Trawsffurfiadau canonig

Yr ydym wedi gwneud cryn dipyn o ddringo mynyddoedd. Bellach yr ydym yn awyr denau damcaniaethau o brydferthwch eithriadol, ac yn nesáu at lwyfandir uchel lle mae geometreg, opteg, mecaneg a mecaneg tonnau yn cyfarfod ar dir cyffredin. Dim ond meddwl dwys, a chryn dipyn o ail-greu, a fydd yn datgelu prydferthwch ein pwnc, nad yw’r gair olaf wedi’i ddweud amdano eto.

Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics [29], t. 229

Un ffordd o symleiddio dadansoddiad problem yw ei mynegi ar ffurf sy’n rhoi cynrychioliad syml i’r datrysiad. Fodd bynnag, efallai na fydd yn hawdd ffurfio’r broblem felly ar y dechrau. Yn aml mae’n ddefnyddiol dechrau drwy ffurfio’r broblem mewn un ffordd, ac yna ei thrawsffurfio. Er enghraifft, mae’n syml ffurfio problem mudiant nifer o gyrff sy’n rhyngweithio drwy ddisgyrchiant mewn cyfesurynnau petryal, ond mae’n haws deall agweddau ar y mudiant yn nhermau elfennau orbitol, megis hanner echelinau mwyaf, ecsentrigrwydd ac ogwyddiadau’r orbitau. Mae hanner echelin fwyaf ac ecsentrigrwydd orbit yn dibynnu ar ffurfwedd a chyflymder y corff ill dau. Mae trawsffurfiadau o’r fath yn fwy cyffredinol na’r rhai sy’n mynegi newidiadau yng nghyfesurynnau’r ffurfwedd. Yma ymchwiliwn i drawsffurfiadau cyfesurynnau gofod gwedd sy’n cynnwys y cyfesurynnau cyffredinoledig a’r momenta cyffredinoledig ill dau.

Tybiwch fod gennym ddwy system Hamilton wahanol, a bod taflwybrau’r ddwy system mewn cyfatebiaeth un-i-un. Yn yr achos hwn gall y ddwy system Hamilton fod yn fodelau mathemategol o’r un system ffisegol. Gall fod yn haws ateb rhai cwestiynau am y system ffisegol drwy gyfeirio at un model, a rhai eraill drwy gyfeirio at y model arall. Er enghraifft, gall fod yn haws ffurfio’r system ffisegol mewn un model a darganfod maint cadwedig yn y llall. Mapiadau rhwng systemau Hamilton sy’n cadw’r ddeinameg yw trawsffurfiadau canonig.

Mae trawsffurfiad canonig yn drawsffurfiad cyfesurynnau gofod gwedd ynghyd â thrawsffurfiad cysylltiedig o ffwythiant Hamilton, fel bod y ddeinameg a roddir gan hafaliadau Hamilton yn y ddau gynrychioliad yn disgrifio’r un esblygiad i’r system.

5.1 Trawsffurfiadau pwynt

Mae trawsffurfiad pwynt yn drawsffurfiad canonig sy’n estyn trawsffurfiad cyfesurynnau’r ffurfwedd, a all ddibynnu ar amser, i drawsffurfiad gofod gwedd. Er enghraifft, efallai y dymunid ailfynegi mudiant yn nhermau cyfesurynnau pegynlinol, gan ddechrau â disgrifiad mewn cyfesurynnau petryal. Er mwyn estyn trawsffurfiad cyfesurynnau’r ffurfwedd i drawsffurfiad gofod gwedd, rhaid pennu sut mae’r momenta a ffwythiant Hamilton yn cael eu trawsffurfio.

Yr ydym eisoes wedi gweld sut i wneud trawsffurfiadau cyfesurynnau yn ffurfiadaeth Lagrange (gweler adran 1.6.1). Yn yr achos hwnnw, canfuom fod hafaliadau Lagrange yn gyfwerth os yw ffwythiant Lagrange yn trawsffurfio drwy gyfansoddi â’r trawsffurfiad cyfesurynnau.

Mae gan ffwythiannau Lagrange sy’n gwahaniaethu drwy ychwanegu deilliad amser cyflawn yr un hafaliadau Lagrange, ond gall fod ganddynt wahanol fomenta cyfiau i’r cyfesurynnau cyffredinoledig. Felly mae mwy nag un ffordd o estyn trawsffurfiad cyfesurynnau yn ganonig.

Yma canfyddwn yr estyniad canonig penodol o drawsffurfiad cyfesurynnau lle mae ffwythiannau Lagrange yn trawsffurfio drwy gyfansoddi â’r trawsffurfiad, heb ychwanegu termau deilliad amser cyflawn at ffwythiant Lagrange.

Boed L yn ffwythiant Lagrange ar gyfer system. Ystyriwch y trawsffurfiad cyfesurynnau q = F (t, q′). Mae’r cyflymderau’n trawsffurfio yn ôl

$$\begin{array}{cc}v={\partial }_{0}F\left(t,q\prime \right)+{\partial }_{1}F\left(t,q\prime \right)v\prime .& (5.1)\end{array}$$

Cawn ffwythiant Lagrange L′ yn y cyfesurynnau newydd drwy gyfansoddi L â’r trawsffurfiad cyfesurynnau. Mynnwn fod L′(t, q′, v′) = L(t, q, v), felly:

$$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}L\prime \left(t,q\prime ,v\prime \right)=L\left(t,F\left(t,q\prime \right),{\partial }_{0}F\left(t,q\prime \right)+{\partial }_{1}F\left(t,q\prime \right)v\prime \right).& (5.2)\end{array}\end{array}$$

Y momentwm cyfiau i q′ yw

$$\begin{array}{lll}p\prime \hfill & ={\partial }_{2}L\prime \left(t,q\prime ,v\prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_{2}L\left(t,F\left(t,q\prime \right),{\partial }_{0}F\left(t,q\prime \right)+{\partial }_{1}F\left(t,q\prime \right)v\prime \right){\partial }_{1}F\left(t,q\prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =p{\partial }_{1}F\left(t,q\prime \right),\hfill & (5.3)\hfill \end{array}$$

lle’r ydym wedi defnyddio

$$\begin{array}{lll}p\hfill & ={\partial }_{2}L\left(t,q,v\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_{2}L\left(t,F\left(t,q\prime \right),{\partial }_{0}F\left(t,q\prime \right)+{\partial }_{1}F\left(t,q\prime \right)v\prime \right).\hfill & (5.4)\hfill \end{array}$$

Felly, o hafaliad (5.3),¹

$$\begin{array}{ll}p=p\prime {\left({\partial }_{1}F\left(t,q\prime \right)\right)}^{-1}.\hfill & (5.5)\hfill \end{array}$$

Gallwn gasglu’r canlyniadau hyn i ddiffinio trawsffurfiad gofod gwedd canonig C_H:²

$$\begin{array}{lll}\left(t,q,p\right)\hfill & =C_{\text{H}}\left(t,q\prime ,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =(t,F(t,q\prime ),p\prime {({\partial }_{1}F(t,q\prime ))}^{-1}).\hfill & (5.6)\hfill \end{array}$$

Ceir ffwythiant Hamilton drwy drawsffurfiad Legendre

$$\begin{array}{ll}H\prime \left(t,q\prime ,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ =p\prime v\prime -L\prime \left(t,q\prime ,v\prime \right)\hfill & \hfill \\ =(p{\partial }_{1}F(t,q\prime ))(({\partial }_{1}F{(t,q\prime )}^{-1}(v-{\partial }_{0}F(t,q\prime ))))-L(t,q,v)\hfill & \hfill \\ =pv-L(t,q,v)-p{\partial }_{0}F\left(t,q\prime \right)\hfill & \hfill \\ =H(t,q,p)-p{\partial }_{0}F\left(t,q\prime \right),\hfill & (5.7)\hfill \end{array}$$

gan ddefnyddio’r perthnasoedd (5.1) a (5.3) yn yr ail gam. Wedi’i fynegi’n gyfan gwbl yn nhermau’r cyfesurynnau a’r momenta newydd, y ffwythiant Hamilton wedi’i drawsffurfio yw

$$\begin{array}{lll}H\prime \left(t,q\prime ,p\prime \right)=\hfill & H(t,F(t,q\prime ),p\prime {({\partial }_{1}F(t,q\prime ))}^{-1})\hfill & \hfill \\ \hfill & -(p\prime {({\partial }_{1}F(t,q\prime ))}^{-1}){\partial }_{0}F\left(t,q\prime \right).\hfill & (5.8)\hfill \end{array}$$

Mae’r ffwythiannau Hamilton H′ a H yn gyfwerth oherwydd bod gan L ac L′ yr un gwerth ar gyfer cyflwr dynamig penodol, ac felly’r un llwybrau gweithred arhosol. Yn gyffredinol, nid oes gan H a H′ yr un gwerthoedd ar gyfer cyflwr dynamig penodol; yn hytrach, maent yn gwahaniaethu gan derm sy’n dibynnu ar y trawsffurfiad cyfesurynnau.

Ar gyfer trawsffurfiadau annibynnol ar amser, ∂₀F = 0, ceir nifer o symleiddiadau. Daw’r berthynas rhwng y cyflymderau (5.1) yn

$$\begin{array}{ll}v={\partial }_{1}F\left(t,q\prime \right)v\prime .\hfill & (5.9)\hfill \end{array}$$

Wrth gymharu hyn â’r berthynas (5.5) rhwng y momenta, gwelwn fod y momenta, yn yr achos hwn, yn trawsffurfio yn y ffordd “wrthwyneb” i’r cyflymderau³

$$\begin{array}{ll}pv=p\prime {\left({\partial }_{1}F\left(t,q\prime \right)\right)}^{-1}{\partial }_{1}F\left(t,q\prime \right)v\prime =p\prime v\prime ,\hfill & (5.10)\hfill \end{array}$$

felly nid yw’r trawsffurfiad yn newid lluoswm y momenta a’r cyflymderau. Mae hyn, ynghyd â’r ffaith fod L(t, q, v) = L′(t, q′, v′) drwy’r modd y’u lluniwyd, yn dangos bod

$$\begin{array}{lll}H(t,q,p)\hfill & =pv-L(t,q,v)\hfill & \hfill \\ \hfill & =p\prime v\prime -L\prime \left(t,q\prime ,v\prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =H\prime \left(t,q\prime ,p\prime \right).\hfill & (5.11)\hfill \end{array}$$

Ar gyfer trawsffurfiadau cyfesurynnau annibynnol ar amser, mae ffwythiant Hamilton yn trawsffurfio drwy gyfansoddi â’r trawsffurfiad gofod gwedd cysylltiedig. Gallwn weld hyn hefyd o’r berthynas gyffredinol (5.7) rhwng y ffwythiannau Hamilton.

Gweithredu trawsffurfiadau pwynt

Mae’r weithdrefn F->CH yn cymryd gweithdrefn F sy’n gweithredu trawsffurfiad cyfesurynnau ffurfwedd, ac yn dychwelyd gweithdrefn sy’n gweithredu trawsffurfiad cyfesurynnau gofod gwedd:⁴

(define ((F->CH F) state)
  (up (time state)
      (F state)
      (solve-linear-right
        (momentum state)
        (((partial 1) F) state))))

Ystyriwch ronyn sy’n symud mewn maes canolog. Mewn cyfesurynnau petryal, un ffwythiant Hamilton yw

(define ((H-central m V) state)
  (let ((x (coordinate state))
        (p (momentum state)))
    (+ (/ (square p) (* 2 m))
       (V (sqrt (square x))))))

Gadewch inni edrych ar y ffwythiant Hamilton hwn mewn cyfesurynnau pegynlinol. Ceir y trawsffurfiad gofod gwedd drwy gymhwyso F->CH i’r weithdrefn p->r, sy’n cymryd amser a thwpled pegynlinol ac yn dychwelyd twpled o gyfesurynnau petryal (gweler adran 1.6.1). Mae’r trawsffurfiad yn annibynnol ar amser, felly mae ffwythiant Hamilton yn trawsffurfio drwy gyfansoddi. Mewn cyfesurynnau pegynlinol, ffwythiant Hamilton yw

(show-expression
  ((compose
     (H-central 'm (literal-function 'V))
     (F->CH p->r))
   (up 't (up 'r 'phi) (down 'p_r 'p_phi))))

Ceir tri therm: yr egni potensial, sy’n dibynnu ar y radiws; yr egni cinetig oherwydd mudiant rheiddiol; a’r egni cinetig oherwydd mudiant tangiadol. Yn ôl y disgwyl, nid yw’r ongl φ yn ymddangos, ac felly mae’r momentwm onglaidd yn faint cadwedig. Drwy newid i gyfesurynnau pegynlinol, yr ydym wedi datgysylltu un o’r ddwy radd rhyddid yn y broblem.

Os yw’r trawsffurfiad yn amrywio gydag amser, rhaid addasu ffwythiant Hamilton drwy ychwanegu cywiriad at gyfansoddiad ffwythiant Hamilton â’r trawsffurfiad (gweler hafaliad 5.8):

$$\begin{array}{ll}H\prime =H\circ C_{\text{H}}+K\hfill & (5.12)\hfill \end{array}$$

Cyfrifir y cywiriad drwy

(define ((F->K F) state)
  (- (* (solve-linear-right
          (momentum state)
          (((partial 1) F) state))
        (((partial 0) F) state))))

Er enghraifft, ystyriwch drawsffurfiad i gyfesurynnau sy’n trawsleoli â chyflymder v:

(define ((translating v) state)
  (+ (coordinates state) (* v (time state))))

Cyfrifwn yr addasiad adiol sy’n ofynnol i ffwythiant Hamilton:

((F->K (translating (up 'v^x 'v^y 'v^z)))
 (up 't (up 'x 'y 'z) (down 'p_x 'p_y 'p_z)))

(+ (* -1 p_x v^x) (* -1 p_y v^y) (* -1 p_z v^z))

Sylwch mai dyma negatif lluoswm mewnol y momentwm a chyflymder y system gyfesurynnau.

Gadewch inni weld sut y trawsffurfir ffwythiant Hamilton syml ar gyfer gronyn rhydd:

(define ((H-free m) s)
(/ (square (momentum s)) (* 2 m)))

Y ffwythiant Hamilton wedi’i drawsffurfio yw:

(define H-prime
  (+ (compose (H-free 'm)
              (F->CH (translating (up 'v^x 'v^y 'v^z))))
     (F->K (translating (up 'v^x 'v^y 'v^z)))))

(H-prime
  (up 't
      (up 'xprime 'yprime 'zprime)
      (down 'pprime_x 'pprime_y 'pprime_z)))
(+ (* -1 pprime_x v^x)
   (* -1 pprime_y v^y)
   (* -1 pprime_z v^z)
   (/ (* 1/2 (expt pprime_x 2)) m)
   (/ (* 1/2 (expt pprime_y 2)) m)
   (/ (* 1/2 (expt pprime_z 2)) m))

Ymarfer 5.1: Annewidioldeb Galileaidd

Ai dyma’r canlyniad yr oeddech yn ei ddisgwyl? Gadewch inni ymchwilio.

Cofiwch inni ddangos yn ymarfer 1.29, os mai $\frac{1}{2}m{v}^2$ yw’r egni cinetig, fod y trawsleoliad i system gyfesurynnau sy’n symud yn unffurf yn cyflwyno termau ychwanegol y gellir eu hadnabod fel deilliad amser cyflawn. Gan nad yw’r termau hyn yn effeithio ar hafaliadau Lagrange, gallwn gymryd mai $\frac{1}{2}m{(v\prime )}^2$ yw’r egni cinetig yn y cyfesurynnau newydd hefyd.

Boed C_H yn estyniad gofod gwedd y trawsffurfiad trawsleoli, a C yn estyniad y twpled lleol. Y ffwythiant Hamilton wedi’i drawsffurfio yw H′ = H ∘ C_H + K; y ffwythiant Lagrange wedi’i drawsffurfio yw L′ = L ∘ C.

a. Deilliwch y berthynas rhwng p a p′ o C_H ac o’r ffwythiannau Lagrange. Ai’r un berthynas a geir? Deilliwch y berthynas rhwng v a v′ drwy gymryd deilliad y ffwythiannau Hamilton mewn perthynas â’r momenta (hafaliad Hamilton). Dangoswch fod trawsffurfiad Legendre o L′ yn rhoi’r un H′.

b. Yr ydym wedi dangos bod L ac L′ yn gwahaniaethu gan ddeilliad amser cyflawn. Felly, ar gyfer unrhyw system gyfesurynnau sy’n symud yn unffurf, gallwn ysgrifennu ffwythiant Lagrange fel $\frac{1}{2}m{v}^2$. Yn yr un modd, byddem yn disgwyl gallu ysgrifennu ffwythiant Hamilton bob amser fel p²/(2m). Dangoswch fod hwn yn gwahaniaethu oddi wrth H′ gan ddeilliad amser cyflawn yn y ffwythiannau Lagrange cyfatebol.

Ymarfer 5.2: Cylchdroadau

Boed q a q′ yn gyfesurynnau petryal a gysylltir gan gylchdro R: q = Rq′. Ffwythiant Lagrange y system yw $L(t,q,v)=\frac{1}{2}m{v}^2-V(q)$. Darganfyddwch y trawsffurfiad gofod gwedd cyfatebol C_H. Cymharwch hafaliadau trawsffurfio cydrannau petryal y momenta â’r rhai ar gyfer cydrannau petryal y cyflymderau. A ydych yn synnu, o ystyried hafaliad (5.10)?

5.2 Trawsffurfiadau canonig cyffredinol

Er inni ddangos sut i estyn unrhyw drawsffurfiad cyfesurynnau’r gofod ffurfweddau i drawsffurfiad canonig, mae ffyrdd eraill o lunio trawsffurfiadau canonig. Sut y gwyddom fod gennym drawsffurfiad canonig? I brofi a yw trawsffurfiad yn ganonig, gallwn ddefnyddio’r ffaith, os yw’n ganonig, y bydd hafaliadau mudiant Hamilton ar gyfer y system newydd a’r system wreiddiol yn gyfwerth.

Ystyriwch ffwythiant Hamilton H a thrawsffurfiad gofod gwedd C_H. Boed D_s yn ffwythiant sy’n cymryd ffwythiant Hamilton ac yn rhoi’r deilliad gofod cyflwr Hamilton:⁵

$$\begin{array}{ll}{D}_{s}H(t,q,p)=(1,{\partial }_{2}H(t,q,p),-{\partial }_{1}H(t,q,p)).\hfill & (5.13)\hfill \end{array}$$

Hafaliadau Hamilton yw

$$\begin{array}{ll}D\sigma =D_{s}H\circ \sigma ,\hfill & (5.14)\hfill \end{array}$$

ar gyfer unrhyw lwybr gofod gwedd gwireddadwy σ.

Mae’r trawsffurfiad C_H yn trawsffurfio’r llwybr gofod gwedd σ′ (t) = (t, q′ (t), p′ (t)) yn σ(t) = (t, q(t), p(t)):

$$\begin{array}{ll}\sigma =C_{\text{H}}\circ \sigma \prime .\hfill & (5.15)\hfill \end{array}$$

Mae cyfraddau newid cyfesurynnau’r gofod gwedd yn cael eu trawsffurfio gan ddeilliad y trawsffurfiad

$$\begin{array}{ll}D\sigma =D\left(C_{\text{H}}\circ \sigma \prime \right)=\left(D{C}_{\text{H}}\circ \sigma \prime \right)D\sigma \prime .\hfill & (5.16)\hfill \end{array}$$

Mae’r trawsffurfiad yn ganonig os yw’r hafaliadau mudiant a geir o’r ffwythiant Hamilton newydd yr un fath â’r rhai y gellid eu cael drwy drawsffurfio’r hafaliadau mudiant a ddeilliwyd o’r ffwythiant Hamilton gwreiddiol i’r cyfesurynnau newydd:

$$\begin{array}{ll}D\sigma =\left(D{C}_{\text{H}}\circ \sigma \prime \right)D\sigma \prime =\left(D{C}_{\text{H}}\circ \sigma \prime \right)\left(D_{s}H\prime \circ \sigma \prime \right).\hfill & (5.17)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio hafaliad (5.14), gwelwn fod

$$\begin{array}{ll}{D}_{s}H\circ \sigma =\left(D{C}_{\text{H}}\circ \sigma \prime \right)\left(D_{s}H\prime \circ \sigma \prime \right).\hfill & (5.18)\hfill \end{array}$$

Gyda σ = C_H ∘ σ′, cawn

$$\begin{array}{ll}{D}_{s}H\circ C_{\text{H}}\circ \sigma \prime =\left(D{C}_{\text{H}}\circ \sigma \prime \right)\left(D_{s}H\prime \circ \sigma \prime \right).\hfill & (5.19)\hfill \end{array}$$

Rhaid i’r amod hwn ddal ar gyfer unrhyw lwybr gofod gwedd gwireddadwy σ′. Mae hyn yn sicr yn wir os yw’r amod canlynol yn dal ym mhob pwynt o’r gofod gwedd:⁶

$$\begin{array}{ll}{D}_{s}H\circ C_{\text{H}}=D{C}_{\text{H}}·D_{s}H\prime .\hfill & (5.20)\hfill \end{array}$$

Mae unrhyw drawsffurfiad sy’n bodloni hafaliad (5.20) yn drawsffurfiad canonig rhwng cynrychioliadau gofod gwedd o system ddynamig. Mewn un cynrychioliad gofod gwedd, nodweddir deinameg y system gan y ffwythiant Hamilton H′, ac yn y llall gan H. Dangosir y syniad y tu ôl i’r hafaliad hwn yn ffigur 5.1.

Gallwn ffurfioli’r prawf hwn fel rhaglen:

(define (canonical? C H Hprime)
  (- (compose (Hamiltonian->state-derivative H) C)
     (* (D C) (Hamiltonian->state-derivative Hprime))))

lle mae Hamiltonian->state-derivative, a gyflwynwyd ym mhennod 3, yn gweithredu D_s. Mae’r trawsffurfiad yn ganonig os yw’r gweddillion hyn yn sero.

Ar gyfer trawsffurfiadau pwynt annibynnol ar amser, gellir ffurfio ffwythiant Hamilton priodol drwy gyfansoddi â’r trawsffurfiad gofod gwedd cyfatebol. Ar gyfer trawsffurfiadau canonig mwy cyffredinol, gwelwn, os yw trawsffurfiad yn annibynnol ar amser, y gellir cael ffwythiant Hamilton addas i’r system newydd drwy gyfansoddi ffwythiant Hamilton â’r trawsffurfiad gofod gwedd. Yn yr achos hwn cawn fformiwla fwy penodol:

$$\begin{array}{ll}{D}_{s}H\circ C_{\text{H}}=D{C}_{\text{H}}·D_s(H\circ C_{\text{H}}).\hfill & (5.21)\hfill \end{array}$$

Trawsffurfiad pegynlinol-canonig

Mae dadansoddi’r osgiliadur harmonig yn dangos sut i ddefnyddio trawsffurfiad canonig cyffredinol i ddatrys problem. Model mathemategol o system sbring–màs syml yw’r osgiliadur harmonig. Un ffwythiant Hamilton ar gyfer system sbring–màs â màs m a chysonyn sbring k yw

$$\begin{array}{ll}H(t,x,p_x)=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2.\hfill & (5.22)\hfill \end{array}$$

Hafaliadau mudiant Hamilton yw

$$\begin{array}{ll}Dx=p_x/m\hfill & \hfill \\ D{p}_x=-kx,\hfill & (5.23)\hfill \end{array}$$

sy’n rhoi’r system ail drefn

$$\begin{array}{ll}m{D}^{2}x+kx=0.\hfill & (5.24)\hfill \end{array}$$

Y datrysiad yw

$$\begin{array}{ll}x(t)=A\sin (\omega t+\phi ),\hfill & (5.25)\hfill \end{array}$$

lle mae

$$\begin{array}{ll}\omega =\sqrt{k/m}\hfill & (5.26)\hfill \end{array}$$

a lle pennir A a φ gan yr amodau cychwynnol.

Defnyddiwn y trawsffurfiad pegynlinol-canonig:

$$\begin{array}{ll}(t,x,p_x)=C_{\alpha }(t,\theta ,I)\hfill & (5.27)\hfill \end{array}$$

lle mae

$$\begin{array}{ll}x=\sqrt{\frac{2I}{\alpha }}\sin \theta \hfill & (5.28)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{p}_x=\sqrt{2\alpha I}\cos \theta .\hfill & (5.29)\hfill \end{array}$$

Yma mae α yn baramedr mympwyol. Diffiniwn:

(define ((polar-canonical alpha) state)
  (let ((t (time state))
        (theta (coordinate state))
        (I (momentum state)))
    (let ((x (* (sqrt (/ (* 2 I) alpha)) (sin theta)))
          (p_x (* (sqrt (* 2 alpha I)) (cos theta))))
      (up t x p_x))))

Ac yn awr rhedwn ein prawf:

(define ((H-harmonic m k) s)
  (+ (/ (square (momentum s)) (* 2 m))
     (* 1/2 k (square (coordinate s)))))

((canonical?
   (polar-canonical 'alpha)
   (H-harmonic 'm 'k)
   (compose (H-harmonic 'm 'k)
            (polar-canonical 'alpha)))
 (up 't 'theta 'I))

(up 0 0 0)

Felly mae’r trawsffurfiad yn ganonig ar gyfer yr osgiliadur harmonig.⁷

Gadewch inni ddefnyddio ein trawsffurfiad pegynlinol-canonig C_α i’n helpu i ddatrys yr osgiliadur harmonig. Amnewidiwn y mynegiadau (5.28) a (5.29) am x a p_x yn ffwythiant Hamilton, gan gael ein ffwythiant Hamilton newydd:

$$\begin{array}{ll}H\prime (t,\theta ,I)=\frac{\alpha I}{m}{(\cos \theta )}^2+\frac{kI}{\alpha }{(\sin \theta )}^2.\hfill & (5.30)\hfill \end{array}$$

Os dewiswn $\alpha =\sqrt{km}$, yna cawn

$$\begin{array}{ll}H\prime (t,\theta ,I)=\sqrt{\frac{k}{m}}I=\omega I,\hfill & (5.31)\hfill \end{array}$$

ac nid yw’r ffwythiant Hamilton newydd yn dibynnu ar y cyfesuryn mwyach. Hafaliad Hamilton ar gyfer I yw

$$\begin{array}{ll}DI(t)=-{\partial }_{1}H\prime (t,\theta (t),I(t))=0,\hfill & (5.32)\hfill \end{array}$$

felly mae I yn gyson. Yr hafaliad ar gyfer θ yw

$$\begin{array}{ll}D\theta (t)={\partial }_{2}H\prime (t,\theta (t),I(t))=\omega ,\hfill & (5.33)\hfill \end{array}$$

felly

$$\begin{array}{ll}\theta (t)=\omega t+\phi .\hfill & (5.34)\hfill \end{array}$$

Yn y newidynnau gwreiddiol,

$$\begin{array}{lll}x(t)\hfill & =\sqrt{2I(t)/\alpha }\sin \theta (t)\hfill & \hfill \\ \hfill & =A\sin (\omega t+\phi ),\hfill & (5.35)\hfill \end{array}$$

gyda’r cysonyn $A=\sqrt{2I(t)/\alpha }$. Felly yr ydym wedi canfod datrysiad y broblem drwy wneud trawsffurfiad canonig i newidynnau gofod gwedd newydd y mae’r datrysiad yn hawdd ynddynt, ac yna drawsffurfio’r datrysiadau’n ôl i’r newidynnau gwreiddiol.

Ymarfer 5.3: Trafferth ym myd Lagrange

A oes ffwythiant Lagrange L′ sy’n cyfateb i ffwythiant Hamilton yr osgiliadur harmonig H′(t, θ, I) = ωI? Beth allai hyn ei olygu o gwbl?

Ymarfer 5.4: Priodweddau grŵp

Os dywedwn fod C_H yn ganonig mewn perthynas â’r ffwythiannau Hamilton H a H′ os, a dim ond os, yw D_sH ∘ C_H = DC_H · D_sH′, yna:

a. Dangoswch fod cyfansoddiad trawsffurfiadau canonig yn ganonig.

b. Dangoswch fod cyfansoddi trawsffurfiadau canonig yn gydgysylltiol.

c. Dangoswch fod y trawsffurfiad unfathiant yn ganonig.

d. Dangoswch fod gwrthdro i drawsffurfiad canonig a bod y gwrthdro’n ganonig.

5.2.1 Trawsffurfiadau sy’n dibynnu ar amser

Yr ydym wedi gweld, ar gyfer trawsffurfiadau pwynt sy’n dibynnu ar amser, mai’r ffwythiant Hamilton sy’n briodol i’r system newydd yw’r ffwythiant Hamilton gwreiddiol wedi’i gyfansoddi â’r trawsffurfiad, gydag ychwanegiad cywiro adiol. Yma canfyddwn ddadelfeniad tebyg ar gyfer trawsffurfiadau canonig cyffredinol sy’n dibynnu ar amser.

Yr allwedd i’r dadelfeniad hwn yw gwahanu rhan amser a rhan gofod gwedd deilliad y cyflwr Hamilton:⁸

$$\begin{array}{lll}{D}_{s}H(s)\hfill & =(1,+{\partial }_{2}H(s),-{\partial }_{1}H(s))\hfill & \hfill \\ \hfill & =T(s)+\mathcal{D}H(s)\hfill & (5.36)\hfill \end{array}$$

lle mae

$$\begin{array}{ll}T(s)=(1,0,0),\hfill & (5.37)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\mathcal{D}H(s)=(0,+{\partial }_{2}H(s),-{\partial }_{1}H(s)),\hfill & (5.38)\hfill \end{array}$$

ar ffurf cod:⁹

(define (T-func s)
  (up 1
      (zero-like (coordinates s))
      (zero-like (momenta s))))

(define ((D-phase-space H) s)
  (up 0 (((partial 2) H) s) (- (((partial 1) H) s))))

Os tybiwn fod H′ = H ∘ C_H + K, yna daw’r amod canonig (5.20) yn

$$\begin{array}{ll}{D}_{s}H\circ C_{\text{H}}=D{C}_{\text{H}}·D_s(H\circ C_{\text{H}}+K).\hfill & (5.39)\hfill \end{array}$$

Wrth ehangu deilliad y cyflwr, yr amod canonig yw

$$\begin{array}{ll}(T+\mathcal{D}H)\circ C_{\text{H}}=D{C}_{\text{H}}·(T+\mathcal{D}(H\circ C_{\text{H}}+K)).\hfill & (5.40)\hfill \end{array}$$

Bodlonir hafaliad (5.40) os bodlonir yr amodau canlynol:

$$\begin{array}{ll}\mathcal{D}H\circ C_{\text{H}}=D{C}_{\text{H}}·\mathcal{D}(H\circ C_{\text{H}})\hfill & (5.41)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}T\circ C_{\text{H}}=D{C}_{\text{H}}·(T+\mathcal{D}K).\hfill & (5.42)\hfill \end{array}$$

Nid yw gwerth T ∘ C_H yn dibynnu ar C_H, felly mae’r term hwn yn syml iawn mewn gwirionedd. Sylwch nad yw hafaliad (5.41) yn dibynnu ar K, ac nad yw hafaliad (5.42) yn dibynnu ar H.

Gellir gweithredu’r rhain fel a ganlyn:

(define (canonical-H? C H)
  (- (compose (D-phase-space H) C)
     (* (D C)
        (D-phase-space (compose H C)))))

(define (canonical-K? C K)
  (- (compose T-func C)
     (* (D C)
        (+ T-func (D-phase-space K)))))

Cyfesurynnau cylchdroadol

Ystyriwch drawsffurfiad sy’n dibynnu ar amser i gyfesurynnau sy’n cylchdroi’n unffurf:¹⁰

$$\begin{array}{ll}q=R(\Omega )\left(t,q\prime \right),\hfill & (5.43)\hfill \end{array}$$

â chydrannau

$$\begin{array}{ll}x=x\prime \cos (\Omega t)-y\prime \sin (\Omega t)\hfill & \hfill \\ y=x\prime \sin (\Omega t)+y\prime \cos (\Omega t).\hfill & (5.44)\hfill \end{array}$$

Ar ffurf rhaglen, dyma

(define ((rotating Omega) state)
  (let ((t (time state)) (qp (coordinate state)))
    (let ((xp (ref qp 0)) (yp (ref qp 1)) (zp (ref qp 2)))
      (up (- (* (cos (* Omega t)) xp)
             (* (sin (* Omega t)) yp))
          (+ (* (sin (* Omega t)) xp)
             (* (cos (* Omega t)) yp))
          zp))))

Estyniad y trawsffurfiad hwn i drawsffurfiad gofod gwedd yw

(define (C-rotating Omega) (F->CH (rotating Omega)))

Yn gyntaf, gwiriwn fod y trawsffurfiad hwn, sy’n dibynnu ar amser, yn bodloni hafaliad (5.41). Fe’i profwn ar ffwythiant Hamilton mympwyol â thair gradd rhyddid:

(define H-arbitrary
  (literal-function 'H
                    (-> (UP Real (UP Real Real Real) (DOWN Real Real Real))
                        Real)))

((canonical-H? (C-rotating 'Omega) H-arbitrary)
 (up 't (up 'xp 'yp 'zp) (down 'pp_x 'pp_y 'pp_z)))
(up 0 (up 0 0 0) (down 0 0 0))

Ac mae’n gweithio. Sylwch nad oedd y canlyniad hwn yn dibynnu ar unrhyw fanylion o ffwythiant Hamilton, sy’n awgrymu y gallem lunio prawf nad oes angen ffwythiant Hamilton arno. Fe welwn hynny cyn bo hir.

Gan fod gennym drawsffurfiad pwynt, gallwn gyfrifo’r addasiad sy’n ofynnol i ffwythiant Hamilton:

((F->K (rotating 'Omega))
 (up 't (up 'xp 'yp 'zp) (down 'pp_x 'pp_y 'pp_z)))
(+ (* Omega pp_x yp) (* -1 Omega pp_y xp))

Felly, ar gyfer y trawsffurfiad hwn, cywiriad priodol i ffwythiant Hamilton yw

$$\begin{array}{ll}K(\Omega )\left(t;x\prime ,y\prime ,z\prime ;p_x^{\prime },p_y^{\prime },p_z^{\prime }\right)=-\Omega \left(x\prime p_y^{\prime }-y\prime p_x^{\prime }\right),\hfill & (5.45)\hfill \end{array}$$

sef negatif cyfradd cylchdroi’r system gyfesurynnau wedi’i luosi â’r momentwm onglaidd. Gweithredwn K fel gweithdrefn

(define ((K Omega) s)
  (let ((qp (coordinate s)) (pp (momentum s)))
    (let ((xp (ref qp 0)) (yp (ref qp 1))
                          (ppx (ref pp 0)) (ppy (ref pp 1)))
      (* -1 Omega (- (* xp ppy) (* yp ppx))))))

a chymhwyswn y prawf. Cawn:

((canonical-K? (C-rotating 'Omega) (K 'Omega))
 (up 't (up 'xp 'yp 'zp) (down 'pp_x 'pp_y 'pp_z)))
(up 0 (up 0 0 0) (down 0 0 0))

Mae’r gweddillion yn sero, felly mae’r K hwn yn cwblhau’r trawsffurfiad canonig yn gywir.

5.2.2 Echdynnu hanfod yr amod canonig

Yr ydym newydd weld, yn achos cyfesurynnau cylchdroadol, nad oedd gwirionedd hafaliad (5.41) yn dibynnu ar fanylion ffwythiant Hamilton. Os yw C_H yn bodloni hafaliad (5.41) ar gyfer unrhyw H, yna gallwn ddeillio amod ar C_H sy’n annibynnol ar H.

Dechreuwn â fersiwn estynedig o hafaliad (5.41):

$$\begin{array}{ll}\mathcal{D}H\circ C_{\text{H}}=D{C}_{\text{H}}·((\mathcal{D}H\circ C_{\text{H}})·D{C}_{\text{H}}),\hfill & (5.46)\hfill \end{array}$$

gan ddefnyddio rheol y gadwyn.

Cyflwynwn ffwythiant aildrefnu:

$$\begin{array}{ll}\tilde{J}([a,b,c])=(0,c,-b).\hfill & (5.47)\hfill \end{array}$$

Mae’r arg i $\tilde{J}$ yn dwpled i lawr o gydrannau deilliad ffwythiant tebyg i ffwythiant Hamilton. Mae’r ffwythiant aildrefnu yn llinol. Gan ddefnyddio $\tilde{J}$ gallwn ysgrifennu $\mathcal{D}H=\tilde{J}\circ DH$.

Boed J yn lluosydd sy’n cyfateb i’r ffwythiant llinol cyson $\tilde{J}$:

$$\begin{array}{ll}J=(D\tilde{J})(s^{\star }),\hfill & (5.48)\hfill \end{array}$$

lle mae s^⋆ yn arg mympwyol, o’r un siâp â DH(s), sy’n gydnaws i’w luosi ag s. Mae gwerth s^⋆ yn amherthnasol oherwydd bod D$\tilde{J}$ yn ffwythiant cyson. Yna gallwn ailysgrifennu hafaliad (5.46) fel

$$\begin{array}{ll}J·DH(C_{\text{H}}(s\prime ))=D{C}_{\text{H}}(s\prime )·J·(DH(C_{\text{H}}(s\prime ))·D{C}_{\text{H}}(s\prime )).\hfill & (5.49)\hfill \end{array}$$

Gallwn symud DC_H(s′) i’r chwith o DH(C_H(s′)) drwy gymryd ei drawsddodiad:¹¹

$$\begin{array}{ll}J·DH(C_{\text{H}}(s\prime ))\hfill & \hfill \\ =D{C}_{\text{H}}(s\prime )·J·({(D{C}_{\text{H}}(s\prime ))}^{\mathcal{T}}·DH(C_{\text{H}}(s\prime ))).\hfill & (5.50)\hfill \end{array}$$

Gan fod ${(D{C}_{\mathrm{H}}(s\prime ))}^{\mathcal{T}}$ yn drawsffurfiad llinol, a bod lluosi’n gydgysylltiol ar gyfer lluosyddion trawsffurfiadau llinol, gallwn ysgrifennu

$$\begin{array}{ll}J·DH(C_{\text{H}}(s\prime ))=D{C}_{\text{H}}(s\prime )·J·{(D{C}_{\text{H}}(s\prime ))}^{\mathcal{T}}·DH(C_{\text{H}}(s\prime )).\hfill & (5.51)\hfill \end{array}$$

Mae hyn yn wir ar gyfer unrhyw H os yw

$$\begin{array}{ll}J=D{C}_{\text{H}}(s\prime )·J·{(D{C}_{\text{H}}(s\prime ))}^{\mathcal{T}}.\hfill & (5.52)\hfill \end{array}$$

Ar ffurf rhaglen, dyma^12,13

(define (J-func DHs)
  (up 0 (ref DHs 2) (- (ref DHs 1))))

(define ((canonical-transform? C) s)
  (let ((J ((D J-func) (compatible-shape s)))
        (DCs ((D C) s)))
    (- J (* DCs J (transpose DCs s)))))

Nid yw’r amod hwn ar C_H, hafaliad (5.52), a elwir yr amod canonig, yn dibynnu ar fanylion H. Mae hwn yn ganlyniad rhyfeddol: gallwn benderfynu a yw trawsffurfiad gofod gwedd yn cadw deinameg hafaliadau Hamilton heb gyfeirio ymhellach at fanylion y system ddynamig. Os yw’r trawsffurfiad yn dibynnu ar amser, gallwn ychwanegu cywiriad at ffwythiant Hamilton i’w wneud yn ganonig.

Enghreifftiau

Mae’r trawsffurfiad pegynlinol-canonig yn bodloni’r amod canonig:

((canonical-transform? (polar-canonical 'alpha))
 (up 't 'theta 'I))
(up (up 0 0 0) (up 0 0 0) (up 0 0 0))

Ond nid yw pob trawsffurfiad y gallem ei brofi yn bodloni’r amod canonig. Er enghraifft, gallem roi cynnig ar x = p sin θ ac p_x = p cos θ. Y gweithrediad yw

(define (a-non-canonical-transform state)
  (let ((t (time state))
        (theta (coordinate state))
        (p (momentum state)))
    (let ((x (* p (sin theta)))
          (p_x (* p (cos theta))))
      (up t x p_x))))

((canonical-transform? a-non-canonical-transform)
 (up 't 'theta 'p))
(up (up 0 0 0) (up 0 0 (+ -1 p)) (up 0 (+ 1 (* -1 p)) 0))

Felly nid yw’r trawsffurfiad hwn yn bodloni’r amod canonig.

Yr amod canonig a chromfachau Poisson

Gellir ysgrifennu’r amod canonig yn syml yn nhermau cromfachau Poisson.

Gellir ysgrifennu cromfach Poisson yn nhermau $\tilde{J}$:

$$\begin{array}{ll}\{f,g\}=(Df)·(\tilde{J}\circ (Dg))=(Df)·J·(Dg),\hfill & (5.53)\hfill \end{array}$$

fel y gwelir drwy ysgrifennu’r cydrannau’n llawn.

Rhannwn y trawsffurfiad C_H yn rannau safle a momentwm:

$$\begin{array}{ll}q=A(t,q\prime ,p\prime )\hfill & (5.54)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}p=B(t,q\prime ,p\prime ).\hfill & (5.55)\hfill \end{array}$$

Yn nhermau ffwythiannau’r cydrannau unigol, yr amod canonig (5.52) yw

$$\begin{array}{ll}{\delta }_j^i=\{A^i,B_j\}\hfill & \hfill \\ 0=\{A^i,A^j\}\hfill & \hfill \\ 0=\{B_i,B_j\}\hfill & (5.56)\hfill \end{array}$$

lle mae ${\delta }_j^i$ yn 1 os yw i = j, ac yn 0 fel arall. Gelwir yr hafaliadau hyn yn gromfachau Poisson sylfaenol. Os yw trawsffurfiad yn bodloni’r perthnasoedd cromfachau Poisson hyn, yna mae’n bodloni’r amod canonig.

Yr ydym wedi canfod bod trawsffurfiad yn ganonig os yw ei ran safle–momentwm yn bodloni’r amod canonig; ond ar gyfer trawsffurfiad sy’n dibynnu ar amser, efallai y bydd rhaid addasu ffwythiant Hamilton drwy ychwanegu K addas. Gallwn ailysgrifennu’r amodau hyn yn nhermau cromfachau Poisson. Os mai ffwythiant Hamilton yw

$$\begin{array}{ll}H\prime (t,q\prime ,p\prime )=H(t,A(t,q\prime ,p\prime ),B(t,q\prime ,p\prime ))+K(t,q\prime ,p\prime ),\hfill & (5.57)\hfill \end{array}$$

bydd y trawsffurfiad yn ganonig os yw’r trawsffurfiad cyfesurynnau–momenta yn bodloni’r cromfachau Poisson sylfaenol, a bod K yn bodloni:

$$\begin{array}{ll}\{A^i,K\}+{\partial }_0{A}^i=0\hfill & \hfill \\ \{B_j,K\}+{\partial }_0{B}_j=0.\hfill & (5.58)\hfill \end{array}$$

Ymarfer 5.5: Amodau cromfachau Poisson

Cwblhewch y manylion i ddangos bod yr amod canonig (5.52) yn gyfwerth â’r cromfachau Poisson sylfaenol (5.56), a bod yr amod ar K (5.42) yn gyfwerth â’r amod cromfach Poisson ar K (5.58).

Matricsau symplectig

Mae’n gyfleus ailffurfio’r amod canonig yn nhermau matricsau. Gallwn gael cynrychioliad matrics o strwythur gyda’r cyfleuster s->m, sy’n cymryd strwythur sy’n cynrychioli lluosydd trawsffurfiad llinol ac yn dychwelyd cynrychioliad matrics o’r lluosydd. Mae’r weithdrefn s->m yn cymryd tri arg: (s->m ls A rs). Mae ls ac rs yn pennu siapiau’r gwrthrychau sy’n lluosi A ar y chwith a’r dde i roi gwerth rhifiadol. Mae’r rhain yn pennu’r sail. Felly, cynrychioliad matrics y lluosydd sy’n cyfateb i $\tilde{J}$ yw

(let* ((s (up 't (up 'x 'y) (down 'px 'py)))
       (s* (compatible-shape s))
       (J ((D J-func) s*)))
  (s->m s* J s*))

(matrix-by-rows
  (list 0 0 0 0 0)
  (list 0 0 0 1 0)
  (list 0 0 0 0 1)
  (list 0 -1 0 0 0)
  (list 0 0 -1 0 0))

Mae’r matrics hwn, J, yn ddefnyddiol, felly darparwn weithdrefn J-matrix fel bod (J-matrix n) yn rhoi’r matrics hwn ar gyfer system ag n gradd rhyddid.

Gallwn bellach ailfynegi’r amod canonig (5.52) fel hafaliad matrics:

$$\begin{array}{ll}J=D{C}_{\text{H}}(s\prime )·J·{(D{C}_{\text{H}}(s\prime ))}^{\mathcal{T}}.\hfill & (5.59)\hfill \end{array}$$

Mae symleiddiad pellach ar gael. Mae elfennau rhes gyntaf a cholofn gyntaf cynrychioliad matrics $\tilde{J}$ i gyd yn sero. Mae hyn yn arwain at symleiddiadau. Ystyriwch drawsffurfiad cyffredinol o gyflyrau gofod gwedd (ar gyfer dwy radd rhyddid):

(define C-general
  (literal-function 'C
                    (-> (UP Real (UP Real Real) (DOWN Real Real))
                        (UP Real (UP Real Real) (DOWN Real Real)))))

Ystyriwch drawsffurfiadau lle nad yw’r amser yn dibynnu ar y cyfesurynnau na’r momenta¹⁴

(define (C-simple-time s)
  (let ((cs (C-general s)))
    (up ((literal-function 'tau) (time s))
        (coordinates cs)
        (momenta cs))))

Ar gyfer y math hwn o drawsffurfiad, mae rhes gyntaf a cholofn gyntaf gweddillion prawf canonical-transform? yn union sero:

(let* ((s (up 't (up 'x 'y) (down 'p_x 'p_y)))
       (s* (compatible-shape s)))
  (m:nth-row
    (s->m s* ((canonical-transform? C-simple-time) s) s*)
    0))

(up 0 0 0 0 0)

(let ((s (up 't (up 'x 'y) (down 'p_x 'p_y)))
      (s* (compatible-shape s)))
  (m:nth-col
    (s->m s* ((canonical-transform? C-simple-time) s) s*)
    0))

(up 0 0 0 0 0)

Ond nid ydynt yn sero ar gyfer C-general. Gan fod y trawsffurfiadau yr ydym yn eu hystyried yn symud yr amser yn unig ar y mwyaf, dim ond yr isfatrics sy’n gysylltiedig â’r cyfesurynnau a’r momenta sydd angen ei ystyried.

Gelwir isfatrics qp¹⁵ y matrics J, o faint 2n × 2n, yn uned symplectig ar gyfer n gradd rhyddid:

$$\begin{array}{ll}{J}_n=\left(\begin{array}{ll}{0}_{n\times n}\hfill & 1_{n\times n}\hfill \\ -1_{n\times n}\hfill & 0_{n\times n}\hfill \end{array}\right).\hfill & (5.60)\hfill \end{array}$$

Mae’r matrics J_n yn bodloni’r unfathiannau canlynol:

$$\begin{array}{ll}{J}_n^{\mathcal{T}}=J_n^{-1}=-J_n.\hfill & (5.61)\hfill \end{array}$$

Gelwir matrics 2n × 2n, A, sy’n bodloni’r berthynas

$$\begin{array}{ll}{J}_n=A{J}_n{A}^{\mathcal{T}}\hfill & (5.62)\hfill \end{array}$$

yn fatrics symplectig. Gallwn benderfynu a yw matrics yn symplectig:

(define (symplectic-matrix? M)
  (let ((2n (m:dimension M)))
    (let ((J (symplectic-unit (quotient 2n 2))))
      (- J (* M J (transpose M))))))

Cynhyrchir matrics uned symplectig priodol o faint penodol gan y weithdrefn symplectic-unit.

Os yw cynrychioliad matrics deilliad trawsffurfiad yn fatrics symplectig, mae’r trawsffurfiad yn drawsffurfiad symplectig. Dyma brawf i weld a yw trawsffurfiad yn symplectig:¹⁶

(define ((symplectic-transform? C) s)
  (symplectic-matrix? (qp-submatrix ((D-as-matrix C) s))))

Mae’r weithdrefn symplectic-transform? yn dychwelyd matrics sero os, a dim ond os, yw’r trawsffurfiad a brofir yn pasio prawf y matrics symplectig.

Er enghraifft, mae’r trawsffurfiadau pwynt yn symplectig. Gallwn ddangos hyn ar gyfer trawsffurfiad pwynt cyffredinol â dwy radd rhyddid, a all ddibynnu ar amser:

(define (F s)
  ((literal-function 'F
                     (-> (X Real (UP Real Real)) (UP Real Real)))
   (time s) (coordinates s)))

((symplectic-transform? (F->CH F))
 (up 't (up 'x 'y) (down 'px 'py)))

(matrix-by-rows
  (list 0 0 0 0)
  (list 0 0 0 0)
  (list 0 0 0 0)
  (list 0 0 0 0))

Yn fwy cyffredinol, mae rhan gofod gwedd yr amod canonig yn gyfwerth â’r amod symplectig (ar gyfer dwy radd rhyddid), hyd yn oed yn achos trawsffurfiad gofod gwedd anghyfyngedig.

(let* ((s (up 't (up 'x 'y) (down 'p_x 'p_y)))
       (s* (compatible-shape s)))
  (- (qp-submatrix
       (s->m s* ((canonical-transform? C-general) s) s*))
     ((symplectic-transform? C-general) s)))

(matrix-by-rows
  (list 0 0 0 0)
  (list 0 0 0 0)
  (list 0 0 0 0)
  (list 0 0 0 0))

Ymarfer 5.6: Matricsau symplectig

Boed A yn fatrics symplectig: $J_n=A{J}_n{A}^{\mathcal{T}}$. Dangoswch fod $A^{\mathcal{T}}$ ac A⁻¹ yn symplectig.

Ymarfer 5.7: Trawsffurfiadau pegynlinol-canonig

Boed x, p a θ, I yn ddwy set o newidynnau cyfiau canonig. Ystyriwch drawsffurfiadau o’r ffurf x = βI^α sin θ a p = βI^α cos θ. Pennwch bob α a β y mae’r trawsffurfiad hwn yn symplectig ar eu cyfer.

Ymarfer 5.8: Y mapiad safonol

A yw’r mapiad safonol yn drawsffurfiad symplectig? Cofiwch mai’r mapiad safonol yw: I′ = I + K sin θ, gyda θ′ = θ + I′, y ddau fodwlo 2π.

Ymarfer 5.9: Trawsffurfiad Whittaker

Dangoswch fod y trawsffurfiad q = log ((sin p′)/q′) gyda p = q′ cot p′ yn symplectig.

5.3 Meintiau annewidiol trawsffurfiadau canonig

Mae trawsffurfiadau canonig yn caniatáu inni newid y system gyfesurynnau gofod gwedd a ddefnyddiwn i fynegi problem, gan gadw ffurf hafaliadau Hamilton. Os datryswn hafaliadau Hamilton mewn un system gyfesurynnau gofod gwedd, gallwn ddefnyddio’r trawsffurfiad i drosglwyddo’r datrysiad i’r system gyfesurynnau arall. Pa briodweddau eraill a gedwir gan drawsffurfiad canonig?

Diffyg annewidioldeb pv

Nodasom yn hafaliad (5.10) fod trawsffurfiadau pwynt sy’n estyniadau canonig o drawsffurfiadau cyfesurynnau annibynnol ar amser yn cadw gwerth pv. Nid yw hyn yn dal ar gyfer trawsffurfiadau canonig mwy cyffredinol. Gallwn ddangos hyn gyda’r trawsffurfiad pegynlinol-canonig. Ar hyd llwybrau cyfatebol x, p_x a θ, I

$$\begin{array}{lll}\hfill x(t)& =\sqrt{\frac{2I(t)}{\alpha }}\sin \theta (t)\hfill & \hfill \\ \hfill p_x(t)& =\sqrt{2I(t)\alpha }\cos \theta (t),\hfill & (5.63)\hfill \end{array}$$

ac felly mae Dx yn

$$\begin{array}{ll}Dx(t)=D\theta (t)\sqrt{\frac{2I(t)}{\alpha }}\cos \theta (t)+DI(t)\frac{1}{\sqrt{2I(t)\alpha }}\sin \theta (t).\hfill & (5.64)\hfill \end{array}$$

Y gwahaniaeth rhwng pv a’r p′v′ wedi’i drawsffurfio yw

$$\begin{array}{ll}{P}_x(t)Dx(t)-I(t)D\theta (t)\hfill & \hfill \\ =I(t)D\theta (t)(2{\cos }^2\theta (t)-1)+DI(t)\sin \theta (t)\cos \theta (t).\hfill & (5.65)\hfill \end{array}$$

Yn gyffredinol, nid yw hwn yn sero. Felly nid yw’r lluoswm pv o reidrwydd yn annewidiol o dan drawsffurfiadau canonig cyffredinol.

Annewidioldeb cromfachau Poisson

Dyma ffaith ryfeddol: mae cyfansoddi cromfach Poisson dau ffwythiant cyflwr gofod gwedd â thrawsffurfiad canonig yn rhoi’r un canlyniad â chymryd cromfach Poisson y ddau ffwythiant ar ôl cyfansoddi pob un ar wahân â’r trawsffurfiad. Yn fras, mae cromfach Poisson yn annewidiol o dan drawsffurfiadau gofod gwedd canonig.

Boed f a g yn ddau ffwythiant cyflwr gofod gwedd. Gan ddefnyddio cynrychioliad $\tilde{J}$ o gromfach Poisson (gweler adran 5.2.2), casglwn fod

$$\begin{array}{ll}\{f\circ C_{\text{H}},g\circ C_{\text{H}}\}\hfill & \hfill \\ =(D(f\circ C_{\text{H}}))·(\tilde{J}\circ D(g\circ C_{\text{H}}))\hfill & \hfill \\ =(Df\circ C_{\text{H}})·D{C}_{\text{H}}·(\tilde{J}\circ ((Dg\circ C_{\text{H}})·D{C}_{\text{H}}))\hfill & \hfill \\ =(Df\circ C_{\text{H}})·(\tilde{J}\circ Dg\circ C_{\text{H}})\hfill & \hfill \\ =(Df·(\tilde{J}\circ Dg))\circ C_{\text{H}}\hfill & \hfill \\ =\{f,g\}\circ C_{\text{H}},\hfill & (5.66)\hfill \end{array}$$

lle defnyddiwyd, yn y canol, y ffaith fod C_H yn bodloni hafaliad (5.41). Hynny yw

$$\begin{array}{ll}\{f\circ C_{\text{H}},g\circ C_{\text{H}}\}=\{f,g\}\circ C_{\text{H}}.\hfill & (5.67)\hfill \end{array}$$

Cadw cyfaint

Ystyriwch drawsffurfiad canonig C_H. Boed Ĉ_t yn ffwythiant â pharamedr t fel bod (q, p) = Ĉ_t(q′, p′) os yw (t, q, p) = C_H(t, q′, p′). Mae’r ffwythiant Ĉ_t yn mapio cyfesurynnau gofod gwedd i gyfesurynnau gofod gwedd eraill ar amser penodol. Ystyriwch ranbarthau R yn (q, p) a R yn (q′, p′) fel bod R = Ĉ_t(R′). Cyfaint y rhanbarth R′ yw

$$\begin{array}{ll}V(R)={\displaystyle {\int }_R\hat{1}}={\displaystyle {\int }_{R\prime }\det (D{\hat{C}}_t),}\hfill & (5.68)\hfill \end{array}$$

lle mae $\hat{1}$ yn ffwythiant sydd â’r gwerth un ar gyfer pob mewnbwn. Nawr, os yw C_H yn symplectig, yna mae determinant DĈ_t yn un (gweler adran 4.2.3), felly

$$\begin{array}{ll}V(R)=V(R\prime ).\hfill & (5.69)\hfill \end{array}$$

Felly mae trawsffurfiadau symplectig yn cadw cyfaint gofod gwedd.

Mae theorem Liouville yn dangos bod esblygiad amser yn cadw cyfaint gofod gwedd. Yma gwelwn fod trawsffurfiadau canonig hefyd yn cadw cyfeintiau gwedd. Yn ddiweddarach, canfyddwn fod esblygiad amser mewn gwirionedd yn generadu trawsffurfiad canonig.

Y 2-ffurf symplectig

Diffiniwch

$$\begin{array}{ll}\omega ({\zeta }_1,{\zeta }_2)=P({\zeta }_2)Q({\zeta }_1)-P({\zeta }_1)Q({\zeta }_2),\hfill & (5.70)\hfill \end{array}$$

lle mae Q = I₁ a P = I₂ yn ddetholwyr y cyfesurynnau a’r momenta, yn y drefn honno. Mae’r argiau ζ₁ a ζ₂ yn gynyddrannau cyflwr gofod gwedd â chydrannau amser sero.

Gellir ysgrifennu’r ffurf ω hefyd fel swm dros y graddau rhyddid:

$$\begin{array}{ll}\omega ({\zeta }_1,{\zeta }_2)={\displaystyle \sum _i(P_i({\zeta }_2)Q^i({\zeta }_1)-P_i({\zeta }_1)Q^i({\zeta }_2)).}\hfill & (5.71)\hfill \end{array}$$

Sylwch nad yw’r cyfraniadau ar gyfer pob i yn cymysgu cydrannau o wahanol raddau rhyddid.

Mae’r ffurf ddeulinol hon yn perthyn yn agos i 2-ffurf symplectig geometreg ddifferol. Mae’n wahanol gan fod y 2-ffurf symplectig, yn ffurfiol, yn ffwythiant o’r pwynt gofod gwedd yn ogystal â’r fectorau cynyddrannol.

O dan drawsffurfiad canonig s = C_H(s′), mae cynyddrannau cyflwr yn trawsffurfio gyda’r deilliad

$$\begin{array}{ll}{\zeta }_i=D{C}_{\text{H}}(s\prime ){\zeta }_i^{\prime }.\hfill & (5.72)\hfill \end{array}$$

Dangoswn fod y 2-ffurf yn annewidiol o dan y trawsffurfiad hwn

$$\begin{array}{ll}\omega ({\zeta }_1,{\zeta }_2)=\omega ({\zeta }_1^{\prime },{\zeta }_2^{\prime }),\hfill & (5.73)\hfill \end{array}$$

os yw cydrannau amser y ${\zeta }_i^{\prime }$ ill dau yn sero.

Yr ydym wedi dangos nad yw amod (5.41) yn dibynnu ar fanylion y ffwythiant Hamilton H. Felly, os yw trawsffurfiad yn bodloni’r amod canonig, gallwn ddefnyddio amod (5.41) gan roi ffwythiant mympwyol f o gyflyrau gofod gwedd yn lle H:

$$\begin{array}{ll}\mathcal{D}f(C_{\text{H}}(s\prime ))=(D{C}_{\text{H}}(s\prime ))·(\mathcal{D}(f\circ C_{\text{H}})(s\prime )).\hfill & (5.74)\hfill \end{array}$$

Yn nhermau ω, cromfach Poisson yw

$$\begin{array}{ll}\{f,g\}(s)=\omega (\mathcal{D}f(s),\mathcal{D}g(s))\hfill & (5.75)\hfill \end{array}$$

fel y gwelir drwy ysgrifennu’r cydrannau’n llawn. Defnyddiwn y ffaith fod cromfachau Poisson yn annewidiol o dan drawsffurfiadau canonig:

$$\begin{array}{ll}(\{f,g\}\circ C_{\text{H}})(s\prime )=\{f\circ C_{\text{H}},g\circ C_{\text{H}}\}(s\prime ).\hfill & (5.76)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio’r berthynas (5.74) i ehangu ochr chwith hafaliad (5.76), cawn:

$$\begin{array}{ll}(\{f,g\}\circ C_{\text{H}})(s\prime )\hfill & \hfill \\ =\omega ((\mathcal{D}f\circ C_{\text{H}})(s\prime ),(\mathcal{D}g\circ C_{\text{H}})(s\prime ))\hfill & \hfill \\ =\omega ((D{C}_{\text{H}}(s\prime ))·(\mathcal{D}(f\circ C_{\text{H}})(s\prime )),\hfill & \hfill \\ (D{C}_{\text{H}}(s\prime ))·(\mathcal{D}(g\circ C_{\text{H}})(s\prime ))).\hfill & (5.77)\hfill \end{array}$$

Ochr dde hafaliad (5.76) yw

$$\begin{array}{ll}\{f\circ C_{\text{H}},g\circ C_{\text{H}}\}(s\prime )=\omega (\mathcal{D}(f\circ C_{\text{H}})(s\prime ),\mathcal{D}(g\circ C_{\text{H}})(s\prime )).\hfill & (5.78)\hfill \end{array}$$

Nawr, rhaid i’r ochr chwith fod yn hafal i’r ochr dde ar gyfer unrhyw f a g, felly rhaid i’r hafaliad fod yn wir hefyd ar gyfer ${\zeta }_i^{\prime }$ mympwyol o’r ffurf

$$\begin{array}{ll}{\zeta }_1^{\prime }=\mathcal{D}(f\circ C_{\text{H}})(s\prime )\hfill & \hfill \\ {\zeta }_2^{\prime }=\mathcal{D}(g\circ C_{\text{H}})(s\prime ).\hfill & (5.79)\hfill \end{array}$$

Felly mae’r ${\zeta }_i^{\prime }$ yn gynyddrannau cyflwr mympwyol â chydrannau amser sero.

Yr ydym wedi profi bod

$$\begin{array}{ll}\omega ({\zeta }_1^{\prime },{\zeta }_2^{\prime })=\omega (D{C}_{\text{H}}(s\prime )·{\zeta }_1^{\prime },D{C}_{\text{H}}(s\prime )·{\zeta }_2^{\prime }).\hfill & (5.80)\hfill \end{array}$$

ar gyfer C_H canonig a chynyddrannau cyflwr ${\zeta }_i^{\prime }$ â chydrannau amser sero. Gan ddefnyddio hafaliad (5.72), cawn

$$\begin{array}{ll}\omega ({\zeta }_1^{\prime },{\zeta }_2^{\prime })=\omega ({\zeta }_1,{\zeta }_2).\hfill & (5.81)\hfill \end{array}$$

Felly mae’r ffwythiant deulinol gwrthgymesur ω yn annewidiol hyd yn oed o dan drawsffurfiadau canonig sy’n amrywio gydag amser, os cyfyngir y cynyddrannau i fod â chydran amser sero.

Ar ffurf rhaglen, ω yw

(define (omega zeta1 zeta2)
  (- (* (momentum zeta2) (coordinate zeta1))
     (* (momentum zeta1) (coordinate zeta2))))

Ar dudalen 356 dangosasom fod trawsffurfiadau pwynt yn symplectig. Yma gallwn weld bod y 2-ffurf yn cael ei chadw o dan y trawsffurfiadau hyn ar gyfer dwy radd rhyddid:

(define (F s)
  ((literal-function 'F
                     (-> (X Real (UP Real Real)) (UP Real Real)))
   (time s)
   (coordinates s)))

(let ((s (up 't (up 'x 'y) (down 'p_x 'p_y)))
      (zeta1 (up 0 (up 'dx1 'dy1) (down 'dp1_x 'dp1_y)))
      (zeta2 (up 0 (up 'dx2 'dy2) (down 'dp2_x 'dp2_y))))
  (let ((DCs ((D (F->CH F)) s)))
    (- (omega zeta1 zeta2)
       (omega (* DCs zeta1) (* DCs zeta2)))))
0

Fel arall, boed z₁ a z₂ yn gynrychioliadau matrics o rannau qp ζ₁ a ζ₂. Cynrychioliad matrics ω yw

$$\begin{array}{ll}\omega ({\zeta }_1,{\zeta }_2)=z_1^{\mathcal{T}}·J_n·z_2.\hfill & (5.82)\hfill \end{array}$$

Boed A yn gynrychioliad matrics o ran qp DC_H(s′). Yna mae annewidioldeb ω yn gyfwerth â

$$\begin{array}{ll}{z}_1^{\mathcal{T}}·A^{\mathcal{T}}·{\text{J}}_n·A·z_2=z_1^{\mathcal{T}}·J_n·z_2.\hfill & (5.83)\hfill \end{array}$$

Ond mae hyn yn wir os yw

$$\begin{array}{ll}{A}^{\mathcal{T}}·J_n·A=J_n,\hfill & (5.84)\hfill \end{array}$$

sy’n gyfwerth â’r amod fod A yn symplectig. (Os yw matrics yn symplectig, yna mae ei drawsddodiad yn symplectig. Gweler ymarfer 5.6.)

Mae’r amod symplectig yn gymesur yn yr ystyr, os yw A yn symplectig, fod $A^{\mathcal{T}}$ yn symplectig, oherwydd bod yr uned symplectig yn wrthdroadwy. Mae’r amod canonig

$$\begin{array}{ll}J=D{C}_{\text{H}}(s\prime )·J·{(D{C}_{\text{H}}(s\prime ))}^{\mathcal{T}},\hfill & (5.85)\hfill \end{array}$$

yn cael ei fodloni gan drawsffurfiadau canonig sy’n amrywio gydag amser, ac mae trawsffurfiadau canonig o’r fath yn symplectig. Ond os yw’r trawsffurfiad yn amrywio gydag amser, yna ni fodlonir

$$\begin{array}{ll}J={(D{C}_{\text{H}}(s\prime ))}^{\mathcal{T}}·J·D{C}_{\text{H}}(s\prime ),\hfill & (5.86)\hfill \end{array}$$

oherwydd nad yw J yn wrthdroadwy. Fodd bynnag, bodlonir hafaliad (5.86) ar gyfer trawsffurfiadau annibynnol ar amser.

Annewidiolyn integrynnol Poincaré

Mae dehongliad syml i annewidioldeb y 2-ffurf symplectig o dan drawsffurfiadau canonig. Ystyriwch sut mae arwynebedd paralelogram cynyddrannol mewn gofod gwedd yn trawsffurfio o dan drawsffurfiad canonig. Boed (Δq, Δp) a (δq, δp) yn gynyddrannau bach mewn gofod gwedd, sy’n tarddu yn (q, p). Ystyriwch y paralelogram cynyddrannol sydd â fertig yn (q, p) a’r ddau gynyddran gofod gwedd hyn yn ymylon iddo. Gellir ysgrifennu swm arwynebeddau tafluniadau canonig y paralelogram cynyddrannol hwn fel

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _i\Delta A_i={\displaystyle \sum _i(\Delta q^i\delta p_i-\Delta p_i\delta q^i).}}\hfill & (5.87)\hfill \end{array}$$

Yr ochr dde yw swm yr arwynebeddau ar y plânau canonig;¹⁷ ar gyfer pob i, cyfrifir arwynebedd paralelogram o gydrannau’r fectorau sy’n diffinio ei ochrau cyfagos. Boed ζ₁ = (0, Δq, Δp) a ζ₂ = (0, δq, δp); yna swm arwynebeddau’r paralelogramau cynyddrannol yw yn syml

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _i\Delta A_i=\omega ({\zeta }_1,{\zeta }_2),}\hfill & (5.88)\hfill \end{array}$$

lle mae ω yn ffwythiant deulinol gwrthgymesur a gyflwynwyd yn hafaliad (5.70). Mae’r ffwythiant ω yn annewidiol o dan drawsffurfiadau canonig, felly mae swm arwynebeddau’r paralelogramau cynyddrannol yn annewidiol o dan drawsffurfiadau canonig.

Mae fersiwn integrynnol o’r berthynas ddifferol hon. Ystyriwch arwynebedd cyfeiriedig rhanbarth R′ mewn gofod gwedd (gweler ffigur 5.2). Tybiwch ein bod yn gwneud trawsffurfiad canonig o gyfesurynnau (q′, p′) i (q, p), gan gymryd rhanbarth R′ i ranbarth R. Dim ond delwedd y ffin wreiddiol o dan y trawsffurfiad canonig yw ffin y rhanbarth yn y cyfesurynnau newydd. Boed $R_{q^i,p_i}$ yn dafluniad y rhanbarth R ar blân qⁱ, p_i y cyfesuryn qⁱ a’r momentwm cyfiau p_i, a boed A_i yn arwynebedd iddo. Yn yr un modd, boed $R_{q{\prime }^i,p_i^{\prime }}^{\prime }$ yn dafluniad R′ ar y plân $q{\prime }^i,p_i^{\prime }$, a boed $A_i^{\prime }$ yn arwynebedd iddo.

Dim ond terfan swm arwynebeddau paralelogramau cynyddrannol sy’n gorchuddio’r rhanbarth yw arwynebedd rhanbarth mympwyol, felly mae trawsffurfiadau canonig yn cadw swm yr arwynebeddau cyfeiriedig:

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _i{A}_i={\displaystyle \sum _i{A}_i^{\prime }.}}\hfill & (5.89)\hfill \end{array}$$

Hynny yw, mae trawsffurfiadau canonig yn cadw swm yr arwynebeddau tafluniedig ar y plânau canonig. Ffordd arall o ddweud hyn yw

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _i{\displaystyle {\int }_{R_{q^i,p_i}}d{q}^{i}d{p}_i={\displaystyle \sum _i{\displaystyle {\int }_{R_{q{\prime }^i,p_i^{\prime }}^{\prime }}dq{\prime }^{i}d{p}_i^{\prime }.}}}}\hfill & (5.90)\hfill \end{array}$$

Gellir ysgrifennu’r berthynas cydraddoldeb arwynebeddau (5.90) hefyd fel cydraddoldeb integrynnau llinell drwy ddefnyddio theorem Stokes, ar gyfer rhanbarthau syml-gysylltiedig $R_{q^i,p_i}$ ac $R_{q{\prime }^i,p_i^{\prime }}^{\prime }$:

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _i{\displaystyle {\oint }_{\partial R_{q^i,p_i}}{p}_{i}d{q}^i={\displaystyle \sum _i{\displaystyle {\oint }_{\partial R_{q{\prime }^i,p_i^{\prime }}^{\prime }}{p}_i^{\prime }dq{\prime }^i.}}}}\hfill & (5.91)\hfill \end{array}$$

Mae’r plânau canonig yn ddigyswllt ac eithrio yn y tarddbwynt, felly mae’r arwynebeddau tafluniedig yn croestorri mewn un pwynt ar y mwyaf. Felly gallwn grynhoi’r integrynnau llinell o amgylch ffiniau tafluniadau unigol y rhanbarth ar y plânau canonig, yn annibynnol ar ei gilydd, i ffurfio integryn llinell o amgylch y rhanbarth heb ei daflunio:

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle {\oint }_{\partial R}{\displaystyle \sum _i{p}_{i}d{q}^i={\displaystyle {\oint }_{\partial R\prime }{\displaystyle \sum _i{p}_i^{\prime }dq{\prime }^i.}}}}\hfill & (5.92)\hfill \end{array}$$

Ymarfer 5.10: Byddwch yn ofalus

Ystyriwch y trawsffurfiad canonig C_H:

$$(t,x,p)=C_{\text{H}}(t,\theta ,J)=(t,\sqrt{2(J+a)}\sin \theta ,\sqrt{2(J+a)}\cos \theta ).$$

a. Dangoswch fod y trawsffurfiad yn symplectig ar gyfer unrhyw a.

b. Dangoswch nad yw hafaliad (5.92) yn cael ei fodloni’n gyffredinol ar gyfer y rhanbarth a amgaeir gan gromlin o J cyson.

5.4 Ffwythiannau generadu

Yr ydym wedi ystyried nifer o briodweddau trawsffurfiadau canonig cyffredinol heb feddu ar ddull o’u llunio. Yma cyflwynwn ddull ffwythiannau generadu. Mae ffwythiant generadu yn ffwythiant â gwerthoedd real sy’n pennu trawsffurfiad canonig yn gryno drwy ei ddeilliadau rhannol, fel a ganlyn.

Ystyriwch ffwythiant â gwerthoedd real F₁(t, q, q′), sy’n mapio ffurfweddau a fynegir mewn dwy system gyfesurynnau i’r rhifau real. Defnyddiwn F₁ i lunio trawsffurfiad canonig o un system gyfesurynnau i’r llall. Dangoswn fod y perthnasoedd canlynol rhwng y cyfesurynnau, y momenta a’r ffwythiannau Hamilton yn pennu trawsffurfiad canonig:

$$\begin{array}{ll}p={\partial }_1{F}_1(t,q,q\prime )\hfill & (5.93)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}p\prime =-{\partial }_2{F}_1(t,q,q\prime )\hfill & (5.94)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}H\prime (t,q\prime ,p\prime )-H(t,q,p)={\partial }_0{F}_1(t,q,q\prime ).\hfill & (5.95)\hfill \end{array}$$

Yna rhoddir y trawsffurfiad yn eglur drwy ddatrys ar gyfer un set o newidynnau yn nhermau’r lleill: i gael y newidynnau â phrim yn nhermau’r rhai heb brim, boed A yn wrthdro ∂₁F₁ mewn perthynas â’r trydydd arg,

$$\begin{array}{ll}q\prime =A(t,q,{\partial }_1{F}_1(t,q,q\prime ));\hfill & (5.96)\hfill \end{array}$$

yna

$$\begin{array}{ll}q\prime =A(t,q,p)\hfill & (5.97)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}p\prime =-{\partial }_2{F}_1(t,q,A(t,q,p)).\hfill & (5.98)\hfill \end{array}$$

Boed B yn rhan gyfesurynnau’r trawsffurfiad gofod gwedd q = B(t, q′, p′). Mae’r B hwn yn ffwythiant gwrthdro i ∂₂F₁, sy’n bodloni

$$\begin{array}{ll}q=B(t,q\prime ,-{\partial }_2{F}_1(t,q,q\prime )).\hfill & (5.99)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio B, cawn

$$\begin{array}{ll}q=B(t,q\prime ,p\prime )\hfill & (5.100)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}p={\partial }_1{F}_1(t,B(t,q\prime ,p\prime ),q\prime ).\hfill & (5.101)\hfill \end{array}$$

Er mwyn rhoi’r trawsffurfiad ar ffurf eglur, rhaid i’r ffwythiannau gwrthdro A a B fodoli.

Gallwn ddefnyddio’r perthnasoedd uchod i wirio bod trawsffurfiad penodol o un set o gyfesurynnau gofod gwedd (q, p) â ffwythiant Hamilton H(t, q, p) i set arall (q′, p′) â ffwythiant Hamilton H′(t, q′, p′) yn ganonig drwy ganfod F₁(t, q, q′) sy’n bodloni’r perthnasoedd uchod. Gallwn hefyd ddefnyddio ffwythiannau generadu o’r math F₁, wedi’u dewis yn fympwyol, i generadu trawsffurfiadau canonig newydd.

Y trawsffurfiad pegynlinol-canonig

Y trawsffurfiad pegynlinol-canonig (5.27) o’r cyfesuryn a’r momentwm (x, p_x) i’r cyfesuryn newydd a’r momentwm newydd (θ, I),

$$\begin{array}{cc}x=\sqrt{\frac{2I}{\alpha }}\sin \theta & (5.102)\end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{p}_x=\sqrt{2I\alpha }\cos \theta ,\hfill & (5.103)\hfill \end{array}$$

a gyflwynwyd yn gynharach, yn ganonig. Gellir dangos hyn hefyd drwy ganfod ffwythiant generadu F₁ addas. Mae’r ffwythiant generadu yn bodloni set o hafaliadau differol rhannol, (5.93) a (5.94):

$$\begin{array}{ll}p{}_x={\partial }_1{F}_1(t,x,\theta )\hfill & (5.104)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}I=-{\partial }_2{F}_1(t,x,\theta ).\hfill & (5.105)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio’r perthnasoedd (5.102) a (5.103), sy’n pennu’r trawsffurfiad, gellir ailysgrifennu hafaliad (5.104) fel

$$\begin{array}{ll}{p}_x=x\alpha \cot \theta ={\partial }_1{F}_1(t,x,\theta ),\hfill & (5.106)\hfill \end{array}$$

sy’n hawdd ei integru i roi

$$\begin{array}{ll}{F}_1(t,x,\theta )=\frac{\alpha }{2}{x}^2\cot \theta +\phi (t,\theta ),\hfill & (5.107)\hfill \end{array}$$

lle mae φ yn rhyw “gysonyn” integru mewn perthynas â’r integru cyntaf. Wrth amnewid y ffurf hon am F₁ yn yr ail hafaliad differol rhannol (5.105), cawn

$$\begin{array}{ll}I=-{\partial }_2{F}_1(t,x,\theta )=\frac{\alpha }{2}\frac{x^2}{{(\sin \theta )}^2}-{\partial }_1\phi (t,\theta ),\hfill & (5.108)\hfill \end{array}$$

ond os gosodwn φ = 0, adferir y perthnasoedd a ddymunir. Felly mae’r ffwythiant generadu

$$\begin{array}{ll}{F}_1(t,x,\theta )=\frac{\alpha }{2}{x}^2\cot \theta \hfill & (5.109)\hfill \end{array}$$

yn generadu’r trawsffurfiad pegynlinol-canonig. Mae hyn yn dangos bod y trawsffurfiad hwn yn ganonig.

5.4.1 Mae F₁ yn generadu trawsffurfiadau canonig

Gallwn brofi’n uniongyrchol fod y trawsffurfiad a generadir gan F₁ yn ganonig drwy ddangos, os bodlonir hafaliadau Hamilton mewn un set o gyfesurynnau, y byddant yn cael eu bodloni yn y set arall o gyfesurynnau. Boed i F₁ gymryd yr argiau (t, x, y). Y perthnasoedd rhwng y cyfesurynnau yw

$$\begin{array}{ll}{p}_x={\partial }_1{F}_1(t,x,y)\hfill & \hfill \\ p_y=-{\partial }_2{F}_1(t,x,y)\hfill & (5.110)\hfill \end{array}$$

a chysylltir y ffwythiannau Hamilton gan

$$\begin{array}{ll}H\prime (t,y,p_y)=H(t,x,p_x)+{\partial }_0{F}_1(t,x,y).\hfill & (5.111)\hfill \end{array}$$

Wrth amnewid perthnasoedd y ffwythiant generadu (5.110) yn yr hafaliad hwn, cawn

$$\begin{array}{ll}H\prime (t,y,-{\partial }_2{F}_1(t,x,y))\hfill & \hfill \\ =H(t,x,{\partial }_1{F}_1(t,x,y))+{\partial }_0{F}_1(t,x,y).\hfill & (5.112)\hfill \end{array}$$

Cymerwch ddeilliadau rhannol y cydraddoldeb mynegiadau hwn mewn perthynas â’r newidynnau x a y:¹⁸

$$\begin{array}{ll}-{({\partial }_{2}H\prime )}^j{({\partial }_1{({\partial }_2{F}_1)}_j)}_i\hfill & \hfill \\ ={({\partial }_{1}H)}_i+{({\partial }_{2}H)}^j{({\partial }_1{({\partial }_1{F}_1)}_j)}_i+{({\partial }_1{\partial }_0{F}_1)}_i\hfill & \hfill \\ {({\partial }_{1}H\prime )}_i-{({\partial }_{2}H\prime )}^j{({\partial }_2{({\partial }_2{F}_1)}_j)}_i\hfill & \hfill \\ ={({\partial }_{2}H)}^j{({\partial }_2{({\partial }_1{F}_1)}_j)}_i+{({\partial }_2{\partial }_0{F}_1)}_i\hfill & (5.113)\hfill \end{array}$$

lle mae’r argiau’n ddiamwys ac wedi’u hepgor. Ar lwybrau datrysiad, gallwn ddefnyddio hafaliadau Hamilton ar gyfer y system (x, p_x) i roi deilliadau x a p_x yn lle deilliadau rhannol H, gan gael

$$\begin{array}{ll}-{({\partial }_{2}H\prime )}^j{({\partial }_1{({\partial }_2{F}_1)}_j)}_i\hfill & \hfill \\ =-{(D{p}_x)}_i+{(Dx)}^j{({\partial }_1{({\partial }_1{F}_1)}_j)}_i+{({\partial }_1{\partial }_0{F}_1)}_i\hfill & \hfill \\ {({\partial }_{1}H\prime )}_i-{({\partial }_{2}H\prime )}^j{({\partial }_2{({\partial }_2{F}_1)}_j)}_i\hfill & \hfill \\ ={(Dx)}^j{({\partial }_2{({\partial }_1{F}_1)}_j)}_i+{({\partial }_2{\partial }_0{F}_1)}_i.\hfill & (5.114)\hfill \end{array}$$

Nawr cyfrifwch ddeilliadau p_x a p_y, o hafaliadau (5.110), ar hyd llwybrau cyson:

$$\begin{array}{l}{(D{p}_x)}_i={({\partial }_1{({\partial }_1{F}_1)}_i)}_j{(Dx)}^j+{({\partial }_2{({\partial }_1{F}_1)}_i)}_j{(D_y)}^j+{\partial }_0{({\partial }_1{F}_1)}_i\hfill \\ {(D{p}_y)}_i=-{({\partial }_1{({\partial }_2{F}_1)}_i)}_j{(Dx)}^j-{({\partial }_2{({\partial }_2{F}_1)}_i)}_j{(D_y)}^j-{\partial }_0{({\partial }_2{F}_1)}_i.\hfill \\ \hfill (5.115)\end{array}$$

Gan ddefnyddio’r ffaith fod deilliadau rhannol elfennol yn cymudo, (∂₂(∂₁F₁)_i)_j = (∂₁(∂₂F₁)_j)_i, ac amnewid y mynegiad hwn am (Dp_x)_i yn y cyntaf o hafaliadau (5.114), ceir

$$\begin{array}{ll}-{({\partial }_{2}H\prime )}^j{({\partial }_1{({\partial }_2{F}_1)}_j)}_i=-{({\partial }_1{({\partial }_2{F}_1)}_j)}_i{(D_y)}^j.\hfill & (5.116)\hfill \end{array}$$

Ar yr amod bod ∂₂∂₁F₁ yn an-unigol,¹⁹ yr ydym wedi deillio un o hafaliadau Hamilton ar gyfer y system (y, p_y):

$$\begin{array}{ll}{D}_y(t)={\partial }_{2}H\prime (t,y(t),p_y(t)).\hfill & (5.117)\hfill \end{array}$$

Gellir deillio hafaliad arall Hamilton,

$$\begin{array}{ll}D{p}_y(t)=-{\partial }_{1}H\prime (t,y(t),p_y(t)),\hfill & (5.118)\hfill \end{array}$$

mewn ffordd debyg. Felly mae perthnasoedd y ffwythiant generadu yn wir yn pennu trawsffurfiad canonig.

5.4.2 Ffwythiannau generadu ac integrynnau annewidiol

Gellir defnyddio ffwythiannau generadu i bennu trawsffurfiad canonig drwy’r dull a roddwyd uchod. Yma dangoswn sut i gael ffwythiant generadu o drawsffurfiad canonig, a deilliwn reolau’r ffwythiant generadu.

Gellir deillio cynrychioliad ffwythiannau generadu o drawsffurfiadau canonig o integrynnau annewidiol Poincaré, fel a ganlyn. Yn gyntaf dangoswn, o gael trawsffurfiad canonig, fod yr integrynnau annewidiol yn awgrymu bodolaeth ffwythiant o gyfesurynnau gofod gwedd y gellir ei ysgrifennu fel integryn llinell annibynnol ar y llwybr. Yna dangoswn fod deilliadau rhannol y ffwythiant hwn, wedi’i gynrychioli mewn cyfesurynnau cymysg, yn rhoi perthnasoedd y ffwythiant generadu rhwng y cyfesurynnau hen a newydd. Dim ond ar gyfer trawsffurfiadau annibynnol ar amser y mae angen gwneud hyn, oherwydd bod trawsffurfiadau sy’n dibynnu ar amser yn dod yn annibynnol ar amser yn y gofod gwedd estynedig (gweler adran 5.5).

Ffwythiannau generadu o’r math F₁

Boed C yn drawsffurfiad canonig annibynnol ar amser, a boed C_t yn rhan qp y trawsffurfiad. Mae’r trawsffurfiad C_t yn cadw hafaliad yr integryn annewidiol (5.90). Un ffordd o fynegi cydraddoldeb yr arwynebeddau yw fel integryn llinell (5.92):

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle {\oint }_{\partial R}{\displaystyle \sum _i{p}_{i}d{q}^i={\displaystyle {\oint }_{\partial R\prime }{\displaystyle \sum _i{p}_i^{\prime }dq{\prime }^i,}}}}\hfill & (5.119)\hfill \end{array}$$

lle mae R′ yn rhanbarth dau ddimensiwn mewn cyfesurynnau (q′, p′) ar amser t, mae R = C_t(R′) yn rhanbarth cyfatebol mewn cyfesurynnau (q, p), ac mae ∂R yn dynodi ffin y rhanbarth R. Mae hyn yn dal ar gyfer unrhyw ranbarth a’i ffin. Dangoswn fod hyn yn awgrymu bod ffwythiant F (t, q′, p′) y gellir ei ddiffinio yn nhermau integrynnau llinell

$$\begin{array}{ll}F(t,q\prime ,p\prime )-F(t,q_0^{\prime },p_0^{\prime })\hfill & \hfill \\ ={\displaystyle {\int }_{\gamma =C_t(\gamma \prime )}{\displaystyle \sum _i{p}_{i}d{q}^i-{\displaystyle {\int }_{\gamma \prime }{\displaystyle \sum _i{p}_i^{\prime }dq{\prime }^i,}}}}\hfill & (5.120)\hfill \end{array}$$

lle mae γ′ yn gromlin mewn cyfesurynnau gofod gwedd sy’n dechrau yn $\gamma \prime (0)=(q_0^{\prime },p_0^{\prime })$ ac yn gorffen yn γ′(1) = (q′, p′), a lle mae γ yn ddelwedd iddi o dan C_t.

Boed

$$\begin{array}{ll}G{}_t(\gamma \prime )={\displaystyle {\int }_{\gamma =C_t(\gamma \prime )}{\displaystyle \sum _i{p}_{i}d{q}^i-{\displaystyle {\int }_{\gamma \prime }{\displaystyle \sum _i{p}_i^{\prime }dq{\prime }^i,}}}}\hfill & (5.121)\hfill \end{array}$$

a boed ${\gamma }_1^{\prime }$ ac ${\gamma }_2^{\prime }$ yn ddau lwybr â’r un pwyntiau terfyn. Yna

$$\begin{array}{lll}{G}_t({\gamma }_2^{\prime })-G_t({\gamma }_1^{\prime })\hfill & ={\displaystyle {\oint }_{\partial R}{\displaystyle \sum p_{i}d{q}^i-{\displaystyle {\oint }_{\partial R\prime }{\displaystyle \sum p_i^{\prime }dq{\prime }^i}}}}\hfill & \hfill \\ \hfill & =0.\hfill & (5.122)\hfill \end{array}$$

Felly mae gwerth G_t(γ′) yn dibynnu ar bwyntiau terfyn γ′ yn unig.

Boed

$$\begin{array}{ll}{\overline{G}}_{t,q_0^{\prime },p_0^{\prime }}(q\prime ,p\prime )=G_t(\gamma \prime ),\hfill & (5.123)\hfill \end{array}$$

lle mae γ′ yn unrhyw lwybr o $q_0^{\prime },p_0^{\prime }$ i q′, p′. Mae newid y pwynt cychwynnol o $q_0^{\prime }{p}_0^{\prime }$ i $q_1^{\prime }{p}_1^{\prime }$ yn newid gwerth Ḡ gan gysonyn:

$$\begin{array}{ll}{\overline{G}}_{t,q_1^{\prime },p_1^{\prime }}(q\prime ,p\prime )-{\overline{G}}_{t,q_0^{\prime },p_0^{\prime }}(q\prime ,p\prime )={\overline{G}}_{t,q_1^{\prime },p_1^{\prime }}(q_0^{\prime },p_0^{\prime }).\hfill & (5.124)\hfill \end{array}$$

Os diffiniwn F fel bod

$$\begin{array}{ll}F(t,q\prime ,p\prime )={\overline{G}}_{t,q_1^{\prime },p_1^{\prime }}(q\prime ,p\prime ),\hfill & (5.125)\hfill \end{array}$$

yna

$$\begin{array}{ll}F(t,q\prime ,p\prime )-F(t,q_0^{\prime },p_0^{\prime })={\overline{G}}_{t,q_0^{\prime },p_0^{\prime }}(q\prime ,p\prime ),\hfill & (5.126)\hfill \end{array}$$

sy’n dangos hafaliad (5.120).

Mae’r pwynt gofod gwedd (q, p) mewn newidynnau heb brim yn cyfateb i (q′, p′) mewn newidynnau â phrim, ar amser mympwyol t. Pennir p a q ill dau o gael q′ a p′. Yn gyffredinol, o gael unrhyw ddau o’r pedwar maint hyn, gallwn ddatrys ar gyfer y ddau arall. Os gallwn ddatrys ar gyfer y momenta yn nhermau’r safleoedd, cawn ddosbarth penodol o ffwythiannau generadu.²⁰ Cyflwynwn y ffwythiannau

$$\begin{array}{lll}\hfill p& \hfill =f_p(t,q,q\prime )& \hfill \\ p\prime \hfill & \hfill =f_{p\prime }(t,q,q\prime )& (5.127)\hfill \end{array}$$

sy’n datrys yr hafaliadau trawsffurfio (t, q, p) = C(t, q′, p′) ar gyfer y momenta yn nhermau’r cyfesurynnau ar amser penodol. Gyda’r rhain cyflwynwn ffwythiant F₁(t, q, q′) fel bod

$$\begin{array}{ll}{F}_1(t,q,q\prime )=F(t,q,f_p(t,q,q\prime )).\hfill & (5.128)\hfill \end{array}$$

Mae gan y ffwythiant F₁ yr un gwerth â F, ond mae ganddo argiau gwahanol. Dangoswn mai’r F₁ hwn mewn gwirionedd yw’r ffwythiant generadu ar gyfer trawsffurfiadau canonig a gyflwynwyd yn adran 5.4. Gadewch inni roi diffiniad eglur o F₁ yn nhermau integryn llinell:

$$\begin{array}{ll}{F}_1(t,q,q\prime )-F_1(t,q_0,q_0^{\prime })\hfill & \hfill \\ ={\displaystyle {\int }_{q_0,q_0^{\prime }}^{q,q\prime }(f_p(t,q,q\prime )dq-f_{p\prime }(t,q,q\prime )dq\prime ).}\hfill & (5.129)\hfill \end{array}$$

Gellir cyfuno’r ddau integryn llinell yn yr un hwn oherwydd bod y ddau wedi’u mynegi fel integrynnau ar hyd cromlin yn (q, q′).

Gallwn ddefnyddio annibyniaeth F₁ ar y llwybr i gyfrifo deilliadau rhannol F₁ mewn perthynas â chydrannau penodol, ac o ganlyniad ddeillio perthnasoedd y ffwythiant generadu ar gyfer y momenta.²¹ Felly casglwn fod

$$\begin{array}{ll}{({\partial }_1{F}_1(t,q,q\prime ))}_i=f_{p_i}(t,q,q\prime )\hfill & (5.130)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{({\partial }_2{F}_1(t,q,q\prime ))}_i=-f_{p_i^{\prime }}(t,q,q\prime ).\hfill & (5.131)\hfill \end{array}$$

Dyma’n union rannau ffurfwedd a momentwm perthnasoedd y ffwythiant generadu ar gyfer trawsffurfiad canonig. Felly, gan ddechrau â thrawsffurfiad canonig, gallwn ganfod ffwythiant generadu sy’n rhoi rhan gyfesurynnau–momenta’r trawsffurfiad drwy ei ddeilliadau.

Gan ddechrau â thrawsffurfiad canonig cyffredinol, yr ydym wedi llunio ffwythiant generadu F₁ y gellir ail-ddeillio’r trawsffurfiad canonig ohono. Felly disgwyliwn fod ffwythiant generadu ar gyfer pob trawsffurfiad canonig.²²

Ffwythiannau generadu o’r math F₂

Eithriwyd trawsffurfiadau pwynt o’r ddadl flaenorol oherwydd na allem ddiddwytho’r momenta o’r cyfesurynnau. Fodd bynnag, mae deilliad tebyg yn caniatáu inni lunio ffwythiant generadu ar gyfer yr achos hwn. Mae’r integrynnau annewidiol yn rhoi cydraddoldeb integrynnau arwynebedd inni. Mae ffyrdd eraill o ysgrifennu’r berthynas cydraddoldeb arwynebeddau (5.90) fel integryn llinell. Gallwn hefyd ysgrifennu

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle {\oint }_{\partial R}{\displaystyle \sum _i{p}_{i}d{q}^i=-{\displaystyle {\oint }_{\partial R\prime }{\displaystyle \sum _i{q}_i^{\prime }dp{\prime }^i.}}}}\hfill & (5.132)\hfill \end{array}$$

Mae’r arwydd minws yn codi oherwydd bod cyfnewid yr echelinau yn golygu ein bod yn croesi’r arwynebedd yn yr ystyr wrthwyneb. Gan ailadrodd y ddadl a roddwyd yn awr, gallwn ddiffinio ffwythiant

$$\begin{array}{ll}F\prime (t,q\prime ,p\prime )-F\prime (t,q_0^{\prime },p_0^{\prime })\hfill & \hfill \\ ={\displaystyle {\int }_{\gamma =C(t,\gamma \prime )}{\displaystyle \sum _i{p}_{i}d{q}^i+{\displaystyle {\int }_{\gamma \prime }{\displaystyle \sum _i{q}_i^{\prime }dp{\prime }^i}}}}\hfill & (5.133)\hfill \end{array}$$

sy’n annibynnol ar y llwybr γ′. Os gallwn ddatrys ar gyfer q′ ac p yn nhermau q ac p′, gallwn ddiffinio’r ffwythiannau

$$\begin{array}{ll}q\prime =f_{q\prime }^{\prime }(t,q,p\prime )\hfill & \hfill \\ p=f_p^{\prime }(t,q,p\prime )\hfill & (5.134)\hfill \end{array}$$

a diffinio

$$\begin{array}{ll}{F}_2(t,q,p\prime )=F\prime (t,f_{q\prime }^{\prime }(t,q,p\prime ),p\prime ).\hfill & (5.135)\hfill \end{array}$$

Yna rhoddir y trawsffurfiad canonig fel deilliadau rhannol F₂:

$$\begin{array}{ll}{({\partial }_1{F}_2(t,q,p\prime ))}_i=f_{p_i}^{\prime }(t,q,p\prime )\hfill & (5.136)\hfill \end{array}$$

a

$$\begin{array}{ll}{({\partial }_2{F}_2(t,q,p\prime ))}^i=f_{q_i^{\prime }}^{\prime }(t,q,p\prime ).\hfill & (5.137)\hfill \end{array}$$

Y berthynas rhwng F₁ ac F₂

Ar gyfer trawsffurfiadau canonig y gellir eu disgrifio gan F₁ a chan F₂, rhaid bod perthynas rhyngddynt. Mae perthynas rhwng y mynegiadau integryn llinell amgen ar gyfer yr integryn arwynebedd. Ystyriwch y gwahaniaeth

$$\begin{array}{ll}(F\prime (t,q\prime ,p\prime )-F\prime (t,q_0^{\prime },p_0^{\prime }))-(F(t,q\prime ,p\prime )-F(t,q_0^{\prime },p_0^{\prime }))\hfill & \hfill \\ ={\displaystyle {\int }_{\gamma \prime }{\displaystyle \sum _i{p}_i^{\prime }dq{\prime }^i+{\displaystyle {\int }_{\gamma \prime }{\displaystyle \sum _i{q}_i^{\prime }dp{\prime }^i}}}}\hfill & \hfill \\ ={\displaystyle {\int }_{\gamma \prime }{\displaystyle \sum _{i}d(p_i^{\prime }q{\prime }^i)}}\hfill & \hfill \\ ={\displaystyle \sum _i(p\prime ){}_i{(q\prime )}^i-{\displaystyle \sum _i{(p_0^{\prime })}_i{(q_0^{\prime })}^i.}}\hfill & (5.138)\hfill \end{array}$$

Cysylltir y ffwythiannau F a F′ gan derm wedi’i integru

$$\begin{array}{ll}F\prime (t,q\prime ,p\prime )-F(t,q\prime ,p\prime )=p\prime q\prime ,\hfill & (5.139)\hfill \end{array}$$

fel y cysylltir F₁ ac F₂:

$$\begin{array}{ll}{F}_2(t,q,p\prime )-F_1(t,q,q\prime )=p\prime q\prime .\hfill & (5.140)\hfill \end{array}$$

Cysylltir y ffwythiannau generadu F₁ ac F₂ gan drawsffurfiad Legendre:

$$\begin{array}{ll}p\prime =-{\partial }_2{F}_1(t,q,q\prime )\hfill & (5.141)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}p\prime q\prime =-F_1(t,q,q\prime )+F_2(t,q,p\prime )\hfill & (5.142)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}q\prime =\partial {}_2{F}_2(t,q,p\prime ).\hfill & (5.143)\hfill \end{array}$$

Mae gennym newidynnau goddefol q a t:

$$\begin{array}{ll}-{\partial }_1{F}_1(t,q,q\prime )+{\partial }_1{F}_2(t,q,p\prime )=0\hfill & (5.144)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}-{\partial }_0{F}_1(t,q,q\prime )+{\partial }_0{F}_2(t,q,p\prime )=0.\hfill & (5.145)\hfill \end{array}$$

Ond mae p = ∂₁F₁(t, q, q′) o’r trawsffurfiad cyntaf, felly

$$\begin{array}{ll}p={\partial }_1{F}_2(t,q,p\prime ).\hfill & (5.146)\hfill \end{array}$$

At hynny, gan fod H′(t, q′, p′) − H(t, q, p) = ∂₀F₁(t, q, q′), gallwn gasglu bod

$$\begin{array}{ll}H\prime (t,q\prime ,p\prime )-H(t,q,p)={\partial }_0{F}_2(t,q,p\prime ).\hfill & (5.147)\hfill \end{array}$$

5.4.3 Mathau o ffwythiannau generadu

Yr ydym wedi defnyddio ffwythiannau generadu o’r ffurf F₁(t, q, q′) i lunio trawsffurfiadau canonig:

Gallwn hefyd lunio trawsffurfiadau canonig gyda ffwythiannau generadu o’r ffurf F₂(t, q, p′), lle mae trydydd arg F₂ yn fomentwm yn y system â phrim.²³

Fel yn achos F₁, er mwyn rhoi’r trawsffurfiad ar ffurf eglur, rhaid llunio ffwythiannau gwrthdro priodol i allu datrys yr hafaliadau.

Yn yr un modd, gallwn lunio dwy ffurf arall ar ffwythiannau generadu, a enwir yn ddigon cofiadwy yn F₃ ac F₄:

a

Gelwir y pedwar dosbarth hyn o ffwythiannau generadu yn ffwythiannau generadu newidynnau cymysg, oherwydd bod y trawsffurfiadau canonig a generadir ganddynt yn rhoi cymysgedd o newidynnau hen a newydd yn nhermau cymysgedd o newidynnau hen a newydd.

Ym mhob achos, os nad yw’r ffwythiant generadu yn dibynnu’n eglur ar amser, yna ceir y ffwythiannau Hamilton o’i gilydd drwy gyfansoddi’n unig â’r trawsffurfiad canonig priodol. Os yw’r ffwythiant generadu yn dibynnu ar amser, yna ceir termau ychwanegol.

Mae pob un o’r ffwythiannau generadu a gyflwynwyd yn trin y cyfesurynnau a’r momenta gyda’i gilydd. Gellid diffinio ffwythiannau generadu mwy cymhleth lle pennir trawsffurfiadau gwahanol raddau rhyddid gan ffwythiannau generadu o wahanol fathau.

5.4.4 Trawsffurfiadau pwynt

Gellir cynrychioli trawsffurfiadau pwynt yn nhermau ffwythiant generadu o’r math F₂. Yr hafaliadau (5.6), sy’n diffinio trawsffurfiad pwynt canonig a ddeillir o drawsffurfiad cyfesurynnau F, yw

$$\begin{array}{ll}(t,q,p)=C(t,q\prime ,p\prime )=(t,F(t,q\prime ),p\prime {({\partial }_{1}F(t,q\prime ))}^{-1}).\hfill & (5.160)\hfill \end{array}$$

Boed S yn drawsffurfiad gwrthdro F mewn perthynas â’r ail arg

$$\begin{array}{ll}q\prime =S(t,q),\hfill & (5.161)\hfill \end{array}$$

fel bod q′ = S(t, F (t, q′)). Y trawsffurfiad momentwm sy’n cyd-fynd â’r trawsffurfiad cyfesurynnau hwn yw

$$\begin{array}{ll}p\prime =p{({\partial }_{1}S(t,q))}^{-1}.\hfill & (5.162)\hfill \end{array}$$

Gallwn ganfod y ffwythiant generadu F₂ sy’n rhoi’r trawsffurfiad hwn drwy integru hafaliad (5.152) i gael

$$\begin{array}{ll}{F}_2(t,q,p\prime )=p\prime S(t,q)+\phi (t,q).\hfill & (5.163)\hfill \end{array}$$

Wrth amnewid hyn yn hafaliad (5.151), cawn

$$\begin{array}{ll}p=p\prime {\partial }_{1}S(t,q)+{\partial }_1\phi (t,q).\hfill & (5.164)\hfill \end{array}$$

Nid oes arnom angen y rhyddid a ddarperir gan φ, felly gallwn ei osod yn hafal i sero:

$$\begin{array}{ll}{F}_2(t,q,p\prime )=p\prime S(t,q),\hfill & (5.165)\hfill \end{array}$$

gyda

$$\begin{array}{ll}p=p\prime {\partial }_{1}S(t,q).\hfill & (5.166)\hfill \end{array}$$

Felly mae’r F₂ hwn yn rhoi trawsffurfiad canonig hafaliadau (5.161) a (5.162).

Mae’r trawsffurfiad canonig ar gyfer y trawsffurfiad cyfesurynnau S yn wrthdro’r trawsffurfiad canonig ar gyfer F. Drwy eu lluniad, mae F ac S yn wrthdroeon ar yr argiau cyfesurynnau. Y ffwythiant unfathiant yw q = I(q′) = S(t, F (t, q′)). Mae differu’n rhoi

$$\begin{array}{ll}1={\partial }_{1}S(t,F(t,q\prime )){\partial }_{1}F(t,q\prime ),\hfill & (5.167)\hfill \end{array}$$

felly

$$\begin{array}{ll}{\partial }_{1}F(t,q\prime )={({\partial }_{1}S(t,F(t,q\prime )))}^{-1}.\hfill & (5.168)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio hyn, y berthynas rhwng y momenta (5.166) yw

$$\begin{array}{ll}p=p\prime {({\partial }_{1}F(t,q\prime ))}^{-1},\hfill & (5.169)\hfill \end{array}$$

sy’n dangos bod F₂ yn rhoi trawsffurfiad pwynt sy’n gyfwerth â’r trawsffurfiad pwynt (5.160). Felly, o’r safbwynt arall hwn, mae’r trawsffurfiad pwynt yn ganonig.

Yr F₁ sy’n cyfateb i’r F₂ ar gyfer trawsffurfiad pwynt yw

$$\begin{array}{lll}{F}_1(t,q,q\prime )\hfill & =F_2(t,q,p\prime )-p\prime q\prime \hfill & \hfill \\ \hfill & =p\prime S(t,q)-p\prime q\prime \hfill & \hfill \\ \hfill & =0.\hfill & (5.170)\hfill \end{array}$$

Dyma pam na allem ddefnyddio ffwythiannau generadu o’r math F₁ i lunio trawsffurfiadau pwynt.

Cyfesurynnau pegynlinol a phetryal

Trawsffurfiad pwynt y mae ei angen yn aml yw’r newid rhwng cyfesurynnau pegynlinol a chyfesurynnau petryal:

$$\begin{array}{ll}x=r\cos \theta \hfill & (5.171)\hfill \\ y=r\sin \theta .\hfill & \hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio’r fformiwla ar gyfer ffwythiant generadu trawsffurfiad pwynt yr ydym newydd ei deillio, cawn:

$$\begin{array}{ll}{F}_2(t;r,\theta ;p_x,p_y)=[\begin{array}{cc}{p}_x& p_y]\left(\begin{array}{c}r\cos \theta \\ r\sin \theta \end{array}\right).\end{array}\hfill & (5.172)\hfill \end{array}$$

Felly deillir y trawsffurfiad cyflawn:

$$\begin{array}{lll}(x,y)\hfill & ={\partial }_2{F}_2(t;r,\theta ;p_x,p_y)\hfill & \hfill \\ \hfill & =(r\cos \theta ,r\sin \theta )\hfill & \hfill \\ [p_r,p_{\theta }]\hfill & ={\partial }_1{F}_2(t;r,\theta ;p_x,p_y)\hfill & \hfill \\ \hfill & =[p_x\cos \theta +p_y\sin \theta ,-p_{x}r\sin \theta +p_{y}r\cos \theta ].\hfill & (5.173)\hfill \end{array}$$

Gallwn wahanu’r cyfesurynnau petryal i un ochr i’r trawsffurfiad a’r cyfesurynnau pegynlinol i’r llall:

$$\begin{array}{ll}{p}_r=\frac{1}{r}(p_{x}x+p_{y}y)\hfill & \hfill \\ p_{\theta }=-p_{x}y+p_{y}x.\hfill & (5.174)\hfill \end{array}$$

Felly, o’u dehongli yn nhermau fectorau Newtonaidd, $p_r=\hat{r}·\overrightarrow{p}$ yw cydran reiddiol y momentwm llinol, ac $p_{\theta }=\Vert \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}\Vert$ yw maint y momentwm onglaidd. Mae’r trawsffurfiad pwynt yn annibynnol ar amser, felly mae ffwythiant Hamilton yn trawsffurfio drwy gyfansoddi.

Cyfesurynnau cylchdroadol

Trawsffurfiad pwynt defnyddiol sy’n dibynnu ar amser yw’r newid i system gyfesurynnau sy’n cylchdroi. Y ffordd hawsaf o wneud hyn yw mewn cyfesurynnau pegynlinol. Yma mae gennym

$$\begin{array}{ll}r\prime =r\hfill & \hfill \\ \theta \prime =\theta -\Omega t,\hfill & (5.175)\hfill \end{array}$$

lle mae Ω yn gyflymder onglaidd y system gyfesurynnau sy’n cylchdroi. Y ffwythiant generadu yw

$$\begin{array}{ll}{F}_2(t;r,\theta ;p_r^{\prime },p_{\theta }^{\prime })=[\begin{array}{cc}{p}_r^{\prime }& p_{\theta }^{\prime }]\end{array}\left(\begin{array}{c}r\\ \theta -\Omega t\end{array}\right).\hfill & (5.176)\hfill \end{array}$$

Mae hyn yn rhoi’r hafaliadau trawsffurfio

$$\begin{array}{lll}r\prime \hfill & =r\hfill & \hfill \\ \theta \prime \hfill & =\theta -\Omega t\hfill & \hfill \\ p_r\hfill & =p_r^{\prime }\hfill & \hfill \\ p_{\theta }\hfill & =p_{\theta }^{\prime },\hfill & (5.177)\hfill \end{array}$$

sy’n dangos bod y momenta yr un fath yn y ddwy system gyfesurynnau. Fodd bynnag, nid yw ffwythiant Hamilton yma yn gyfansoddiad syml:

$$\begin{array}{ll}H\prime (t;r\prime ,\theta \prime ;p_r^{\prime },p_{\theta }^{\prime })=H(t;r\prime ,\theta \prime +\Omega t;p_r^{\prime },p_{\theta }^{\prime })-p_{\theta }^{\prime }\Omega .\hfill & (5.178)\hfill \end{array}$$

Mae’r ffwythiannau Hamilton yn gwahaniaethu gan ddeilliad y ffwythiant generadu mewn perthynas â’r arg amser. Wrth drawsffurfio i gyfesurynnau cylchdroadol, mae gwerthoedd y ffwythiannau Hamilton yn gwahaniaethu gan luoswm y momentwm onglaidd a chyflymder onglaidd y system gyfesurynnau. Sylwch fod yr ychwanegiad hwn at ffwythiant Hamilton yr un fath â’r un a ganfuwyd yn gynharach (5.45).

Lleihau problem dau gorff i broblem un corff

Yn yr enghraifft hon dangoswn sut y gellir defnyddio trawsffurfiadau canonig i ddileu rhai o’r graddau rhyddid, gan adael problem â llai o raddau rhyddid.

Tybiwch mai dim ond cyfuniadau penodol o’r cyfesurynnau sy’n ymddangos yn y ffwythiant Hamilton. Gwnawn drawsffurfiad canonig i set newydd o gyfesurynnau gofod gwedd, fel bod y cyfuniadau hyn o’r hen gyfesurynnau gofod gwedd yn rhai o’r cyfesurynnau gofod gwedd newydd. Dewiswn gyfuniadau annibynnol eraill o’r cyfesurynnau i gwblhau’r set. Y fantais yw nad yw’r cyfesurynnau annibynnol eraill hyn yn ymddangos yn y ffwythiant Hamilton newydd, felly mae’r momenta cyfiau iddynt yn feintiau cadwedig.

Gadewch inni weld sut mae’r syniad hwn yn ein galluogi i leihau problem dau gorff sy’n rhyngweithio drwy ddisgyrchiant i’r broblem symlach o fudiant cymharol y ddau gorff. Yn y broses darganfyddwn fod momentwm y craidd màs yn cael ei gadw. Mae’r broblem symlach hon yn enghraifft o broblem Kepler. Ceir problem Kepler hefyd wrth ffurfio problem n corff fwy cyffredinol.

Ystyriwch fudiant dau fàs m₁ ac m₂, sy’n ddarostyngedig i’w cydatyniad disgyrchiant yn unig, a ddisgrifir gan y potensial V (r). Mae gan y broblem hon chwe gradd rhyddid. Cyfesurynnau petryal y gronynnau yw x₁ ac x₂, â momenta cyfiau p₁ a p₂. Mae pob un o’r rhain yn strwythur o’r tair cydran betryal. Y pellter rhwng y gronynnau yw r = ‖x₁ − x₂‖. Ffwythiant Hamilton problem dau gorff yw

$$\begin{array}{ll}H(t;x_1,x_2;p_1,p_2)=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}+V(r).\hfill & (5.179)\hfill \end{array}$$

Mae’r egni potensial disgyrchiant yn dibynnu ar safleoedd cymharol y ddau gorff yn unig. Nid oes angen pennu V ymhellach ar y pwynt hwn.

Gan mai x₂ − x₁ yw’r unig gyfuniad o gyfesurynnau sy’n ymddangos yn ffwythiant Hamilton, dewiswn gyfesurynnau newydd fel mai’r cyfuniad hwn yw un ohonynt:

$$\begin{array}{ll}x=x_2-x_1.\hfill & (5.180)\hfill \end{array}$$

I gwblhau’r set o gyfesurynnau newydd, dewiswn un arall sy’n rhyw gyfuniad llinol annibynnol

$$\begin{array}{ll}X=a{x}_1+b{x}_2,\hfill & (5.181)\hfill \end{array}$$

lle mae a a b i’w pennu. Gallwn ddefnyddio ffwythiant generadu o’r math F₂

$$\begin{array}{ll}{F}_2(t;x_1,x_2;p,P)=(x_2-x_1)p+(a{x}_1+b{x}_2)P,\hfill & (5.182)\hfill \end{array}$$

lle bydd p a P yn fomenta newydd sy’n gyfiau i x ac X, yn y drefn honno. Casglwn fod

$$\begin{array}{ll}(x,X)={\partial }_2{F}_2(t;x_1,x_2;p,P)=(x_2-x_1,a{x}_1+b{x}_2)\hfill & \hfill \\ \left[p_1,p{}_2\right]={\partial }_1{F}_2(t;x_1,x_2;p,P)=\left[-p+aP,p+bP\right].\hfill & (5.183)\hfill \end{array}$$

Gallwn ddatrys y rhain ar gyfer y momenta newydd:

$$\begin{array}{ll}P=\frac{p_1+p_2}{a+b}\hfill & (5.184)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}p=\frac{a{p}_2-b{p}_1}{a+b}.\hfill & (5.185)\hfill \end{array}$$

Nid yw’r ffwythiant generadu yn dibynnu ar amser, felly y ffwythiant Hamilton newydd yw’r hen ffwythiant Hamilton wedi’i gyfansoddi â’r trawsffurfiad:

$$\begin{array}{lll}H\prime (t;x,X;p,P)\hfill & =\frac{{(-p+aP)}^2}{2m_1}+\frac{{(p+bP)}^2}{2m_2}+V(\Vert x\Vert )\hfill & \hfill \\ \hfill & =\frac{p^2}{2m}+\frac{P^2}{2M}+V(\Vert x\Vert )\hfill & \hfill \\ \hfill & +\left(\frac{b}{m_2}-\frac{a}{m_1}\right)pP,\hfill & (5.186)\hfill \end{array}$$

gyda’r diffiniadau

$$\begin{array}{ll}\frac{1}{m}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\hfill & (5.187)\hfill \end{array}$$

a

$$\begin{array}{ll}\frac{1}{M}=\frac{a^2}{m_1}+\frac{b^2}{m_2}.\hfill & (5.188)\hfill \end{array}$$

Adnabyddwn m fel y “màs gostyngedig”.

Sylwch, pe na bai’r term sy’n gyfrannol â pP yn bresennol, na fyddai graddau rhyddid x ac X wedi’u cyplysu o gwbl; ar ben hynny, dim ond ffwythiant Hamilton gronyn rhydd fyddai rhan X ffwythiant Hamilton, sy’n hawdd ei datrys. Yr amod i’r “croestermau” ddiflannu yw

$$\begin{array}{ll}\frac{b}{m_2}-\frac{a}{m_1}=0,\hfill & (5.189)\hfill \end{array}$$

a fodlonir gan

$$\begin{array}{ll}a=c{m}_1\hfill & \hfill \\ b=c{m}_2\hfill & (5.190)\hfill \end{array}$$

ar gyfer unrhyw c. Er mwyn diffinio trawsffurfiad, rhaid i c fod yn wahanol i sero. Felly, gyda’r dewis hwn, daw ffwythiant Hamilton yn

$$\begin{array}{ll}H\prime (t;x,X;p,P)=H_X(t,X,P)+H_x(t,x,p)\hfill & (5.191)\hfill \end{array}$$

gyda

$$\begin{array}{ll}{H}_x(t,x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(r)\hfill & (5.192)\hfill \end{array}$$

a

$$\begin{array}{ll}{H}_X(t,X,P)=\frac{P^2}{2M}.\hfill & (5.193)\hfill \end{array}$$

Mae’r màs gostyngedig yr un fath ag o’r blaen, ac yn awr

$$\begin{array}{ll}M=\frac{1}{c^2(m_1+m_2)}.\hfill & (5.194)\hfill \end{array}$$

Sylwch, heb bennu c ymhellach, fod y broblem wedi’i gwahanu’n broblem pennu mudiant cymharol y ddau fàs, a phroblem y graddau rhyddid eraill. Nid oedd angen gwybodaeth ymlaen llaw y gallai’r craidd màs fod yn bwysig; mewn gwirionedd, dim ond ar gyfer y dewis penodol c = (m₁ + m₂)⁻¹ y daw X yn graidd màs.

Mudiant epigylchol

Yn aml mae’n ddefnyddiol cyfansoddi dilyniant o drawsffurfiadau canonig i lunio’r trawsffurfiad sydd ei angen ar gyfer problem fecanyddol benodol. Mae’r trawsffurfiadau a ddarparwyd gennym yn arbennig o ddefnyddiol fel cydrannau yn y cyfrifiadau hyn.

Dangoswn sut i ddefnyddio trawsffurfiadau canonig i ddysgu am fudiant mewn plân mewn maes canolog. Y strategaeth fydd ystyried amhariadau ar fudiant cylchol yn y maes canolog. Bydd y dadansoddiad yn symud ymlaen drwy drawsffurfio i system gyfesurynnau sy’n cylchdroi gyda’r corff ar orbit cyfeirio cylchol, ac yna wneud brasamcanion sy’n cyfyngu’r dadansoddiad i orbitau nad ydynt ond ychydig yn wahanol i’r orbit cylchol.

Mewn cyfesurynnau petryal, gallwn yn hawdd ysgrifennu ffwythiant Hamilton ar gyfer mudiant gronyn o fàs m mewn maes a ddiffinnir gan egni potensial sy’n ffwythiant o’r pellter o’r tarddbwynt yn unig, fel a ganlyn:

$$\begin{array}{cc}H(t;x,y;p_x,p_y)=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+V(\sqrt{x^2+y^2}).& (5.195)\end{array}$$

Yn y system gyfesurynnau hon mae hafaliadau Hamilton yn hawdd, a hwy yw’r union beth sydd ei angen i ddatblygu taflwybrau drwy integru rhifiadol; ond nid yw’r mynegiadau’n taflu llawer o oleuni ar y sefyllfa:

$$Dx\begin{array}{cc}=\frac{p_x}{m}& (5.196)\end{array}$$

$$Dy\begin{array}{cc}=\frac{p_y}{m}& (5.197)\end{array}$$

$$D{p}_x\begin{array}{cc}=-DV(\sqrt{x^2+y^2})\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}& (5.198)\end{array}$$

$$D{p}_y\begin{array}{cc}=-DV(\sqrt{x^2+y^2})\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.& (5.199)\end{array}$$

Gallwn ddysgu mwy drwy newid i gyfesurynnau pegynlinol sydd â’u canol yn ffynhonnell ein maes:

$$\begin{array}{cc}x=r\cos \phi & (5.200)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}y=r\sin \phi .& (5.201)\end{array}$$

Mae’r system gyfesurynnau hon yn ymgorffori’n eglur gymesuredd geometrig yr egni potensial. Gan estyn y trawsffurfiad cyfesurynnau hwn i drawsffurfiad pwynt, gallwn ysgrifennu’r ffwythiant Hamilton newydd fel:

$$\begin{array}{cc}H\prime (t;r,\phi ;p_r,p_{\phi })=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_{\phi }^2}{2m{r}^2}+V(r).& (5.202)\end{array}$$

Gallwn bellach ysgrifennu hafaliadau Hamilton yn y cyfesurynnau newydd hyn, ac maent yn taflu llawer mwy o oleuni ar y broblem na’r hafaliadau a fynegwyd mewn cyfesurynnau petryal:

$$\begin{array}{cc}Dr=\frac{p_r}{m}& (5.203)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}D\phi =\frac{p_{\phi }}{m{r}^2}& (5.204)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}D{p}_r=\frac{p_{\phi }^2}{m{r}^3}-DV(r)& (5.205)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}D{p}_{\phi }=0.& (5.206)\end{array}$$

Cedwir y momentwm onglaidd p_φ, ac yr ydym yn rhydd i ddewis ei werth cyson, felly mae Dφ yn dibynnu ar r yn unig. Gwelwn hefyd y gallwn sefydlu orbit cylchol ar unrhyw radiws R₀: dewiswn p_φ = p_φ0 fel bod $p_{\phi 0}^2/(m{R}_0^3)-DV(R_0)=0$. Bydd hyn yn sicrhau bod Dp_r = 0, ac felly Dr = 0. Sgwâr cyflymder onglaidd yr orbit cylchol hwn yw

$${\Omega }^2\begin{array}{cc}=\frac{DV(R_0)}{m{R}_0}.& (5.207)\end{array}$$

Mae’n addysgiadol ystyried sut mae orbitau sy’n agos at yr orbit cylchol yn wahanol iddo. Y ffordd orau o wneud hyn yw mewn cyfesurynnau cylchdroadol lle mae corff sy’n symud ar yr orbit cylchol yn bwynt llonydd yn y tarddbwynt. Gallwn wneud hyn drwy newid i gyfesurynnau sy’n cylchdroi gyda’r orbit cylchol ac sydd â’u canol ar y corff sy’n orbitio. Awn ymlaen mewn tri cham. Yn gyntaf trawsffurfiwn i system gyfesurynnau pegynlinol sy’n cylchdroi â chyflymder onglaidd Ω. Yna dychwelwn at gyfesurynnau petryal, ac yn olaf symudwn y cyfesurynnau fel bod y tarddbwynt ar yr orbit cyfeirio cylchol.

Dechreuwn drwy archwilio’r system mewn cyfesurynnau pegynlinol cylchdroadol. Trawsffurfiad cyfesurynnau sy’n dibynnu ar amser yw hwn:

$$r\prime \begin{array}{cc}=r& (5.208)\end{array}$$

$$\phi \prime \begin{array}{cc}=\phi -\Omega t& (5.209)\end{array}$$

$$p_r^{\prime }\begin{array}{cc}=pr& (5.210)\end{array}$$

$$p_{\phi }^{\prime }\begin{array}{cc}=p_{\phi }.& (5.211)\end{array}$$

Gan ddefnyddio hafaliad (5.178), gallwn ysgrifennu’r ffwythiant Hamilton newydd yn uniongyrchol:

$$H″(t;r\prime ,\phi \prime ;p_r^{\prime },p_{\phi }^{\prime })\begin{array}{cc}=\frac{p_r^{\prime 2}}{2m}+\frac{p_{\phi }^{\prime 2}}{2mr{\prime }^2}+V(r\prime )-p_{\phi }^{\prime }\Omega .& (5.212)\end{array}$$

Nid yw H″ yn dibynnu ar amser, ac felly fe’i cedwir. Nid yw’n swm yr egni potensial a’r egni cinetig. Ni chedwir egni yn y system gyfesurynnau sy’n symud; yr hyn a gedwir yma yw maint newydd, cysonyn Jacobi, sy’n cyfuno’r egni â lluoswm momentwm onglaidd y gronyn yn y cyfesuryn newydd a chyflymder onglaidd y system gyfesurynnau. Byddwn am gadw golwg ar y term hwn.

Nesaf, dychwelwn at gyfesurynnau petryal, ond maent yn cylchdroi gyda’r orbit cyfeirio cylchol:

$$\begin{array}{cc}x\prime =r\prime \cos \phi \prime & (5.213)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}y\prime =r\prime \sin \phi \prime & (5.214)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{p}_x^{\prime }=p_r^{\prime }\cos \phi \prime -\frac{p_{\phi }^{\prime }}{r\prime }\sin \phi \prime & (5.215)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{p}_y^{\prime }=p_r^{\prime }\sin \phi \prime +\frac{p_{\phi }^{\prime }}{r\prime }\cos \phi \prime .& (5.216)\end{array}$$

Ffwythiant Hamilton yw

$$\begin{array}{ll}H‴(t;x\prime ,y\prime ;p_x^{\prime },p_y^{\prime })\hfill & \hfill \\ =\frac{p_x^{\prime 2}+p_y^{\prime 2}}{2m}+\Omega (y\prime p_x^{\prime }-x\prime p_y^{\prime })+V(\sqrt{x{\prime }^2+y{\prime }^2}).\hfill & (5.217)\hfill \end{array}$$

Gydag un cam cyflym arall, symudwn y system gyfesurynnau fel bod y tarddbwynt allan ar ein horbit cylchol. Diffiniwn gyfesurynnau petryal newydd ξ ac η â’r trawsffurfiad canonig syml canlynol o gyfesurynnau a momenta:

$$\begin{array}{cc}\xi =x\prime -R_0& (5.218)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\eta =y\prime & (5.219)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{p}_{\xi }=p_x^{\prime }& (5.220)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{p}_{\eta }=p_y^{\prime }.& (5.221)\end{array}$$

Yn y system gyfesurynnau derfynol hon, ffwythiant Hamilton yw

$$\begin{array}{lll}H″″(t;\xi ,\eta ;p_{\xi },p_{\eta })=\hfill & \frac{p_{\xi }^2+p_{\eta }^2}{2m}+\Omega (\eta p_{\xi }-(\xi +R_0)p_{\eta })\hfill & \hfill \\ \hfill & +V(\sqrt{{(\xi +R_0)}^2+{\eta }^2}),\hfill & (5.222)\hfill \end{array}$$

ac mae hafaliadau Hamilton yn rhy gymhleth i fod o ddefnydd. Ond y cam nesaf yw ystyried dim ond taflwybrau y mae’r cyfesurynnau ξ ac η yn fach ar eu cyfer o’u cymharu â R₀. O dan y dybiaeth hon gallwn lunio hafaliadau mudiant bras ar gyfer y taflwybrau hyn sy’n llinol yn y cyfesurynnau, gan roi mudiant syml y gellir ei ddadansoddi. Hyd at y pwynt hwn nid ydym wedi gwneud unrhyw frasamcanion. Mae’r hafaliadau uchod yn gwbl gywir ar gyfer unrhyw daflwybrau mewn maes canolog.

Y syniad yw ehangu’r term egni potensial yn ffwythiant Hamilton fel cyfres, a hepgor unrhyw derm o drefn uwch na’r ail yn y cyfesurynnau, gan roi hafaliadau Hamilton sy’n gywir i’r drefn gyntaf:

$$\begin{array}{cc}U(\xi ,\eta )=V(\sqrt{{(\xi +R_0)}^2+{\eta }^2})& (5.223)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}=V(R_0+\xi +\frac{{\eta }^2}{2R_0}+...)& (5.224)\end{array}$$

$$\begin{array}{ll}=V(R_0)+DV(R_0)(\xi +\frac{{\eta }^2}{2R_0})\hfill & \hfill \\ +D^{2}V(R_0)\frac{{\xi }^2}{2}+\cdots .\hfill & (5.225)\hfill \end{array}$$

Felly y grymoedd cyffredinoledig (wedi newid eu harwyddion) yw

$${\partial }_{0}U(\xi ,\eta )\begin{array}{cc}=DV(R_0)+D^{2}V(R_0)\xi +\cdots & (5.226)\end{array}$$

$${\partial }_{1}U(\xi ,\eta )\begin{array}{cc}=DV(R_0)\frac{\eta }{R_0}+\cdots .& (5.227)\end{array}$$

Gyda’r ehangiad hwn cawn hafaliadau Hamilton wedi’u llinoli:

$$\begin{array}{cc}D\xi =\frac{p_{\xi }}{m}+\Omega \eta & (5.228)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}D\eta =\frac{p_{\eta }}{m}-\Omega (\xi +R_0)& (5.229)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}D{p}_{\xi }=-DV(R_0)-D^{2}V(R_0)\xi +\cdots +\Omega p_{\eta }& (5.230)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}D{p}_{\eta }=-DV(R_0)\frac{\eta }{R_0}+...-\Omega p_{\xi }.& (5.231)\end{array}$$

Wrth gwrs, unwaith y bydd gennym hafaliadau llinol, gwyddom sut i’w datrys yn union. Gan fod y ffwythiant Hamilton wedi’i linoli yn cael ei gadw, ni allwn gael ymlediad na chwymp esbonyddol, felly mae’r datrysiadau posibl yn eithaf cyfyngedig. Mae’n addysgiadol trosi’r hafaliadau hyn yn system ail drefn. Defnyddiwn Ω² = DV(R₀)/(mR₀), hafaliad (5.207), i ddileu’r termau DV:

$$\begin{array}{cc}{D}^2\xi -2\Omega D\eta =({\Omega }^2-\frac{D^{2}V(R_0)}{m})\xi & (5.232)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{D}^2\eta +2\Omega D\xi =0.& (5.233)\end{array}$$

Wrth gyfuno’r rhain, cawn

$$\begin{array}{cc}{D}^3\xi +{\omega }^{2}D\xi =0,& (5.234)\end{array}$$

lle mae

$$\begin{array}{cc}{\omega }^2=3{\Omega }^2+\frac{D^{2}V(R_0)}{m}.& (5.235)\end{array}$$

Felly mae gennym osgiliadur harmonig syml ag amledd ω fel un o gydrannau’r datrysiad. Mae tair rhan i’r datrysiad cyffredinol:

$$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}\xi (t)\\ \eta (t)\end{array}\right)={\eta }_0\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)& (5.236)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}+{\xi }_0\left(\begin{array}{c}1\\ -2At\end{array}\right)& (5.237)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}+C_0\left(\begin{array}{c}\sin (\omega t+{\phi }_0)\\ \frac{2\Omega }{\omega }\cos (\omega t+{\phi }_0)\end{array}\right)& (5.238)\end{array}$$

lle mae

$$\begin{array}{cc}A=\frac{{\Omega }^{2}m-D^{2}V(R_0)}{4\Omega m}.& (5.239)\end{array}$$

Pennir y cysonion η₀, ξ₀, C₀ a φ₀ gan yr amodau cychwynnol. Os yw C₀ = 0, mae’r gronyn dan sylw ar daflwybr cylchol, ond nid o reidrwydd yr un taflwybr â’r taflwybr cyfeirio. Os yw C₀ = 0 ac ξ₀ = 0, mae gennym “gyd-deithiwr”: gronyn ar yr un orbit cylchol â’r orbit cyfeirio, ond â gwedd wahanol. Os yw C₀ = 0 ac η₀ = 0, mae gennym ronyn ar orbit cylchol sydd y tu mewn neu’r tu allan i’r orbit cyfeirio, ac yn symud oddi wrtho drwy gneifio. Mae’r cneifio’n digwydd oherwydd bod cyflymder onglaidd orbit cylchol yn amrywio gyda’r radiws. Mae’r cysonyn A yn rhoi cyfradd y cneifio ar bob radiws. Os yw η₀ = 0 ac ξ₀ = 0, ond C₀ ≠ 0, yna mae gennym “fudiant epigylchol”. Gellir gweld gronyn ar orbit bron yn gylchol yn symud mewn elips o amgylch yr orbit cyfeirio cylchol. Bydd yr elips wedi’i ymestyn yng nghyfeiriad y mudiant cylchol gan y ffactor 2Ω/ω, a bydd yn cylchdroi yn y cyfeiriad gwrthwyneb i’r mudiant cylchol. Gwedd gychwynnol yr epigylch yw φ₀. Wrth gwrs, gall unrhyw gyfuniad o’r datrysiadau hyn fodoli.

Pennir yr amledd epigylchol ω a’r gyfradd gneifio A gan y ddeddf grym (deilliad rheiddiol yr egni potensial). Ar gyfer deddf grym sy’n gyfrannol â phŵer o’r radiws,

$$\begin{array}{cc}F\propto r^{1-n},& (5.240)\end{array}$$

cysylltir yr amledd epigylchol â’r amledd orbitol gan

$$\begin{array}{cc}\frac{\omega }{\Omega }=2\sqrt{1-\frac{n}{4}}& (5.241)\end{array}$$

a’r gyfradd gneifio yw

$$\begin{array}{cc}\frac{A}{\Omega }=\frac{n}{4}.& (5.242)\end{array}$$

Ar gyfer ychydig o ddeddfau grym ag esbonyddion cyfanrifol penodol, gwelwn:

Gallwn gael rhywfaint o ddealltwriaeth o’r mathau o orbitau a gynhyrchir gan y brasamcan epigylchol drwy edrych ar ychydig o enghreifftiau. Ar gyfer rhai deddfau grym, mae cymarebau cyfanrifol rhwng yr amledd epigylchol a’r amledd orbitol. Yn yr achosion hynny mae gennym orbitau caeedig. Ar gyfer deddf grym gwrthdro-sgwâr (n = 3), cawn orbitau eliptig â chanol y maes mewn ffocws i’r elips. Mae Ffigur 5.3 yn dangos sut y gellir llunio brasamcan o orbit o’r fath drwy arosod mudiant ar epigylch eliptig â mudiant o’r un amledd ar gylch. Os yw’r grym yn gyfrannol â’r radiws (n = 0), cawn osgiliadur harmonig dau ddimensiwn. Yma mae’r amledd epigylchol yn ddwywaith yr amledd orbitol. Mae Ffigur 5.4 yn dangos sut mae hyn yn rhoi orbitau eliptig sydd â’u canol yn ffynhonnell y grym canolog. Mae orbit yn gaeedig pan fo ω/Ω yn ffracsiwn cymarebol. Os yw’r grym yn gyfrannol â’r radiws i’r pŵer −3/4, mae’r amledd epigylchol yn 3/2 yr amledd orbitol. Mae hyn yn rhoi’r patrwm tair llabed a welir yn ffigur 5.5. Ar gyfer deddfau grym eraill, mae’r orbitau a ragfynegir gan y dadansoddiad hwn yn batrymau aml-labedog a gynhyrchir gan elipsau bras sy’n precesu. Yn y rhan fwyaf o achosion, mae’r amleddau epigylchol ac orbitol yn anghymesuradwy, gan arwain at orbitau nad ydynt yn cau mewn amser meidraidd.

Mae’r brasamcan epigylchol yn rhoi syniad da iawn o olwg orbitau gwirioneddol. Mae Ffigur 5.6, a luniwyd drwy integru’r orbit yn rhifiadol drwy integru’r hafaliadau mudiant petryal gwreiddiol ar gyfer gronyn yn y maes, yn dangos y patrwm rhoséd sy’n nodweddiadol o amleddau epigylchol ac orbitol anghymesuradwy ar gyfer deddf grym F = −r^−2.3.

Gallwn gymharu system wedi’i hintegru’n rhifiadol yn uniongyrchol ag un o’n brasamcanion epigylchol. Er enghraifft, mae canlyniad integru ein system F ∝ r^−3/4 yn rhifiadol yn debyg iawn i’r darlun a gawsom drwy epigylchoedd. (Gweler ffigur 5.7 a’i chymharu â ffigur 5.5.)

Ymarfer 5.11: Orbitau sy’n cwympo

Beth yn union sy’n digwydd wrth i’r ddeddf grym fynd yn fwy serth? Ymchwiliwch i hyn drwy fraslunio cyfuchliniau ffwythiant Hamilton mewn gofod r, p_r ar gyfer gwerthoedd amrywiol o esbonydd y ddeddf grym, n. Ar gyfer pa werthoedd o n y ceir orbitau cylchol sefydlog? Yn yr achos lle nad oes orbitau cylchol sefydlog, beth sy’n digwydd i orbitau cylchol ac i orbitau anghylchol eraill? Sut mae’r canlyniadau hyn yn gyson â theorem Liouville ac â diffyg bodolaeth atynwyr mewn systemau Hamilton?

5.4.5 Deilliadau amser cyflawn

Mae ychwanegu deilliad amser cyflawn at ffwythiant Lagrange yn arwain at yr un hafaliadau Lagrange. Fodd bynnag, mae gan y ddau ffwythiant Lagrange fomenta gwahanol, ac maent yn arwain at hafaliadau Hamilton gwahanol. Yma canfyddwn sut i gynrychioli’r trawsffurfiad canonig cyfatebol gyda ffwythiant generadu.

Gadewch inni ailddatgan y canlyniad am ddeilliadau amser cyflawn a ffwythiannau Lagrange o’r bennod gyntaf. Ystyriwch ryw ffwythiant G(t, q) o amser a chyfesurynnau. Yr ydym wedi dangos, os cysylltir L ac L′ gan

$$\begin{array}{cc}L\prime (t,q,\dot{q})=L(t,q,\dot{q})+{\partial }_{0}G(t,q)+{\partial }_{1}G(t,q)\dot{q}& (5.243)\end{array}$$

yna mae hafaliadau mudiant Lagrange yr un fath. Mae’r cyfesurynnau cyffredinoledig a ddefnyddir yn y ddau ffwythiant Lagrange yr un fath, ond mae’r momenta cyfiau i’r cyfesurynnau yn wahanol. Yn y ffordd arferol, diffiniwch

$$\mathcal{P}\begin{array}{cc}(t,q,\dot{q})={\partial }_{2}L(t,q,\dot{q})& (5.244)\end{array}$$

a

$$\mathcal{P}\prime \begin{array}{cc}(t,q,\dot{q})={\partial }_{2}L\prime (t,q,\dot{q}).& (5.245)\end{array}$$

Felly mae gennym

$$\mathcal{P}\prime \begin{array}{cc}(t,q,\dot{q})=\mathcal{P}(t,q,\dot{q})+{\partial }_{1}G(t,q).& (5.246)\end{array}$$

Wrth werthuso ar daflwybr, mae gennym

$$p\prime \begin{array}{cc}(t)=p(t)+{\partial }_{1}G(t,q(t)).& (5.247)\end{array}$$

Mae’r trawsffurfiad hwn yn achos arbennig o drawsffurfiad o’r math F₂. Boed

$$F_2\begin{array}{cc}(t,q,p\prime )=qp\prime -G(t,q);& (5.248)\end{array}$$

yna y trawsffurfiad cysylltiedig yw

$$\begin{array}{cc}q\prime ={\partial }_2{F}_2(t,q,p\prime )=q& (5.249)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}p={\partial }_1{F}_2(t,q,p\prime )=p\prime -{\partial }_{1}G(t,q)& (5.250)\end{array}$$

$$\begin{array}{lll}H\prime \left(t,q\prime ,p\prime \right)\hfill & =H\left(t,q,p\right)+{\partial }_0{F}_2\left(t,q,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =H\left(t,q,p\right)-{\partial }_{0}G\left(t,q\right).\hfill & \left(5.251\right)\hfill \end{array}$$

Yn eglur, y ffwythiant Hamilton newydd yw

$$\begin{array}{cc}H\prime (t,q\prime ,p\prime )=H(t,q\prime ,p\prime -{\partial }_{1}G(t,q\prime ))-{\partial }_{0}G(t,q\prime ),& (5.252)\end{array}$$

lle’r ydym wedi defnyddio’r ffaith fod q = q′. Mae’r trawsffurfiad yn ddiddorol gan mai trawsffurfiad unfathiant yw’r trawsffurfiad cyfesurynnau, ond nid yw’r momenta newydd a’r hen fomenta yr un fath, hyd yn oed pan nad oes gan G ddibyniaeth eglur ar amser. Tybiwch fod gennym ffwythiant Hamilton o’r ffurf

$$\begin{array}{cc}H(t,x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x);& (5.253)\end{array}$$

yna y ffwythiant Hamilton wedi’i drawsffurfio yw

$$\begin{array}{cc}H\prime (t,x\prime ,p\prime )=\frac{{(p\prime -{\partial }_{1}G(t,x\prime ))}^2}{2m}+V(x\prime )-{\partial }_{0}G(t,x\prime ).& (5.254)\end{array}$$

Gwelwn y gellir defnyddio’r trawsffurfiad hwn i addasu termau yn ffwythiant Hamilton sy’n llinol yn y momenta. Gan ddechrau â H, mae’r trawsffurfiad yn cyflwyno termau llinol yn y momentwm; gan ddechrau â H′, mae’r trawsffurfiad yn dileu’r termau llinol.

Pendil wedi’i yrru

Dangoswn sut i ddefnyddio’r trawsffurfiad hwn gyda’r pendil wedi’i yrru. Ffwythiant Hamilton y pendil wedi’i yrru, a ddeillir o ffwythiant Lagrange T − V (gweler adran 1.6.2), yw

$$\begin{array}{ll}H(t,\theta ,p_{\theta })\hfill & \hfill \\ =\frac{p_{\theta }^2}{2m{l}^2}-glm\cos \theta \hfill & \hfill \\ +gm{y}_s(t)-\frac{p_{\theta }}{l}\sin \theta D{y}_s(t)-\frac{m}{2}{(\cos \theta )}^2{(D{y}_s(t))}^2,\hfill & (5.255)\hfill \end{array}$$

lle mae y_s yn ffwythiant gyrru. Mae ffwythiant Hamilton yn bur anniben, ac yn cynnwys term sy’n llinol yn y momentwm onglaidd â chyfernod sy’n dibynnu ar y cyfesuryn onglaidd a’r amser ill dau. Gadewch inni weld beth sy’n digwydd os cymhwyswn ein trawsffurfiad i’r broblem i ddileu’r term llinol. Gallwn adnabod ffwythiant y trawsffurfiad G drwy fynnu bod y term llinol yn y momentwm yn cael ei ddileu:

$$\begin{array}{cc}G(t,\theta )=-ml\cos \theta D{y}_s(t).& (5.256)\end{array}$$

Y momentwm wedi’i drawsffurfio yw

$$p_{\theta }^{\prime }=p_{\theta }\begin{array}{cc}+ml\sin \theta D{y}_s(t),& (5.257)\end{array}$$

a’r ffwythiant Hamilton wedi’i drawsffurfio yw

$$\begin{array}{lll}H\prime (t,\theta ,p_{\theta }^{\prime })=\hfill & \frac{{(p_{\theta }^{\prime })}^2}{2m{l}^2}-ml(g+D^2{y}_s)\cos \theta \hfill & \hfill \\ \hfill & +gm{y}_s(t)-\frac{m}{2}{(y_s(t))}^2.\hfill & (5.258)\hfill \end{array}$$

Gan hepgor y ddau derm olaf, nad ydynt yn effeithio ar yr hafaliadau mudiant, cawn

$$\begin{array}{cc}H\prime (t,\theta ,p_{\theta }^{\prime })=\frac{{(p_{\theta }^{\prime })}^2}{2m{l}^2}-ml(g+D^2{y}_s)\cos \theta .& (5.259)\end{array}$$

Felly yr ydym wedi canfod, drwy drawsffurfiad canonig syml, ffwythiant Hamilton ar gyfer y pendil wedi’i yrru sydd ar ffurf weddol syml pendil â chyflymiad disgyrchiant wedi’i addasu gan gyflymiad y colyn. Mewn gwirionedd, dyma’r ffwythiant Hamilton sy’n cyfateb i’r ffurf amgen ar ffwythiant Lagrange ar gyfer y pendil wedi’i yrru, a ganfuom yn gynharach drwy ei archwilio (gweler hafaliad 1.120). Yma ceir y deilliad drwy drawsffurfiad canonig syml, wedi’i ysgogi gan yr awydd i ddileu termau diangen sy’n llinol yn y momentwm.

Ymarfer 5.12: Llunio ffwythiannau generadu

Tybiwch fod y trawsffurfiadau canonig

$\left(t,q,p\right)=C_a\left(t,q\prime ,p\prime \right)\text{and}\left(t,q\prime ,p\prime \right)=C_b\left(t,q″,p″\right)$

yn cael eu generadu gan ddau ffwythiant generadu o’r math F₁, F_1a(t, q, q′) ac F_1b(t, q′, q″).

a. Dangoswch mai’r ffwythiant generadu ar gyfer trawsffurfiad gwrthdro C_a yw F_1c(t, q′, q) = −F_1a(t, q, q′).

b. Diffiniwch fath newydd o ffwythiant generadu,

F_x(t, q, q′, q″) = F_1a(t, q, q′) + F_1b(t, q′, q″).

Gwelwn fod

p = ∂₁F_x(t, q, q′, q″) = ∂₁F_1a(t, q, q′)

p″ = −∂₃F_x(t, q, q′, q″) = −∂₂F_1b(t, q′, q″)

Dangoswch fod ∂₂F_x = 0, sy’n caniatáu datrysiad i ddileu q′.

c. Gan ddefnyddio’r fformiwlâu ar gyfer p ac p″ uchod, a’r canlyniad o ran b, dangoswch fod F_x yn ffwythiant generadu priodol ar gyfer y trawsffurfiad cyfansawdd C_a ∘ C_b.

Ymarfer 5.13: Trawsffurfiadau canonig llinol

Ystyriwn systemau â dwy radd rhyddid a thrawsffurfiadau lle mae ffwythiant Hamilton yn trawsffurfio drwy gyfansoddi.

a. Ystyriwch y trawsffurfiadau canonig llinol a generadir gan

$F_2(t;x_1,x_2;p_1^{\prime },p_2^{\prime })=p_1^{\prime }a{x}_1+p_1^{\prime }b{x}_2+p_2^{\prime }c{x}_1+p_2^{\prime }d{x}_2.$

Dangoswch mai’r trawsffurfiadau pwynt yn unig yw’r trawsffurfiadau hyn, a bod yr F₁ cyfatebol yn sero.

b. Gellir generadu trawsffurfiadau canonig llinol eraill gan

$F_1(t;x_1,x_2;x_1^{\prime },x_2^{\prime })=x_1^{\prime }a{x}_1+x_1^{\prime }b{x}_2+x_2^{\prime }c{x}_1+x_2^{\prime }d{x}_2.$

Yn sicr gallwn lunio rhagor fyth o eneraduron drwy lunio trawsffurfiadau o’r mathau F₃ ac F₄ mewn ffordd gyfatebol. A ellir cael pob trawsffurfiad canonig llinol fel hyn? Os na ellir, dangoswch un na ellir ei eneradu felly.

c. A ellir generadu pob trawsffurfiad canonig llinol drwy gyfansoddi trawsffurfiadau a generadir gan y ffwythiannau a ddangosir yn rhannau a a b uchod?

d. Faint o baramedrau annibynnol sydd eu hangen i bennu pob trawsffurfiad canonig llinol posibl ar gyfer systemau â dwy radd rhyddid?

Ymarfer 5.14: Annewidiolion integrynnol

Ystyriwch y trawsffurfiad canonig llinol ar gyfer system â dwy radd rhyddid a generadir gan y ffwythiant

$F_1(t;x_1,x_2;x_1^{\prime },x_2^{\prime })=x_1^{\prime }a{x}_1+x_1^{\prime }b{x}_2+x_2^{\prime }c{x}_1+x_2^{\prime }d{x}_2,$

a’r paralelogram cyffredinol sydd â fertig yn y tarddbwynt, ac ochrau cyfagos sy’n dechrau yn y tarddbwynt ac yn ymestyn i’r pwyntiau gofod gwedd (x_1a, x_2a, p_1a, p_2a) a (x_1b, x_2b, p_1b, p_2b).

a. Darganfyddwch arwynebedd y paralelogram a roddir ac arwynebedd ei ddelwedd o dan y trawsffurfiad canonig. Sylwch nad yw arwynebedd y paralelogram yn cael ei gadw.

b. Darganfyddwch arwynebeddau tafluniadau’r paralelogram a roddir ac arwynebeddau tafluniadau ei ddelwedd o dan y trawsffurfiad canonig. Dangoswch fod swm arwynebeddau’r tafluniadau ar y plânau sy’n debyg i weithred yn cael ei gadw.

Ymarfer 5.15: Ffwythiant generadu’r mapiad safonol

Darganfyddwch ffwythiant generadu ar gyfer y mapiad safonol (gweler ymarfer 5.8 ar dudalen 357).

5.5 Gofod gwedd estynedig

Yn yr adran hon dangoswn y gallwn drin amser fel cyfesuryn arall os dymunwn. Gellir ailfynegi systemau a ddisgrifir gan ffwythiant Hamilton sy’n dibynnu ar amser yn nhermau ffwythiant Hamilton annibynnol ar amser â gradd rhyddid ychwanegol. Un fantais i’r safbwynt hwn yw y gellir trin trawsffurfiad canonig a oedd yn dibynnu ar amser fel trawsffurfiad annibynnol ar amser, lle nad oes amodau ychwanegol ar gyfer addasu ffwythiant Hamilton.

Tybiwch fod gennym system a nodweddir gan ffwythiant Hamilton sy’n dibynnu ar amser, er enghraifft pendil a yrrir yn gyfnodol. Gallwn ddychmygu bod rhyw osgiliadur eithriadol o drwm, nad yw mudiant y pendil â’i fàs cymharol ddibwys yn amharu arno, yn cynhyrchu’r gyriant. Yn wir, gallwn feddwl am amser ei hun fel cyfesuryn gronyn â màs anfeidrol sy’n symud yn unffurf ac yn gyrru popeth arall. Yn aml, wrth gynnal arbrofion byr yn y labordy, ystyriwn gylchdro’r Ddaear yn gyfeirnod amser sefydlog o’r union fath hwn.

Yn fwy ffurfiol, ystyriwch system ddynamig ag n gradd rhyddid, y disgrifir ei hymddygiad gan ffwythiant Lagrange L, a all ddibynnu ar amser, â ffwythiant Hamilton cyfatebol H. Gwnawn system ddynamig newydd ag n + 1 gradd rhyddid drwy estyn y cyfesurynnau cyffredinoledig i gynnwys amser, a chyflwyno newidyn annibynnol newydd. Estynnwn hefyd y cyflymderau cyffredinoledig i gynnwys cyflymder ar gyfer y cyfesuryn amser. Yn y gofod cyflwr estynedig newydd hwn, mae’r cyfesurynnau’n ddiangen o ran nifer, felly mae cyfyngiad sy’n cysylltu’r cyfesuryn amser â’r newidyn annibynnol newydd.

Cysylltwn y system ddynamig wreiddiol â’r system ddynamig estynedig fel a ganlyn: boed q yn llwybr cyfesurynnau. Boed (q_e, t) : τ ↦ (q_e(τ), t(τ)) yn llwybr cyfesurynnau yn y system estynedig, lle mae τ yn newidyn annibynnol newydd. Yna q_e = q ∘ t, neu q_e(τ) = q(t(τ)). O ganlyniad, os mai v = Dq yw’r cyflymder ar hyd llwybr, yna v_e(τ) = Dq_e(τ) = Dq(t(τ)) · Dt(τ) = v(t(τ)) · v_t(τ).

Gallwn ganfod ffwythiant Lagrange ar gyfer y system estynedig drwy fynnu bod gwerth y weithred yn aros yr un fath. Cyflwynwch y weithred Lagrange estynedig

$$\begin{array}{cc}{S}_e[q_e,t]({\tau }_1,{\tau }_2)={\displaystyle {\int }_{{\tau }_1}^{{\tau }_2}(L_e\circ \Gamma [q_e,t]),}& (5.260)\end{array}$$

gyda

$$\begin{array}{cc}{L}_e(\tau ;q_e,t;v_e,v_t)=L(t,q_e,v_e/v_t)v_t.& (5.261)\end{array}$$

Mae gennym

$$\begin{array}{cc}S[q](t({\tau }_1),t({\tau }_2))=S_e[q\circ t,t]({\tau }_1,{\tau }_2).& (5.262)\end{array}$$

Mae’r system estynedig yn ddarostyngedig i gyfyngiad sy’n cysylltu’r amser â’r newidyn annibynnol newydd. Tybiwn fod y cyfyngiad o’r ffurf φ(τ; q_e, t; v_e, v_t) = t − f(τ) = 0. Mae’r cyfyngiad yn gyfyngiad holonomig sy’n cynnwys y cyfesurynnau a’r amser, felly gallwn ei ymgorffori drwy ychwanegu at ffwythiant Lagrange:²⁴

$$\begin{array}{ll}{L}_e^{\prime }(\tau ;q_e,t,\lambda ;v_e,v_t,v_{\lambda })\hfill & \hfill \\ =L_e(\tau ;q_e,t;v_e,v_t)+v_{\lambda }(v_t-Df(\tau ))\hfill & \hfill \\ =L(t,q_e,v_e/v_t)v_t+v_{\lambda }(v_t-Df(\tau )).\hfill & (5.263)\hfill \end{array}$$

Bodlonir hafaliadau Lagrange $L_e^{\prime }$ ar gyfer q_e gan y llwybrau q ∘ t, lle mae q yn unrhyw lwybr sy’n bodloni hafaliadau Lagrange gwreiddiol L.

Y momenta cyfiau i’r cyfesurynnau yw

$$\begin{array}{ll}{\mathcal{P}}_e(\tau ;q_e,t,\lambda ;v_e,v_t,v_{\lambda })\hfill & \hfill \\ ={\partial }_{2,0}{L}_e^{\prime }(\tau ;q_e,t,\lambda ;v_e,v_t,v_{\lambda })\hfill & \hfill \\ ={\partial }_{2}L(t,q_e,v_e/v_t)\hfill & \hfill \\ =\mathcal{P}(t,q_e,v_e/v_t)\hfill & (5.264)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{\mathcal{P}}_t(\tau ;q_e,t,\lambda ;v_e,v_t,v_{\lambda })\hfill & \hfill \\ ={\partial }_{2,1}{L}_e^{\prime }(\tau ;q_e,t,\lambda ;v_e,v_t,v_{\lambda })\hfill & \hfill \\ =L(t,q_e,v_e/v_t)-{\partial }_{2}L(t,q_e,v_e/v_t)(v_e/v_t)+v_{\lambda }\hfill & \hfill \\ =-ℰ(t,q_e,v_e/v_t)+v_{\lambda }\hfill & (5.265)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{\mathcal{P}}_{\lambda }(\tau ;q_e,t,\lambda ;v_e,v_t,v_{\lambda })\hfill & \hfill \\ ={\partial }_{2,2}{L}_e^{\prime }(\tau ;q_e,t,\lambda ;v_e,v_t,v_{\lambda })\hfill & \hfill \\ =v_t-Df(\tau ).\hfill & (5.266)\hfill \end{array}$$

Felly mae gan y momenta estynedig yr un gwerthoedd â’r momenta gwreiddiol yn y cyflyrau cyfatebol. Y momentwm cyfiau i’r cyfesuryn amser yw negatif yr egni ynghyd â v_λ. Y momentwm cyfiau i λ yw’r cyfyngiad, y mae rhaid iddo fod yn sero.

Nesaf gwnawn y trawsffurfiad i’r ffurfiadaeth Hamilton gyfatebol. Yn gyntaf, sylwch fod y ffwythiant Lagrange L_e yn ffurf homogenaidd o radd un yn y cyflymderau. Felly, yn ôl theorem Euler,

$$\begin{array}{ll}{\partial }_2{L}_e(\tau ;q_e,t;v_e,v_t)·(v_e,v_t)=L_e(\tau ;q_e,t;v_e,v_t).\hfill & (5.267)\hfill \end{array}$$

$p\dot{q}\text{-part}$ trawsffurfiad Legendre $L_e^{\prime }$ yw

$$\begin{array}{ll}{\partial }_2{L}_e^{\prime }(\tau ;q_e,t,\lambda ;v_e,v_t,v_{\lambda })·(v_e,v_t,v_{\lambda })\hfill & \hfill \\ ={\partial }_2{L}_e(\tau ;q_e,t;v_e,v_t)·(v_e,v_t)+v_{\lambda }{v}_t+(v_t-Df(\tau ))v_{\lambda }\hfill & \hfill \\ =L_e(\tau ;q_e,t;v_e,v_t)+v_{\lambda }{v}_t+(v_t-Df(\tau ))v_{\lambda }.\hfill & (5.268)\hfill \end{array}$$

Felly y ffwythiant Hamilton $H_e^{\prime }$ sy’n cyfateb i $L_e^{\prime }$ yw

$$\begin{array}{lll}{H}_e^{\prime }(\tau ;q_e,t,\lambda ;p_e,p_t,p_{\lambda })\hfill & =v_{\lambda }{v}_t\hfill & \hfill \\ \hfill & =(p_t+H(t,q_e,p_e))(p_{\lambda }+Df(\tau )).\hfill & (5.269)\hfill \end{array}$$

Yr ydym wedi defnyddio’r ffaith fod gan y momenta yr un gwerthoedd mewn cyflyrau cyfatebol, felly ar lwybrau mae p_e = p ∘ t, a

$$\begin{array}{ll}ℰ(t,q_e,v_e/v_t)=H(t,q_e,p_e).\hfill & (5.270)\hfill \end{array}$$

Nid yw’r ffwythiant Hamilton $H_e^{\prime }$ yn dibynnu ar λ, felly casglwn fod p_λ yn gyson. Mewn gwirionedd, rhaid rhoi’r gwerth sero i p_λ, oherwydd mai ef yw’r cyfyngiad. Pan fo cyfesuryn cylchol, gallwn ffurfio ffwythiant Hamilton gostyngedig ar gyfer y graddau rhyddid sy’n weddill drwy amnewid gwerth cyson y momentwm cadwedig cyfiau i’r cyfesuryn cylchol yn ffwythiant Hamilton. Y ffwythiant Hamilton sy’n deillio o hyn yw

$$\begin{array}{ll}{H}_e(\tau ;q_e,t;p_e,p_t)=(p_t+H(t,q_e,p_e))Df(\tau ).\hfill & (5.271)\hfill \end{array}$$

Mae’r ffwythiant Hamilton estynedig hwn yn llywodraethu esblygiad y system estynedig, ar gyfer f mympwyol.²⁵

Mae hafaliadau Hamilton yn lleihau i

$$\begin{array}{lll}\hfill D{q}_e(\tau )& ={\partial }_{2}H(t(\tau ),q_e(\tau ),p_e(\tau ))Df(\tau )\hfill & \hfill \\ \hfill Dt(\tau )& =Df(\tau )\hfill & \hfill \\ \hfill D{p}_e(\tau )& =-{\partial }_{1}H(t(\tau ),q_e(\tau ),p_e(\tau ))Df(\tau )\hfill & \hfill \\ \hfill D{p}_t(\tau )& =-{\partial }_{0}H(t(\tau ),q_e(\tau ),p_e(\tau ))Df(\tau ).\hfill & (5.272)\hfill \end{array}$$

Mae’r ail hafaliad yn rhoi’r berthynas ofynnol rhwng t a τ. Mae’r hafaliad cyntaf a’r trydydd yn gyfwerth â hafaliadau Hamilton yn y cyfesurynnau gwreiddiol, fel y gwelwn drwy ddefnyddio q_e = q ∘ t i’w hailysgrifennu:

$$\begin{array}{ll}Dq(t(\tau ))Dt(\tau )={\partial }_{2}H(t(\tau ),q(t(\tau )),p(t(\tau )))Df(\tau )\hfill & \hfill \\ Dp(t(\tau ))Dt(\tau )=-{\partial }_{1}H(t(\tau ),q(t(\tau )),p(t(\tau )))Df(\tau ).\hfill & (5.273)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio Dt(τ) = Df(τ) a rhannu â’r ffactorau hyn, adferwn hafaliadau Hamilton.²⁶

Nawr ystyriwch yr achos arbennig lle mae’r amser yr un fath â’r newidyn annibynnol: f(τ) = τ, Df(τ) = 1. Yn yr achos hwn q = q_e a p = p_e. Daw’r ffwythiant Hamilton estynedig yn

$$\begin{array}{ll}{H}_e^{\prime }(\tau ;q_e,t;p_e,p_t)=p_t+H(t,q_e,p_e).\hfill & (5.274)\hfill \end{array}$$

Daw hafaliad Hamilton ar gyfer t yn Dt(τ) = 1, gan ailddatgan y cyfyngiad. Mae hafaliadau Hamilton ar gyfer Dq_e a Dp_e yn union hafaliadau Hamilton:

$$\begin{array}{ll}Dq(\tau )={\partial }_{2}H(\tau ,q(\tau ),p(\tau ))\hfill & \hfill \\ Dp(\tau )=-{\partial }_{1}H(\tau ,q(\tau ),p(\tau )).\hfill & (5.275)\hfill \end{array}$$

Nid yw’r ffwythiant Hamilton estynedig (5.274) yn dibynnu ar y newidyn annibynnol, felly mae’n faint cadwedig. Felly, hyd at gysonyn adiol, mae p_t yn hafal i negatif yr egni. Mae hafaliad Hamilton ar gyfer Dp_t yn cysylltu newid yr egni â ∂₀H. Sylwch nad yw’r momentwm cyfiau i’r amser yn negatif yr egni yn yr achos mwy cyffredinol. Mae’r dewis hwn, t(τ) = τ, yn ddefnyddiol ar gyfer nifer o gymwysiadau.

Mae’r trawsffurfiad estyn yn ganonig yn yr ystyr fod y ddwy set o hafaliadau mudiant yn disgrifio deinameg gyfwerth. Fodd bynnag, nid yw’r trawsffurfiad yn symplectig; mewn gwirionedd, nid oes ganddo hyd yn oed yr un nifer o newidynnau mewnbwn ac allbwn.

Ymarfer 5.16: Ffwythiant Lagrange estynedig homogenaidd

Gwiriwch fod L_e yn homogenaidd o radd un yn y cyflymderau.

Ymarfer 5.17: Hafaliadau Lagrange

a. Gwiriwch fod hafaliadau Lagrange ar gyfer q_e yn cael eu bodloni gan union yr un taflwybrau â’r rhai sy’n bodloni hafaliadau Lagrange gwreiddiol ar gyfer q.

b. Gwiriwch fod hafaliad Lagrange ar gyfer t yn cysylltu cyfradd newid egni â ∂₀L.

Ymarfer 5.18: Trawsffurfiadau Lorentz

Ymchwiliwch i drawsffurfiadau Lorentz fel trawsffurfiadau pwynt yn y gofod gwedd estynedig.

Problem gyfyngedig tri chorff

Un enghraifft sy’n dangos defnyddioldeb ailffurfio problem yn y gofod gwedd estynedig yw problem gyfyngedig tri chorff: mudiant gronyn màs isel sy’n ddarostyngedig i atyniad disgyrchiant dau gorff trwm arall sy’n symud ar orbit penodedig. Mae’r broblem yn ddelfrydiad o’r sefyllfa lle mae corff â màs bach iawn yn symud ym mhresenoldeb dau gorff â masau llawer mwy. Anwybyddir unrhyw effaith gan y corff llai ar y cyrff mwy. Yn y fersiwn symlaf, tybir bod mudiant y tri chorff yn yr un plân, a bod orbitau’r ddau gorff trwm yn gylchol.

Nid yw’r màs bach yn dylanwadu ar fudiant y cyrff â’r masau mwy, felly modelwn y sefyllfa hon fel corff bach sy’n symud ym maes amrywiol-amser y cyrff mwy sy’n dilyn mudiant penodedig. Gellir mynegi’r sefyllfa hon fel ffwythiant Hamilton sy’n dibynnu ar amser:

$$\begin{array}{ll}H(t;x,y;p_x,p_y)=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}-\frac{Gm{m}_1}{r_1(t)}-\frac{Gm{m}_2}{r_2(t)},\hfill & (5.276)\hfill \end{array}$$

lle mae r₁(t) a r₂(t) yn bellteroedd y corff bach oddi wrth y cyrff mwy, m yw màs y corff bach, ac m₁ ac m₂ yw masau’r cyrff mwy. Sylwch fod r₁(t) a r₂(t) yn feintiau sy’n dibynnu ar safle’r gronyn bach ac ar safleoedd y gronynnau trwm sy’n amrywio gydag amser.

Mae’r cyrff trwm ar orbitau cylchol ac yn cadw pellter cyson o’r craidd màs. Boed a₁ ac a₂ yn bellteroedd i’r craidd màs; yna mae’r pellteroedd yn bodloni m₁a₁ = m₂a₂. Yr amledd onglaidd yw $\Omega =\sqrt{G(m_1+m_2)/a^3}$, lle mae a yn bellter rhwng y masau.

Mewn cyfesurynnau pegynlinol, gyda chraidd màs is-system y gronynnau trwm yn y tarddbwynt, ac r a θ yn disgrifio safle’r gronyn màs isel, safleoedd y ddau gorff trwm yw a₂ = m₁a/(m₁+m₂) gyda θ₂ = Ωt, ac a₁ = m₂a/(m₁+m₂) gyda θ₁ = Ωt + π. Y pellteroedd i’r masau pwynt yw

$$\begin{array}{ll}{(r_2(t))}^2=r^2+a_2^2-2a_{2}r\cos (\theta -\Omega t)\hfill & \hfill \\ {(r_1(t))}^2=r^2+a_1^2-2a_{1}r\cos (\theta -\Omega t-\pi ).\hfill & (5.277)\hfill \end{array}$$

Mewn cyfesurynnau pegynlinol, ffwythiant Hamilton yw

$$\begin{array}{ll}H(t;r,\theta ;p_r,p_{\theta })=\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{p_{\theta }^2}{r^2}\right)-\frac{Gm{m}_1}{r_1(t)}-\frac{Gm{m}_2}{r_2(t)}.\hfill & (5.278)\hfill \end{array}$$

Gellir ysgrifennu ffwythiant Hamilton yn nhermau rhyw ffwythiant f fel bod

$$\begin{array}{ll}H(t;r,\theta ;p_r,p_{\theta })=f(r,\theta -\Omega t,p_r,p_{\theta }).\hfill & (5.279)\hfill \end{array}$$

Y nodwedd hanfodol yw mai dim ond yn y cyfuniad θ − Ωt y mae θ a t yn ymddangos yn ffwythiant Hamilton.

Un ffordd o ddileu’r ddibyniaeth ar amser yw dewis set newydd o newidynnau sydd ag un cyfesuryn yn hafal i’r cyfuniad hwn θ − Ωt, drwy wneud trawsffurfiad pwynt i system gyfesurynnau sy’n cylchdroi. Yr ydym wedi dangos bod

$$\begin{array}{ll}r\prime =r\hfill & (5.280)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\theta \prime =\theta -\Omega t\hfill & (5.281)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{p}_r^{\prime }=p_r\hfill & (5.282)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{p}_{\theta }^{\prime }=p_{\theta }\hfill & (5.283)\hfill \end{array}$$

gyda

$$\begin{array}{lll}H\prime (t;r\prime ,\theta \prime ;p_r^{\prime },p_{\theta }^{\prime })\hfill & =H(t;r\prime ,\theta \prime +\Omega t;p_r^{\prime },p_{\theta }^{\prime })-\Omega p_{\theta }^{\prime }\hfill & \hfill \\ \hfill & =f(r\prime ,\theta \prime ,p_r^{\prime },p_{\theta }^{\prime })-\Omega p_{\theta }^{\prime }\hfill & (5.284)\hfill \end{array}$$

yn drawsffurfiad canonig. Cedwir y ffwythiant Hamilton newydd, nad yw’n egni, oherwydd nad oes dibyniaeth eglur ar amser. Mae’n faint cadwedig defnyddiol—cysonyn Jacobi.²⁷

Gallwn hefyd ddileu’r ddibyniaeth ar y newidyn annibynnol tebyg i amser o ffwythiant Hamilton ar gyfer y broblem gyfyngedig drwy symud i’r gofod gwedd estynedig, gan ddewis t = τ. Y ffwythiant Hamilton

$$\begin{array}{lll}{H}_e(\tau ;r,\theta ,t;p_r,p_{\theta },p_t)\hfill & =H(t;r,\theta ;p_r,p_{\theta })+p_t\hfill & \hfill \\ \hfill & =f(r,\theta -\Omega t,p_r,p_{\theta })+p_t\hfill & (5.285)\hfill \end{array}$$

yn ymreolaethol ac felly’n faint cadwedig. Unwaith eto, gwelwn mai dim ond yn y cyfuniad θ − Ωt y mae θ a t yn ymddangos, sy’n awgrymu trawsffurfiad pwynt i gyfesuryn newydd θ′ = θ − Ωt. Mae’r trawsffurfiad pwynt hwn yn annibynnol ar y newidyn annibynnol newydd τ. Pennir y trawsffurfiad yn hafaliadau (5.280–5.283), ynghyd â pherthnasoedd sy’n pennu sut y trinnir y cyfesuryn amser a’i fomentwm cyfiau:

$$\begin{array}{ll}t=t\prime \hfill & (5.286)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{p}_t=-\Omega p_{\theta }^{\prime }+p_t^{\prime }.\hfill & (5.287)\hfill \end{array}$$

Ceir y ffwythiant Hamilton newydd drwy gyfansoddi’r hen ffwythiant Hamilton â’r trawsffurfiad:

$$\begin{array}{ll}{H}_e^{\prime }(\tau ;r\prime ,\theta \prime ,t\prime ;p_r^{\prime },p_{\theta }^{\prime },p_t^{\prime })\hfill & \hfill \\ =H_e(\tau ;r\prime ,\theta \prime +\Omega t\prime ,t\prime ;p_r^{\prime },p_{\theta }^{\prime },p_t^{\prime }-\Omega p_{\theta }^{\prime })\hfill & \hfill \\ =f(r\prime ,\theta \prime ,p_r^{\prime },p_{\theta }^{\prime })+p_t^{\prime }-\Omega p_{\theta }^{\prime }.\hfill & (5.288)\hfill \end{array}$$

Adnabyddwn mai dim ond cysonyn Jacobi ynghyd ag $p_t^{\prime }$ yw’r ffwythiant Hamilton newydd yn y gofod gwedd estynedig, sydd â’r un gwerth â’r ffwythiant Hamilton gwreiddiol yn y gofod gwedd estynedig. Nid yw’r ffwythiant Hamilton newydd yn dibynnu ar t′, felly mae $p_t^{\prime }$ yn gysonyn y mudiant. Mewn gwirionedd, mae ei werth yn amherthnasol i weddill yr esblygiad dynamig, felly gallwn osod gwerth $p_t^{\prime }$ yn sero os dymunwn. Felly yr ydym wedi canfod mai cysonyn Jacobi ynghyd â chysonyn adiol mympwyol yw’r ffwythiant Hamilton yn y gofod gwedd estynedig, a gedwir. Mae gennym ddau lwybr at gysonyn Jacobi: (1) trawsffurfio’r system wreiddiol i system gyfesurynnau sy’n cylchdroi er mwyn dileu’r ddibyniaeth ar amser, ond gan ychwanegu termau at ffwythiant Hamilton yn y broses; a (2) symud i’r gofod gwedd estynedig a chael maint cadwedig ar unwaith, ac yna, drwy symud i gyfesurynnau cylchdroadol, adnabod mai’r un peth â chysonyn Jacobi yw’r ffwythiant Hamilton hwn. Felly weithiau mae’r ffwythiant Hamilton yn y gofod gwedd estynedig yn faint cadwedig defnyddiol.

Ymarfer 5.19: Trawsffurfiadau yn y gofod gwedd estynedig

Yn adran 5.2.1 canfuom fod trawsffurfiadau sy’n dibynnu ar amser, ac sydd â deilliad symplectig i’w rhan gyfesurynnau–momenta, yn ganonig dim ond os addasir ffwythiant Hamilton drwy ychwanegu ffwythiant K sy’n ddarostyngedig i gyfyngiadau penodol (hafaliad 5.42). Dangoswch fod y cyfyngiadau ar K yn dilyn o’r amod symplectig yn y gofod gwedd estynedig, gan ddefnyddio’r dewis t = τ.

5.5.1 Annewidiolyn integrynnol Poincaré–Cartan

Mae annewidiolyn Poincaré (adran 5.3) yn arbennig o ddefnyddiol yn y gofod gwedd estynedig gyda t = τ. Yn y gofod gwedd estynedig, nid yw’r ffwythiant Hamilton estynedig yn dibynnu ar y newidyn annibynnol. Yn y gofod gwedd estynedig mae trawsffurfiadau canonig yn symplectig, ac mae ffwythiant Hamilton yn trawsffurfio drwy gyfansoddi.

Ar gyfer y dewis arbennig t = τ, gellir ailfynegi hafaliad (5.90) mewn ffordd ddiddorol. Boed E yn werth ffwythiant Hamilton yn y gofod gwedd gwreiddiol heb ei estyn. Gan ddefnyddio qⁿ = t a p_n = p_t = −E, gallwn ysgrifennu

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\displaystyle {\int }_{R_i}d{q}^{i}d{p}_i-{\displaystyle {\int }_{R_n}dtdE={\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\displaystyle {\int }_{R_i^{\prime }}dq{\prime }^{i}d{p}_i^{\prime }}-{\displaystyle {\int }_{R_n^{\prime }}dt\prime dE\prime }}}}}\hfill & (5.289)\hfill \end{array}$$

a

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle {\oint }_{\partial R}({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{p}_{i}d{q}^i-Edt})={\displaystyle {\oint }_{\partial R\prime }({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{p}_i^{\prime }dq{\prime }^i-E\prime dt\prime }).}}\hfill & (5.290)\hfill \end{array}$$

Mae’r perthnasoedd (5.289) a (5.290) yn ddwy ffurfiadaeth o integryn annewidiol Poincaré–Cartan.

5.6 Gofod gwedd gostyngedig

Tybiwch fod gennym system ag n+1 gradd rhyddid a ddisgrifir gan ffwythiant Hamilton annibynnol ar amser mewn gofod gwedd (2n + 2) dimensiwn. Yma gallwn chwarae’r gêm wrthdro: gallwn ddewis unrhyw gyfesuryn cyffredinoledig i chwarae rôl “amser”, a negatif ei fomentwm cyfiau i chwarae rôl ffwythiant Hamilton newydd, sy’n dibynnu ar amser ac sydd ag n gradd rhyddid, mewn gofod gwedd gostyngedig o 2n dimensiwn.

Yn fwy manwl, boed

$$\begin{array}{ll}q=(q^0,\dots ,q^n)\hfill & \hfill \\ p=[p_0,\dots ,p_n],\hfill & (5.291)\hfill \end{array}$$

a thybiwch fod gennym system a ddisgrifir gan ffwythiant Hamilton annibynnol ar amser

$$\begin{array}{ll}H(t,q,p)=f(q,p)=E.\hfill & (5.292)\hfill \end{array}$$

Ar gyfer pob llwybr datrysiad mae maint cadwedig E. Dewiswn gyfesuryn qⁿ i fod yn amser mewn gofod gwedd gostyngedig. Diffiniwn y newidynnau dynamig ar gyfer y gofod gwedd gostyngedig ag n gradd rhyddid:

$$\begin{array}{ll}{q}_r=(q_r^0,\dots ,q_r^{n-1})\hfill & \hfill \\ p^r=[p_0^r,\dots ,p_{n-1}^r].\hfill & (5.293)\hfill \end{array}$$

Yn y gofod gwedd gwreiddiol, mae cyfesuryn fel qⁿ yn mapio amser i gyfesuryn. Wrth ffurfio’r gofod gwedd gostyngedig, bydd rhaid defnyddio’r ffwythiant gwrthdro τ = (qⁿ)⁻¹ i fapio’r cyfesuryn i’r amser, gan roi’r cyfesurynnau newydd yn nhermau’r amser newydd

$$\begin{array}{ll}{q}_r^i=q^i\circ \tau \hfill & \hfill \\ p_i^r=p_i\circ \tau ,\hfill & (5.294)\hfill \end{array}$$

ac felly

$$\begin{array}{ll}D{q}_r^i=D(q^i\circ \tau )=(D{q}^i\circ \tau )(D\tau )=(D{q}^i\circ \tau )/(D{q}^n\circ \tau )\hfill & \hfill \\ D{p}_i^r=D(p_i\circ \tau )=(D{p}_i\circ \tau )(D\tau )=(D{p}_i\circ \tau )/(D{q}^n\circ \tau ).\hfill & (5.295)\hfill \end{array}$$

Cynigiwn mai negatif gwrthdro f(q⁰, …, qⁿ; p₀, …, p_n) = E mewn perthynas â’r arg p_n yw ffwythiant Hamilton yn y gofod gwedd gostyngedig:

$$\begin{array}{ll}{H}_r(x,q_r,p^r)=-(\text{the}{p}_x\text{such\hspace{0.17em}that}f(q_r,x;p^r,p_x)=E).\hfill & (5.296)\hfill \end{array}$$

Sylwch y bydd mynegeion y newidynnau strwythuredig yn y gofod gwedd gostyngedig yn yr amrediad 0 … n−1, tra bo’r mynegeion yn y gofod gwedd gwreiddiol yn yr amrediad 0 … n. Dangoswn fod H_r yn ffwythiant Hamilton priodol i’r system ddynamig benodol yn y gofod gwedd gostyngedig. I gyfrifo hafaliadau Hamilton, rhaid ehangu diffiniad ymhlyg H_r. Diffiniwn ffwythiant ategol

$$\begin{array}{ll}g(x,q_r,p^r)=f(q_r,x;p^r,-H_r(x,q_r,p^r)).\hfill & (5.297)\hfill \end{array}$$

Sylwch fod y ffwythiant hwn, drwy ei luniad, yn union gysonyn g = E. Felly mae ei holl ddeilliadau rhannol yn sero:

$$\begin{array}{lll}\hfill {\partial }_{0}g& ={({\partial }_{0}f)}^n-{({\partial }_{1}f)}^n{\partial }_0{H}_r=0\hfill & \hfill \\ \hfill {({\partial }_{1}g)}_i& ={({\partial }_{0}f)}_i-{({\partial }_{1}f)}^n{({\partial }_1{H}_r)}_i=0\hfill & \hfill \\ \hfill {({\partial }_{2}g)}^i& ={({\partial }_{1}f)}^i-{({\partial }_{1}f)}^n{({\partial }_2{H}_r)}^i=0,\hfill & (5.298)\hfill \end{array}$$

lle’r ydym wedi hepgor yr argiau. Gan ddatrys ar gyfer deilliadau rhannol H_r, cawn

$$\begin{array}{ll}{({\partial }_1{H}_r)}_i={({\partial }_{0}f)}_i/{({\partial }_{1}f)}^n={({\partial }_{1}H)}_i/{({\partial }_{2}H)}^n\hfill & \hfill \\ {({\partial }_2{H}_r)}^i={({\partial }_{1}f)}^i/{({\partial }_{1}f)}^n={({\partial }_{2}H)}^i/{({\partial }_{2}H)}^n.\hfill & (5.299)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio’r perthnasoedd hyn, gallwn ddiddwytho hafaliadau Hamilton yn y gofod gwedd gostyngedig o hafaliadau Hamilton yn y gofod gwedd gwreiddiol:

$$\begin{array}{lll}D{q}_r^i(x)\hfill & =\frac{D{q}^i(\tau (x))}{D{q}^n(\tau (x))}\hfill & \hfill \\ \hfill & =\frac{{({\partial }_{2}H(\tau (x),q(\tau (x)),p(\tau (x))))}^i}{{({\partial }_{2}H(\tau (x),q(\tau (x)),p(\tau (x))))}^n}\hfill & \hfill \\ \hfill & ={({\partial }_2{H}_r(x,q_r(x),p^r(x)))}^i\hfill & (5.300)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{lll}D{p}_i^r(x)\hfill & =\frac{D{p}_i(\tau (x))}{D{q}^n(\tau (x))}\hfill & \hfill \\ \hfill & =\frac{-{({\partial }_{1}H(\tau (x),q(\tau (x)),p(\tau (x))))}_i}{{({\partial }_{2}H(\tau (x),q(\tau (x)),p(\tau (x))))}^n}\hfill & \hfill \\ \hfill & =-{({\partial }_1{H}_r(x,q_r(x),p^r(x)))}_i.\hfill & (5.301)\hfill \end{array}$$

Orbitau mewn maes canolog

Ystyriwch fudiant mewn plân mewn maes canolog. Yr ydym eisoes wedi gweld hwn wedi’i fynegi mewn cyfesurynnau pegynlinol yn hafaliad (3.100):

$$\begin{array}{ll}H(t;r,\phi ;p_r,p_{\phi })=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_{\phi }^2}{2m{r}^2}+V(r).\hfill & (5.302)\hfill \end{array}$$

Mae dwy radd rhyddid, ac mae ffwythiant Hamilton yn annibynnol ar amser. Felly cedwir yr egni, sef gwerth ffwythiant Hamilton, ar lwybrau gwireddadwy. Gadewch inni anghofio am amser ac ailbaramedreiddio’r system hon yn nhermau’r radiws orbitol r.²⁸ I wneud hyn, datryswn

$$\begin{array}{ll}H(t;r,\phi ;p_r,p_{\phi })=E\hfill & (5.303)\hfill \end{array}$$

ar gyfer p_r, gan gael

$$\begin{array}{ll}H\prime (r,\phi ,p_{\phi })=-p_r=-{\left(2m(E-V(r))-\frac{p_{\phi }^2}{r^2}\right)}^{\frac{1}{2}},\hfill & (5.304)\hfill \end{array}$$

sef ffwythiant Hamilton yn y gofod gwedd gostyngedig.

Mae hafaliadau Hamilton bellach yn eithaf syml:

$$\begin{array}{ll}\frac{d\phi }{dr}=\frac{\partial H\prime }{\partial p_{\phi }}=\frac{p_{\phi }}{r^2}{\left(2m(E-V(r))-\frac{p_{\phi }^2}{r^2}\right)}^{-\frac{1}{2}}\hfill & (5.305)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\frac{d{p}_{\phi }}{dr}=-\frac{\partial H\prime }{\partial \phi }=0.\hfill & (5.306)\hfill \end{array}$$

Mae’r momentwm p_φ yn annibynnol ar r (fel yr oedd ar t), felly ar gyfer unrhyw orbit penodol gallwn ddiffinio momentwm onglaidd cyson L. Felly mae ein problem yn troi’n broblem syml o integru:

$$\begin{array}{ll}\phi (r)={\displaystyle {\int }_{}^r\frac{L}{r^2}{\left(2m(E-V(r))-\frac{L^2}{r^2}\right)}^{-\frac{1}{2}}dr+{\phi }_0.}\hfill & (5.307)\hfill \end{array}$$

I weld defnyddioldeb y dull hwn, parhawn â’n henghraifft gan ddewis egni potensial penodol—màs pwynt sy’n creu maes disgyrchiant:

$$\begin{array}{ll}V(r)=-\frac{\mu }{r}.\hfill & (5.308)\hfill \end{array}$$

Wrth amnewid hwn yn hafaliad (5.307), cawn fynegiad anniben y gellir ei symleiddio i

$$\begin{array}{ll}\phi (r)=L{\displaystyle {\int }_{}^r\frac{dr}{r\sqrt{2mE{r}^2+2m\mu r-L^2}}+{\phi }_0.}\hfill & (5.309)\hfill \end{array}$$

Wrth integru hyn, cawn fynegiad anniben arall, y gellir ei symleiddio a’i aildrefnu i gael y canlynol:

$$\begin{array}{ll}\frac{1}{r}=\frac{m\mu }{L^2}\left(1-\sqrt{1+\frac{2E{L}^2}{m{\mu }^2}}\sin (\phi (r)-{\phi }_0)\right).\hfill & (5.310)\hfill \end{array}$$

Gellir adnabod hwn fel ffurf gyfesurynnau pegynlinol hafaliad toriad conig ag ecsentrigrwydd e a pharamedr p:

$$\begin{array}{ll}\frac{1}{r}=\frac{1+e\cos \theta }{p}\hfill & (5.311)\hfill \end{array}$$

lle mae

$$\begin{array}{ll}\begin{array}{llll}e=\sqrt{1+\frac{2E{L}^2}{m{\mu }^2}},\hfill & p=\frac{L^2}{m\mu }\hfill & \text{and}\hfill & \theta ={\phi }_0-\phi (r)-\frac{\pi }{2}.\hfill \end{array}\hfill & (5.312)\hfill \end{array}$$

Mewn gwirionedd, os yw’r orbit yn elips â hanner echelin fwyaf a, mae gennym

$$\begin{array}{ll}p=a(1-e^2)\hfill & (5.313)\hfill \end{array}$$

ac felly gallwn adnabod rôl egni a momentwm onglaidd wrth lunio siâp yr elips:

$$\begin{array}{llll}E=-\frac{\mu }{2a}\hfill & \text{and}\hfill & L=\sqrt{m\mu a(1-e^2)}.\hfill & (5.314)\hfill \end{array}$$

Yr hyn a gawn o ddadansoddiad yn y gofod gwedd gostyngedig yw geometreg y taflwybr, ond collwn yr ymddygiad dros amser. Yn aml mae’r gostyngiad yn werth y pris.

Er inni drin amser mewn ffordd arbennig hyd yma, yr ydym wedi canfod nad yw amser yn arbennig. Gellir ei gynnwys yn y cyfesurynnau i wneud system wedi’i gyrru yn ymreolaethol. A gellir ei ddileu o unrhyw system ymreolaethol o blaid unrhyw gyfesuryn arall. Mae hyn yn arwain at nifer o strategaethau i symleiddio problemau, drwy ddileu amrywiad amser ac yna wneud trawsffurfiadau canonig ar y system ymreolaethol geidwadol sy’n deillio o hynny, er mwyn creu cyfesuryn cyfleus y gallwn wedyn ei roi’n ôl yn rôl amser.

Ffwythiannau generadu mewn gofod gwedd estynedig

Gallwn gynrychioli trawsffurfiadau canonig gyda ffwythiannau generadu newidynnau cymysg. Gallwn estyn y rhain i gynrychioli trawsffurfiadau yn y gofod gwedd estynedig. Boed F₂ yn ffwythiant generadu â’r argiau (t, q, p′). Yna gellir cymryd mai’r $F_2^e$ cyfatebol yn y gofod gwedd estynedig yw

$$\begin{array}{ll}{F}_2^e(\tau ;q,t;p\prime ,p_t^{\prime })=t{p}_t^{\prime }+F_2(t,q,p).\hfill & (5.315)\hfill \end{array}$$

Mae’r perthnasoedd rhwng y cyfesurynnau a’r momenta yr un fath ag o’r blaen. Mae gennym hefyd

$$\begin{array}{lll}\hfill p_t& ={({\partial }_1{F}_2^e)}_n(\tau ;q,t;p\prime ,p_t^{\prime })=p_t^{\prime }+{\partial }_0{F}_2(t,q,p)\hfill & \hfill \\ \hfill t\prime & ={({\partial }_2{F}_2^e)}^n(\tau ;q,t;p\prime ,p_t^{\prime })=t.\hfill & (5.316)\hfill \end{array}$$

Mae’r hafaliad cyntaf yn rhoi’r berthynas rhwng y ffwythiannau Hamilton gwreiddiol:

$$\begin{array}{ll}H\prime (t,q\prime ,p\prime )=H(t,q,p)+{\partial }_0{F}_2(t,q,p),\hfill & (5.317)\hfill \end{array}$$

fel sy’n ofynnol. Mae gan drawsffurfiadau canonig annibynnol ar amser, lle mae H′ = H ∘ C_H, ran qp symplectig. Nid yw cynrychioliad ffwythiant generadu trawsffurfiad sy’n dibynnu ar amser yn dibynnu ar y newidyn annibynnol yn y gofod gwedd estynedig. Felly, yn y gofod gwedd estynedig, mae rhan qp y trawsffurfiad, sy’n cynnwys yr amser a’r momentwm cyfiau i’r amser, yn symplectig.

Ymarfer 5.20: Cyfesurynnau cylchdroadol mewn gofod gwedd estynedig

Yn y gofod gwedd estynedig, mae’r amser yn un o’r cyfesurynnau. Gwnewch y trawsffurfiad i gyfesurynnau cylchdroadol gan ddefnyddio ffwythiant generadu o’r math F₂ yn y gofod gwedd estynedig. Cymharwch y ffwythiant Hamilton (5.178) â’r ffwythiant Hamilton a geir drwy gyfansoddi â’r trawsffurfiad.

5.7 Crynodeb

Gellir defnyddio trawsffurfiadau canonig i ailffurfio problem mewn cyfesurynnau sy’n haws eu deall, neu sy’n datgelu rhyw gymesuredd yn y broblem.

Yn y bennod hon yr ydym wedi ymchwilio i wahanol gynrychioliadau o system ddynamig. Canfuom y bydd gwahanol gynrychioliadau’n gyfwerth os oes gan ran gyfesurynnau–momenta’r trawsffurfiad ddeilliad symplectig, ac os yw ffwythiant Hamilton yn trawsffurfio mewn ffordd benodol. Os yw’r trawsffurfiad gofod gwedd yn annibynnol ar amser, yna mae ffwythiant Hamilton yn trawsffurfio drwy gyfansoddi â’r trawsffurfiad gofod gwedd. Gellir mynegi’r amod symplectig yn gyfwerth yn nhermau cromfachau Poisson sylfaenol. Mae cromfach Poisson a’r ffwythiant ω yn annewidiol o dan drawsffurfiadau canonig. Mae annewidioldeb ω yn awgrymu bod trawsffurfiadau canonig yn cadw swm arwynebeddau’r tafluniadau ar blânau cyfesuryn–momentwm sylfaenol (integryn annewidiol Poincaré).

Mae ffwythiant generadu yn ffwythiant â gwerthoedd real o’r cyfesurynnau gofod gwedd a’r amser, sy’n cynrychioli trawsffurfiad canonig drwy ei ddeilliadau rhannol. Canfuom y gellir cynrychioli pob trawsffurfiad canonig gan ffwythiant generadu. Mae’r prawf yn dibynnu ar integryn annewidiol Poincaré.

Gallwn ffurfio gofod gwedd estynedig lle trinnir amser fel cyfesuryn arall. Mae trawsffurfiadau sy’n dibynnu ar amser yn syml yn y gofod gwedd estynedig. Yn y gofod gwedd estynedig, integryn annewidiol Poincaré–Cartan yw integryn annewidiol Poincaré. Gallwn hefyd ailffurfio problem annibynnol ar amser fel problem sy’n dibynnu ar amser â llai o raddau rhyddid, gydag un o’r cyfesurynnau gwreiddiol yn cymryd rôl amser; dyma’r gofod gwedd gostyngedig.

5.8 Prosiectau

Ymarfer 5.21: Cyfesurynnau Jacobi hierarchaidd

Un ffwythiant Hamilton ar gyfer problem n corff yw

$$\begin{array}{ll}H=T+V\hfill & (5.318)\hfill \end{array}$$

gyda

$$\begin{array}{ll}T(t;x_{0,}{x}_1,\dots ,x_{n-1};p_0,p_1,\dots ,p_{n-1})={\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}\frac{p_i^2}{2m_i}}\hfill & (5.319)\hfill \end{array}$$

a

$$\begin{array}{ll}V(t;x_0,x_1,\dots ,x_{n-1};p_0,p_1,\dots ,p_{n-1})={\displaystyle \sum _{i<j}{f}_{ij}\left(\Vert x_i-x_j\Vert \right)},\hfill & (5.320)\hfill \end{array}$$

lle mae x_i yn dwpled cyfesurynnau petryal corff i, ac p_i yn dwpled momenta llinol cyfiau corff i.

Mae egni potensial y system yn dibynnu ar safleoedd cymharol y cyrff yn unig, felly mae’r mudiant cymharol yn datgysylltu oddi wrth fudiant y craidd màs. Yn y broblem hon archwiliwn drawsffurfiadau canonig sy’n cyflawni’r datgysylltiad hwn.

a. Cyfesurynnau heliosentrig canonig. Mae’r cyfesurynnau’n trawsffurfio fel a ganlyn:

$$\begin{array}{ll}{x}_0^{\prime }=X,\hfill & (5.321)\hfill \end{array}$$

lle mae X yn graidd màs y system, a

$$\begin{array}{ll}{x}_i^{\prime }=x_i-x_0,\hfill & (5.322)\hfill \end{array}$$

ar gyfer i > 0, gwahaniaethau safle corff i a’r corff â mynegai 0 (a allai fod yr Haul). Darganfyddwch y momenta canonig cysylltiedig gan ddefnyddio ffwythiant generadu o’r math F₂. Dangoswch y gellir ysgrifennu’r egni potensial yn nhermau’r cyfesurynnau ar gyfer i > 0 yn unig. Dangoswch nad yw’r egni cinetig ar ffurf swm sgwariau momenta wedi’u rhannu â chysonion màs.

b. Cyfesurynnau Jacobi. Mae cyfesurynnau Jacobi yn ynysu mudiant y craidd màs heb ddifetha ffurf gwadratig groeslinol arferol yr egni cinetig. Diffiniwch X_i fel craidd màs y cyrff â mynegeion sy’n llai na neu’n hafal i i:

$$\begin{array}{ll}{X}_i=\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=0}^i{m}_j{x}_j}}{{\displaystyle {\sum }_{j=0}^i{m}_j}}.\hfill & (5.323)\hfill \end{array}$$

Diffinnir cyfesurynnau Jacobi gan

$$\begin{array}{ll}{x}_{i-1}^{\prime }=x_i-X_{i-1},\hfill & (5.324)\hfill \end{array}$$

ar gyfer 0 < i < n, a

$$\begin{array}{ll}{x}_{n-1}^{\prime }=X_{n-1}.\hfill & (5.325)\hfill \end{array}$$

Y cyfesurynnau $x_i^{\prime }$ ar gyfer 0 < i < n yw’r gwahaniaeth rhwng safle corff i − 1 a chraidd màs y cyrff â mynegeion is; y cyfesuryn $x_{n-1}^{\prime }$ yw craidd màs y system. Cwblhewch y trawsffurfiad canonig drwy ganfod y momenta cyfiau gan ddefnyddio ffwythiant generadu o’r math F₂. Dangoswch y gellir dal i ysgrifennu’r egni cinetig ar y ffurf

$$\begin{array}{ll}T(t;x_0^{\prime },x_1^{\prime },\dots ,x_{n-1}^{\prime };p_0^{\prime },p_1^{\prime },\dots ,p_{n-1}^{\prime })={\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}\frac{{p_i^{\prime }}^2}{2m_i^{\prime }},}\hfill & (5.326)\hfill \end{array}$$

ar gyfer rhyw gysonion $m_i^{\prime }$, ac y gellir ysgrifennu’r potensial V yn nhermau cyfesurynnau Jacobi $x_i^{\prime }$ â mynegeion i > 0 yn unig.

c. Cyfesurynnau Jacobi hierarchaidd. Diffiniwch “gorff” fel twpled o fàs a thwpled safle petryal. Twpled o n corff yw “system” n corff: (b₀, b₁, …, b_n−1). Diffiniwch drawsffurfiad “cysylltu” ${\mathcal{ℒ}}_{jk}$ ar gyfer cyrff j a k sy’n cymryd system n corff ac yn dychwelyd system gysylltiedig newydd:

$$\begin{array}{ll}(b_0^{\prime },\dots ,b_{n-1}^{\prime })={\mathcal{ℒ}}_{jk}(b_0,\dots ,b_{n-1}).\hfill & (5.327)\hfill \end{array}$$

Mae’r cyrff yn y system newydd yr un fath â’r cyrff yn yr hen system $b_i^{\prime }=b_i$, ac eithrio cyrff j a k:

$$\begin{array}{ll}(m_j^{\prime },x_j^{\prime })=(m_j{m}_k/(m_j+m_k),x_k-x_j)\hfill & \hfill \\ (m_k^{\prime },x_k^{\prime })=(m_j+m_k,(m_j{x}_j+m_k{x}_k)/(m_j+m_k)).\hfill & (5.328)\hfill \end{array}$$

Trawsffurfiad i gyfesurynnau cymharol a chraidd màs ar gyfer cyrff j a k yw hwn. Estynnwch y trawsffurfiad hwn i ofod gwedd a dangoswch ei fod yn cadw ffurf yr egni cinetig

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _i\frac{{(p_i)}^2}{2m_i}={\displaystyle \sum _i\frac{{(p_i^{\prime })}^2}{2m_i^{\prime }}.}}\hfill & (5.329)\hfill \end{array}$$

Dangoswch fod y trawsffurfiad i gyfesurynnau Jacobi yn rhan b yn cael ei eneradu gan gyfansoddiad o drawsffurfiadau cysylltu:

$$\begin{array}{ll}{\mathcal{ℒ}}_{n-2,n-1}\circ \cdots \circ {\mathcal{ℒ}}_{1,2}\circ {\mathcal{ℒ}}_{0,1}.\hfill & (5.330)\hfill \end{array}$$

Dehonglwch y trawsffurfiad cyfesurynnau a gynhyrchir gan ddilyniant o’r fath o drawsffurfiadau cysylltu; pam yr ydym yn ei alw’n drawsffurfiad “cysylltu”? Pa ofyniad y mae’n rhaid ei fodloni er mwyn i gyfansoddiad o drawsffurfiadau cysylltu ynysu craidd màs y system (ei wneud yn un o’r cyfesurynnau)? Gan ystyried y cyfyngiad hwn, darganfyddwch gyfesurynnau Jacobi hierarchaidd ar gyfer system â chwe chorff, wedi’u trefnu fel dwy system driphlyg, a phob un o’r rheini’n system ddeuaidd ynghyd â thrydydd corff. Gwiriwch mai craidd màs y system yw un o’r cyfesurynnau, a bod yr egni cinetig yn parhau’n swm sgwariau’r momenta wedi’u rhannu â chysonyn màs priodol.

¹ Mae datrys ar gyfer p yn nhermau p′ yn golygu lluosi hafaliad (5.3) ar y dde â (∂₁F(t, q′))⁻¹. Y gwrthdro hwn yw’r strwythur sydd, wrth luosi ∂₁F(t, q′) ar y dde, yn rhoi strwythur unfathiant. Gellir cynrychioli strwythurau sy’n cynrychioli trawsffurfiadau llinol yn nhermau matricsau. Yn yr achos hwn, cynrychioliad matrics y strwythur gwrthdro yw gwrthdro’r matrics sy’n cynrychioli’r strwythur a roddir.

²Ym mhennod 1, mae’r trawsffurfiad C yn cymryd twpled lleol mewn un system gyfesurynnau ac yn rhoi twpled lleol mewn system gyfesurynnau arall. Yn y bennod hon, mae C_H yn drawsffurfiad gofod gwedd.

³Mae’r cyflymderau a’r momenta yn wrthrychau geometrig deuol mewn perthynas â thrawsffurfiadau pwynt annibynnol ar amser. Mae’r cyflymderau yn gyfesurynnau maes fectorau ar y maniffold ffurfweddau, ac mae’r momenta yn gyfesurynnau maes cydfectorau ar y maniffold ffurfweddau. Mae annewidioldeb y lluoswm mewnol pv o dan drawsffurfiadau pwynt annibynnol ar amser yn rheswm dros ein defnydd o uwchysgrifau ar gyfer cydrannau cyflymder ac isysgrifau ar gyfer cydrannau momentwm.

⁴Mae’r weithdrefn solve-linear-right yn lluosi ei harg cyntaf ar y dde â gwrthdro ei hail arg. Felly, os yw u = vM, yna v = uM⁻¹; mae (solve-linear-right u M) yn cynhyrchu v.

⁵Nid gweithredydd deilliad yw D_s. Nid yw’n llinol oherwydd bod y gydran amser yn gysonyn nad yw’n sero.

⁶Weithiau defnyddiwn ddot canol i ddynodi lluosi, er mwyn osgoi amwysedd defnyddio cyfosodiad i ddynodi lluosi a chymhwyso ffwythiant ill dau. Ni ddylid dehongli hwn fel lluoswm dot fectorau.

⁷Mewn gwirionedd, ar gyfer I = 0 nid yw’r trawsffurfiad wedi’i ddiffinio’n dda, ac felly nid yw’n ganonig ar gyfer y gwerth hwnnw. Mae’r trawsffurfiad hwn yn “ganonig yn lleol”, gan ei fod yn ganonig ar gyfer gwerthoedd di-sero o I. Anwybyddwn y broblem hon, sy’n dopolegol yn ei hanfod.

⁸Yn wahanol i D_s, mae $\mathcal{D}$ yn llinol a gall fod yn weithredydd deilliad.

⁹Mae’r weithdrefn zero-like yn cynhyrchu strwythur o seroau sydd â siâp ei harg.

¹⁰Dim ond aildrefniad o argiau R_z yw hwn: R(Ω)(t, q′) = R_z(Ωt)(q′).

¹¹Ar gyfer pob trawsffurfiad llinol T : A → A o gynyddrannau cyflwr gofod gwedd, mae trawsffurfiad llinol unigryw $T^{\mathcal{T}}:A^{\star }\to A^{\star }$ o’r gofod deuol, a elwir yn drawsddodiad T, fel bod gennym $(T^{\mathcal{T}}(g))(a)=g(T(a))$ ar gyfer pob ffwythiant llinol â gwerthoedd real g : A → R o gynyddrannau cyflwr gofod gwedd, ac ar gyfer pob a ∈ A. Fel lluosyddion llinol, ${(DT(a))}^{\mathcal{T}}·Dg(a)·a=Dg(a)·DT(a)·a$. Ond ar gyfer a mympwyol, dyma ${(DT(a))}^{\mathcal{T}}·Dg(a)=Dg(a)·DT(a)$. Yn ein cymhwysiad, DT (a) yw DC_H(s′), a Dg(a) yw DH(C_H(s′)).

¹²Mae’r weithdrefn compatible-shape yn cymryd unrhyw strwythur ac yn cynhyrchu strwythur arall sy’n sicr o luosi â’r strwythur a roddir i gynhyrchu maint rhifiadol. Er enghraifft, mae siâp DH(s) yn siâp cydnaws â siâp s: os lluosir y ddau, maint rhifiadol yw’r canlyniad. Dyma’r s^⋆ sy’n ymddangos yn hafaliad (5.48).

¹³Mae’r weithdrefn transpose wedi’i diffinio’n syml ar gyfer matricsau traddodiadol, ond gan y gall strwythurau sy’n pennu trawsffurfiadau llinol gynnwys is-strwythur mympwyol, rhaid rhoi templed i’r weithdrefn sy’n pennu’r strwythur hwn. Felly mae’r weithdrefn transpose yn cymryd dau arg: (transpose ms rs), lle mae ms yn strwythur i’w drawsddodi, a’r templed rs yn strwythur sy’n addas i’w luosi ag ms ar y dde.

¹⁴Mewn gwirionedd, mae hyn yn fwy diddorol: caniateir trawsffurfiadau sy’n ystumio amser yn fympwyol, gan fod tau yn ffwythiant llythrennol mympwyol. Dim ond trawsffurfiad y cyfesurynnau a’r momenta, a all ddibynnu ar amser, sy’n berthnasol i’r amod canonig.

¹⁵Isfatrics qp matrics sgwâr o faint 2n + 1 yw’r matrics maint 2n a geir drwy ddileu rhes gyntaf a cholofn gyntaf y matrics a roddir. Gellir cyfrifo hwn drwy:

(define (qp-submatrix m)
  (m:submatrix m 1 (m:num-rows m) 1 (m:num-cols m)))

¹⁶Diffinnir y weithdrefn D-as-matrix fel:

(define ((D-as-matrix F) s)
  (s->m (compatible-shape (F s)) ((D F) s) s)))

¹⁷Y plân qⁱ, p_i yw’r plân canonig rhif i yn y newidynnau gofod gwedd hyn.

¹⁸Mae’r strwythur ∂₂∂₁F₁ yn down o wrthrychau down, felly mae’n gydnaws ar gyfer cyfangiad ag up ar y naill ochr neu’r llall. Ond nid yw’n gymesur, felly rhaid pennu’r cysylltiadau. I ddatrys y broblem hon defnyddiwn nodiant mynegeion (ych a fi!).

Felly defnyddiwn fynegeion i ddewis cydrannau penodol o wrthrychau strwythuredig. Os yw symbol mynegai yn ymddangos fel uwchysgrif ac isysgrif mewn mynegiad, gwerth y mynegiad yw swm y cydrannau dynodedig dros bob gwerth posibl o’r symbol mynegai (confensiwn crynhoi Einstein). Felly, er enghraifft, os yw $\dot{q}$ a p o ddimensiwn n, yna dylid dehongli’r lluoswm dynodedig $p_i{\dot{q}}^i$ fel ${\Sigma }_{i=0}^{n-1}{p}_i{\dot{q}}^i$.

¹⁹Mae strwythur yn an-unigol os yw determinant ei gynrychioliad matrics yn wahanol i sero.

²⁰Nid yw trawsffurfiadau pwynt yn y dosbarth hwn: ni allwn ddatrys ar gyfer y momenta yn nhermau’r safleoedd ar gyfer trawsffurfiadau pwynt, oherwydd mewn trawsffurfiad pwynt gellir diddwytho’r cyfesurynnau â phrim a’r rhai heb brim o’i gilydd, felly nid oes digon o wybodaeth yn y cyfesurynnau i ddiddwytho’r momenta.

²¹Boed F wedi’i ddiffinio fel yr integryn llinell annibynnol ar y llwybr

$F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{x_0}^x{\displaystyle \sum _i{f}_i\left(x\right)d{x}^i+F\left(x_0\right);}}$

yna ∂_iF(x) = f_i(x).

²²Gall fod rhai achosion unigol a phroblemau topolegol sy’n atal hyn rhag bod yn wir yn drylwyr.

²³Yn draddodiadol, enwau’r gwahanol ffwythiannau generadu yw F₁, F₂, F₃ ac F₄. Peidiwch â rhoi’r bai arnom ni.

²⁴Ychwanegwn ddeilliad amser cyflawn y cyfyngiad at ffwythiant Lagrange fel y bydd trawsffurfiad Legendre wedi’i ddiffinio’n dda.

²⁵Unwaith y byddwn wedi gwneud y gostyngiad hwn, gan gymryd bod p_λ yn sero, ni allwn wneud trawsffurfiad Legendre yn ôl i system Lagrange estynedig mwyach; ni allwn ddatrys ar gyfer p_t yn nhermau v_t. Fodd bynnag, mae’r trawsffurfiad Legendre yn y system estynedig o $H_e^{\prime }$ i $L_e^{\prime }$, gyda’r newidynnau cyflwr cysylltiedig, wedi’i ddiffinio’n dda.

²⁶Os yw f yn cynyddu’n gaeth, yna nid yw Df byth yn sero.

²⁷Mewn gwirionedd, cysonyn Jacobi traddodiadol yw C = −2H′.

²⁸Gallem fod wedi dewis ailbaramedreiddio yn nhermau φ, ond yna byddai p_r ac r ill dau yn ymddangos yn y ffwythiant Hamilton annibynnol ar amser sy’n deillio o hynny. Mae’r llwybr a ddewiswyd gennym yn manteisio ar y ffaith nad yw φ yn ymddangos yn ein ffwythiant Hamilton, felly mae p_φ yn gysonyn y mudiant. Mae’r strwythur hwn yn awgrymu bod angen edrych ymlaen, fel wrth chwarae gwyddbwyll, i ddatrys problem o’r math hwn.