. Gwerth ffwythiant cyflwr y momentwm yw'r momentwm cyffredinoledig. Cyfeiriwn at gydran ifed y momentwm cyffredinoledig fel y momentwm sy'n gyfiau i'r cyfesuryn ifed.⁸⁰ Mae'r momenta yn dibynnu ar y ffwythiant Lagrange a ddewisir i ddisgrifio'r system.⁸¹ Gelwir cydran cyfesuryn cyffredinoledig nad yw'n ymddangos yn benodol yn y ffwythiant Lagrange yn gyfesuryn cylchol. Mae cydran y momentwm cyffredinoledig sy'n gyfiau i unrhyw gyfesuryn cylchol yn gysonyn mudiant. Mae ei gwerth yn gyson ar hyd llwybrau gwireddadwy; gall fod â gwerthoedd gwahanol ar lwybrau gwahanol. Fel y gwelwn, mae momentwm yn faint pwysig hyd yn oed pan na chaiff ei gadw.

O gael y llwybr cyfesurynnau q a'r ffwythiant Lagrange L, y llwybr momentwm p yw

$$\begin{array}{ll}p={\partial }_{2}L\circ \Gamma [q]=\mathcal{P}\circ \Gamma [q],\hfill & (1.136)\hfill \end{array}$$

â chydrannau

$$\begin{array}{ll}{p}_i={\mathcal{P}}_i\circ \Gamma [q].\hfill & (1.137)\hfill \end{array}$$

Mae'r llwybr momentwm wedi'i ddiffinio'n dda ar gyfer unrhyw lwybr q. Os yw'r llwybr yn wireddadwy ac os nad yw'r ffwythiant Lagrange yn dibynnu ar qⁱ, yna mae p_i yn ffwythiant cyson

$$\begin{array}{ll}D{p}_i=0.\hfill & (1.138)\hfill \end{array}$$

Gall gwerth cyson p_i fod yn wahanol ar gyfer taflwybrau gwahanol.

Enghreifftiau o fomenta a gedwir

Mae ffwythiant Lagrange y gronyn rhydd $L(t,x,v)=\frac{1}{2}m{v}^2$ yn annibynnol ar x. Felly cedwir ffwythiant cyflwr y momentwm, $\mathcal{P}(t,q,v)=mv$, ar hyd llwybrau gwireddadwy. Y llwybr momentwm p ar gyfer y llwybr cyfesurynnau q yw $p(t)=\mathcal{P}\circ \Gamma [q](t)=mDq(t)$. Ar gyfer llwybr gwireddadwy Dp(t) = 0. Ar gyfer y gronyn rhydd cedwir y momentwm llinol arferol ar gyfer llwybrau gwireddadwy.

Ar gyfer gronyn mewn maes grym canolog (adran 1.6), mae'r ffwythiant Lagrange

$L(t;r,\phi ;\dot{r},\dot{\phi })=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2)-V(r)$

yn dibynnu ar r ond yn annibynnol ar φ. Ffwythiant cyflwr y momentwm yw

$\mathcal{P}\left(t;r,\phi ;\dot{r},\dot{\phi }\right)=[m\dot{r},m{r}^2\dot{\phi }].$

Mae ganddo ddwy gydran. Ni chedwir y gydran gyntaf, y “momentwm rheiddiol”. Cedwir yr ail gydran, y “momentwm onglaidd”, ar hyd unrhyw daflwybr datrysiad.

Pe bai problem y potensial canolog wedi'i mynegi mewn cyfesurynnau petryal, byddai pob un o'r cyfesurynnau wedi ymddangos yn y ffwythiant Lagrange. Yn yr achos hwnnw ni fyddai unrhyw feintiau amlwg a gedwir. Serch hynny, nid yw mudiant y system yn dibynnu ar y dewis o gyfesurynnau, felly cedwir y momentwm onglaidd o hyd.

Gwelwn fod mantais fawr mewn dewis y system gyfesurynnau yn ddoeth. Os gallwn ddewis y cyfesurynnau fel bod cymesuredd y system yn cael ei adlewyrchu yn y ffwythiant Lagrange drwy absenoldeb rhyw gydran gyfesuryn, yna bydd bodolaeth maint cyfatebol a gedwir yn amlwg.⁸²

1.8.2 Cadwraeth Egni

Cedwir momenta gan y mudiant os nad yw'r ffwythiant Lagrange yn dibynnu ar y cyfesuryn cyfatebol. Ceir cysonyn mudiant arall, yr egni, os nad yw'r ffwythiant Lagrange $L(t,q,\dot{q})$ yn dibynnu'n benodol ar amser: ∂₀L = 0.

Ystyriwch ddeilliad amser y ffwythiant Lagrange ar hyd llwybr datrysiad q:

$$\begin{array}{ll}D(L\circ \Gamma [q])={\partial }_{0}L\circ \Gamma [q]+({\partial }_{1}L\circ \Gamma [q])Dq+({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])D^{2}q.\hfill & (1.139)\hfill \end{array}$$

Mae defnyddio hafaliadau Lagrange i ailysgrifennu'r ail derm yn rhoi

$$\begin{array}{ll}D(L\circ \Gamma [q])=({\partial }_{0}L)\circ \Gamma [q]+D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])Dq+({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])D^{2}q.\hfill & (1.140)\hfill \end{array}$$

Wrth ynysu ∂₀L a chyfuno'r termau eraill cawn

$$\begin{array}{lll}({\partial }_{0}L)\circ \Gamma [q]\hfill & =D(L\circ \Gamma [q])-D(({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])Dq)\hfill & \hfill \\ \hfill & =D(L\circ \Gamma [q])-D(({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])(\dot{Q}\circ \Gamma [q]))\hfill & \hfill \\ \hfill & =D((L-\mathcal{P}\dot{Q})\circ \Gamma [q]),\hfill & (1.141)\hfill \end{array}$$

lle, fel o'r blaen, mae $\dot{Q}$ yn dewis y cyflymder o'r cyflwr. Felly gwelwn, os yw ∂₀L = 0, fod

$$\begin{array}{ll}ℰ=\mathcal{P}\dot{Q}-L\hfill & (1.142)\hfill \end{array}$$

yn cael ei gadw ar hyd llwybrau gwireddadwy. Gelwir y ffwythiant ℰ yn ffwythiant cyflwr yr egni.⁸³ Mae ffwythiant cyflwr egni system yn dibynnu ar y ffwythiant Lagrange a ddewisir i ddisgrifio'r system.⁸⁴ Boed E = ℰ ∘ Γ[q] yn dynodi'r ffwythiant egni ar y llwybr q. Mae gan y ffwythiant egni werth cyson ar hyd unrhyw daflwybr gwireddadwy os nad yw'r ffwythiant Lagrange yn dibynnu'n benodol ar amser; gall yr egni E fod â gwerth gwahanol ar gyfer taflwybrau gwahanol. Gelwir system nad yw'n dibynnu'n benodol ar amser yn ymreolaethol.

O gael gweithdrefn ffwythiant Lagrange L, gallwn lunio'r ffwythiant egni:

(define (Lagrangian->energy L)
  (let ((P ((partial 2) L)))
    (- (* P velocity) L)))

Egni yn nhermau egni cinetig ac egni potensial

Mewn rhai achosion gellir ysgrifennu'r egni fel swm yr egni cinetig a'r egni potensial. Tybiwch fod y system wedi'i chyfansoddi o ronynnau â chyfesurynnau petryal x_α, y gall eu mudiant fod yn ddarostyngedig i gyfyngiadau, a bod y cyfesurynnau petryal hyn yn ffwythiannau o'r cyfesurynnau cyffredinoledig q ac o bosibl yr amser t: x_α = f_α(t, q). Lluniwn y ffwythiant Lagrange fel L = T − V a chyfrifwn yr egni cinetig yn nhermau q drwy ysgrifennu'r cyflymderau petryal yn nhermau'r cyflymderau cyffredinoledig:

$$\begin{array}{ll}{v}_{\alpha }={\partial }_0{f}_{\alpha }(t,q)+{\partial }_1{f}_{\alpha }(t,q)v.\hfill & (1.143)\hfill \end{array}$$

Yr egni cinetig yw

$$\begin{array}{ll}T\left(t,q,v\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\sum }_{\alpha }{m}_{\alpha }{v}_{\alpha }^2,}\hfill & (1.144)\hfill \end{array}$$

lle mae v_α yn faint v_α.

Os nad yw'r ffwythiannau f_α yn dibynnu'n benodol ar amser (∂₀f_α = 0), yna mae'r cyflymderau petryal yn ffwythiannau homogenaidd gradd 1 o'r cyflymderau cyffredinoledig, ac mae T yn ffwythiant homogenaidd gradd 2 o'r cyflymderau cyffredinoledig, oherwydd fe'i ffurfir drwy adio sgwariau ffwythiannau homogenaidd gradd 1. Os yw T yn ffwythiant homogenaidd gradd 2 yn y cyflymderau cyffredinoledig yna

$$\begin{array}{ll}\mathcal{P}\dot{Q}=\left({\partial }_{2}T\right)\dot{Q}=2T,\hfill & (1.145)\hfill \end{array}$$

lle mae'r ail gydraddoldeb yn dilyn o theorem Euler ar ffwythiannau homogenaidd.⁸⁵ Ffwythiant cyflwr yr egni yw

$$\begin{array}{ll}ℰ=\mathcal{P}\dot{Q}-L=2T-T+V.\hfill & (1.146)\hfill \end{array}$$

Felly os yw f_α yn annibynnol ar amser, gellir ailysgrifennu'r ffwythiant egni fel

$$\begin{array}{ll}ℰ=2T-T+V=T+V.\hfill & (1.147)\hfill \end{array}$$

Sylwch, os yw V yn dibynnu ar amser, mai swm yr egni cinetig a'r egni potensial yw'r egni o hyd, ond ni chedwir yr egni.

Mae ffwythiant cyflwr yr egni bob amser wedi'i ddiffinio'n dda, pa un a ellir ei ysgrifennu ar y ffurf T + V ai peidio, a pha un a gaiff ei gadw ar hyd llwybrau gwireddadwy ai peidio.

Ymarfer 1.32: Cyfyngiadau sy'n dibynnu ar amser

Mae canlyniad tebyg yn dal pan fo'r f_α yn dibynnu'n benodol ar amser.

a. Dangoswch fod yr egni cinetig yn yr achos hwn yn cynnwys termau sy'n llinol yn y cyflymderau cyffredinoledig.

b. Drwy ychwanegu deilliad amser cyflawn, dangoswch y gellir ysgrifennu'r ffwythiant Lagrange ar y ffurf L = A − B, lle mae A yn ffurf gwadratig homogenaidd yn y cyflymderau cyffredinoledig ac mae B yn annibynnol ar gyflymder.

c. Dangoswch, gan ddefnyddio theorem Euler, mai'r ffwythiant egni yw ℰ = A+B.

Rhoddwyd eisoes enghraifft lle tynnwyd termau a oedd yn llinol yn y cyflymder o'r ffwythiant Lagrange drwy ychwanegu deilliad amser cyflawn: y pendil wedi'i yrru.

Ymarfer 1.33: Syrthio oddi ar foncyff

Mae gronyn â màs m yn llithro oddi ar silindr llorweddol â radiws R mewn maes disgyrchiant unffurf â chyflymiad g. Os yw'r gronyn yn dechrau'n agos at ben y silindr â buanedd cychwynnol sero, â pha gyflymder onglaidd y mae'n gadael y silindr? Defnyddiwch y dull o gynnwys grymoedd cyfyngu a gyflwynwyd gennym yn adran 1.6.2, ynghyd â chadwraeth egni.

1.8.3 Grymoedd Canolog mewn Tri Dimensiwn

Un system ffisegol bwysig yw mudiant gronyn mewn maes canolog mewn tri dimensiwn, ag egni potensial mympwyol V (r) sy'n dibynnu ar y radiws yn unig. Disgrifiwn y system hon mewn cyfesurynnau sfferig r, θ, a φ, lle mae θ yn gydledred ac mae φ yn hydred. Mae gan yr egni cinetig dri therm:

$$T(t;r,\theta ,\phi ;\dot{r},\dot{\theta },\dot{\phi })=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{(\sin \theta )}^2{\dot{\phi }}^2).$$

Fel gweithdrefn:

(define ((T3-spherical m) state)
  (let ((q (coordinate state))
        (qdot (velocity state)))
    (let ((r (ref q 0))
          (theta (ref q 1))
          (rdot (ref qdot 0))
          (thetadot (ref qdot 1))
          (phidot (ref qdot 2)))
      (* 1/2 m
         (+ (square rdot)
            (square (* r thetadot))
            (square (* r (sin theta) phidot)))))))

Yna ffurfir ffwythiant Lagrange drwy dynnu'r egni potensial:

(define (L3-central m Vr)
  (define (Vs state)
    (let ((r (ref (coordinate state) 0)))
      (Vr r)))
  (- (T3-spherical m) Vs))

Edrychwn yn gyntaf ar y grymoedd cyffredinoledig (deilliadau'r ffwythiant Lagrange mewn perthynas â'r cyfesurynnau cyffredinoledig). Cyfrifwn y rhain â deilliad rhannol mewn perthynas ag arg cyfesurynnau'r ffwythiant Lagrange:

(show-expression
  (((partial 1) (L3-central 'm (literal-function 'V)))
   (up 't
       (up 'r 'theta 'phi)
       (up 'rdot 'thetadot 'phidot))))

Mae cydran φ y grym yn sero oherwydd nad yw φ yn ymddangos yn y ffwythiant Lagrange (mae'n gyfesuryn cylchol). Cedwir cydran gyfatebol y momentwm. Cyfrifwch y momenta:

(show-expression
  (((partial 2) (L3-central 'm (literal-function 'V)))
   (up 't
       (up 'r 'theta 'phi)
       (up 'rdot 'thetadot 'phidot))))

Cedwir y momentwm sy'n gyfiau i φ. Dyma gydran z y momentwm onglaidd $\overrightarrow{r}\times (m\overrightarrow{v})$, ar gyfer safle fector $\overrightarrow{r}$ a momentwm llinol $m\overrightarrow{v}$. Gallwn ddangos hyn drwy ysgrifennu cydran z y momentwm onglaidd mewn cyfesurynnau sfferig:

(define ((ang-mom-z m) rectangular-state)
  (let ((xyz (coordinate rectangular-state))
        (v (velocity rectangular-state)))
    (ref (cross-product xyz (* m v)) 2)))

(define (s->r spherical-state)
  (let ((q (coordinate spherical-state)))
    (let ((r (ref q 0))
          (theta (ref q 1))
          (phi (ref q 2)))
      (let ((x (* r (sin theta) (cos phi)))
            (y (* r (sin theta) (sin phi)))
            (z (* r (cos theta))))
        (up x y z)))))

(show-expression
  ((compose (ang-mom-z 'm) (F->C s->r))
   (up 't
       (up 'r 'theta 'phi)
       (up 'rdot 'thetadot 'phidot))))

Mae dewis yr echelin z yn fympwyol, felly mae cadwraeth unrhyw gydran o'r momentwm onglaidd yn awgrymu cadwraeth pob cydran. Felly cedwir cyfanswm y momentwm onglaidd. Gallwn ddewis yr echelin z fel bod yr holl fomentwm onglaidd yn y gydran z. Gan fod $\overrightarrow{x}·(\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{v})=\overrightarrow{v}·(\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{x})=0$, cyfyngir y mudiant i'r plân sy'n berpendicwlar i'r momentwm onglaidd: θ = π/2, a $\dot{\theta }=0$. Trafodwyd mudiant mewn plân mewn maes grym canolog yn adran 1.6.

Gallwn hefyd weld mai T + V mewn gwirionedd yw'r ffwythiant cyflwr egni a gyfrifir o'r ffwythiant Lagrange ar gyfer maes canolog:

(show-expression
  ((Lagrangian->energy (L3-central 'm (literal-function 'V)))
   (up 't
       (up 'r 'theta 'phi)
       (up 'rdot 'thetadot 'phidot))))

Cedwir yr egni oherwydd nad yw'r ffwythiant Lagrange yn dibynnu'n benodol ar amser.

Ymarfer 1.34: Pendil sfferig wedi'i yrru

Pelen â màs yw pendil sfferig, sy'n ddarostyngedig i ddisgyrchiant unffurf, ac sy'n gallu siglo mewn tri dimensiwn ond sy'n aros ar bellter penodol o'r colyn. Lluniwch ffwythiant Lagrange ar gyfer pendil sfferig a yrrir gan fudiant fertigol y colyn. Pa gymesuredd(au) allwch chi eu canfod? Canfyddwch gyfesurynnau sy'n mynegi'r cymesuredd(au). Beth a gedwir? Rhowch fynegiad(au) dadansoddol ar gyfer y maint (neu'r meintiau) a gedwir.

1.8.4 Problem Gyfyngedig y Tri Chorff

Ystyriwch sefyllfa dau gorff â masau M₀ ac M₁ mewn orbitau cylchol o amgylch eu craidd màs cyffredin. Beth yw ymddygiad trydydd gronyn, a ddenir yn ddisgyrchiannol at y ddau arall, sy'n gorfod symud ym mhlân eu horbitau cylchol? Tybiwch fod màs y trydydd gronyn mor fach fel y gallwn anwybyddu ei effaith ar orbitau'r ddau ronyn mawr.

Mae'r trydydd gronyn, â màs m, yn symud mewn maes sy'n deillio o egni potensial disgyrchiant sy'n amrywio gydag amser. Mae gennym:

(define ((L0 m V) local)
  (let ((t (time local))
        (q (coordinates local))
        (v (velocities local)))
    (- (* 1/2 m (square v)) (V t q))))

Boed a y pellter cyson rhwng y ddau gorff. Os rhoddwn y craidd màs yn nharddbwynt y system gyfesurynnau yna pellteroedd y ddau ronyn o'r tarddbwynt yw:

$$\begin{array}{ll}{a}_0=\frac{M_1}{M_0+M_1}a\text{and}{a}_1=\frac{M_0}{M_0+M_1}a\hfill & (1.148)\hfill \end{array}$$

Mae pob gronyn mawr yn troi mewn cylch o amgylch eu craidd màs cyffredin ag amledd onglaidd Ω. Radiysau'r cylchoedd yw'r pellteroedd a roddir uchod. Mae deddf Kepler yn rhoi amledd onglaidd yr orbit:

$$\begin{array}{ll}{\Omega }^2{a}^3=G(M_0+M_1)\hfill & (1.149)\hfill \end{array}$$

Dewiswn ein hechelinau fel bod, pan fo t = 0, y corff â màs M₁ ar yr echelin $\hat{x}$ bositif a'r corff â màs M₀ ar yr echelin $\hat{x}$ negatif. Ffwythiant yr egni potensial disgyrchiant yw:

(define ((V a GM0 GM1 m) t xy)
  (let ((Omega (sqrt (/ (+ GM0 GM1) (expt a 3))))
        (a0 (* (/ GM1 (+ GM0 GM1)) a))
        (a1 (* (/ GM0 (+ GM0 GM1)) a)))
    (let ((x (ref xy 0)) (y (ref xy 1))
                         (x0 (* -1 a0 (cos (* Omega t))))
                         (y0 (* -1 a0 (sin (* Omega t))))
                         (x1 (* +1 a1 (cos (* Omega t))))
                         (y1 (* +1 a1 (sin (* Omega t)))))
      (let ((r0
              (sqrt (+ (square (- x x0)) (square (- y y0)))))
            (r1
              (sqrt (+ (square (- x x1)) (square (- y y1))))))
        (- (+ (/ (* GM0 m) r0) (/ (* GM1 m) r1)))))))

Mae'n gyfleus archwilio mudiant y trydydd gronyn mewn system gyfesurynnau sy'n cylchdroi lle mae'r gronynnau mawr yn sefydlog. Gallwn osod yr echelinau sy'n cylchdroi fel bod y ddau ronyn mawr ar yr echelin $\hat{x}\prime$, a gallwn ddewis yr echelinau sy'n cylchdroi a'r rhai nad ydynt yn cylchdroi i gyd-daro pan fo t = 0. Gallwn drawsffurfio i'r cyfesurynnau petryal sy'n cylchdroi fel y gwnaethom ar dudalen 48. Y ffwythiant Lagrange a geir yw ffwythiant Lagrange y gronyn rhydd gydag ychwanegiad dau derm egni potensial disgyrchiant:

$$\begin{array}{ll}{L}_r(t;x_r,y_r;{\dot{x}}_r,{\dot{y}}_r)\hfill & \hfill \\ =\frac{1}{2}m\left({\dot{x}}_r^2+{\dot{y}}_r^2\right)+\frac{1}{2}m{\Omega }^2(x_r^2+y_r^2)+m\Omega (x_r{\dot{y}}_r-{\dot{x}}_r{y}_r)\hfill & \hfill \\ +\frac{G{M}_{0}m}{r_0}+\frac{G{M}_{1}m}{r_1}\hfill & (1.150)\hfill \end{array}$$

lle nawr mae $r_0^2={(x_r+a_0)}^2+y_r^2\text{and}{r}_1^2={\left(x_r-a_1\right)}^2+y_r^2$. Fel rhaglen gallwn ysgrifennu:

(define ((LR3B m a GM0 GM1) local)
  (let ((q (coordinates local))
        (qdot (velocities local))
        (Omega (sqrt (/ (+ GM0 GM1) (expt a 3))))
        (a0 (* (/ GM1 (+ GM0 GM1)) a))
        (a1 (* (/ GM0 (+ GM0 GM1)) a)))
    (let ((x (ref q 0))     (y (ref q 1))
                            (xdot (ref qdot 0)) (ydot (ref qdot 1)))
      (let ((r0 (sqrt (+ (square (+ x a0)) (square y))))
            (r1 (sqrt (+ (square (- x a1)) (square y)))))
        (+ (* 1/2 m (square qdot))
           (* 1/2 m (square Omega) (square q))
           (* m Omega (- (* x ydot) (* xdot y)))
           (/ (* GM0 m) r0) (/ (* GM1 m) r1))))))

Sylwch fod y ffwythiant Lagrange mewn cyfesurynnau sy'n cylchdroi yn annibynnol ar amser. Felly mae'r ffwythiant cyflwr egni a ddiffinnir gan y ffwythiant Lagrange hwn yn faint a gedwir. Gadewch inni ei gyfrifo. Mae'n gliriaf os mynegwn y canlyniad yn nhermau Ω, a₀, ac a₁, felly gwnawn y rhain yn baramedrau penodol yn y ffwythiant Lagrange:

(define ((LR3B1 m a0 a1 Omega GM0 GM1) local)
  (let ((q (coordinates local))
        (qdot (velocities local)))
    (let ((x (ref q 0))     (y (ref q 1))
                            (xdot (ref qdot 0)) (ydot (ref qdot 1)))
      (let ((r0 (sqrt (+ (square (+ x a0)) (square y))))
            (r1 (sqrt (+ (square (- x a1)) (square y)))))
        (+ (* 1/2 m (square qdot))
           (* 1/2 m (square Omega) (square q))
           (* m Omega (- (* x ydot) (* xdot y)))
           (/ (* GM0 m) r0) (/ (* GM1 m) r1))))))

A chyfrifwn ffwythiant cyflwr yr egni (gan symleiddio ychydig â llaw):

((Lagrangian->energy (LR3B1 'm 'a_0 'a_1 'Omega 'GM_0 'GM_1))
 (up 't (up 'x_r 'y_r) (up 'v_r^x 'v_r^y)))
(+ (* 1/2 m (expt v_r^x 2))
   (* 1/2 m (expt v_r^y 2))
   (/ (* -1 GM_0 m)
      (sqrt (+ (expt (+ x_r a_0) 2) (expt y_r 2))))
   (/ (* -1 GM_1 m)
      (sqrt (+ (expt (- x_r a_1) 2) (expt y_r 2))))
   (* -1/2 m (expt Omega 2) (expt x_r 2))
   (* -1/2 m (expt Omega 2) (expt y_r 2)))

Os rhannwn hwn yn rhan sy'n dibynnu ar gyflymder a rhan sy'n annibynnol ar gyflymder cawn

$$\begin{array}{ll}ℰ(t;x_r,y_r;{\dot{x}}_r,{\dot{y}}_r)=\frac{1}{2}m({\dot{x}}_r^2+{\dot{y}}_r^2)+m{U}_r(x_r,y_r)\hfill & (1.151)\hfill \end{array}$$

lle

$$\begin{array}{ll}{U}_r(x_r,y_r)=-\left(\frac{G{M}_0}{r_0}+\frac{G{M}_1}{r_1}+\frac{1}{2}{\Omega }^2(x_r^2+y_r^2)\right).\hfill & (1.152)\hfill \end{array}$$

Gelwir y cysonyn mudiant hwn ym mhroblem gyfyngedig y tri chorff yn gysonyn Jacobi.⁸⁶ Sylwch fod y ffwythiant egni yn ffurf gwadratig bendant bositif yng nghydrannau'r cyflymder (mewn cyfesurynnau sy'n cylchdroi) ynghyd â ffwythiant sy'n dibynnu ar y cyfesurynnau sy'n cylchdroi yn unig. Sylwch nad oes gan ffwythiant cyflwr yr egni dermau sy'n llinol yn y cyflymderau ${\dot{x}}_r$ a ${\dot{y}}_r$, er bod termau o'r fath yn ymddangos yn y ffwythiant Lagrange (1.150).

Ymarfer 1.35: Hafaliadau mudiant y broblem gyfyngedig

Deilliwch hafaliadau Lagrange ar gyfer problem gyfyngedig y tri chorff, o gael y ffwythiant Lagrange (1.150). Nodwch dermau grym Coriolis a'r grym allgyrchol yn eich hafaliadau mudiant.

1.8.5 Theorem Noether

Rydym wedi gweld, os oes gan system gymesuredd ac os gellir dewis system gyfesurynnau fel nad yw'r ffwythiant Lagrange yn dibynnu ar y cyfesuryn sy'n gysylltiedig â'r cymesuredd hwnnw, yna bod maint a gedwir yn gysylltiedig â'r cymesuredd. Fodd bynnag, ceir cymesureddau mwy cyffredinol na all unrhyw system gyfesurynnau eu mynegi'n llawn. Er enghraifft, mae mudiant mewn potensial canolog yn gymesur yn sfferig (mae'r system ddynamig yn ddigyfnewid dan gylchdroadau o amgylch unrhyw echelin), ond mae mynegiad ffwythiant Lagrange y system mewn cyfesurynnau sfferig yn dangos cymesuredd o amgylch un echelin yn unig. Yn fwy cyffredinol, mae gan ffwythiant Lagrange gymesuredd os oes trawsffurfiad cyfesurynnau sy'n gadael y ffwythiant Lagrange heb ei newid. Teulu parametrig o gymesureddau yw cymesuredd di-dor. Profodd Noether fod maint a gedwir ar gyfer unrhyw gymesuredd di-dor.

Ystyriwch drawsffurfiad cyfesurynnau parametrig $\tilde{F}$ â pharamedr s:

$$\begin{array}{ll}x=\tilde{F}(s)(t,x\prime ).\hfill & (1.153)\hfill \end{array}$$

Mae trawsffurfiad cyflwr parametrig $\tilde{C}$ yn cyfateb i'r trawsffurfiad cyfesurynnau parametrig hwn:

$$\begin{array}{ll}(t,x,v)=\tilde{C}(s)(t,x\prime ,v\prime ).\hfill & (1.154)\hfill \end{array}$$

Mynnwn fod y trawsffurfiad $\tilde{F}(0)$ yn drawsffurfiad cyfesurynnau unfathiant $x\prime =\tilde{F}(0)(t,x\prime )$, ac o ganlyniad mae $\tilde{C}(0)$ yn drawsffurfiad cyflwr unfathiant $(t,x\prime ,v\prime )=\tilde{C}(0)(t,x\prime ,v\prime )$. Mae gan y ffwythiant Lagrange L gymesuredd di-dor sy'n cyfateb i $\tilde{F}$ os yw'n ddigyfnewid dan y trawsffurfiadau

$$\begin{array}{ll}\tilde{L}(s)=L\circ \tilde{C}(s)=L\hfill & (1.155)\hfill \end{array}$$

ar gyfer unrhyw s. Mae'r ffwythiant Lagrange L yr un ffwythiant â'r ffwythiant Lagrange wedi'i drawsffurfio $\tilde{L}(s)$.

Mae'r ffaith bod $\tilde{L}(s)=L$ ar gyfer unrhyw s yn awgrymu $D\tilde{L}(s)=0$. Yn benodol, $\tilde{L}(s)$ yw

$$\begin{array}{ll}\tilde{L}(s)(t,x\prime ,v\prime )=L(t,\tilde{F}(s)(t,x\prime ),D_t(\tilde{F}(s))(t,x\prime ,v\prime )),\hfill & (1.156)\hfill \end{array}$$

lle rydym wedi ailysgrifennu cydran cyflymder $\tilde{C}(s)$ yn nhermau'r deilliad amser cyflawn. Mae deilliad $\tilde{L}$ yn sero:

$$\begin{array}{lll}0\hfill & =D\tilde{L}(s)(t,x\prime ,v\prime )\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_{1}L(t,x,v)(D\tilde{F})(s)(t,x\prime )+{\partial }_{2}L(t,x,v)D_t(D\tilde{F}(s))(t,x\prime ),\hfill & (1.157)\hfill \end{array}$$

lle rydym wedi defnyddio'r ffaith bod⁸⁷

$$\begin{array}{ll}{D}_t(D\tilde{F}(s))=DG(s)\text{with}G\left(s\right)=D_t(\tilde{F}(s)).\hfill & (1.158)\hfill \end{array}$$

Ar lwybr gwireddadwy q gallwn ddefnyddio hafaliadau Lagrange i ailysgrifennu term cyntaf hafaliad (1.157):

$$\begin{array}{lll}0=\hfill & (D_t{\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])((D\tilde{F})(s)\circ \Gamma [q\prime ])\hfill & \hfill \\ \hfill & +({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])(D_t(D\tilde{F}(s))\circ \Gamma [q\prime ]).\hfill & (1.159)\hfill \end{array}$$

Ar gyfer s = 0 mae'r llwybrau q a q′ yr un fath, oherwydd mai $\tilde{F}(0)$ yw'r unfathiant, felly Γ[q] = Γ[q′] a daw'r hafaliad hwn yn

$$\begin{array}{lll}0\hfill & =((D_t{\partial }_{2}L)((D\tilde{F})(0))+({\partial }_{2}L)(D_t(D\tilde{F}(0))))\circ \Gamma [q]\hfill & \hfill \\ \hfill & =D_t(({\partial }_{2}L)(D\tilde{F}(0)))\circ \Gamma [q].\hfill & (1.160)\hfill \end{array}$$

Felly cedwir y ffwythiant cyflwr $\mathcal{I}$,

$$\begin{array}{ll}\mathcal{I}=({\partial }_{2}L)(D\tilde{F}(0)),\hfill & (1.161)\hfill \end{array}$$

ar hyd taflwybrau datrysiad. Gelwir y maint hwn a gedwir yn integryn Noether. Mae'n lluoswm y momentwm a fector sy'n gysylltiedig â'r cymesuredd.

Enghraifft: mudiant mewn potensial canolog

Er enghraifft, ystyriwch ffwythiant Lagrange y potensial canolog mewn cyfesurynnau petryal:

$$\begin{array}{ll}L(t;x,y,z;v_x.v_y,v_z)\hfill & \hfill \\ =\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)-U\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right),\hfill & (1.162)\hfill \end{array}$$

a chylchdro parametrig R_z(s) o amgylch yr echelin z

$$\begin{array}{cc}\hfill \left(\begin{array}{c}\hfill x\hfill \\ \hfill y\hfill \\ \hfill z\hfill \end{array}\right)=R_z(s)\left(\begin{array}{c}\hfill x\prime \hfill \\ \hfill y\prime \hfill \\ \hfill z\prime \hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill x\prime \cos s-y\prime \sin s\hfill \\ \hfill x\prime \sin s+y\prime \cos s\hfill \\ \hfill z\prime \hfill \end{array}\right).\hfill & (1.163)\end{array}$$

Trawsffurfiad orthogonal yw'r cylchdro felly

$$\begin{array}{ll}{x}^2+y^2+z^2={(x\prime )}^2+{(y\prime )}^2+{(z\prime )}^2.\hfill & (1.164)\hfill \end{array}$$

Wrth ddifferu ar hyd llwybr, cawn

$$\begin{array}{ll}(v_x,v_y,v_z)=R_z(s)(v_x^{\prime },v_y^{\prime },v_z^{\prime }),\hfill & (1.165)\hfill \end{array}$$

felly mae'r cyflymderau hefyd yn trawsffurfio drwy drawsffurfiad orthogonal, a $v_x^2+v_y^2+v_z^2={(v_x^{\prime })}^2+{(v_y^{\prime })}^2+{(v_z^{\prime })}^2$. Felly

$$\begin{array}{ll}L\prime (t;x\prime ,y\prime ,z\prime ;v_x^{\prime },v_y^{\prime },v_z^{\prime })\hfill & \hfill \\ =\frac{1}{2}m\left({(v_x^{\prime })}^2+{(v_y^{\prime })}^2+{(v_z^{\prime })}^2\right)\hfill & \hfill \\ -U\left(\sqrt{{(x\prime )}^2+{(y\prime )}^2+{(z\prime )}^2}\right),\hfill & (1.166)\hfill \end{array}$$

a gwelwn fod L′ yn union yr un ffwythiant â L.

Y momenta yw

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{2}L(t;x,y,z;v_x,v_y,v_z)=[m{v}_x,m{v}_y,m{v}_z]\hfill & (1.167)\hfill \end{array}$$

a

$$\begin{array}{ll}D\tilde{F}(0)(t;x,y,z)=D{\tilde{R}}_z(0)(x,y,z)=(y,-x,0).\hfill & (1.168)\hfill \end{array}$$

Felly integryn Noether yw

$$\begin{array}{lll}\mathcal{I}(t;x,y,z;v_x,v_y,v_z)\hfill & =(({\partial }_{2}L)(D\tilde{F}(0)))(t;x,y,z;v_x,v_y,v_z)\hfill & \hfill \\ \hfill & =m(y{v}_x-x{v}_y),\hfill & (1.169)\hfill \end{array}$$

a adnabyddwn fel minws cydran z y momentwm onglaidd: $\overrightarrow{x}\times (m\overrightarrow{v})$. Gan fod y ffwythiant Lagrange yn cael ei gadw gan unrhyw gymesuredd cylchdro di-dor, cedwir pob cydran o'r momentwm onglaidd fector ar gyfer problem y potensial canolog.

Mae'r galwadau gweithdrefn ((Rx angle-x) q), ((Ry angle-y) q), a ((Rz angle-z) q) yn cylchdroi'r twpled petryal q o amgylch yr echelin a nodir drwy'r ongl a nodir.⁸⁸ Defnyddiwn y rhain i greu trawsffurfiad cyfesurynnau parametrig F-tilde:

(define (F-tilde angle-x angle-y angle-z)
  (compose (Rx angle-x) (Ry angle-y) (Rz angle-z) coordinate))

Ffwythiant Lagrange ar gyfer mudiant mewn potensial canolog yw

(define ((L-central-rectangular m U) state)
  (let ((q (coordinate state))
        (v (velocity state)))
    (- (* 1/2 m (square v))
       (U (sqrt (square q))))))

Yna integryn Noether yw

(define the-Noether-integral
  (let ((L (L-central-rectangular
             'm (literal-function 'U))))
    (* ((partial 2) L) ((D F-tilde) 0 0 0))))

(the-Noether-integral
  (up 't
      (up 'x 'y 'z)
      (up 'vx 'vy 'vz)))
(down (+ (* m vy z) (* -1 m vz y))
      (+ (* m vz x) (* -1 m vx z))
      (+ (* m vx y) (* -1 m vy x)))

Cawn bob un o dair cydran y momentwm onglaidd.

Ymarfer 1.36: Integryn Noether

Ystyriwch fudiant ar arwyneb elipsoidaidd. Pennir yr arwyneb gan:

$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$

Lluniwch ffwythiant Lagrange ar gyfer mudiant heb ffrithiant ar yr arwyneb hwn. Tybiwch fod dwy o echelinau'r elipsoid yn hafal: b = c.

Gan ddefnyddio cyfesurynnau onglaidd (θ, ϕ), lle mae θ yn gydledred o'r echelin ẑ, a ϕ yn hydred wedi'i fesur o'r echelin $\hat{x}$, lluniwch ffwythiant Lagrange sy'n cyfleu cymesuredd yr elipsoid hwn: cymesuredd cylchdro o amgylch yr echelin $\hat{x}$. Lluniwch drawsffurfiad parametrig sy'n cynrychioli'r cymesuredd hwn a dangoswch fod y ffwythiant Lagrange a luniwyd gennych yn ddigyfnewid dan y trawsffurfiad hwn. Cyfrifwch integryn Noether sy'n gysylltiedig â'r cymesuredd hwn.

Sylwch nad yw'r dewis o gyfesurynnau yn ymgorffori'r cymesuredd hwn.

1.9 Haniaethu Ffwythiannau Llwybr

Cam hanfodol wrth ddeillio'r ffwythiant trawsffurfio twpledi lleol C o'r trawsffurfiad cyfesurynnau F oedd diddwytho'r berthynas rhwng y cyflymderau yn y ddwy system gyfesurynnau. Gwnaethom hyn drwy fewnosod llwybrau cyfesurynnau yn y ffwythiant trawsffurfio cyfesurynnau F, differu, ac yna gyffredinoli'r canlyniadau ar y llwybr i gyflymderau mympwyol ar foment. Mae'r cam olaf yn enghraifft o broblem fwy cyffredinol, sef haniaethu ffwythiant twpled lleol o ffwythiant llwybr. O gael ffwythiant f o dwpled lleol, ffwythiant cyfatebol sy'n dibynnu ar lwybr yw $\overline{f}[q]\text{is}\overline{f}[q]=f\circ \Gamma [q]$. O gael $\overline{f}$, sut gallwn ailgyfansoddi f? Mae'r ffwythiant twpled lleol f yn dibynnu ar nifer meidraidd yn unig o gydrannau'r twpled lleol, ac mae $\overline{f}$ yn dibynnu ar gydrannau lleol cyfatebol y llwybr yn unig. Felly mae gan $\overline{f}$ yr un gwerth ar gyfer pob llwybr sydd â'r nifer hwnnw o gydrannau'r twpled lleol yn gyffredin. O gael $\overline{f}$ gallwn ailgyfansoddi f drwy gymryd arg f, sy'n rhan gychwynnol feidraidd o dwpled lleol, adeiladu llwybr sydd â'r disgrifiad lleol hwn, a chanfod gwerth $\overline{f}$ ar gyfer y llwybr hwn.

Dywedir bod dau lwybr sydd â'r un disgrifiad lleol hyd at y deilliad nfed yn osgwladu â chyswllt trefn n. Er enghraifft, mae gan lwybr a chynrychioliad y llwybr gan gyfres bwerau wedi'i thorri i drefn n gyswllt trefn n; os oes angen llai nag n deilliad ar ffwythiant twpled lleol, mae'r llwybr a'r cynrychioliad gan gyfres bwerau wedi'i thorri yn gyfwerth. Boed O yn ffwythiant sy'n cynhyrchu llwybr osgwladu â'r cydrannau twpled lleol a roddir. Felly O(t, q, v, …)(t) = q, D(O(t, q, v, …))(t) = v, ac yn gyffredinol

$$\begin{array}{ll}(t,q,v,\dots )=\Gamma [O(t,q,v,\dots )](t).\hfill & (1.170)\hfill \end{array}$$

Mae nifer cydrannau'r twpled lleol sydd eu hangen yn feidraidd, ond heb ei bennu. Un ffordd o lunio O yw drwy'r gyfres bwerau wedi'i thorri

$$\begin{array}{ll}O(t,q,v,a,\dots )(t\prime )=q+v(t\prime -t)+\frac{1}{2}a{(t\prime -t)}^2+\cdots ,\hfill & (1.171)\hfill \end{array}$$

lle mae nifer y termau yr un fath â nifer cydrannau'r twpled lleol a bennir.

O gael y ffwythiant llwybr $\overline{f}$ ailgyfansoddwn y ffwythiant f fel a ganlyn. Cymerwn arg f ac adeiladwn lwybr osgwladu â'r disgrifiad lleol hwn. Yna gwerth f yw gwerth $\overline{f}$ ar gyfer y llwybr osgwladu hwn:

$$\begin{array}{lll}f(t,q,v,\dots )\hfill & =(f\circ \Gamma [O(t,q,v,\dots )])(t)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\overline{f}[O(t,q,v,\dots )](t).\hfill & (1.172)\hfill \end{array}$$

Boed $\overline{\Gamma }$ y ffwythiant sy'n cymryd ffwythiant llwybr ac yn dychwelyd y ffwythiant twpled lleol cyfatebol:⁸⁹

$$\begin{array}{ll}f=\overline{\Gamma }(\overline{f}).\hfill & (1.173)\hfill \end{array}$$

O hafaliad (1.172) gwelwn fod

$$\begin{array}{ll}\overline{\Gamma }(\overline{f})(t,q,v,\dots )=\overline{f}[O(t,q,v,\dots )](t).\hfill & (1.174)\hfill \end{array}$$

Mae'r weithdrefn Gamma-bar yn gweithredu'r ffwythiant $\overline{\Gamma }$ sy'n ailgyfansoddi ffwythiant sy'n dibynnu ar lwybr yn ffwythiant twpled lleol:

(define ((Gamma-bar f-bar) local)
  ((f-bar (osculating-path local)) (time local)))

Mae'r weithdrefn osculating-path yn cymryd nifer o gydrannau lleol ac yn dychwelyd llwybr â'r cydrannau hyn; fe'i gweithredir fel cyfres bwerau.

Gallwn ddefnyddio Gamma-bar i lunio'r weithdrefn F->C sy'n cymryd trawsffurfiad cyfesurynnau F ac yn cynhyrchu'r weithdrefn sy'n trawsffurfio twpledi lleol. Mae'r weithdrefn F->C yn llunio gweithdrefn sy'n dibynnu ar lwybr f-bar sy'n cymryd llwybr cyfesurynnau yn y system â phrifnod ac yn dychwelyd twpled lleol y llwybr cyfatebol yn y system gyfesurynnau heb brifnod. Yna mae'n defnyddio Gamma-bar i haniaethu f-bar i dwpledi lleol mympwyol yn y system gyfesurynnau â phrifnod.⁹⁰

(define (F->C F)
  (define (C local)
    (let ((n (vector-length local)))
      (define (f-bar q-prime)
        (define q
          (compose F (Gamma q-prime)))
        (Gamma q n))
      ((Gamma-bar f-bar) local)))
  C)

(show-expression
  ((F->C p->r)
   (up 't (up 'r 'theta) (up 'rdot 'thetadot))))

Sylwch nad ydym, yn y diffiniad hwn o F->C, yn cyfrifo unrhyw ddeilliadau yn benodol. Nid oes angen y cyfrifiad a arweiniodd at y trawsffurfiad cyflwr (1.77).

Gallwn hefyd ddefnyddio $\overline{\Gamma }$ i lunio fformiwla gain ar gyfer cyfrifo deilliad amser cyflawn D_tF y ffwythiant F:

$$\begin{array}{llll}{D}_{t}F=\overline{\Gamma }(\overline{G}),\hfill & \text{with}\hfill & \overline{G}[q]=D(F\circ \Gamma [q]).\hfill & (1.175)\hfill \end{array}$$

Gellir mynegi'r deilliad amser cyflawn fel rhaglen:

(define (Dt F)
  (define (DtF state)
    (let ((n (vector-length state)))
      (define (DF-on-path q)
        (D (compose F (Gamma q (- n 1)))))
      ((Gamma-bar DF-on-path) state)))
  DtF)

O gael gweithdrefn F sy'n gweithredu ffwythiant twpled lleol a llwybr q, lluniwn weithdrefn newydd (compose F (Gamma q)). Mae'r weithdrefn DF-on-path yn gweithredu deilliad y ffwythiant hwn o amser. Yna haniaethwn hwn oddi ar y llwybr drwy Gamma-bar i roi'r deilliad amser cyflawn.

Ymarfer 1.37: Trawsffurfio cyflymder

Defnyddiwch y weithdrefn Gamma-bar i lunio gweithdrefn sy'n trawsffurfio cyflymderau o gael trawsffurfiad cyfesurynnau. Cymhwyswch y weithdrefn hon i'r weithdrefn p->r i ddiddwytho (eto) hafaliad (1.67) ar dudalen 42.

Hafaliadau Lagrange ar foment

O gael ffwythiant Lagrange, mae hafaliadau Lagrange yn profi llwybrau i benderfynu a ydynt yn llwybrau gwireddadwy'r system. Mae hafaliadau Lagrange yn cysylltu'r llwybr â'i ddeilliadau. Mae'r ffaith bod yn rhaid bodloni hafaliadau Lagrange ar bob moment yn awgrymu y gallwn haniaethu hafaliadau Lagrange oddi ar y llwybr a'u hysgrifennu fel perthnasoedd rhwng cydrannau twpledi lleol llwybrau gwireddadwy.

Boed $\overline{\mathcal{E}}$[L] yn ffwythiant sy'n dibynnu ar lwybr ac sy'n cynhyrchu gweddillion hafaliadau Lagrange (1.12) ar gyfer y ffwythiant Lagrange L:

$$\begin{array}{ll}\overline{\mathcal{E}}[L][q]=D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])-{\partial }_{1}L\circ \Gamma [q].\hfill & (1.176)\hfill \end{array}$$

Mae llwybrau gwireddadwy q yn bodloni hafaliadau Lagrange

$$\begin{array}{ll}\overline{\mathcal{E}}[L][q]=0.\hfill & (1.177)\hfill \end{array}$$

Gellir trosi hafaliadau Lagrange sy'n dibynnu ar lwybr i hafaliadau Lagrange lleol gan ddefnyddio $\overline{\Gamma }$:

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]=\overline{\Gamma }(\overline{\mathcal{E}}[L]).\hfill & (1.178)\hfill \end{array}$$

Gelwir y gweithredydd $\mathcal{E}$ yn weithredydd Euler–Lagrange. Yn nhermau'r gweithredydd hwn mae hafaliadau Lagrange yn

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]=0.\hfill & (1.179)\hfill \end{array}$$

Yn benodol, gweithredydd Euler–Lagrange yw

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]=D_t{\partial }_{2}L-{\partial }_{1}L.\hfill & (1.180)\hfill \end{array}$$

Mae'r weithdrefn Euler-Lagrange-operator yn gweithredu $\mathcal{E}$:

(define (Euler-Lagrange-operator L)
  (- (Dt ((partial 2) L)) ((partial 1) L))).

Er enghraifft, o'i gymhwyso i ffwythiant Lagrange yr osgiliadur harmonig, mae gennym

((Euler-Lagrange-operator
   (L-harmonic 'm 'k))
 (up 't 'x 'v 'a))
(+ (* a m) (* k x))

Sylwch fod cydrannau'r twpled lleol yn cael eu pennu'n unigol. Gan ddefnyddio hafaliad (1.179), hafaliadau Lagrange ar gyfer yr osgiliadur harmonig yw

((compose
   (Euler-Lagrange-operator (L-harmonic 'm 'k))
   (Gamma (literal-function 'x) 4))
 't)
(+ (* k (x t)) (* m (((expt D 2) x) t)))

Ymarfer 1.38: Priodweddau E

Boed F a G yn ddau ffwythiant tebyg i ffwythiant Lagrange o dwpled lleol, C yn ffwythiant trawsffurfio twpledi lleol, a c yn gysonyn. Dangoswch y priodweddau canlynol:

a. $\mathcal{E}[F+G]=\mathcal{E}[F]+\mathcal{E}[G]$

b. $\mathcal{E}[cF]=c\mathcal{E}[F]$

c. $\mathcal{E}[FG]=\mathcal{E}[F]G+F\mathcal{E}[G]+(D_{t}F){\partial }_{2}G+{\partial }_{2}F(D_{t}G)$

d. $\mathcal{E}[F\circ C]=D_t(DF\circ C){\partial }_{2}C+DF\circ C\mathcal{E}[C]$

1.10 Mudiant Cyfyngedig

Un fantais i ddull Lagrange yw y gellir yn aml ddewis cyfesurynnau sy'n disgrifio rhyddid y system yn union, gan ymgorffori unrhyw gyfyngiadau yn awtomatig. Gallwn hefyd ddefnyddio cyfesurynnau sydd â mwy o ryddid nag sydd gan y system mewn gwirionedd ac ystyried cyfyngiadau penodol rhwng y cyfesurynnau. Er enghraifft, mae gan y pendil mewn plân ofod ffurfweddau un dimensiwn. Rydym wedi llunio'r broblem hon gan ddefnyddio'r ongl o'r fertigol fel y cyfesuryn ffurfwedd. Fel arall, gallwn ddewis cynrychioli'r pendil fel corff sy'n symud yn y plân, wedi'i gyfyngu i fod ar y cylch â'r radiws cywir o amgylch y colyn. Hoffem gael disgrifiadau dilys ar gyfer y ddau ddewis a dangos eu bod yn gyfwerth. Yn yr adran hon datblygwn offer i drin problemau â chyfyngiadau penodol. Mae'r cyfyngiadau a ystyrir yma yn fwy cyffredinol na'r rhai a ddefnyddiwyd wrth ddangos y gellir ysgrifennu ffwythiant Lagrange systemau â chyfyngiadau anhyblyg fel y gwahaniaeth rhwng yr egni cinetig a'r egni potensial (gweler adran 1.6.2).

Tybiwch fod ffurfwedd system â n gradd rhyddid yn cael ei phennu gan n + 1 cyfesuryn a bod llwybrau ffurfwedd q wedi'u cyfyngu i fodloni rhyw berthynas o'r ffurf

$$\begin{array}{ll}\phi (t,q(t),Dq(t))=0.\hfill & (1.181)\hfill \end{array}$$

Sut lluniwn yr hafaliadau mudiant? Un dull fyddai defnyddio hafaliad y cyfyngiad i ddileu un o'r cyfesurynnau o blaid y gweddill; yna byddai esblygiad y set lai o gyfesurynnau cyffredinoledig yn cael ei ddisgrifio gan hafaliadau Lagrange arferol. Dylai'r hafaliadau sy'n llywodraethu esblygiad cyfesurynnau nad ydynt yn gwbl annibynnol fod yn gyfwerth.

Gallwn fynd i'r afael â'r broblem o lunio hafaliadau mudiant ar gyfer systemau â chyfesurynnau diangen drwy ddychwelyd at egwyddor y weithred. Mae llwybrau gwireddadwy yn wahanol i lwybrau eraill am fod eu gweithred yn arhosol. Mae arhosol yn cyfeirio at y ffaith nad yw'r weithred yn newid gyda rhai amrywiadau bychain yn y llwybr. Pa amrywiadau y dylid eu hystyried? Rydym wedi gweld y gellir defnyddio cyfyngiadau anhyblyg sy'n annibynnol ar gyflymder i ddileu cyfesurynnau diangen. Yn y cyfesurynnau heb ddiangenrwydd gwahaniaethwyd llwybrau gwireddadwy drwy ddefnyddio amrywiadau sydd, oherwydd y modd y'u lluniwyd, yn bodloni'r cyfyngiadau. Felly, yn yr achos lle gellir defnyddio cyfyngiadau i ddileu cyfesurynnau diangen, gallwn gyfyngu'r amrywiadau yn y llwybr i'r rhai sy'n gyson â'r cyfyngiadau.

Felly sut mae cyfyngu'r amrywiadau posibl yn effeithio ar y ddadl a arweiniodd at hafaliadau Lagrange (gweler adran 1.5)? Mewn gwirionedd nid effeithir ar y rhan fwyaf o'r cyfrifiad. Mae'r amod bod y weithred yn arhosol yn dal i ostwng i'r amodau (1.17) neu (1.34):

$$\begin{array}{ll}0={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\left\{({\partial }_{1}L\circ \Gamma [q])-D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])\right\}\eta .}\hfill & (1.182)\hfill \end{array}$$

Ar y pwynt hwn dadleuasom, gan fod yr amrywiadau η yn fympwyol (heblaw am amodau ar y pwyntiau terfyn), mai'r unig ffordd i'r integryn fod yn sero yw bod yr integrand yn sero. Ymhellach, roedd y rhyddid wrth ddewis η yn caniatáu inni ddiddwytho bod yn rhaid i'r ffactor sy'n lluosi η yn yr integrand fod yn union sero ym mhobman, gan ddeillio hafaliadau Lagrange felly.

Bellach nid yw dewis η yn gwbl rydd. Gallwn ddal i ddiddwytho o fympwyoldeb η fod yn rhaid i'r integrand fod yn sero,⁹¹ ond ni allwn bellach ddiddwytho bod y ffactor sy'n lluosi η yn sero (dim ond bod tafluniad y ffactor hwn ar amrywiadau derbyniol yn sero). Felly mae gennym

$$\begin{array}{ll}\left\{({\partial }_{1}L\circ \Gamma [q])-D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])\right\}\eta =0,\hfill & (1.183)\hfill \end{array}$$

gyda η yn ddarostyngedig i'r cyfyngiadau.

Mae llwybr q yn bodloni'r cyfyngiad os yw $\overline{\phi }[q]=\phi \circ \Gamma [q]=0$. Rhaid bodloni'r cyfyngiad hyd yn oed ar gyfer y llwybr wedi'i amrywio, felly caniatawn yn unig amrywiadau η lle mae amrywiad y cyfyngiad yn sero:

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\eta }(\overline{\phi })=0.\hfill & (1.184)\hfill \end{array}$$

Gallwn ddweud bod yn rhaid i'r amrywiad fod yn “dangiadol” i arwyneb y cyfyngiad. Wrth ehangu hyn â'r rheol gadwyn, mae amrywiad η yn dangiadol i arwyneb y cyfyngiad φ os yw

$$\begin{array}{ll}({\partial }_1\phi \circ \Gamma [q])\eta +({\partial }_2\phi \circ \Gamma [q])D\eta =0.\hfill & (1.185)\hfill \end{array}$$

Sylwch mai ffwythiannau o amser yw'r rhain; mae'r amrywiad ar amser penodol yn dangiadol i'r cyfyngiad ar yr amser hwnnw.

1.10.1 Cyfyngiadau ar Gyfesurynnau

Ystyriwch gyfyngiadau nad ydynt yn dibynnu ar gyflymderau:

${\partial }_2\phi =0.$

Yn yr achos hwn mae'r amrywiad yn dangiadol i arwyneb y cyfyngiad os yw

$$\begin{array}{ll}({\partial }_1\phi \circ \Gamma )\eta =0.\hfill & (1.186)\hfill \end{array}$$

Gyda'i gilydd, dylai hafaliadau (1.183) a (1.186) bennu'r mudiant, ond sut mae dileu η? Mae gweddill hafaliadau Lagrange yn orthogonal⁹² i unrhyw η sy'n orthogonal i'r normal i arwyneb y cyfyngiad. Mae fector sy'n orthogonal i bob fector sy'n orthogonal i fector penodol yn baralel i'r fector penodol hwnnw. Felly mae gweddill hafaliadau Lagrange yn baralel i'r normal i arwyneb y cyfyngiad; rhaid i'r ddau fod yn gyfrannol:

$$\begin{array}{ll}D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])-{\partial }_{1}L\circ \Gamma [q]=\lambda ({\partial }_1\phi \circ \Gamma [q]).\hfill & (1.187)\hfill \end{array}$$

Nid yw'r ffaith bod y ddau fector yn baralel ym mhobman ar hyd y llwybr yn gwarantu bod y ffactor cyfrannedd yr un fath ar bob moment ar hyd y llwybr, felly mae'r ffactor cyfrannedd λ yn rhyw ffwythiant o amser, a all ddibynnu ar y llwybr dan sylw. Yr hafaliadau hyn, gyda hafaliad y cyfyngiad φ ∘ Γ[q] = 0, yw'r hafaliadau llywodraethol. Mae'r hafaliadau hyn yn ddigonol i bennu'r llwybr q ac i ddileu'r ffwythiant anhysbys λ.

Nawr edrychwch ar hyn

Tybiwch ein bod yn ffurfio ffwythiant Lagrange estynedig drwy drin λ fel un o'r cyfesurynnau:

$$\begin{array}{ll}L\prime (t;q,\lambda ;\dot{q},\dot{\lambda })=L(t,q,\dot{q})+\lambda \phi (t,q,\dot{q}).\hfill & (1.188)\hfill \end{array}$$

Yr hafaliadau Lagrange sy'n gysylltiedig â'r cyfesurynnau q yw'r hafaliadau Lagrange addasedig (1.187) yn union, a'r hafaliad Lagrange sy'n gysylltiedig â λ yw hafaliad y cyfyngiad yn union. (Sylwch nad yw $\dot{\lambda }$ yn ymddangos yn y ffwythiant Lagrange estynedig.) Felly mae hafaliadau Lagrange y ffwythiant Lagrange estynedig hwn yn ymgorffori'n llawn yr addasiad i hafaliadau Lagrange a orfodir gan ychwanegu cyfyngiad penodol ar gyfesurynnau, ar gost cyflwyno graddau rhyddid ychwanegol. Sylwch fod y ffwythiant Lagrange hwn o'r un ffurf â'r ffwythiant Lagrange (hafaliad 1.93) a ddefnyddiwyd gennym wrth ddeillio L = T − V ar gyfer systemau anhyblyg (adran 1.6.2).

Fel arall

Sut gwyddom fod gennym ddigon o wybodaeth i ddileu'r ffwythiant anhysbys λ o hafaliadau (1.187), neu mai rhywbeth ffurfiol yn unig yw'r radd rhyddid ychwanegol a gyflwynir yn y ffwythiant Lagrange (1.188)?

Os gellir ysgrifennu λ fel cyfansoddiad ffwythiant sy'n dibynnu ar gyflwr â'r llwybr: λ = Λ ∘ Γ[q] yna mae'n ddiangen fel gradd rhyddid. Ystyriwch y ffwythiant Lagrange

$$\begin{array}{ll}L″=L+\Lambda \phi .\hfill & (1.189)\hfill \end{array}$$

Nid oes gan y ffwythiant Lagrange newydd hwn raddau rhyddid ychwanegol. Hafaliadau Lagrange ar gyfer L″ yw hafaliadau Lagrange ar gyfer L gyda thermau ychwanegol sy'n deillio o'r lluoswm Λφ. Mae cymhwyso gweithredydd Euler–Lagrange $\mathcal{E}$ (gweler adran 1.9) i'r ffwythiant Lagrange hwn yn rhoi⁹³

$$\begin{array}{lll}\mathcal{E}[L″]\hfill & =\mathcal{E}[L]+\mathcal{E}[\Lambda \phi ]\hfill & \hfill \\ \hfill & =\mathcal{E}[L]+\Lambda \mathcal{E}[\phi ]+\mathcal{E}[\Lambda ]\phi +D_t\Lambda {\partial }_2\phi +{\partial }_2\Lambda D_t\phi .\hfill & (1.190)\hfill \end{array}$$

Mae cyfansoddi $\mathcal{E}$[L″] â Γ[q] yn rhoi hafaliadau Lagrange ar gyfer y llwybr q. Gan ddefnyddio'r ffaith bod y cyfyngiad yn cael ei fodloni ar y llwybr φ ∘ Γ[q] = 0 ac o ganlyniad D_tφ ∘ Γ[q] = 0, mae gennym

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L″]\circ \Gamma [q]\hfill & \hfill \\ =\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]+\lambda (\mathcal{E}[\phi ]\circ \Gamma [q])+D\lambda ({\partial }_2\phi \circ \Gamma [q]),\hfill & (1.191)\hfill \end{array}$$

lle rydym wedi defnyddio λ = Λ ∘ Γ[q]. Os defnyddiwn nawr y ffaith ein bod yn ymdrin â chyfyngiadau ar gyfesurynnau yn unig, ∂₂φ = 0, yna

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L″]\circ \Gamma [q]=\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]+\lambda (\mathcal{E}[\phi ]\circ \Gamma [q]).\hfill & (1.192)\hfill \end{array}$$

Mae hafaliadau Lagrange yr un fath â'r rhai a ddeilliwyd o'r ffwythiant Lagrange estynedig L′. Y gwahaniaeth yw ein bod bellach yn gweld bod λ = Λ ∘ Γ[q] yn cael ei bennu gan y cyflwr heb ei estyn. Mae hyn yr un fath â dweud y gellir dileu λ.

Wrth ystyried dilysrwydd ffurfiol hafaliadau Lagrange y ffwythiant Lagrange estynedig yn unig, ni allem ddiddwytho y gellid ysgrifennu λ fel cyfansoddiad ffwythiant Λ sy'n dibynnu ar gyflwr â Γ[q]. Mae'r hafaliadau Lagrange penodol a ddeillir o'r ffwythiant Lagrange estynedig yn dibynnu ar y cyflymiadau D²q yn ogystal â λ, felly ni allwn ddiddwytho ar wahân fod y naill na'r llall yn gyfansoddiad ffwythiant sy'n dibynnu ar gyflwr â Γ[q]. Fodd bynnag, gwelwn nawr fod λ yn gyfansoddiad o'r fath. Mae hyn yn caniatáu inni ddiddwytho bod D²q hefyd yn ffwythiant sy'n dibynnu ar gyflwr wedi'i gyfansoddi â'r llwybr. Pennir esblygiad y system o'r cyflwr dynamig.

Y pendil gan ddefnyddio cyfyngiadau

Gellir llunio'r pendil fel mudiant gronyn â màs mewn plân fertigol dan y cyfyngiad bod y pellter i'r colyn yn gyson (gweler ffigur 1.8).

Yn y ffurfiad hwn, yr egni cinetig a'r egni potensial yn y ffwythiant Lagrange yw rhai gronyn heb gyfyngiad mewn cyflymiad disgyrchiant unffurf. Ffwythiant Lagrange ar gyfer y gronyn heb gyfyngiad yw

$$\begin{array}{ll}L(t;x,y;v_x,v_y)=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)-mgy.\hfill & (1.193)\hfill \end{array}$$

Y cyfyngiad bod y pendil yn symud mewn cylch â radiws l o amgylch y colyn yw⁹⁴

$$\begin{array}{ll}{x}^2+y^2-l^2=0.\hfill & (1.194)\hfill \end{array}$$

Y ffwythiant Lagrange estynedig yw

$$\begin{array}{ll}L\prime (t;x,y,\lambda ;v_x,v_y,\dot{\lambda })=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)-mgy+\lambda (x^2+y^2-l^2).\hfill & (1.195)\hfill \end{array}$$

Hafaliadau Lagrange ar gyfer y ffwythiant Lagrange estynedig yw

$$\begin{array}{ll}m{D}^{2}x-2\lambda x=0\hfill & (1.196)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}m{D}^{2}y+mg-2\lambda y=0\hfill & (1.197)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{x}^2+y^2-l^2=0.\hfill & (1.198)\hfill \end{array}$$

Mae'r hafaliadau hyn yn ddigonol i ddatrys mudiant y pendil.

Ni ddylai fod yn syndod bod yr hafaliadau hyn yn symleiddio os newidiwn i gyfesurynnau “pegynol”

$$\begin{array}{ll}x=r\sin \theta y=-r\cos \theta .\hfill & (1.199)\hfill \end{array}$$

Wrth amnewid hyn i mewn i hafaliad y cyfyngiad, penderfynwn fod r = l, cysonyn. Wrth ffurfio'r deilliadau ac amnewid i mewn i'r ddau hafaliad arall, cawn

$$\begin{array}{ll}ml(\cos \theta D^2\theta -\sin \theta {(D\theta )}^2)-2\lambda \sin \theta =0\hfill & (1.200)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}ml(\sin \theta D^2\theta +\cos \theta {(D\theta )}^2)+mg+2\lambda \cos \theta =0.\hfill & (1.201)\hfill \end{array}$$

Wrth luosi'r cyntaf â cos θ a'r ail â sin θ ac adio, cawn

$$\begin{array}{ll}ml{D}^2\theta +mg\sin \theta =0,\hfill & (1.202)\hfill \end{array}$$

a adnabyddwn fel yr hafaliad cywir ar gyfer y pendil. Mae hwn yr un fath â hafaliad Lagrange ar gyfer y pendil gan ddefnyddio'r cyfesuryn cyffredinoledig anghyfyngedig θ. Er mwyn bod yn gyflawn, gallwn ganfod λ yn nhermau'r newidynnau eraill:

$$\begin{array}{ll}\lambda =\frac{m{D}^{2}x}{2x}=-\frac{1}{2l}(mg\cos \theta +ml{(D\theta )}^2).\hfill & (1.203)\hfill \end{array}$$

Mae hyn yn cadarnhau mai cyfansoddiad ffwythiant o'r cyflwr â'r llwybr cyflwr yw λ mewn gwirionedd. Sylwch fod 2lλ yn rym—mae'n swm cydran allanol y grym disgyrchiant a'r grym allgyrchol. Gan ddefnyddio'r dehongliad hwn yn nau hafaliad mudiant y cyfesurynnau, gwelwn mai'r termau sy'n cynnwys λ yw'r grymoedd y mae'n rhaid eu cymhwyso i'r gronyn heb gyfyngiad i wneud iddo symud ar y cylch a fynnir gan y cyfyngiadau. Yn gyfwerth, gallwn feddwl am 2lλ fel y tensiwn yn rhoden y pendil sy'n dal y màs.⁹⁵

Adeiladu systemau o rannau

Mae'r dull o ddefnyddio ffwythiannau Lagrange estynedig i orfodi cyfyngiadau ar systemau dynamig yn darparu ffordd o ddadansoddi system gyfansawdd drwy gyfuno canlyniadau dadansoddi rhannau'r system a'r cyplysu rhyngddynt.

Ystyriwch y system gyfansawdd o sbringiau a masau a ddangosir ar frig ffigur 1.9. Gallem ddadansoddi hon fel system unedig â dau gyfesuryn ffurfwedd x₁ a x₂, sy'n cynrychioli estyniadau'r sbringiau o'u hydoedd cydbwysedd X₁ ac X₂.

Dull arall yw rhannu'r system yn sawl rhan. Yn ein system o sbringiau a masau gallwn ddewis dwy ran: un yw sbring a màs wedi'u cysylltu â'r wal, a'r llall yw sbring a màs â'u pwynt cysylltu ar gyfesuryn ffurfwedd ychwanegol ξ. Gallwn lunio ffwythiant Lagrange ar gyfer pob rhan ar wahân. Yna gallwn ddewis ffwythiant Lagrange ar gyfer y system gyfansawdd fel swm ffwythiannau Lagrange y ddwy gydran â chyfyngiad ξ = X₁ + x₁ i gyflawni'r cyplysu.

Gadewch inni weld sut mae hyn yn gweithio. Ffwythiant Lagrange yr is-system sydd wedi'i chysylltu â'r wal yw

$$\begin{array}{ll}{L}_1(t,x_1,{\dot{x}}_1)=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{x}}_1^2-\frac{1}{2}{k}_1{x}_1^2\hfill & (1.204)\hfill \end{array}$$

a ffwythiant Lagrange yr is-system sy'n cysylltu â hi yw

$$\begin{array}{ll}{L}_2(t;\xi ,x_2;\dot{\xi },{\dot{x}}_2)=\frac{1}{2}{m}_2{(\dot{\xi }+{\dot{x}}_2)}^2-\frac{1}{2}{k}_2{x}_2^2.\hfill & (1.205)\hfill \end{array}$$

Lluniwn ffwythiant Lagrange ar gyfer y system a gyfansoddir o'r rhannau hyn fel swm y ffwythiannau Lagrange ar gyfer pob rhan ar wahân, gyda therm cyplysu i orfodi'r cyfyngiad:

$$\begin{array}{ll}L(t;x_1,x_2,\xi ,\lambda ;{\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2,\dot{\xi },\dot{\lambda })\hfill & \hfill \\ =L_1(t,x_1,{\dot{x}}_1)+L_2(t;\xi ,x_2;\dot{\xi },{\dot{x}}_2)\hfill & \hfill \\ +\lambda (\xi -(X_1+x_1)).\hfill & (1.206)\hfill \end{array}$$

Felly gallwn ysgrifennu hafaliadau Lagrange ar gyfer y pedwar cyfesuryn ffurfwedd, yn eu trefn, fel a ganlyn:

$$\begin{array}{ll}\hfill m_1{D}^2{x}_1=-k_1{x}_1-\lambda & (1.207)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\hfill m_2(D^2\xi +D^2{x}_2)=-k_2{x}_2& (1.208)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\hfill m_2(D^2\xi +D^2{x}_2)=\lambda & (1.209)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\hfill 0=\xi -(X_1+x_1).& (1.210)\hfill \end{array}$$

Sylwch mai λ yn y system hon yw'r grym cyfyngu sy'n dal y system at ei gilydd. Gallwn nawr ddileu'r cyfesurynnau “glud” ξ a λ i gael yr hafaliadau mudiant yn y cyfesurynnau x₁ a x₂:

$$\begin{array}{ll}{m}_1{D}^2{x}_1+m_2(D^2{x}_1+D^2{x}_2)+k_1{x}_1=0\hfill & (1.211)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{m}_2(D^2{x}_1+D^2{x}_2)+k_2{x}_2=0.\hfill & (1.212)\hfill \end{array}$$

Gellir cyffredinoli'r strategaeth hon. Gallwn greu llyfrgell o gydrannau cyntefig. Gellir nodweddu pob cydran gan ffwythiant Lagrange â graddau rhyddid ychwanegol ar gyfer y terfynellau lle gellir cysylltu'r gydran honno â rhai eraill. Yna gallwn lunio ffwythiannau Lagrange cyfansawdd drwy gyfuno cydrannau, gan ddefnyddio cyfyngiadau i ludo'r terfynellau at ei gilydd.

Ymarfer 1.39: Cyfuno ffwythiannau Lagrange

a. Gwnewch gydran gyntefig arall sy'n gydnaws â'r strwythurau sbring a màs a ddisgrifir yn yr adran hon. Er enghraifft, gwnewch bendil y gellir ei gysylltu â'r system sbring a màs. Adeiladwch gyfuniad a deilliwch yr hafaliadau mudiant. Byddwch yn ofalus, mae'r algebra'n ofnadwy os dewiswch gyfesurynnau gwael.

b. Fel prosiect bach braf, lluniwch deulu o rannau mecanyddol cydnaws, wedi'u nodweddu gan ffwythiannau Lagrange priodol, y gellir eu cyfuno mewn amryw o ffyrdd i wneud mecanweithiau diddorol. Cofiwch, mewn iaith dda, y dylai canlyniad cyfuno darnau fod yn ddarn o'r un math y gellir ei gyfuno ymhellach â darnau eraill.

Ymarfer 1.40: Glain ar arwyneb triechelin

Ystyriwch eto fudiant glain wedi'i gyfyngu i symud ar arwyneb triechelin (ymarfer 1.18). Ail-luniwch hyn gan ddefnyddio cyfesurynnau petryal fel y cyfesurynnau cyffredinoledig â chyfyngiad penodol bod yn rhaid i'r glain aros ar yr arwyneb. Canfyddwch ffwythiant Lagrange a dangoswch fod hafaliadau Lagrange yn gyfwerth â'r rhai a gafwyd yn ymarfer 1.18.

Ymarfer 1.41: Mudiant pêl golff fechan iawn

Ystyriwch fudiant pêl golff wedi'i delfrydu fel màs pwynt wedi'i gyfyngu i arwyneb llyfn heb ffrithiant ag uchder amrywiol h(x, y) mewn maes disgyrchiant unffurf â chyflymiad g.

a. Canfyddwch ffwythiant Lagrange estynedig ar gyfer y system hon, a deilliwch yr hafaliadau sy'n llywodraethu mudiant y màs pwynt yn x ac y.

b. Dan ba amodau y mae ffwythiant potensial V (x, y) = mgh(x, y) yn rhoi brasamcan o hyn?

c. Tybiwch fod h(x, y) yn gymesur o amgylch echelin drwy x = y = 0. A allwch ganfod h o'r fath sy'n rhoi mudiannau ag orbitau caeedig?

1.10.2 Cyfyngiadau Deilliad

Yma ymchwiliwn i gyfyngiadau sy'n dibynnu ar gyflymder ac sy'n “ddeilliadau amser cyflawn” o gyfyngiadau sy'n annibynnol ar gyflymder. Nid yw'r dulliau a gyflwynwyd hyd yma yn gymwys oherwydd bod y cyfyngiad yn dibynnu ar gyflymder.

Ystyriwch gyfyngiad sy'n dibynnu ar gyflymder ψ = 0. Mae'r ffaith bod ψ yn ddeilliad amser cyflawn yn golygu bod ffwythiant φ sy'n annibynnol ar gyflymder yn bodoli fel bod

$$\begin{array}{ll}\psi \circ \Gamma [q]=D(\phi \circ \Gamma [q]).\hfill & (1.213)\hfill \end{array}$$

Mae'r ffaith bod φ yn annibynnol ar gyflymder yn golygu ∂₂φ = 0. Fel ffwythiannau cyflwr, y berthynas rhwng ψ a φ yw

$$\begin{array}{ll}\psi =D_t\phi ={\partial }_0\phi +{\partial }_1\phi \dot{Q}.\hfill & (1.214)\hfill \end{array}$$

O gael ψ gallwn ganfod φ drwy ddatrys yr hafaliad differol rhannol llinol hwn. Pennir y datrysiad hyd at gysonyn, felly mae ψ = 0 yn awgrymu φ = K am ryw gysonyn K. Ar y llaw arall, pe gwyddem fod φ = K yna byddai ψ = 0 yn dilyn. Felly mae'r cyfyngiad sy'n dibynnu ar gyflymder ψ = 0 yn gyfwerth â'r cyfyngiad sy'n annibynnol ar gyflymder φ = K, a gwyddom sut i ganfod hafaliadau Lagrange ar gyfer systemau o'r fath.

Os yw L yn ffwythiant Lagrange ar gyfer y broblem heb gyfyngiad, hafaliadau Lagrange â'r cyfyngiad φ = K yw

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]+\lambda (\mathcal{E}[\phi ]\circ \Gamma [q])=0,\hfill & (1.215)\hfill \end{array}$$

lle mae λ yn ffwythiant o amser a gaiff ei ddileu yn ystod y broses ddatrys. Nid yw'r cysonyn K yn effeithio ar hafaliadau Lagrange. Mae'r ffwythiant φ yn annibynnol ar gyflymder, ∂₂φ = 0, felly daw hafaliadau Lagrange yn

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]-\lambda ({\partial }_1\phi \circ \Gamma [q])=0.\hfill & (1.216)\hfill \end{array}$$

O hafaliad (1.214) gwelwn fod

$$\begin{array}{ll}{\partial }_1\phi ={\partial }_2\psi ,\hfill & (1.217)\hfill \end{array}$$

felly hafaliadau Lagrange â'r cyfyngiad ψ = 0 yw

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]=\lambda ({\partial }_2\psi \circ \Gamma [q]).\hfill & (1.218)\hfill \end{array}$$

Y nodwedd bwysig yw y gallwn ysgrifennu hafaliadau Lagrange yn uniongyrchol yn nhermau ψ heb orfod llunio φ. Ond mae dilysrwydd yr hafaliadau Lagrange hyn yn dibynnu ar fodolaeth φ.

Mae'n troi allan fod tric y ffwythiant Lagrange estynedig yn gweithio yma hefyd. Ceir yr hafaliadau Lagrange hyn os estynnwn y ffwythiant Lagrange drwy ychwanegu'r cyfyngiad ψ wedi'i luosi â ffwythiant o amser λ′:

$$\begin{array}{ll}L\prime =L+\lambda \prime \psi .\hfill & (1.219)\hfill \end{array}$$

Mae hafaliadau Lagrange ar gyfer L′ yn troi allan i fod yn

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]=-D\lambda \prime ({\partial }_2\psi \circ \Gamma [q]),\hfill & (1.220)\hfill \end{array}$$

sydd, o wneud yr uniaethiad λ = −Dλ′, yr un fath â hafaliadau Lagrange (1.218).

Weithiau gellir llunio problem yn naturiol yn nhermau cyfyngiadau sy'n dibynnu ar gyflymder. Bydd y ffurfiadaeth a ddatblygwyd gennym yn trin unrhyw gyfyngiad sy'n dibynnu ar gyflymder y gellir ei ysgrifennu yn nhermau deilliad cyfyngiad ar gyfesurynnau. Gelwir cyfyngiad o'r fath yn gyfyngiad integradwy. Gelwir unrhyw system y gellir rhoi ei chyfyngiadau ar ffurf cyfyngiad ar gyfesurynnau, neu y mae ei chyfyngiadau eisoes ar y ffurf honno, yn system holonomig.

Ymarfer 1.42: Ffwythiant Lagrange estynedig

Dangoswch fod y ffwythiant Lagrange estynedig (1.219) yn arwain yn wir at hafaliadau Lagrange (1.220), gan ystyried y ffaith bod ψ yn ddeilliad amser cyflawn o φ.

Cylch Goldstein

Yma ystyriwn broblem lle gellir cynrychioli'r cyfyngiad fel deilliad amser cyfyngiad ar gyfesurynnau: cylch â màs M a radiws R yn rholio, heb lithro, i lawr plân ar oledd (un dimensiwn) (gweler ffigur 1.10).⁹⁶

Lluniwn y broblem hon yn nhermau'r ddau gyfesuryn θ, cylchdro pwynt mympwyol ar y cylch o gyfeiriad cyfeirio mympwyol, ac x, y symudiad llinol i lawr y plân ar oledd. Y cyfyngiad yw nad yw'r cylch yn llithro. Felly adlewyrchir newid yn θ yn union gan newid yn x; ffwythiant y cyfyngiad yw

$$\begin{array}{ll}\psi (t;x,\theta ;\dot{x},\dot{\theta })=R\dot{\theta }-\dot{x}.\hfill & (1.221)\hfill \end{array}$$

Mynegir y cyfyngiad hwn fel perthynas rhwng cyflymderau cyffredinoledig, ond gellid ei integru i gael x = Rθ + c. Gallwn ffurfio ein ffwythiant Lagrange estynedig naill ai â'r cyfyngiad wedi'i integru neu â'i ddeilliad.

Mae dwy ran i'r egni cinetig: egni cylchdro'r cylch ac egni mudiant ei graidd màs.⁹⁷ Mae egni potensial y cylch yn lleihau wrth i'r uchder leihau. Felly gallwn ysgrifennu'r ffwythiant Lagrange estynedig:

$$\begin{array}{ll}L(t;x,\theta ,\lambda ;\dot{x},\dot{\theta },\lambda )\hfill & \hfill \\ =\frac{1}{2}M{R}^2{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}M{\dot{x}}^2+Mgx\sin \phi +\lambda (R\dot{\theta }-\dot{x}).\hfill & (1.222)\hfill \end{array}$$

Hafaliadau Lagrange yw

$$\begin{array}{ll}M{D}^{2}x-D\lambda =Mg\sin \phi \hfill & (1.223)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}M{R}^2{D}^2\theta +RD\lambda =0\hfill & (1.224)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}RD\theta -Dx=0.\hfill & (1.225)\hfill \end{array}$$

A thrwy ddifferu trydydd hafaliad Lagrange cawn

$$\begin{array}{ll}{D}^{2}x=R{D}^2\theta .\hfill & (1.226)\hfill \end{array}$$

Drwy gyfuno'r hafaliadau hyn gallwn ddatrys ar gyfer y meintiau dynamig sydd o ddiddordeb. Yn achos y cylch rholio hwn, mae'r cyflymiad llinol

$$\begin{array}{ll}{D}^{2}x=\frac{1}{2}g\sin \phi \hfill & (1.227)\hfill \end{array}$$

yn union hanner yr hyn y byddai wedi bod pe bai'r màs wedi llithro i lawr plân heb ffrithiant heb gylchdroi. Sylwch, ar gyfer y cylch hwn, fod D²x yn annibynnol ar M ac R ill dau. Gwelwn o hafaliadau Lagrange y gellir dehongli Dλ fel y grym ffrithiant sy'n gorfodi'r cyfyngiad. Grym ffrithiannol y cyfyngiad yw

$$\begin{array}{ll}D\lambda =\frac{1}{2}Mg\sin \phi \hfill & (1.228)\hfill \end{array}$$

a'r cyflymiad onglaidd yw

$$\begin{array}{ll}{D}^2\theta =\frac{1}{2}\frac{g}{R}\sin \phi .\hfill & (1.229)\hfill \end{array}$$

1.10.3 Systemau Anholonomig

Gelwir systemau â chyfyngiadau nad ydynt yn integradwy yn systemau anholonomig. Nid yw cyfyngiad yn integradwy os na ellir ei ysgrifennu yn nhermau cyfyngiad cyfatebol ar gyfesurynnau. Enghraifft o system anholonomig yw pêl yn rholio heb lithro mewn powlen. Wrth i'r bêl rolio rhaid iddi droi fel nad yw ei harwyneb yn symud mewn perthynas â'r bowlen yn y pwynt cyffwrdd. Mae hyn yn edrych fel pe gallai sefydlu perthynas rhwng lleoliad y bêl yn y bowlen a chyfeiriadedd y bêl, ond nid yw. Gall y bêl ddychwelyd i'r un lle yn y bowlen â chyfeiriadeddau gwahanol yn dibynnu ar y llwybr a ddilynodd yn y cyfamser. O ganlyniad, ni ellir defnyddio'r cyfyngiadau i ddileu unrhyw gyfesurynnau.

Beth yw'r hafaliadau mudiant sy'n llywodraethu systemau anholonomig? Ar gyfer y dosbarth cyfyngedig o systemau â chyfyngiadau anholonomig sy'n llinol yn y cyflymderau, dywedir yn aml⁹⁸ fod yr hafaliadau mudiant fel a ganlyn. Boed ψ o'r ffurf

$$\begin{array}{ll}\psi (t,q,v)=G_1(t,q)v+G_2(t,q),\hfill & (1.230)\hfill \end{array}$$

ffwythiant cyflwr sy'n llinol yn y cyflymderau. Tybiwn nad yw ψ yn ddeilliad amser cyflawn. Os yw L yn ffwythiant Lagrange ar gyfer y system heb gyfyngiad, yna haerir mai'r hafaliadau mudiant yw

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]=\lambda (G_1\circ \Gamma [q])=\lambda ({\partial }_2\psi \circ \Gamma [q]).\hfill & (1.231)\hfill \end{array}$$

Gyda'r cyfyngiad ψ = 0, mae'r system wedi'i phennu'n llwyr ac mae esblygiad y system wedi'i bennu. Sylwch fod yr hafaliadau hyn yn union yr un fath â hafaliadau Lagrange (1.218) ar gyfer yr achos lle mae ψ yn ddeilliad amser cyflawn, ond yma nid yw deilliad yr hafaliadau hynny yn ddilys bellach.

Cam hanfodol wrth ddeillio hafaliadau Lagrange ar gyfer cyfyngiadau ar gyfesurynnau φ = 0 gyda ∂₂φ = 0 oedd sylwi bod yn rhaid bodloni dau amod:

$$(\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q])\eta =0,\hfill & (1.232)\hfill \end{array}$$

a

$$(\begin{array}{ll}{\partial }_1\phi \circ \Gamma [q])\eta =0.\hfill & (1.233)\hfill \end{array}$$

Gan fod $\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]$ yn orthogonal i η a bod η wedi'i gyfyngu i fod yn orthogonal i ∂₁φ ∘ Γ[q], rhaid i'r ddau fod yn baralel ar bob moment:

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]=\lambda ({\partial }_1\phi \circ \Gamma [q]).\hfill & (1.234)\hfill \end{array}$$

Deilliwyd hafaliadau Lagrange ar gyfer cyfyngiadau deilliad o hyn.

Nid yw'r deilliad hwn yn gweithio os yw ffwythiant y cyfyngiad yn dibynnu ar gyflymder. Yn yr achos hwn, er mwyn i amrywiad η fod yn gyson â ffwythiant y cyfyngiad sy'n dibynnu ar gyflymder ψ, rhaid iddo fodloni (gweler hafaliad 1.185)

$$\begin{array}{ll}({\partial }_1\psi \circ \Gamma [q])\eta +({\partial }_2\psi \circ \Gamma [q])D\eta =0.\hfill & (1.235)\hfill \end{array}$$

Ni allwn bellach ddileu η drwy'r un ddadl, oherwydd nad yw η bellach yn orthogonal i ∂₁ψ ∘ Γ[q], ac ni allwn ailysgrifennu'r cyfyngiad fel cyfyngiad ar gyfesurynnau oherwydd, yn ôl y dybiaeth, nad yw ψ yn integradwy.

Mae'r canlynol yn ddeilliad yr hafaliadau anholonomig o Arnold et al. [6], wedi'i drosi i'n nodiant ni. Diffiniwch “gyflymder rhithwir” ξ fel unrhyw gyflymder sy'n bodloni

$$(\begin{array}{ll}{\partial }_2\psi \circ \Gamma [q])\xi =0.\hfill & (1.236)\hfill \end{array}$$

Mae “egwyddor d'Alembert–Lagrange”, yn ôl Arnold, yn datgan bod

$$\begin{array}{ll}(\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q])\xi =0,\hfill & (1.237)\hfill \end{array}$$

ar gyfer unrhyw gyflymder rhithwir ξ. Gan fod ξ yn fympwyol heblaw am y gofyniad iddo fod yn orthogonal i ∂₂ψ ∘ Γ[q] a bod unrhyw ξ o'r fath yn orthogonal i $\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]$, yna rhaid i ∂₂ψ ∘ Γ[q] fod yn baralel i $\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]$. Felly

$$\begin{array}{ll}\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]=\lambda ({\partial }_2\psi \circ \Gamma [q]),\hfill & (1.238)\hfill \end{array}$$

sef yr hafaliadau anholonomig.

I drosi hafaliadau'r weithred arhosol i hafaliadau Arnold rhaid inni wneud y canlynol. I fynd o hafaliad (1.232) i hafaliad (1.237), rhaid inni amnewid η am ξ. Fodd bynnag, i fynd o hafaliad (1.235) i hafaliad (1.236), rhaid inni osod η = 0 ac amnewid Dη am ξ. Mae gan bob “deilliad” o'r hafaliadau anholonomig uniaethiadau tebyg. Dyma hanfod y mater: nid yw'r hafaliadau anholonomig yn dilyn o egwyddor y weithred. Maent yn rhywbeth arall. Mae a ydynt yn gywir ai peidio yn dibynnu ar a ydynt yn cytuno ag arbrawf ai peidio.

Ar gyfer systemau â chyfyngiadau ar gyfesurynnau neu gyfyngiadau deilliad, rydym wedi canfod y gellir deillio hafaliadau Lagrange o ffwythiant Lagrange a estynnir drwy ychwanegu'r cyfyngiad. Fodd bynnag, os nad yw'r cyfyngiadau yn integradwy, nid yw hafaliadau Lagrange y ffwythiant Lagrange estynedig yr un fath â'r system anholonomig (hafaliadau 1.231).⁹⁹ Boed L′ yn ffwythiant Lagrange estynedig â chyfyngiad anintegradwy ψ:

$$\begin{array}{ll}L\prime (t;q,\lambda ;\dot{q},\dot{\lambda })=L(t,q,\dot{q})+\lambda \psi (t,q,\dot{q});\hfill & (1.239)\hfill \end{array}$$

yna hafaliadau Lagrange sy'n gysylltiedig â'r cyfesurynnau yw

$$\begin{array}{ll}0=\mathcal{E}[L]\circ \Gamma [q]\hfill & \hfill \\ +D\lambda ({\partial }_2\psi \circ \Gamma [q])+\lambda D({\partial }_2\psi \circ \Gamma [q])-\lambda ({\partial }_1\psi \circ \Gamma [q]).\hfill & (1.240)\hfill \end{array}$$

Yr hafaliad Lagrange sy'n gysylltiedig â λ yw hafaliad y cyfyngiad yn unig

$$\begin{array}{ll}\psi \circ \Gamma [q]=0.\hfill & (1.241)\hfill \end{array}$$

Un nodwedd ddiddorol o'r hafaliadau hyn yw eu bod yn cynnwys λ a Dλ ill dau. Felly nid yw'r newidynnau cyflwr arferol q a Dq, ynghyd â'r cyfyngiad, yn ddigonol i bennu set lawn o amodau cychwynnol ar gyfer yr hafaliadau Lagrange a ddeilliwyd; mae angen inni bennu gwerth cychwynnol ar gyfer λ hefyd.

Yn gyffredinol, ar gyfer unrhyw system ffisegol benodol, nid yw hafaliadau (1.231) a (1.240) yr un fath, ac mewn gwirionedd mae ganddynt ddatrysiadau gwahanol. Nid yw'n amlwg bod y naill set o hafaliadau na'r llall yn modelu'r system ffisegol yn gywir. Ni ellir cyfiawnhau'r dull cyntaf o drin systemau anholonomig drwy ymestyn y dadleuon ar gyfer yr achos holonomig, ac nid yw'r llall wedi'i bennu'n llwyr. Efallai fod hyn yn dangos bod y modelau'n annigonol, a bod angen pennu mwy o fanylion ynghylch sut y cynhelir y cyfyngiadau.

1.11 Crynodeb

I ddadansoddi system fecanyddol lluniwn ffwythiant gweithred sy'n rhoi ffordd inni wahaniaethu rhwng mudiannau gwireddadwy a mudiannau dychmygol eraill y system. Llunnir y ffwythiant gweithred fel ei fod yn arhosol mewn perthynas ag amrywiadau yn y llwybr dim ond ar lwybrau sy'n disgrifio mudiannau gwireddadwy. Dyma egwyddor y weithred arhosol. Mae egwyddor y weithred arhosol yn pennu'r llwybrau gwireddadwy mewn ffordd sy'n annibynnol ar gyfesurynnau. Ar gyfer systemau â chyfyngiadau neu hebddynt, gallwn ddewis unrhyw system gyfesurynnau sy'n pennu ffurfwedd y system yn unigryw.

Integryn ffwythiant, y ffwythiant Lagrange, ar hyd y llwybr yw gweithred. Ar gyfer llawer o systemau, ffwythiant Lagrange priodol yw'r gwahaniaeth rhwng egni cinetig ac egni potensial y system. Nid yw'r dewis o ffwythiant Lagrange ar gyfer system yn unigryw.

Ar gyfer unrhyw system y mae gennym weithred Lagrange ar ei chyfer gallwn lunio system o hafaliadau differol cyffredin, sef hafaliadau Lagrange, a fodlonir gan unrhyw lwybr gwireddadwy. Mae'r dull o ddeillio hafaliadau Lagrange o'r ffwythiant Lagrange yn annibynnol ar y system gyfesurynnau a ddefnyddir i lunio'r ffwythiant Lagrange. Un rhyddid sydd gennym wrth lunio yw bod ychwanegu deilliad amser cyflawn at ffwythiant Lagrange system yn rhoi ffwythiant Lagrange arall sydd â'r un hafaliadau Lagrange.

Set o hafaliadau differol cyffredin yw hafaliadau Lagrange: ceir cyflwr meidraidd sy'n crynhoi hanes y system ac sy'n ddigonol i bennu'r dyfodol. Ceir gweithdrefn effeithiol ar gyfer esblygu mudiant y system o gyflwr ar un amrantiad. Ar gyfer llawer o systemau pennir y cyflwr gan y cyfesurynnau a chyfradd newid y cyfesurynnau ar un amrantiad.

Os oes cymesureddau di-dor mewn system ffisegol ceir meintiau a gedwir sy'n gysylltiedig â hwy. Os gellir llunio'r system fel bod y cymesureddau'n ymddangos fel cyfesurynnau coll yn y ffwythiant Lagrange, yna ceir momenta a gedwir sy'n gyfiau i'r cyfesurynnau hynny. Os yw'r ffwythiant Lagrange yn annibynnol ar amser yna ceir egni a gedwir.

1.12 Prosiectau

Ymarfer 1.43: Ymchwiliad rhifiadol

Ystyriwch bendil: màs m wedi'i gynnal ar roden ddi-fàs â hyd l mewn maes disgyrchiant unffurf. Ffwythiant Lagrange ar gyfer y pendil yw

$L(t,\theta ,\dot{\theta })=\frac{m}{2}{(l\dot{\theta })}^2+mgl\cos \theta .$

Ar gyfer y pendil, mae cyfnod y mudiant yn dibynnu ar yr osgled. Dymunwn ganfod taflwybrau'r pendil ag amledd penodol. Ceir tri dull o wneud hyn: (1) datrys drwy egwyddor y weithred leiaf, (2) integru hafaliad Lagrange yn rhifiadol, a (3) datrysiad dadansoddol (sy'n gofyn am rywfaint o gyfarwyddyd â ffwythiannau eliptig). Byddwn yn cyflawni'r tri ac yn cymharu'r taflwybrau datrysiad.

Ystyriwch y paramedrau m = 1 kg, l = 1 m, g = 9.8 m s⁻². Amledd osgiliadau ag osgled bach yw ${\omega }_0=\sqrt{g/l}$. Gadewch inni ganfod y datrysiad nad yw'n ddibwys sydd â'r amledd ${\omega }_1=\frac{4}{5}{\omega }_0$.

a. Mae'r ongl yn gyfnodol mewn amser, felly mae cynrychioliad gan gyfres Fourier yn briodol. Gallwn ddewis tarddbwynt amser fel bod croesiad sero'r ongl ar amser sero. Gan fod y potensial yn eilrif yn yr ongl, mae'r ongl yn ffwythiant odrif o amser. Felly dim ond cyfres sin sydd ei hangen. Gan fod yr ongl yn dychwelyd i sero ar ôl hanner cyfnod, mae'r ongl yn ffwythiant odrif o amser o amgylch y canolbwynt. Felly dim ond termau odrif y gyfres sy'n bresennol:

$\theta (t)={\displaystyle \sum _{n=1}^m{A}_n\sin ((2n-1){\omega }_{1}t).}$

Osgled y taflwybr yw $A={\theta }_{\max }={\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{A}_n}$.

Canfyddwch frasamcanion o'r ychydig gyfernodau cyntaf A_n drwy leihau'r weithred. Bydd yn rhaid ichi ysgrifennu rhaglen debyg i'r weithdrefn find-path yn adran 1.4. Gwyliwch: mae mwy nag un taflwybr sy'n gwneud y weithred yn lleiaf.

b. Ysgrifennwch raglen i integru hafaliadau Lagrange ar gyfer taflwybrau'r pendil yn rhifiadol. Y drafferth â defnyddio integru rhifiadol i ddatrys y broblem hon yw nad ydym yn gwybod sut mae amledd y mudiant yn dibynnu ar yr amodau cychwynnol. Felly mae'n rhaid inni ddyfalu, ac yna wella ein dyfaliad yn raddol. Diffiniwch ffwythiant $\Omega (\dot{\theta })$ sy'n cyfrifo amledd y mudiant yn rhifiadol fel ffwythiant o'r cyflymder onglaidd cychwynnol (gyda θ = 0). Canfyddwch y taflwybr drwy ddatrys $\Omega (\dot{\theta })=\omega$ ar gyfer cyflymder onglaidd cychwynnol y taflwybr a ddymunir. Ymhlith y dulliau o ddatrys yr hafaliad hwn mae haneru olynol, lleihau sgwâr y gweddill, ac ati—dewiswch un.

c. Nawr gadewch inni lunio'r datrysiad dadansoddol ar gyfer yr amledd fel ffwythiant o'r osgled. Yn syml, cyfnod y mudiant yw

$T=4{\displaystyle {\int }_0^{T/4}dt=4}{\displaystyle {\int }_0^A\frac{1}{\dot{\theta }}}d\theta .$

Gan ddefnyddio'r egni, datryswch ar gyfer $\dot{\theta }$ yn nhermau'r osgled A a θ i ysgrifennu'r integryn gofynnol yn benodol. Gellir ysgrifennu'r integryn hwn yn nhermau ffwythiannau eliptig, ond mewn rhyw ystyr nid yw hyn yn datrys y broblem—mae'n rhaid inni gyfrifo'r ffwythiannau eliptig o hyd. Gadewch inni osgoi'r daith hon i ffwythiannau eliptig a chyfrifo'r integryn yn rhifiadol yn unig gan ddefnyddio'r weithdrefn definite-integral. Mae gennym o hyd y broblem y gallwn bennu'r osgled A a chael yr amledd; i ddatrys ein problem mae angen inni ddatrys y broblem wrthdro, ond gellir gwneud hynny fel yn rhan b.

Ymarfer 1.44: Ymddygiad pendil dwbl

Ystyriwch y pendil dwbl delfrydol a ddangosir yn ffigur 1.11.

a. Lluniwch ffwythiant Lagrange i ddisgrifio'r ddeinameg. Deilliwch yr hafaliadau mudiant yn nhermau'r onglau a roddir θ₁ a θ₂. Rhowch yr hafaliadau ar ffurf sy'n briodol ar gyfer integru rhifiadol. Tybiwch y paramedrau system canlynol:

g	=	9.8 m s−2
l1	=	1.0 m
l2	=	0.9 m
m1	=	1.0 kg
m2	=	3.0 kg

b. Paratowch graffiau sy'n dangos ymddygiad pob ongl fel ffwythiant o amser pan gychwynnir y system â'r amodau cychwynnol canlynol:

θ1(0)	=	π/2 rad
θ2(0)	=	π rad
${\dot{\theta }}_1(0)$	=	0 rad s−1
${\dot{\theta }}_2(0)$	=	0 rad s−1

Gwnewch i'r graffiau ymestyn i 50 eiliad.

c. Gwnewch graff o ymddygiad egni eich system fel ffwythiant o amser. Dylai'r egni gael ei gadw. Pa mor dda yw'r gadwraeth a gawsoch?

d. Lluniwch ffwythiant Lagrange newydd ar gyfer dau bendil dwbl unfath heb eu cyplysu. (Dylai fod gan y ddau bendil yr un masau a hydoedd.) Dylai fod gan eich ffwythiant Lagrange newydd bedair gradd rhyddid. Rhowch amodau cychwynnol un pendil yr un fath ag yn arbrawf rhan b a rhowch amodau cychwynnol y pendil arall â'r belen m₂ 10⁻¹⁰ m yn uwch nag o'r blaen. Bydd mudiannau'r ddau bendil yn ymwahanu wrth i amser fynd rhagddo. Plotiwch logarithm gwerth absoliwt y gwahaniaeth rhwng safleoedd y peli m₂ yn eich dau bendil yn erbyn amser. Beth a welwch?

e. Ailadroddwch y gymhariaeth flaenorol, ond y tro hwn defnyddiwch yr amodau cychwynnol sylfaenol:

θ1(0)	=	π/2 rad
θ2(0)	=	0 rad
${\dot{\theta }}_1(0)$	=	0 rad s−1
${\dot{\theta }}_2(0)$	=	0 rad s−1

Beth a welwch yma?

¹Mae pwynt arhosol ffwythiant yn bwynt lle nad yw gwerth y ffwythiant yn amrywio wrth i'r mewnbwn amrywio. Pwyntiau arhosol yw uchafsymiau neu isafsymiau lleol.

²Mae'r ffurfiad amrywiadol yn disgrifio'n llwyddiannus holl fecaneg Newtonaidd gronynnau a chyrff anhyblyg. Mae'r ffurfiad amrywiadol hefyd wedi'i gymhwyso'n ddefnyddiol i ddisgrifio llawer o systemau eraill megis electrodynameg glasurol, dynameg hylifau di-gludedd, a dylunio mecanweithiau megis cysylltiadau pedair bar. Yn ogystal, mae ffurfiadau modern mecaneg cwantwm a damcaniaeth maes cwantwm yn adeiladu ar lawer o'r un cysyniadau. Fodd bynnag, ymddengys nad oes gan bob system ddynamig ffurfiad amrywiadol. Er enghraifft, nid oes rheol syml ar gyfer cymhwyso'r offer amrywiadol i systemau â gwasgariad egni, er y gellir dal i ddefnyddio dulliau amrywiadol mewn achosion arbennig.

³Cyfeiriwn yn aml at ronyn pwynt â màs ond heb strwythur mewnol fel màs pwynt.

⁴A bod yn fanwl gywir, nid yw dimensiwn y gofod ffurfweddau a nifer y graddau rhyddid yr un fath. Nifer y graddau rhyddid yw dimensiwn gofod y ffurfweddau sy'n “hygyrch yn lleol”. Ar gyfer systemau â chyfyngiadau integradwy mae'r ddau yr un fath. Ar gyfer systemau â chyfyngiadau anintegradwy gall dimensiwn y ffurfwedd fod yn fwy na nifer y graddau rhyddid. Am eglurhad pellach gweler y drafodaeth ar systemau â chyfyngiadau anintegradwy yn adran 1.10.3. Ar wahân i'r drafodaeth honno, mae gan bob system a ystyriwn gyfyngiadau integradwy (maent yn “holonomig”). Dyma pam rydym wedi dewis peidio â gwahaniaethu'n fanwl rhwng nifer y graddau rhyddid a dimensiwn y gofod ffurfweddau.

⁵Rhestr drefnedig o elfennau yw twpled. Gall elfen ei hun fod yn dwpled.

⁶Mae twpled o ffwythiannau sydd i gyd â'r un parth ei hun yn ffwythiant ar y parth hwnnw: o gael pwynt yn y parth, gwerth y twpled o ffwythiannau yw twpled gwerthoedd y ffwythiannau cydrannol yn y pwynt hwnnw.

⁷Mae defnyddio uwchysgrifau i fynegeio cydrannau'r cyfesurynnau yn draddodiadol, er bod posibilrwydd o ddryswch ag esbonyddion. Defnyddiwn fynegeio sy'n dechrau â sero.

⁸Yn fwy manwl gywir, mae'r cyfesurynnau cyffredinoledig yn uniaethu is-setiau agored o'r gofod ffurfweddau ag is-setiau agored o Rⁿ. Gall fod angen mwy nag un set o gyfesurynnau cyffredinoledig i orchuddio'r gofod ffurfweddau cyfan. Er enghraifft, os yw'r gofod ffurfweddau yn sffêr dau ddimensiwn, gallem gael un set o gyfesurynnau sy'n mapio (ychydig yn fwy na) hemisffer y gogledd i ddisg, a set arall sy'n mapio (ychydig yn fwy na) hemisffer y de i ddisg, gyda stribed ger y cyhydedd yn gyffredin i'r ddwy system gyfesurynnau. Gelwir gofod y gellir ei baramedreiddio'n lleol gan ffwythiannau cyfesurynnau llyfn yn faniffold differadwy.

⁹Yma mae ∘ yn dynodi cyfansoddiad ffwythiannau: (f ∘ g)(t) = f(g(t)).

¹⁰Ffwythiant yw deilliad ffwythiant f, a ddynodir gan Df. Ein confensiwn nodiant yw bod D yn weithredydd â blaenoriaeth uchel. Felly mae D yn gweithredu ar y ffwythiant cyfagos cyn i unrhyw gymhwysiad arall ddigwydd: mae Df(x) yr un fath â (Df)(x).

¹¹Mae profiad â systemau ar raddfa atomig yn awgrymu nad yw systemau ar y raddfa hon yn teithio ar hyd llwybrau ffurfwedd wedi'u diffinio'n dda. I ddisgrifio esblygiad systemau ar raddfa atomig defnyddiwn fecaneg cwantwm. Yma, cyfyngwn ein sylw i systemau y mae eu mudiant wedi'i ddisgrifio'n dda gan lwybr ffurfwedd llyfn.

¹²Ni all allosod orbit y Lleuad yn ôl mewn amser bennu'r pwynt pan gafodd ei gosod ar y taflwybr hwn. I bennu tarddiad y Lleuad rhaid inni ategu tystiolaeth ddynamig â thystiolaeth ffisegol arall megis cyfansoddiadau cemegol.

¹³Amheuwn y gellir datblygu'r ddadl hon yn gyfyngiad manwl gywir ar y ffyrdd posibl o lunio'r ffwythiant hwn sy'n gwahaniaethu rhwng llwybrau.

¹⁴Yn hanesyddol, Huygens oedd y cyntaf i ddefnyddio'r term “gweithred” mewn mecaneg, gan gyfeirio at “effaith mudiant”. Syniad a ddaeth oddi wrth y Groegiaid yw hwn. Yn ei lawysgrif “Dynamica” (1690) datganodd Leibniz “Egwyddor y Weithred Leiaf” gan ddefnyddio'r “weithred ddiniwed”, sef lluoswm y màs, y cyflymder, a phellter y mudiant. Soniodd Leibniz hefyd am “weithred dreisgar” pan oedd pethau'n gwrthdaro.

¹⁵Ysgrifennir integryn pendant ffwythiant f â gwerthoedd real ac arg real fel ${\displaystyle {\int }_a^{b}f}$. Gellir hefyd ysgrifennu hwn fel ${\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)dx$. Mae'r nodiant cyntaf yn pwysleisio mai ffwythiant sy'n cael ei integru.

¹⁶Yn draddodiadol, rhoddir cromfachau sgwâr o amgylch argiau sy'n ffwythiannau. Yn yr achos hwn, mae'r cromfachau sgwâr yn ein hatgoffa y gall gwerth S ddibynnu ar y ffwythiant q mewn ffyrdd cymhleth, megis drwy ei ddeilliadau.

¹⁷Yn achos ffwythiant â gwerthoedd real, gellir defnyddio gwerth y ffwythiant a'i ddeilliadau mewn rhyw bwynt i lunio cyfres bwerau. Ar gyfer ffwythiannau digon rheolaidd (dadansoddol real), mae'r gyfres bwerau a luniwyd fel hyn yn cydgyfeirio mewn rhyw gyfwng sy'n cynnwys y pwynt. Ni ellir cynrychioli pob ffwythiant yn lleol fel hyn. Er enghraifft, mae'r ffwythiant f(x) = exp(−1/x²), gyda f(0) = 0, yn sero ac mae ei holl ddeilliadau'n sero yn x = 0, ond nid yw'r nifer anfeidraidd hwn o ddeilliadau yn ddigonol i bennu gwerth y ffwythiant mewn unrhyw bwynt arall.

¹⁸Yn ein nodiant mae cymhwyso ffwythiant sy'n dibynnu ar lwybr i'w lwybr yn cael blaenoriaeth uwch na'r cyfansoddiad, felly L ∘ Γ[q] = L ∘ (Γ[q]).

¹⁹Byddwn yn darganfod yn ddiweddarach fod rhan gychwynnol o'r twpled lleol yn ddigonol i bennu esblygiad y system yn y dyfodol. Mae'r ffaith bod ffurfwedd a nifer meidraidd o ddeilliadau yn pennu'r dyfodol yn golygu bod ffordd o bennu holl weddill deilliadau'r llwybr o'r rhan gychwynnol.

²⁰Mae'r ffwythiant Lagrange clasurol yn chwarae rhan sylfaenol yn ffurfiad integryn llwybr mecaneg cwantwm (sy'n deillio o Dirac a Feynman), lle mae esbonyddol cymhlyg y weithred glasurol yn rhoi'r osgled tebygolrwydd cymharol ar gyfer llwybr. Y ffwythiant Lagrange yw man cychwyn ffurfiad Hamilton o fecaneg (a drafodir ym mhennod 3), sydd hefyd yn hanfodol yn ffurfiadau Schrödinger a Heisenberg o fecaneg cwantwm ac yn null Boltzmann–Gibbs o fecaneg ystadegol.

²¹Daw'r egwyddor yn “egwyddor y weithred leiaf” os yw'r llwybr yn ddigon byr. Yn yr achos mwy cyffredinol mae'r weithred yn arhosol. Defnyddir y term “egwyddor y weithred leiaf” yn gyffredin hefyd i gyfeirio at ganlyniad, sy'n deillio o Maupertuis, Euler, a Lagrange, sy'n dweud bod gronynnau rhydd yn symud ar hyd llwybrau lle mae integryn yr egni cinetig yn lleiaf ymhlith pob llwybr â'r pwyntiau terfyn a roddir. Yn gyfatebol, defnyddir y term “gweithred” weithiau i gyfeirio'n benodol at integryn yr egni cinetig. (Mewn gwirionedd, defnyddiodd Euler a Lagrange y vis viva, neu ddwywaith yr egni cinetig.)

²²Mae ffyrdd eraill o ddatgan egwyddor y weithred arhosol yn gwneud iddi swnio'n deleolegol ac yn ddirgel. Er enghraifft, gellid dychmygu bod y system yn ystyried pob llwybr posibl o'i ffurfwedd gychwynnol i'w ffurfwedd derfynol ac yna'n dewis yr un â'r weithred leiaf. Yn wir, chwaraeodd y weledigaeth sylfaenol o fydysawd pwrpasol, cynnil, a rhesymegol ran sylweddol yn yr ystyriaethau athronyddol a oedd yn cyd-fynd â datblygiad cychwynnol mecaneg. Yr egwyddor weithred gynharaf sy'n parhau'n rhan o ffiseg fodern yw egwyddor Fermat, sy'n datgan mai'r llwybr a deithir gan belydr golau rhwng dau bwynt yw'r llwybr sy'n cymryd y lleiaf o amser. Lluniodd Fermat yr egwyddor hon tua 1660 a'i defnyddio i ddeillio deddfau adlewyrchiad a phlygiant. Wedi'i ysgogi gan hyn, datganodd y mathemategydd a'r seryddwr Ffrengig Pierre-Louis Moreau de Maupertuis egwyddor y weithred leiaf fel egwyddor unedig fawreddog mewn ffiseg. Yn ei Essai de cosmologie (1750) apeliodd Maupertuis at yr egwyddor hon o “gynildeb ym myd natur” fel tystiolaeth o fodolaeth Duw, gan haeru ei bod yn dangos “bwriad Duw i reoleiddio ffenomenau ffisegol drwy egwyddor gyffredinol o'r perffeithrwydd uchaf”. Am bersbectif hanesyddol ar rolau Maupertuis, Euler, a Lagrange wrth lunio egwyddor y weithred leiaf, gweler [28].

²³Ar gyfer adlewyrchiad mae'r ongl drawiad yn hafal i'r ongl adlewyrchiad. Disgrifir plygiant gan ddeddf Snell: pan fo golau'n pasio o un cyfrwng i un arall, mae cymhareb sinau'r onglau a wneir â'r normal i'r rhyngwyneb yn wrthdro cymhareb mynegrifau plygiant y cyfryngau. Y mynegrif plygiant yw cymhareb buanedd golau mewn gwactod â buanedd golau yn y cyfrwng.

²⁴Yma rydym yn diffinio ffwythiant. Mae diffiniad yn pennu gwerth y ffwythiant ar gyfer paramedrau ffurfiol a ddewisir yn fympwyol. Gellir newid enw paramedr ffurfiol, cyn belled nad yw'r enw newydd yn gwrthdaro ag unrhyw symbol arall yn y diffiniad. Er enghraifft, mae'r diffiniad canlynol yn pennu union yr un ffwythiant Lagrange ar gyfer y gronyn rhydd:

$L(a,b,c)=\frac{1}{2}m(c·c).$

²⁵Yn ffurfiol mae'r ffwythiant Lagrange yn ffwythiant o'r twpled lleol, ond mae unrhyw ffwythiant Lagrange penodol yn dibynnu ar ran gychwynnol feidraidd o'r twpled lleol yn unig. Diffiniwn ffwythiannau twpledi lleol drwy ddatgan enwau'n benodol ar gyfer elfennau'r rhan gychwynnol o'r twpled lleol sy'n cynnwys yr elfennau y mae'r ffwythiant yn dibynnu arnynt.

²⁶ Cynrychiolwn y twpled lleol fel strwythur data cyfansawdd, a'i gydrannau yw'r amser, y cyfesurynnau cyffredinoledig, y cyflymderau cyffredinoledig, ac o bosibl ddeilliadau uwch. Nid ydym am orfod poeni am fanylion pacio a dadbacio'r cydrannau yn y strwythurau hyn, felly darparwn gyfleustodau i wneud hyn.

²⁷Byddwch yn ofalus. Nid yw'r x yn y diffiniad o q yr un fath â'r x a ddefnyddiwyd fel paramedr ffurfiol yn y diffiniad o ffwythiant Lagrange y gronyn rhydd uchod. Dim ond hyn a hyn o lythrennau sydd yn yr wyddor, felly mae'n rhaid inni eu hailddefnyddio. Byddwn yn ofalus i nodi lle rhoddir ystyron newydd i symbolau.

²⁸Gwneir twpled o gydrannau cyfesurynnau neu gyflymderau â'r weithdrefn up. Cydran i y twpled q yw (ref q i). Mae pob mynegeio'n dechrau â sero. Mae'r gair up i'n hatgoffa bod y cydrannau hyn yn cael eu mynegeio ag uwchysgrifau mewn nodiant mathemategol. Ceir hefyd dwpledi down o gydrannau a fynegeir ag isysgrifau. Gweler yr atodiad ar nodiant.

Defnyddir yr adeiladydd up hefyd i becynnu'r amser, y cyfesurynnau, a'r cyflymderau mewn strwythur data sy'n cynrychioli twpled lleol. Mae'r detholwyr time, coordinate, a velocity yn tynnu'r darnau priodol o'r strwythur lleol. Mae'r weithdrefn time yr un fath â'r weithdrefn (component 0), ac yn yr un modd mae coordinate yn (component 1) ac mae velocity yn (component 2).

²⁹Mae deilliadau ffwythiannau yn rhoi ffwythiannau. Er enghraifft, ((D cube) 2) => 12 a ((D cube) 'a) => (_* 3 (expt a 2)).

³⁰Er bod Γ yn cynhyrchu twpled lleol o hyd mympwyol, dim ond y tair elfen gyntaf a gynhyrchir yn ddiofyn gan ein gweithdrefn Gamma. Os oes angen twpled lleol hirach, gellir rhoi hyd y twpled gofynnol i Gamma fel arg ychwanegol.

³¹Yn ein system, mae gweithredyddion rhifyddol yn generig dros fynegiadau symbolaidd yn ogystal â gwerthoedd rhifiadol; gall gweithdrefnau rhifyddol weithio'n unffurf â rhifau neu fynegiadau. Er enghraifft, o gael y weithdrefn (define (cube x) (_* x x x)) gallwn gael ei gwerth ar gyfer rhif (cube 2) => 8 neu ar gyfer symbol llythrennol (cube 'a) => (_* a a a).

³²Ar gyfer mynegiadau cymhleth iawn mae nodiant rhagddodiadol Scheme yn aml yn well, ond mae symleiddio bron bob amser yn ddefnyddiol. Gallwn wahanu swyddogaethau symleiddio a dangos mewn nodiant mewnosodedig. Gwelwn enghreifftiau o hyn yn ddiweddarach.

³³Mae Scmutils yn cynnwys amrywiaeth o weithdrefnau integru rhifiadol. Cyfrifwyd yr enghreifftiau yn yr adran hon drwy allosod fformiwlâu Euler–MacLaurin â ffwythiannau cymarebol, gyda goddefiant gwall cymharol o 10⁻¹⁰.

³⁴Ar gyfer sefyllfa ffisegol wirioneddol byddai'n rhaid inni bennu unedau ar gyfer y meintiau hyn, ond yn yr enghraifft hon gadawn hwy heb eu pennu.

³⁵Yma defnyddiwn rifolion â phwyntiau degol i bennu'r paramedrau. Mae hyn yn gorfodi'r cynrychioliadau i fod yn rhai pwynt arnofiol, sy'n effeithlon ar gyfer cyfrifo rhifiadol. Os bwriedir gwneud algebra symbolaidd mae'n hanfodol bod y rhifau'n gyfanrifau union neu'n ffracsiynau cymarebol, fel y gellir lleihau mynegiadau'n ddibynadwy i'w ffurf symlaf. Pennir rhifau o'r fath heb bwynt degol.

³⁶Sgwâr maint y cyflymder yw $\overrightarrow{v}·\overrightarrow{v}$, lluoswm dot y fector cyflymder ag ef ei hun, felly ysgrifennwn yn syml v² = v · v.

³⁷Sylwch ein bod yn gwneud rhifyddeg ar ffwythiannau. Estynnwn y gweithrediadau rhifyddol fel bod cyfuno dau ffwythiant o'r un math (yr un parthau ac amrediadau) yn rhoi'r ffwythiant ar yr un parth sy'n cyfuno gwerthoedd y ffwythiannau arg yn yr amrediad. Er enghraifft, os yw f a g yn ffwythiannau o t, yna fg yw'r ffwythiant t ↦ f(t)g(t). Lluosrif cyson ffwythiant yw'r ffwythiant y mae ei werth yn hafal i'r cysonyn wedi'i luosi â gwerth y ffwythiant ar gyfer pob arg: cf yw'r ffwythiant t ↦ cf(t).

³⁸Sylwch ein bod yn adio gweithdrefnau. Yn gyfochrog â'n hestyniad o weithrediadau rhifyddol i ffwythiannau, estynnir gweithrediadau rhifyddol i weithdrefnau cydnaws.

³⁹Yr argiau i minimize yw gweithdrefn sy'n gweithredu'r ffwythiant un newidyn dan sylw, a ffiniau isaf ac uchaf yr ardal i'w chwilio. Mae Scmutils yn cynnwys dewis o ddulliau lleihau rhifiadol; yr un a ddefnyddir yma yw algorithm Brent, â goddefiant gwall o 10⁻⁵. Y gwerth a ddychwelir gan minimize yw rhestr o dri rhif: y cyntaf yw'r arg lle cafwyd yr isafswm, yr ail yw'r isafswm a gafwyd, a'r trydydd yw nifer iteriadau'r algorithm lleihau a oedd eu hangen i gael yr isafswm.

⁴⁰Ydy, mae -1.5987211554602254e-14 yn sero o fewn y goddefiant a fynnir gan y lleihäwr. A gellir dadlau bod 435.0000000000237 yr un fath â'r 435 a gafwyd o'r blaen.

⁴¹Mae llawer o ffyrdd da o lunio set barametrig o'r fath o daflwybrau bras. Gellid defnyddio sbleiniau neu bolynomialau rhyngosod trefn uwch; gellid defnyddio polynomialau Chebyshev; gellid defnyddio cydrannau Fourier. Mae'r dewis yn dibynnu ar y mathau o daflwybrau y dymunir eu brasamcanu.

⁴³Y lleihäwr a ddefnyddir yma yw dull simplecs disgynnol Nelder–Mead. Fel sy'n arferol â gweithdrefnau rhifiadol, mae'r rhyngwyneb i'r weithdrefn nelder-mead yn gymhleth, â llawer o baramedrau dewisol i adael i'r defnyddiwr reoli gwallau'n effeithiol. Ar gyfer y cyflwyniad hwn rydym wedi arbenigo nelder-mead drwy ei lapio yn y weithdrefn haws ei defnyddio multidimensional-minimize. Yn anffodus, ryw ddydd bydd yn rhaid ichi ddysgu byw gyda gweithdrefnau rhifiadol cymhleth.

⁴⁴Peidiwch â phoeni. Gwyddom nad ydych eto'n gwybod pam mai hwn yw'r ffwythiant Lagrange cywir. Byddwn yn cyrraedd hyn yn adran 1.6.

⁴⁵Diffinnir sgwâr strwythur o gydrannau fel swm sgwariau'r cydrannau unigol.

⁴⁶Yn ôl confensiwn, mae gan gysonion a enwir enwau sy'n dechrau â cholon. Y cysonion a enwir :pi a :-pi yw'r hyn y byddem yn ei ddisgwyl o'u henwau.

⁴⁷Mae deilliad neu ddeilliad rhannol ffwythiant sy'n cymryd argiau strwythuredig yn ffwythiant newydd sy'n cymryd yr un nifer a math o argiau. Mae amrediad y ffwythiant newydd hwn ei hun yn strwythur sydd â'r un nifer o gydrannau â'r arg y differir y ffwythiant mewn perthynas ag ef. Gweler yr atodiad ar nodiant am ragor.

⁴⁸Mae angen dadansoddi'n ofalus i wneud y ddadl hon yn fwy manwl gywir.

⁴⁹Mae'r gweithredydd amrywiad δ_η yn debyg i'r gweithredydd deilliad am ei fod yn gweithredu ar y ffwythiant sy'n dilyn yn union ar ei ôl: δ_ηf[q] = (δ_ηf)[q].

⁵⁰Rydym yn rhoi diffiniad g ar wahân: ni allwn roi Dq yn lle g[q] yn δ_ηg[q] oherwydd bod δ_η yn gymwys i g ac nid i g[q].

⁵¹Disgrifir math ffwythiant llythrennol gan lofnod ffwythiant. Y llofnod ffwythiant diofyn yw (-> Real Real) sy'n dynodi ffwythiant â gwerthoedd real o arg real. Yn yr achos hwn datgenir F fel ffwythiant sydd â siâp ffwythiant Lagrange, â nifer amhenodedig o raddau rhyddid. Am ragor o wybodaeth am lofnodion ffwythiant gweler yr atodiad ar nodiant.

⁵²Ystyrir ffwythiant o argiau lluosog yn ffwythiant o dwpled i fyny o'i argiau. Felly mae deilliad ffwythiant o argiau lluosog yn dwpled i lawr o ddeilliadau rhannol y ffwythiant hwnnw mewn perthynas â phob un o'r argiau. Felly yn achos ffwythiant Lagrange L,

$DL(t,q,v)=[{\partial }_{0}L(t,q,v),{\partial }_{1}L(t,q,v),{\partial }_{2}L(t,q,v)].$

⁵³Pan ysgrifennwn ddiffiniad sy'n enwi cydrannau'r twpled lleol, dangoswn fod y rhain wedi'u grwpio'n gydrannau amser, safle, a chyflymder drwy wahanu'r grwpiau â hanner colon.

⁵⁴Symbol cofio yn unig yw'r symbol $\dot{\theta }$; nid yw'r dot uwchben θ yn dynodi differu. I ddiffinio L gallem fod wedi ysgrifennu'r canlynol yr un mor dda: $L(a,b,c)=\frac{1}{2}m{l}^2{c}^2+mgl\cos b$. Fodd bynnag, defnyddiwn symbol â dot i'n hatgoffa bod yr arg sy'n cyfateb i baramedr ffurfiol, megis $\dot{\theta }$, yn gyfradd newid ongl, megis θ.

⁵⁵Mewn nodiant traddodiadol mae'r hafaliadau hyn yn darllen

$\frac{d^2}{d{t}^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\frac{\partial L}{\partial q}=0.$

⁵⁶Mae'r weithdrefn Lagrange-equations yn defnyddio'r gweithrediadau (partial 1) a (partial 2), sy'n gweithredu'r gweithredyddion deilliad rhannol mewn perthynas â safleoedd yr ail a'r trydydd arg (y rhai â mynegeion 1 a 2).

⁵⁷Ceir hafaliad Lagrange ar gyfer pob gradd rhyddid. Mae gweddillion pob hafaliad yn sero os yw'r llwybr yn wireddadwy. Trefnir y gweddillion mewn twpled down oherwydd eu bod yn deillio o ddeilliadau'r ffwythiant Lagrange mewn perthynas â safleoedd arg sy'n cymryd twpledi up. Gweler yr atodiad ar nodiant.

⁵⁸Sylwch fod yr ail ddeilliad yn cael ei ddynodi fel sgwâr y gweithredydd deilliad (expt D 2). Mae gweithrediadau rhifyddol yn Scmutils yn ymestyn dros weithredyddion yn ogystal â ffwythiannau.

⁵⁹Cofiwch mai paramedrau ffurfiol y ffwythiant Lagrange yn unig yw x a v. Nid yw'r x hwn yn llwybr x a ddefnyddiwyd yn gynharach yn y deilliad, er y gallai fod yn werth y llwybr hwnnw ar amser penodol.

⁶⁰Gallwn bob amser roi argiau ychwanegol nas defnyddir i ffwythiant fel y gellir ei gyfuno'n algebraidd â ffwythiannau eraill o'r un siâp.

⁶¹Lluniodd William Rowan Hamilton yr egwyddor amrywiadol sylfaenol ar gyfer systemau sy'n annibynnol ar amser yn 1834–1835. Rhoddodd Jacobi yr enw “egwyddor Hamilton” ar yr egwyddor hon. Ar gyfer systemau sy'n ddarostyngedig i gyfyngiadau generig, anarhosol, ymchwiliwyd i egwyddor Hamilton yn 1848 gan Ostrogradsky, ac yn y llenyddiaeth Rwsieg gelwir egwyddor Hamilton yn aml yn egwyddor Hamilton–Ostrogradsky.

Roedd Hamilton (1805–1865) yn fathemategydd disglair. Roedd ei waith cynnar ar opteg geometrig (yn seiliedig ar egwyddor Fermat) mor drawiadol nes iddo gael ei ethol i swydd Athro Seryddiaeth yng Ngholeg y Drindod a Seryddwr Brenhinol Iwerddon tra oedd yn dal yn fyfyriwr israddedig. Cynhyrchodd ddau waith mathemategol aruthrol. Adfywiodd ei ddarganfyddiad o gwaternionau algebra haniaethol a sbarduno datblygiad technegau fector mewn ffiseg. Gosododd ei draethawd o 1835 “On a General Method in Dynamics” fecaneg amrywiadol ar sylfaen gadarn, gan roi sylwedd o'r diwedd i Egwyddor y Weithred Leiaf a ddatganwyd yn amwys gan Maupertuis 100 mlynedd ynghynt. Ysgrifennodd Hamilton farddoniaeth hefyd a bu'n gohebu'n helaeth â Wordsworth, a'i cynghorodd i roi ei egni i ysgrifennu mathemateg yn hytrach na barddoniaeth.

Yn ogystal â llunio'r egwyddor amrywiadol sylfaenol, pwysleisiodd Hamilton hefyd y gyfatebiaeth rhwng opteg geometrig a mecaneg, a phwysigrwydd y newidynnau momentwm (a gyflwynwyd yn gynharach gan Lagrange a Cauchy), gan arwain at ffurf “ganonig” mecaneg a drafodir ym mhennod 3.

⁶²O'i gymhwyso i dwpled, mae square yn golygu swm sgwariau cydrannau'r twpled.

⁶³Fel y disgrifir yn nhroednodyn 26 uchod, mae'r weithdrefn up yn llunio twpled lleol o ran gychwynnol o amser, cyfesurynnau, a chyflymderau.

⁶⁴Gobeithiwn eich bod yn gwerthfawrogi hud T_EX yma. Caiff symbolau ag acenion cylchol, tanlinellau, enwau llythrennau Groeg, a'r rhai sy'n gorffen â'r nodau “dot” eu trosi gan show-expression i'r mynegiad T_EX cyfatebol.

⁶⁵Byddwn yn derbyn y dull Newtonaidd ar gyfer systemau â chyfyngiadau anhyblyg ac yn canfod ffwythiannau Lagrange sy'n gyfwerth. Wrth gwrs, nid yw cyrff gwirioneddol byth yn gwbl anhyblyg, felly gallem ofyn pa frasamcanion manwl y mae'n rhaid eu gwneud i'w trin fel pe baent yn gwbl anhyblyg. Er enghraifft, dull mwy boddhaol fyddai disodli'r cyfyngiadau pellter anhyblyg â sbringiau anystwyth iawn. Gallem wedyn ysgrifennu'r ffwythiant Lagrange ar unwaith fel L = T − V, a dylem allu deillio'r dull Newtonaidd ar gyfer systemau â chyfyngiadau anhyblyg fel brasamcan. Fodd bynnag, mae hyn yn rhy gymhleth i'w wneud ar y cam hwn, felly derbyniwn y delfrydiad Newtonaidd.

⁶⁶Mae'r ffwythiant Lagrange hwn yn gwbl ffurfiol ac nid yw'n cynrychioli model o'r grymoedd cyfyngu. Yn benodol, sylwch nad yw termau'r cyfyngiadau yn adio i roi egni potensial ag isafswm pan fodlonir y cyfyngiadau'n union. Yn hytrach, mae termau'r cyfyngiadau yn y ffwythiant Lagrange yn sero pan fodlonir y cyfyngiad, a gallant fod yn bositif neu'n negatif yn dibynnu ar a yw'r pellter rhwng y gronynnau yn fwy neu'n llai na phellter y cyfyngiad.

⁶⁷Yn nodweddiadol mae nifer cydrannau x yn hafal i swm nifer cydrannau q a c; mae ychwanegu sbar yn dileu gradd rhyddid ac yn ychwanegu cyfyngiad pellter. Fodd bynnag, ceir achosion hynod lle gall ychwanegu un sbar ddileu mwy nag un radd rhyddid. Nid ydym yn ystyried yr achosion hynod yma.

⁶⁸Ystyriwch ffwythiant g o, dyweder, dri arg, a boed g₀ yn ffwythiant o ddau arg sy'n bodloni g₀(x, y) = g(x, y, 0). Yna (∂₀g₀)(x, y) = (∂₀g)(x, y, 0). Mae amnewid gwerth mewn arg yn cymudo â chymryd y deilliad rhannol mewn perthynas ag arg gwahanol. Wrth ddeillio hafaliadau Lagrange ar gyfer q gallwn osod c = l a $\dot{c}=0$ yn y ffwythiant Lagrange, ond ni allwn wneud hyn wrth ddeillio'r hafaliadau Lagrange sy'n gysylltiedig â c, oherwydd bod yn rhaid inni gymryd deilliadau mewn perthynas â'r argiau hynny.

⁶⁹Mae R_z(α) yn rhoi ffwythiant sy'n cylchdroi ei arg o amgylch yr echelin ẑ drwy'r ongl α, ac mae R_y yn debyg.

⁷⁰Gellir dewis cydrannau strwythur twpled, megis gwerth Γ[q](t), â ffwythiannau dethol: mae I_i yn cael yr elfen â mynegai i o'r twpled.

⁷¹Amod Lipschitz yw bod cyfradd newid y cyflwr wedi'i ffinio gan gysonyn mewn set agored o amgylch pob cyflwr. Gweler [25] am drafodaeth dda o amod Lipschitz.

⁷²Os yw'r cyfesurynnau'n ddiangen ni allwn, yn gyffredinol, ddatrys ar gyfer y deilliad trefn uchaf. Fodd bynnag, gan y gallwn drawsffurfio i gyfesurynnau heb ddiangenrwydd, gan y gallwn ddatrys y broblem gwerth cychwynnol yn y cyfesurynnau heb ddiangenrwydd, a chan y gallwn lunio'r cyfesurynnau diangen o'r cyfesurynnau heb ddiangenrwydd, gallwn yn gyffredinol ddatrys y broblem gwerth cychwynnol ar gyfer cyfesurynnau diangen. Yr unig anhawster yw na allwn bennu amodau cychwynnol mympwyol: rhaid i'r amodau cychwynnol fod yn gyson â'r cyfyngiadau.

⁷³Gallwn ddod ar draws hynodion sy'n gwneud y matrics hwn yn anwrthdröadwy, ond mewn systemau go iawn mae'r hynodion hyn yn ynysig a gellir eu hosgoi drwy newid cyfesurynnau.

⁷⁴Ar gyfer ffwythiannau Lagrange sy'n dibynnu ar amser, cyfesurynnau, a chyflymderau, pennir y cyflwr gan amser, cyfesurynnau, a chyflymderau. Fodd bynnag, os yw ffwythiant Lagrange yn dibynnu ar bedair cydran gyntaf y twpled lleol (amser, cyfesurynnau, cyflymderau, a chyflymiadau), pennir cyflwr y system gan bum cydran gyntaf y twpled lleol.

⁷⁵Mae'r weithdrefn solve-linear-left yn lluosi ei hail arg â gwrthdro ei harg cyntaf ar y chwith. Felly, os yw u = Mv yna v = M⁻¹u; mae (solve-linear-left M u) yn cynhyrchu v.

⁷⁶Mae system Scmutils yn darparu amrywiaeth o weithdrefnau integru rhifiadol y gellir eu cyrchu drwy'r rhyngwyneb hwn. Mae'r rhain yn cynnwys Runge–Kutta â rheolaeth ansawdd a Bulirsch–Stoer. Y dull integru diofyn yw Bulirsch–Stoer.

⁷⁷Mae'r weithdrefn state-advancer yn crynhoi gweithdrefnau deilliad cyflwr yn awtomatig y tro cyntaf y deuir ar eu traws. Y tro cyntaf y defnyddir deilliad cyflwr newydd ceir oedi tra bo'r crynhoi'n digwydd.

⁷⁸Plotiwyd y canlyniadau mewn ffenestr blotio a grëir gan y weithdrefn frame ag argiau xmin, xmax, ymin, a ymax sy'n pennu ffiniau'r ardal blotio. Ychwanegir pwyntiau at y plot â'r weithdrefn plot-point sy'n cymryd ffenestr blotio ac absisa ac ordinad y pwynt i'w blotio.

Defnyddir y weithdrefn principal-value i leihau ongl i gyfwng safonol. Yr arg i principal-value yw'r pwynt lle mae'r cylch i'w dorri. Felly mae (principal-value :pi) yn weithdrefn sy'n lleihau ongl θ i'r cyfwng −π ≤ θ < π.

⁷⁹Mewn llenyddiaeth hŷn gelwir meintiau a gedwir weithiau yn integrynnau cyntaf.

⁸⁰Sylwch ein bod yn dynodi cydran o'r momentwm cyffredinoledig ag isysgrif, a chydran o'r cyfesurynnau cyffredinoledig ag uwchysgrif. Mae'r confensiynau hyn yn gyson â'r rhai a ddefnyddir yn gyffredin mewn algebra tensorau, sydd weithiau'n ddefnyddiol wrth ddatrys problemau cymhleth.

⁸¹Er enghraifft, gallwn lunio ffwythiannau Lagrange cyfwerth sy'n wahanol o ddeilliad amser cyflawn yn unig. Mae ffwythiannau cyflwr y momentwm ar gyfer y ffwythiannau Lagrange hyn yn wahanol.

⁸²Yn gyffredinol, mae meintiau a gedwir mewn system ffisegol yn gysylltiedig â chymesureddau di-dor, pa un a ellir canfod system gyfesurynnau lle mae'r cymesuredd yn amlwg ai peidio. Ffurfiolwyd y syniad grymus hwn a phrofwyd theorem sy'n cysylltu deddfau cadwraeth â chymesureddau gan Noether yn gynnar yn yr 20fed ganrif. Gweler adran 1.8.5 ar theorem Noether.

⁸³Mater o gonfensiwn yw arwydd ffwythiant cyflwr yr egni.

⁸⁴Gallwn lunio ffwythiannau Lagrange cyfwerth sy'n wahanol o ddeilliad amser cyflawn yn unig. Mae ffwythiannau cyflwr yr egni ar gyfer y ffwythiannau Lagrange hyn yn wahanol.

⁸⁵Mae ffwythiant f yn homogenaidd o radd n os a dim ond os yw f(ax) = aⁿf(x). Mae theorem Euler yn dweud, os yw f yn ffwythiant homogenaidd o radd n, yna Df(x)x = nf(x). Mae'r prawf fel a ganlyn: boed g_x(a) = f(ax). Yna Dg_x(a) = Df(ax)x. Ond g_x(a) = aⁿf(x) yn ôl y diffiniad o homogenedd. Felly Dg_x(a) = naⁿ⁻¹f(x). Wrth gyfateb y rhain, cawn Df(ax)x = naⁿ⁻¹f(x). Gan arbenigo i a = 1 cawn Df(x)x = nf(x) fel sy'n ofynnol.

⁸⁶Yn draddodiadol diffinnir cysonyn Jacobi fel C_J = −2ℰ.

⁸⁷Mae'r deilliad amser cyflawn yn debyg i ddeilliad mewn perthynas ag arg rhif real am nad yw'n cynhyrchu strwythur, felly gall gymudo â deilliadau sy'n cynhyrchu strwythur. Byddwch yn ofalus, fodd bynnag: efallai na fydd yn cymudo â rhai deilliadau am resymau eraill. Er enghraifft, mae $D_t{\partial }_1(\tilde{F}(s))$ yr un fath â ${\partial }_1{D}_t(\tilde{F}(s))$, ond nid yw $D_t{\partial }_2(\tilde{F}(s))$ yr un fath â ${\partial }_2{D}_t(\tilde{F}(s))$. Y rheswm yw nad yw $\tilde{F}(s)$ yn dibynnu ar y cyflymder, ond bod $D_t(\tilde{F}(s))$ yn gwneud hynny.

⁸⁸Diffiniad y weithdrefn Rx yw

(define ((Rx angle) q)
  (let ((ca (cos angle)) (sa (sin angle)))
    (let ((x (ref q 0)) (y (ref q 1)) (z (ref q 2)))
      (up x
          (- (* ca y) (* sa z))
          (+ (* sa y) (* ca z))))))

Mae diffiniadau Ry a Rz yn debyg. Gweler troednodyn 69.

⁸⁹Mae'r ffwythiant twpled lleol f yr un fath â'r ffwythiant twpled lleol $\overline{\Gamma }(\overline{f})$ lle mae $\overline{f}[q]=f\circ \Gamma [q]$. Ar y llaw arall, nid yw'r ffwythiant llwybr $\overline{f}[q]$ a'r ffwythiant llwybr $\overline{\Gamma }(\overline{f})\circ \Gamma [q]$ o reidrwydd yr un fath oherwydd y gall fod angen mwy o gydrannau'r twpled lleol ar $\overline{f}[q]$ nag a ddarperir yn ddiofyn. Er enghraifft, mae hafaliadau Lagrange yn cynnwys cyflymiadau, yn ogystal ag amser, cyfesurynnau, a chyflymderau. Os estynnir Γ[q] i'r nifer priodol o gydrannau yna mae'r ddau'n gyfwerth. (Gweler troednodyn 90.)

⁹⁰Mae'r F->C hwn yn fwy cyffredinol na'r cod a gyflwynwyd ar dudalen 46 am ei fod yn caniatáu cyfrifo trawsffurfiadau deilliadau uwch y twpled lleol, os oes angen.

I wneud i hyn weithio, estynnir Gamma hefyd i gynhyrchu mwy o elfennau'r twpled lleol nag sydd eu hangen ar ffwythiannau Lagrange sy'n dibynnu ar amser, cyfesurynnau, a chyflymderau. Yma rhoddir un arg yn fwy nag arfer i Gamma. Mae'r arg dewisol hwn yn rhoi hyd y rhan gychwynnol o'r twpled lleol sydd ei hangen. Yr hyd diofyn yw 3, sy'n rhoi cydrannau'r twpled lleol hyd at y cyflymderau, gan eu cynnwys.

⁹¹O gael unrhyw amrywiad derbyniol, gallwn wneud amrywiad derbyniol arall drwy luosi'r un a roddwyd â ffwythiant twmpath sy'n pwysleisio unrhyw gyfwng amser penodol.

⁹²Ystyriwn fod dau ffwythiant o amser â gwerthoedd twpled yn orthogonal os yw lluoswm dot y twpledi yn sero ar bob amrantiad. Yn yr un modd, ystyrir ffwythiannau â gwerthoedd twpled yn baralel os yw un o'r twpledi yn lluosrif sgalar o'r llall ar bob moment. Yn gyffredinol mae'r lluosydd sgalar yn ffwythiant o amser.

⁹³Cofiwch fod gan weithredydd Euler–Lagrange $\mathcal{E}$ y briodwedd

$\mathcal{E}[FG]=F\mathcal{E}[G]+\mathcal{E}[F]G+D_{t}F{\partial }_{2}G+{\partial }_{2}F{D}_{t}G.$

⁹⁴Mae gan y cyfyngiad hwn yr un ffurf â'r rhai a ddefnyddiwyd wrth ddangos y gellir defnyddio L = T − V ar gyfer systemau anhyblyg. Yma mae'n enghraifft benodol o set fwy cyffredinol o gyfyngiadau.

⁹⁵Yn wir, pe baem wedi graddio hafaliadau'r cyfyngiadau fel y gwnaethom yn y drafodaeth ar rymoedd cyfyngu Newtonaidd, gallem fod wedi uniaethu λ â maint y grym cyfyngu F. Fodd bynnag, er y bydd λ yn gyffredinol yn gysylltiedig â'r grymoedd cyfyngu, ni fydd yn un ohonynt. Dewisasom adael y graddio fel yr ymddangosodd yn naturiol yn hytrach na gwneud i bethau edrych yn daclus yn artiffisial.

⁹⁶Mae'r enghraifft hon yn ymddangos yn [20], tt. 49–51,

⁹⁷Gwelwn ym mhennod 2 sut i gyfrifo egni cinetig cylchdro, ond am y tro yr ateb yw $\frac{1}{2}M{R}^2{\dot{\theta }}^2$.

⁹⁸Am rai trafodaethau ar systemau anholonomig gweler, er enghraifft, Whittaker [46], Goldstein [20], Gantmakher [19], neu Arnold et al. [6].

⁹⁹Mae Arnold et al. [6] yn galw'r mecaneg amrywiadol lle ychwanegir y cyfyngiadau at y ffwythiant Lagrange yn fecaneg Faconomig.