Esblygiad canonig

Beth, felly, yw amser? Gwn yn ddigon da beth ydyw, cyn belled nad oes neb yn gofyn imi; ond os gofynnir imi beth ydyw ac y ceisiaf esbonio, rwyf ar goll. Serch hynny gallaf ddweud yn hyderus fy mod yn gwybod, pe na bai dim yn mynd heibio, na fyddai amser gorffennol; pe na bai dim ar fin digwydd, na fyddai amser dyfodol; a phe na bai dim, na fyddai amser presennol.

Augustine of Hippo, o Confessions, Llyfr XI, Adran 14. Cyfieithiad gan R.S. Pine-Coffin, 1961.

Mae esblygiad amser yn generadu trawsffurfiad canonig: os ystyriwn holl gyflyrau cychwynnol posibl system Hamilton a dilyn pob taflwybr am yr un cyfwng amser, yna mae'r mapiad o gyflwr cychwynnol pob taflwybr i'w gyflwr terfynol yn drawsffurfiad canonig. Mae damcaniaeth Hamilton–Jacobi yn rhoi ffwythiant generadu â newidynnau cymysg sy'n generadu'r trawsffurfiad esblygiad amser hwn. Ar gyfer yr ychydig systemau integradwy y gallwn ddatrys hafaliad Hamilton–Jacobi ar eu cyfer, mae'r trawsffurfiad hwn yn rhoi cyfesurynnau gweithred–ongl inni, sy'n fan cychwyn ar gyfer astudio amhariadau.

6.1 Hafaliad Hamilton–Jacobi

Pe gallem ganfod trawsffurfiad canonig fel bod y ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio yn sero ym mhobman, yna, yn ôl hafaliadau Hamilton, byddai'r cyfesurynnau a'r momenta newydd yn gysonion. Byddai holl amrywiad amser y datrysiad wedi'i gynnwys yn y trawsffurfiad canonig, ac ni fyddai dim mwy i'r datrysiad. Mae ffwythiant generadu â newidynnau cymysg sy'n gwneud hyn yn bodloni hafaliad differol rhannol a elwir yn hafaliad Hamilton–Jacobi. Yn y rhan fwyaf o achosion, ni ellir datrys hafaliad Hamilton–Jacobi yn benodol. Pan ellir ei ddatrys, fodd bynnag, mae hafaliad Hamilton–Jacobi yn darparu modd o leihau problem i ffurf syml ddefnyddiol.

Cofiwch y perthnasoedd a fodlonir gan ffwythiant generadu o fath F₂:

$$\begin{array}{cc}q\prime ={\partial }_2{F}_2\left(t,q,p\prime \right)& (6.1)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}p={\partial }_1{F}_2\left(t,q,p\prime \right)& \left(6.2\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}H\prime \left(t,q\prime ,p\prime \right)=H\left(t,q,p\right)+{\partial }_0{F}_2\left(t,q,p\prime \right).& \left(6.3\right)\end{array}$$

Os mynnwn fod y ffwythiant Hamilton newydd yn sero, yna rhaid i F₂ fodloni'r hafaliad

$$\begin{array}{cc}0=H\left(t,q,{\partial }_1{F}_2\left(t,q,p\prime \right)\right)+{\partial }_0{F}_2\left(t,q,p\prime \right).& \left(6.4\right)\end{array}$$

Felly mae datrys y broblem wedi'i “leihau” i'r broblem o ddatrys hafaliad differol rhannol n dimensiwn ar gyfer F₂ â momenta newydd (cyson) amhenodedig p′. Hafaliad Hamilton–Jacobi yw hwn, ac mewn rhai achosion gallwn ei ddatrys.

Gallwn hefyd roi cynnig ar ddull datrys ychydig yn llai radical. Yn lle ceisio canfod F₂ sy'n gwneud y ffwythiant Hamilton newydd yn sero ym mhobman, gallwn geisio ffwythiant o siâp F₂, W, sy'n rhoi ffwythiant Hamilton newydd sy'n ffwythiant o'r momenta newydd yn unig. Mae system a ddisgrifir gan ffwythiant Hamilton o'r ffurf hon hefyd yn hawdd ei datrys. Felly os gosodwn

$$\begin{array}{lll}H″\left(t,q″,p″\right)\hfill & =H\left(t,q,{\partial }_{1}W\left(t,q,p″\right)\right)+{\partial }_{0}W\left(t,q,p″\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =E(p″)\hfill & \left(6.5\right)\hfill \end{array}$$

ac os gallwn ddatrys ar gyfer W, yna mae'r broblem wedi'i datrys yn ei hanfod. Yn yr achos hwn, mae'r momenta â phrifnod i gyd yn gyson ac mae'r safleoedd â phrifnod yn llinol mewn amser. Dyma ffurf arall ar hafaliad Hamilton–Jacobi.

Mae'r ffurfiau hyn yn gysylltiedig. Tybiwch fod gennym W sy'n bodloni ail ffurf hafaliad Hamilton–Jacobi (6.5). Yna mae'r F₂ a luniwyd o W

$$\begin{array}{cc}{F}_2\left(t,q,p\prime \right)=W\left(t,q,p\prime \right)-E(p\prime )t& \left(6.6\right)\end{array}$$

yn bodloni ffurf gyntaf hafaliad Hamilton–Jacobi (6.4). Ymhellach,

$$\begin{array}{cc}p={\partial }_1{F}_2\left(t,q,p\prime \right)={\partial }_{1}W\left(t,q,p\prime \right),& \left(6.7\right)\end{array}$$

felly mae'r momenta â phrifnod yr un fath yn y ddau ffurfiad. Ond

$$\begin{array}{lll}q\prime \hfill & ={\partial }_2{F}_2\left(t,q,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_{2}W\left(t,q,p\prime \right)-DE(p\prime )t\hfill & \hfill \\ \hfill & =q″-DE(p\prime )t,\hfill & \left(6.8\right)\hfill \end{array}$$

felly gwelwn fod y cyfesurynnau â phrifnod yn gwahaniaethu gan derm sy'n llinol mewn amser—mae $p\prime \left(t\right)=p_0^{\prime }$ a $q\prime \left(t\right)=q_0^{\prime }$ ill dau yn gyson. Felly gallwn ddefnyddio naill ai W neu F₂ fel y ffwythiant generadu, yn dibynnu ar ba ffurf y dymunwn i'r ffwythiant Hamilton newydd fod.

Sylwch, os yw H yn annibynnol ar amser, y gallwn yn aml ganfod W sy'n annibynnol ar amser ac sy'n gwneud y gwaith. Ar gyfer W sy'n annibynnol ar amser mae hafaliad Hamilton–Jacobi yn symleiddio i

$$\begin{array}{cc}E(p\prime )=H\left(t,q,{\partial }_{1}W\left(t,q,p\prime \right)\right).& \left(6.9\right)\end{array}$$

Yna mae'r F₂ cyfatebol yn llinol mewn amser. Sylwch fod gofyniad ymhlyg y gellir ysgrifennu'r egni fel ffwythiant o'r momenta newydd yn unig. Mae hyn yn eithrio'r posibilrwydd bod y cyfesurynnau gofod gwedd wedi'u trawsffurfio q′ a p′ yn amodau cychwynnol ar gyfer q a p yn unig.

Mae'n troi allan fod hyblygrwydd wrth ddewis y ffwythiant E. Gyda dewis priodol, mae'r cyfesurynnau gofod gwedd a geir drwy'r trawsffurfiad a generadir gan W yn gyfesurynnau gweithred–ongl.

Ymarfer 6.1: Hamilton–Jacobi gydag F₁

Rydym wedi defnyddio ffwythiant generadu o fath F₂ i gyflawni trawsffurfiadau Hamilton–Jacobi. Cyflawnwch y trawsffurfiadau cyfwerth â ffwythiant generadu o fath F₁. Canfyddwch yr hafaliadau sy'n cyfateb i hafaliadau (6.4), (6.5), a (6.9).

6.1.1 Osgiliadur Harmonig

Ystyriwch y ffwythiant Hamilton cyfarwydd sy'n annibynnol ar amser

$$\begin{array}{cc}H\left(t,x,p\right)=\frac{p^2}{2m}+\frac{k{x}^2}{2}.& \left(6.10\right)\end{array}$$

Ffurfiwn hafaliad Hamilton–Jacobi ar gyfer y broblem hon:

$$\begin{array}{cc}0=H\left(t,x,{\partial }_1{F}_2\left(t,x,p\prime \right)\right)+{\partial }_0{F}_2\left(t,x,p\prime \right).& \left(6.11\right)\end{array}$$

Gan ddefnyddio F₂(t, x, p′) = W (t, x, p′) − E(p′)t, cawn

$$\begin{array}{cc}E(p\prime )=H\left(t,x,{\partial }_{1}W\left(t,x,p\prime \right)\right).& \left(6.12\right)\end{array}$$

Mae ysgrifennu hyn yn benodol yn rhoi

$$\begin{array}{cc}E(p\prime )=\frac{{\left({\partial }_{1}W\left(t,x,p\prime \right)\right)}^2}{2m}+\frac{k{x}^2}{2},& \left(6.13\right)\end{array}$$

ac mae datrys ar gyfer ∂₁W yn rhoi

$$\begin{array}{cc}{\partial }_{1}W\left(t,x,p\prime \right)=\sqrt{2m\left(E(p\prime )-\frac{k{x}^2}{2}\right)}.& \left(6.14\right)\end{array}$$

Mae integru yn rhoi'r W a ddymunir:

$$\begin{array}{cc}W\left(t,x,p\prime \right)={\displaystyle {\int }^x}\sqrt{2m\left(E(p\prime )-\frac{k{z}^2}{2}\right)}dz.& \left(6.15\right)\end{array}$$

Gallwn ddefnyddio naill ai W neu'r F₂ cyfatebol fel y ffwythiant generadu. Yn gyntaf, cymerwch W yn ffwythiant generadu. Cawn y trawsffurfiad cyfesurynnau drwy ddifferu:

$$\begin{array}{lll}x\prime \hfill & ={\partial }_{2}W\left(t,x,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle {\int }^x\frac{mDE(p\prime )}{\sqrt{2m\left(E(p\prime )-\frac{k{z}^2}{2}\right)}}dz}\hfill & \left(6.16\right)\hfill \end{array}$$

ac yna integru i gael

$$\begin{array}{cc}x\prime =\sqrt{\frac{m}{k}}DE(p\prime )\arcsin \left(\sqrt{\frac{k}{2E(p\prime )}x}\right)+C(p\prime ),& \left(6.17\right)\end{array}$$

â rhyw gysonyn integru C(p′). Wrth wrthdroi hyn, cawn y cyfesuryn heb brifnod yn nhermau'r cyfesuryn a'r momentwm â phrifnod:

$$\begin{array}{cc}x=\sqrt{\frac{2E(p\prime )}{k}}\sin \left[\frac{1}{DE(p\prime )}\sqrt{\frac{k}{m}}\left(x\prime -C(p\prime )\right)\right].& \left(6.18\right)\end{array}$$

Mae'r ffwythiant Hamilton newydd H′ yn dibynnu ar y momentwm yn unig:

$$\begin{array}{cc}H\prime \left(t,x\prime ,p\prime \right)=E(p\prime ).& \left(6.19\right)\end{array}$$

Yn syml, yr hafaliadau mudiant yw

$$\begin{array}{ll}Dx\prime \left(t\right)={\partial }_{2}H\prime \left(t,x\prime \left(t\right),p\prime \left(t\right)\right)=DE(p\prime )\hfill & \hfill \\ Dp\prime \left(t\right)=-{\partial }_{1}H\prime \left(t,x\prime \left(t\right),p\prime \left(t\right)\right)=0,\hfill & \left(6.20\right)\hfill \end{array}$$

â datrysiad

$$\begin{array}{ll}x\prime \left(t\right)=DE(p\prime )t+x_0^{\prime }\hfill & \hfill \\ p\prime \left(t\right)=p_0^{\prime }\hfill & \left(6.21\right)\hfill \end{array}$$

ar gyfer yr amodau cychwynnol $x_0^{\prime }$ a $p_0^{\prime }$. Os amnewidiwn y mynegiadau hyn ar gyfer x′(t) a p′(t) i mewn i hafaliad (6.18) cawn

$$\begin{array}{lll}x\left(t\right)\hfill & =\sqrt{\frac{2E(p\prime )}{k}}\sin \left[\frac{1}{DE(p\prime )}\sqrt{\frac{k}{m}}(DE(p\prime )t+x_0^{\prime }-C(p\prime ))\right]\hfill & \hfill \\ \hfill & =\sqrt{\frac{2E(p\prime )}{k}}\sin \left[\sqrt{\frac{k}{m}}\left(t-t_0\right)\right]\hfill & \hfill \\ \hfill & =A\sin \left(\omega t+\phi \right),\hfill & \left(6.22\right)\hfill \end{array}$$

lle mae'r amledd onglaidd yn $\omega =\sqrt{k/m}$, yr osgled yn $A=\sqrt{2E(p\prime )/k}$, a'r wedd yn $\phi =-\omega t_0=\omega (x_0^{\prime }-C\left(p\prime \right))/DE\left(p\prime \right)$.

Gallwn hefyd ddefnyddio F₂ = W − Et fel y ffwythiant generadu. Mae'r ffwythiant Hamilton newydd yn sero, felly mae x′ a p′ ill dau yn gyson, ond y berthynas rhwng yr hen newidynnau a'r rhai newydd yw

$$\begin{array}{lll}x\prime \hfill & ={\partial }_2{F}_2\left(t,x,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_{2}W\left(t,x,p\prime \right)-DE(p\prime )t\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle {\int }^x}\frac{mDE(p\prime )}{\sqrt{2m\left(E(p\prime )-\frac{k{z}^2}{2}\right)}}-DE(p\prime )t\hfill & \hfill \\ \hfill & =\sqrt{\frac{m}{k}}DE(p\prime )\arcsin \left(\sqrt{\frac{k}{2E(p\prime )}}x\right)+C(p\prime )-DE(p\prime )t.\hfill & \left(6.23\right)\hfill \end{array}$$

Wrth amnewid y datrysiad $x\prime =x_0^{\prime }$ a $p\prime =p_0^{\prime }$ a datrys ar gyfer x, cawn hafaliad (6.22). Felly unwaith eto gwelwn fod y ddau ddull yn gyfwerth.

Mae'n ddiddorol sylwi bod y datrysiad yn dibynnu ar y cysonion E(p′) a DE(p′), ond heblaw hynny nid yw'r mudiant yn dibynnu mewn unrhyw ffordd hanfodol ar beth yw'r ffwythiant E mewn gwirionedd. Mae'r momentwm p yn gyson a phennir gwerthoedd y cysonion gan yr amodau cychwynnol. O gael ffwythiant penodol E, mae'r amodau cychwynnol yn pennu p′, ond gellir cael y datrysiad heb bennu'r ffwythiant E ymhellach.

Os dewiswn ffwythiannau penodol E gallwn gael trawsffurfiadau canonig penodol. Er enghraifft, dewis cyfleus yn syml yw

$$\begin{array}{cc}E(p\prime )=\alpha p\prime ,& \left(6.24\right)\end{array}$$

ar gyfer rhyw gysonyn α a ddewisir yn ddiweddarach. Cawn

$$\begin{array}{cc}x=\sqrt{\frac{2\alpha p\prime }{k}}\sin \frac{\omega }{\alpha }x\prime .& \left(6.25\right)\end{array}$$

Felly gwelwn mai dewis cyfleus yw $\alpha =\omega =\sqrt{k/m}$, felly

$$\begin{array}{cc}x=\sqrt{\frac{2p\prime }{\beta }}\sin x\prime ,& \left(6.26\right)\end{array}$$

gyda $\beta =\sqrt{km}$. Y ffwythiant Hamilton newydd yw

$$\begin{array}{cc}H\prime \left(t,x\prime ,p\prime \right)=E(p\prime )=\omega p\prime .& \left(6.27\right)\end{array}$$

Y datrysiad yn syml yw $x\prime =\omega t+x_0^{\prime }$ a $p\prime =p_0^{\prime }$. Wrth amnewid y mynegiad ar gyfer x yn nhermau x′ a p′ i mewn i H(t, x, p) = H′(t, x′, p′), deilliwn

$$\begin{array}{l}\begin{array}{lll}p\hfill & ={\left[2m\left(p\prime \alpha -\frac{k}{2}{x}^2\right)\right]}^{1/2}\hfill & \hfill \\ \hfill & =\sqrt{2p\prime \beta }\cos x\prime .\hfill & \left(6.28\right)\hfill \end{array}\\ \end{array}$$

Y ddau hafaliad trawsffurfio (6.26) a (6.28) yw'r hyn a alwasom yn drawsffurfiad pegynol canonig (hafaliad 5.29). Rydym eisoes wedi dangos bod y trawsffurfiad hwn yn ganonig a'i fod yn datrys yr osgiliadur harmonig, ond ni chafodd ei ddeillio. Yma rydym wedi deillio'r trawsffurfiad hwn fel achos penodol o ddatrysiad hafaliad Hamilton–Jacobi.

Gallwn hefyd archwilio dewisiadau eraill ar gyfer y ffwythiant E. Er enghraifft, gallem ddewis

$$\begin{array}{cc}E(p\prime )=\frac{1}{2}\alpha p{\prime }^2.& \left(6.29\right)\end{array}$$

Gan ddilyn yr un camau ag o'r blaen, cawn

$$\begin{array}{cc}x=\sqrt{\frac{\alpha p{\prime }^2}{k}}\sin \frac{\omega }{\alpha }\frac{x\prime }{p\prime }.& \left(6.30\right)\end{array}$$

Felly dewis cyfleus eto yw α = ω, gan adael

$$\begin{array}{ll}x=\frac{p\prime }{\beta }\sin \frac{x\prime }{p\prime }\hfill & \hfill \\ p=\beta p\prime \cos \frac{x\prime }{p\prime },\hfill & \left(6.31\right)\hfill \end{array}$$

gyda β = (km)^1/4. Yn ôl y modd y'i lluniwyd, mae'r trawsffurfiad hwn hefyd yn ganonig ac mae hefyd yn rhoi problem yr osgiliadur harmonig ar ffurf hawdd ei datrys:

$$\begin{array}{cc}H\prime \left(t,x\prime ,p\prime \right)=\frac{1}{2}\omega p{\prime }^2.& \left(6.32\right)\end{array}$$

Mae ffwythiant Hamilton yr osgiliadur harmonig wedi'i drawsffurfio i rywbeth sy'n edrych yn debyg iawn i ffwythiant Hamilton gronyn rhydd. Mae hyn yn ddiddorol iawn. Sylwch, er nad oes gan ffwythiant Hamilton (6.27) drawsffurf Legendre wedi'i ddiffinio'n dda i ffwythiant Lagrange cyfwerth, fod gan yr osgiliadur harmonig “gronyn rhydd” drawsffurf Legendre wedi'i ddiffinio'n dda:

$$\begin{array}{cc}L\prime \left(t,x\prime ,\dot{x}\prime \right)=\frac{\dot{x}{\prime }^2}{2\omega }.& \left(6.33\right)\end{array}$$

Wrth gwrs, gall fod priodweddau ychwanegol sy'n gwneud un dewis yn fwy defnyddiol nag eraill ar gyfer cymwysiadau penodol.

Ymarfer 6.2: Pendil

Lluniwch a datryswch hafaliad Hamilton–Jacobi ar gyfer y pendil; ymchwiliwch i ardaloedd cylchredeg ac osgiliadu'r gofod gwedd. (Sylwer: mae hon yn stori hir ac mae angen rhywfaint o wybodaeth am ffwythiannau eliptig.)

6.1.2 Datrysiad Hamilton–Jacobi o Broblem Kepler

Gallwn ddefnyddio hafaliad Hamilton–Jacobi i ganfod cyfesurynnau canonig sy'n datrys problem Kepler. Mae hwn yn gam cyntaf hanfodol wrth wneud damcaniaeth amhariadau ar gyfer problemau orbitol.

Mewn cyfesurynnau petryal (x, y, z), ffwythiant Hamilton Kepler yw

$$\begin{array}{cc}{H}_r\left(t;x,y,z;p_x,p_y,p_z\right)=\frac{p^2}{2m}-\frac{\mu }{r},& \left(6.34\right)\end{array}$$

lle mae r² = x² + y² + z² a $p^2=p_x^2+p_y^2+p_z^2$.

Rhowch gynnig ar ffwythiant generadu o'r ffurf $W\left(t;x,y,z;p_x^{\prime },p_y^{\prime },p_z^{\prime }\right)$. Yna hafaliad Hamilton–Jacobi yw¹

$$\begin{array}{l}\\ \begin{array}{lll}E(p\prime )\hfill & =\frac{1}{2m}[{\left({\partial }_{1,0}W\left(t;x,y,z;p_x^{\prime },p_y^{\prime },p_z^{\prime }\right)\right)}^2\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\left({\partial }_{1,1}W\left(t;x,y,z;p_x^{\prime },p_y^{\prime },p_z^{\prime }\right)\right)}^2\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\left({\partial }_{1,2}W\left(t;x,y,z;p_x^{\prime },p_y^{\prime },p_z^{\prime }\right)\right)}^2]-\frac{\mu }{r}.\hfill & \left(6.35\right)\hfill \end{array}\end{array}$$

Hafaliad differol rhannol yn nhri deilliad rhannol W yw hwn. Rydym yn syllu arno am ychydig ac yn rhoi'r gorau iddi.

Nesaf ceisiwn drosi i gyfesurynnau sfferig. Ysgogir hyn gan y ffaith bod yr egni potensial yn dibynnu ar r yn unig. Y ffwythiant Hamilton mewn cyfesurynnau sfferig (r, θ, φ), lle mae θ yn gydledred ac mae φ yn hydred, yw

$$\begin{array}{cc}{H}_s\left(t;r,\theta ,\phi ;p_r,p_{\theta },p_{\phi }\right)=\frac{1}{2m}\left[p_r^2+\frac{p_{\theta }^2}{r^2}+\frac{p_{\phi }^2}{r^2{(\sin \theta )}^2}\right]-\frac{\mu }{r}.& \left(6.36\right)\end{array}$$

Hafaliad Hamilton–Jacobi yw

$$\begin{array}{l}E(p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime })\\ \begin{array}{lll}\hfill & =\frac{1}{2m}[{({\partial }_{1,0}W(t;r,\theta ,\phi ;p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }))}^2\hfill & \hfill \\ \hfill & +\frac{1}{r^2}{({\partial }_{1,1}W(t;r,\theta ,\phi ;p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }))}^2\hfill & \hfill \\ \hfill & +\frac{1}{r^2{(\sin \theta )}^2}{({\partial }_{1,2}W(t;r,\theta ,\phi ;p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }))}^2]-\frac{\mu }{r}.\hfill & (6.37)\hfill \end{array}\end{array}$$

Gallwn ddatrys yr hafaliad Hamilton–Jacobi hwn drwy ynysu'r ddibyniaeth ar y gwahanol newidynnau yn olynol. Gan edrych yn gyntaf ar y ddibyniaeth ar φ, gwelwn, y tu allan i W, fod φ yn ymddangos mewn un deilliad rhannol yn unig. Os ysgrifennwn

$$\begin{array}{cc}W\left(t;r,\theta ,\phi ;p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)=f\left(r,\theta ,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)+p_2^{\prime }\phi ,& \left(6.38\right)\end{array}$$

yna ${\partial }_{1,2}W\left(t;r,\theta ,\phi ;p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)=p_2^{\prime }$, ac yna nid yw φ yn ymddangos yn yr hafaliad sy'n weddill ar gyfer f:

$$\begin{array}{l}E(p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime })\\ \begin{array}{lll}\hfill & =\frac{1}{2m}\{{({\partial }_{0}f(r,\theta ,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }))}^2\hfill & \hfill \\ \hfill & +\frac{1}{r^2}[{({\partial }_{1}f(r,\theta ,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }))}^2+\frac{{(p_2^{\prime })}^2}{{(\sin \theta )}^2}]\}-\frac{\mu }{r}.\hfill & (6.39)\hfill \end{array}\end{array}$$

Gellid bod wedi defnyddio unrhyw ffwythiant o'r $p_i^{\prime }$ fel cyfernod φ yn y ffwythiant generadu. Un nodwedd braf o'r dewis penodol hwn yw mai $p_2^{\prime }$ yw cydran z y momentwm onglaidd.

Gallwn ddileu'r ddibyniaeth ar θ os dewiswn

$$\begin{array}{cc}f\left(r,\theta ,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)=R\left(r,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)+\Theta \left(\theta ,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)& \left(6.40\right)\end{array}$$

a mynnu bod Θ yn ddatrysiad i

$$\begin{array}{cc}{\left({\partial }_0\Theta \left(\theta ,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)\right)}^2+\frac{{\left(p_2^{\prime }\right)}^2}{{(\sin \theta )}^2}={\left(p_1^{\prime }\right)}^2.& \left(6.41\right)\end{array}$$

Rydym yn rhydd i ddewis unrhyw ffwythiant o'r momenta newydd ar gyfer yr ochr dde. Mae'r dewis hwn yn adlewyrchu'r ffaith bod yr ochr chwith yn annegyddol. Mae'n troi allan mai $p_1^{\prime }$ yw cyfanswm y momentwm onglaidd. Gellir datrys yr hafaliad hwn ar gyfer Θ drwy gwadratur.

Yr hafaliad sy'n weddill sy'n pennu R yw

$$\begin{array}{cc}E\left(p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)=\frac{1}{2m}\left[{\left({\partial }_{0}R\left(r,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)\right)}^2+\frac{1}{r^2}{\left(p_1^{\prime }\right)}^2\right]-\frac{\mu }{r},& \left(6.42\right)\end{array}$$

y gellir ei ddatrys hefyd drwy gwadratur.

Gyda'i gilydd, mae datrysiad hafaliad Hamilton–Jacobi yn darllen

$$\begin{array}{lll}W\left(r,\theta ,\phi ,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)\hfill & ={\displaystyle {\int }^r{\left(2mE\left(p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)+\frac{2m\mu }{r}-\frac{{\left(p_1^{\prime }\right)}^2}{r^2}\right)}^{1/2}dr}\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\displaystyle {\int }^{\theta }}{\left({\left(p_1^{\prime }\right)}^2-\frac{{(p_2^{\prime })}^2}{{(\sin \theta )}^2}\right)}^{1/2}d\theta \hfill & \hfill \\ \hfill & +p_2^{\prime }\phi .\hfill & \left(6.43\right)\hfill \end{array}$$

Mae'n ddiddorol bod ein datrysiad i hafaliad differol rhannol Hamilton–Jacobi o'r ffurf

$$\begin{array}{l}W\left(t;r,\theta ,\phi ;p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)\\ \begin{array}{cc}=R\left(r,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)+\Theta \left(\theta ,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)+\Phi \left(\phi ,p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right).& \left(6.44\right)\end{array}\\ \end{array}$$

Felly mae gennym dechneg gwahanu newidynnau sy'n golygu ysgrifennu'r datrysiad fel swm o ffwythiannau o'r newidynnau unigol. Gellir cymharu hyn â'r dechneg gwahanu newidynnau a geir mewn mecaneg cwantwm elfennol ac electrodynameg glasurol, sy'n defnyddio lluosymiau o ffwythiannau o newidynnau unigol.

Y cyfesurynnau q′ = (q′⁰, q′¹, q′²) sy'n gyfiau i'r momenta $p\prime =\left[p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right]$ yw

$$\begin{array}{ll}q{\prime }^0\hfill & ={\partial }_{2,0}W\left(t;r,\theta ,\phi ;p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)\hfill \\ \hfill & =m{\partial }_{0}E(p\prime ){\displaystyle {\int }^r}{\left(2mE(p\prime )+\frac{2m\mu }{r}-\frac{{\left(p_1^{\prime }\right)}^2}{r^2}\right)}^{-1/2}dr\hfill \\ q{\prime }^1\hfill & ={\partial }_{2,1}W\left(t;r,\theta ,\phi ;p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)\hfill \\ \hfill & =p_1^{\prime }{\displaystyle {\int }^{\theta }}{\left({\left(p_1^{\prime }\right)}^2-\frac{{\left(p_2^{\prime }\right)}^2}{{(\sin \theta )}^2}\right)}^{-1/2}d\theta \hfill \\ \hfill & +{\displaystyle {\int }^r}\left(m{\partial }_{1}E(p\prime )-\frac{p_1^{\prime }}{r^2}\right){\left(2mE(p\prime )+\frac{2m\mu }{r}-\frac{{\left(p_1^{\prime }\right)}^2}{r^2}\right)}^{-1/2}dr\hfill \\ q{\prime }^2\hfill & ={\partial }_{2,2}W\left(t;r,\theta ,\phi ;p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)\hfill \\ \hfill & =\phi -\frac{p_2^{\prime }}{{(\sin \theta )}^2}{\displaystyle {\int }^{\theta }}{\left({\left(p_1^{\prime }\right)}^2-\frac{{\left(p_2^{\prime }\right)}^2}{{(\sin \theta )}^2}\right)}^{-1/2}d\theta \hfill \\ \hfill & +m{\partial }_{2}E(p\prime ){\displaystyle {\int }^r}{\left(2mE(p\prime )+\frac{2m\mu }{r}-\frac{{\left(p_1^{\prime }\right)}^2}{r^2}\right)}^{-1/2}dr.\hfill \\ \hfill & \hfill \end{array}$$

Rydym yn dal yn rhydd i ddewis ffurf ffwythiannol E. Dewis cyfleus (a chonfensiynol) yw

$$\begin{array}{cc}E\left(p_0^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }\right)=-\frac{m{\mu }^2}{2{\left(p_0^{\prime }\right)}^2}.& \left(6.45\right)\end{array}$$

Gyda'r dewis hwn mae gan y momentwm $p_0^{\prime }$ ddimensiynau momentwm onglaidd, ac ongl yw'r cyfesuryn cyfiau.

Lleihëir ffwythiant Hamilton problem Kepler i

$$\begin{array}{cc}H\prime \left(t,q\prime ,p\prime \right)=E(p\prime )=-\frac{m{\mu }^2}{2\left(p_0^{\prime }\right)2}.& \left(6.46\right)\end{array}$$

Felly

$$\begin{array}{cc}q{\prime }^0=nt+{\beta }^0& \left(6.47\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}q{\prime }^1={\beta }^1& \left(6.48\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}q{\prime }^2={\beta }^2,& \left(6.49\right)\end{array}$$

lle mae $n=m{\mu }^2/{\left(p_0^{\prime }\right)}^3$ a lle mae β⁰, β¹, a β² yn werthoedd cychwynnol cydrannau q′. Dim ond un o'r newidynnau newydd sy'n newid gydag amser.

Gellir ysgrifennu'r cyfesurynnau gofod gwedd canonig yn nhermau'r paramedrau sy'n pennu orbit. Dim ond crynhoi'r canlyniadau a wnawn; am eglurhad pellach gweler [36] neu [38].

Tybiwch fod gennym orbit rhwymedig â hanner echel fawr a, ecsentrigrwydd e, gogwydd i, hydred y nod esgynnol Ω, arg y periganol ω, ac anomaledd cymedrig M. Y tri momentwm canonig yw $p_0^{\prime }=\sqrt{m\mu a},p_1^{\prime }=\sqrt{m\mu a\left(1-e^2\right)}$, a $p_2^{\prime }=\sqrt{m\mu a\left(1-e^2\right)}\cos i$. Mae'r momentwm cyntaf yn gysylltiedig â'r egni, yr ail fomentwm yw cyfanswm y momentwm onglaidd, a'r trydydd momentwm yw cydran y momentwm onglaidd yn y cyfeiriad ẑ. Y cyfesurynnau canonig cyfiau yw (q′)⁰ = M, (q′)¹ = ω, a (q′)² = Ω.

6.1.3 F₂ a'r Ffwythiant Lagrange

Mae datrysiad hafaliad Hamilton–Jacobi, sef y ffwythiant generadu â newidynnau cymysg sy'n generadu esblygiad amser, yn gysylltiedig â'r weithred a ddefnyddir yn yr egwyddor amrywiadol. Yn benodol, mae gan ddeilliad amser y ffwythiant generadu ar hyd llwybrau gwireddadwy yr un gwerth â'r ffwythiant Lagrange.

Boed ${\tilde{F}}_2\left(t\right)=F_2\left(t,q\left(t\right),p\prime \left(t\right)\right)$ yn werth F₂ ar hyd y llwybrau q a p′ ar amser t. Deilliad ${\tilde{F}}_2$ yw

$$\begin{array}{lll}D{\tilde{F}}_2\left(t\right)\hfill & ={\partial }_0{F}_2\left(t,q\left(t\right),p\prime (t)\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_1{F}_2\left(t,q\left(t\right),p\prime \left(t\right)\right)Dq\left(t\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_2{F}_2\left(t,q\left(t\right),p\prime \left(t\right)\right)Dq\prime \left(t\right).\hfill & \left(6.50\right)\hfill \end{array}$$

Gan ddefnyddio hafaliad Hamilton–Jacobi (6.4), daw hyn yn

$$\begin{array}{lll}D{\tilde{F}}_2\left(t\right)\hfill & =-H\left(t,q\left(t\right),{\partial }_1{F}_2(t,q\left(t\right),p\prime (t))\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_1{F}_2\left(t,q\left(t\right),p\prime \left(t\right)\right)Dq\left(t\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_2{F}_2\left(t,q\left(t\right),p\prime \left(t\right)\right)Dq\prime \left(t\right).\hfill & \left(6.51\right)\hfill \end{array}$$

Nawr, gan ddefnyddio hafaliad (6.2), cawn

$$\begin{array}{l}\begin{array}{lll}D{\tilde{F}}_2\left(t\right)\hfill & =-H\left(t,q\left(t\right),p\left(t\right)\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +p\left(t\right)Dq\left(t\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_2{F}_2\left(t,q\left(t\right),p\prime \left(t\right)\right)Dp\prime \left(t\right).\hfill & \left(6.52\right)\hfill \end{array}\\ \end{array}$$

Ond $p\left(t\right)Dq\left(t\right)-H\left(t,q\left(t\right),p\left(t\right)\right)=L\left(t,q\left(t\right),Dq\left(t\right)\right)$, felly

$$\begin{array}{cc}D{\tilde{F}}_2\left(t\right)=L\left(t,q\left(t\right),Dq\left(t\right)\right)+{\partial }_2{F}_2\left(t,q\left(t\right),p\prime (t)\right)Dp\prime \left(t\right).& \left(6.53\right)\end{array}$$

Ar lwybrau gwireddadwy mae gennym Dp′(t) = 0, felly ar hyd llwybrau gwireddadwy mae deilliad amser F₂ yr un fath â'r ffwythiant Lagrange ar hyd y llwybr. Integryn amser y ffwythiant Lagrange ar hyd unrhyw lwybr yw'r weithred ar hyd y llwybr hwnnw. Mae hyn yn golygu, hyd at derm adiol sy'n gyson ar lwybrau gwireddadwy ond a all fod yn ffwythiant o'r cyfesurynnau gofod gwedd wedi'u trawsffurfio q′ a p′, fod gan yr F₂ sy'n datrys hafaliad Hamilton–Jacobi yr un gwerth â gweithred Lagrange ar gyfer llwybrau gwireddadwy.

Mae'r un casgliad yn dilyn ar gyfer hafaliad Hamilton–Jacobi a luniwyd yn nhermau F₁. Hyd at derm adiol sy'n gyson ar lwybrau gwireddadwy ond a all fod yn ffwythiant o'r cyfesurynnau gofod gwedd wedi'u trawsffurfio q′ a p′, mae gan yr F₁ sy'n datrys yr hafaliad Hamilton–Jacobi cyfatebol yr un gwerth â gweithred Lagrange ar gyfer llwybrau gwireddadwy.

Cofiwch fod trawsffurfiad a roddir gan ffwythiant generadu o fath F₂ hefyd yn cael ei roi gan ffwythiant generadu o fath F₁ sy'n gysylltiedig ag ef drwy drawsffurf Legendre (gweler hafaliad 5.142):

$$\begin{array}{cc}{F}_1\left(t,q,q\prime \right)=F_2\left(t,q,p\prime \right)-q\prime p\prime ,& \left(6.54\right)\end{array}$$

ar yr amod bod y trawsffurfiadau'n anhynod. Yn yr achos hwn, mae q′ a p′ ill dau yn gyson ar lwybrau gwireddadwy, felly mae'r cysonion adiol sy'n gwneud F₁ ac F₂ yn hafal i weithred Lagrange yn gwahaniaethu gan q′p′.

Ymarfer 6.3: Osgiliadur harmonig

Gadewch inni wirio hyn ar gyfer yr osgiliadur harmonig (wrth gwrs).

a. Gorffennwch yr integryn (6.15):

$W\left(t,x,p\prime \right)={\displaystyle {\int }^x}\sqrt{2m\left(E(p\prime )-\frac{k{z}^2}{2}\right)}dz.$

Ysgrifennwch y canlyniad yn nhermau'r osgled $A=\sqrt{2E(p\prime )/k}$.

b. Gwiriwch fod y ffwythiant generadu hwn yn rhoi'r trawsffurfiad

$x\prime ={\partial }_{2}W\left(t,x,p\prime \right)=\sqrt{\frac{m}{k}}DE(p\prime )\arcsin \left(\frac{x}{\sqrt{2E(p\prime )/k}}\right),$

sydd yr un fath â hafaliad (6.17) ar gyfer dewis penodol o'r cysonyn integru. Rhan arall y trawsffurfiad yw

$p={\partial }_{1}W\left(t,x,p\prime \right)=\sqrt{mk}\sqrt{A^2-x^2},$

gyda'r un diffiniad o A ag o'r blaen.

c. Cyfrifwch ddeilliad amser yr F₂ cysylltiedig ar hyd llwybrau gwireddadwy (Dp′(t) = 0), a'i gymharu â'r ffwythiant Lagrange ar hyd llwybrau gwireddadwy.

6.1.4 Mae'r Weithred yn Generadu Esblygiad Amser

Diffiniwn y ffwythiant $\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)$ fel gwerth y weithred ar gyfer llwybr gwireddadwy q fel bod q(t₁) = q₁ a q(t₂) = q₂. Felly mae $\overline{F}$ yn bodloni

$$\begin{array}{cc}\overline{F}\left(t_1,q\left(t_1\right),t_{2,}q\left(t_2\right)\right)=S\left[q\right]\left(t_1,t_2\right)={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}L\circ \Gamma \left[q\right]}.& \left(6.55\right)\end{array}$$

Ar gyfer amrywiadau η nad ydynt o reidrwydd yn sero ar yr amserau terfyn ac ar gyfer llwybrau gwireddadwy q, amrywiad y weithred yw

$$\begin{array}{lll}{\delta }_{\eta }S\left[q\right]\left(t_1,t_2\right)\hfill & =\left({\partial }_{2}L\circ \Gamma \left[q\right]\right)\eta {|}_{t_1}^{t_2}\hfill & \hfill \\ \hfill & =p\left(t_2\right)\eta \left(t_2\right)-p\left(t_1\right)\eta \left(t_1\right).\hfill & \left(6.56\right)\hfill \end{array}$$

Fel arall, mae amrywiad S[q] yn hafaliad (6.55) yn rhoi

$$\begin{array}{lll}{\delta }_{\eta }S\left[q\right]\left(t_1,t_2\right)\hfill & ={\partial }_1\overline{F}\left(t_1,q\left(t_1\right),t_2,q\left(t_2\right)\right)\eta \left(t_1\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_3\overline{F}\left(t_1,q\left(t_1\right),t_2,q\left(t_2\right)\right)\eta \left(t_2\right).\hfill & \left(6.57\right)\hfill \end{array}$$

Wrth gymharu hafaliadau (6.56) a (6.57) a defnyddio'r ffaith bod yr amrywiad η yn fympwyol, cawn

$$\begin{array}{ll}{\partial }_1\overline{F}\left(t_1,q\left(t_1\right),t_2,q\left(t_2\right)\right)=-p\left(t_1\right)\hfill & \hfill \\ {\partial }_3\overline{F}\left(t_1,q\left(t_1\right),t_2,q\left(t_2\right)\right)=p\left(t_2\right).\hfill & \left(6.58\right)\hfill \end{array}$$

Mae deilliadau rhannol $\overline{F}$ mewn perthynas â'r argiau cyfesurynnau yn rhoi'r momenta. Wrth haniaethu oddi ar lwybrau, mae gennym

$$\begin{array}{ll}{\partial }_1\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)=-p_1\hfill & \hfill \\ {\partial }_3\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)=p_{2.}\hfill & \left(6.59\right)\hfill \end{array}$$

Mae hyn yn edrych ychydig yn debyg i berthnasoedd ffwythiant generadu o fath F₁, ond yma mae dau amser. Wrth ddatrys hafaliadau (6.59) ar gyfer q₂ a p₂ fel ffwythiannau o t₂ a'r cyflwr cychwynnol t₁, q₁, p₁, cawn esblygiad amser y system yn nhermau $\overline{F}$. Mae'r ffwythiant $\overline{F}$ yn generadu esblygiad amser.

Os amrywiwn derfyn isaf integryn y weithred cawn

$$\begin{array}{cc}{\partial }_0\left(S\left[q\right]\right)\left(t_1,t_2\right)=-L\left(t_1,q\left(t_1\right),D_q\left(t_1\right)\right).& \left(6.60\right)\end{array}$$

Gan ddefnyddio hafaliad (6.55), ac o gael llwybr gwireddadwy q fel bod q(t₁) = q₁ a q(t₂) = q₂, cawn y deilliadau rhannol mewn perthynas â'r safleoedd amser:

$$\begin{array}{lll}{\partial }_0\left(S\left[q\right]\right)\left(t_1,t_2\right)\hfill & ={\partial }_0\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)+{\partial }_1\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)Dq\left(t_1\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\partial }_0\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)-p\left(t_1\right)D_q\left(t_1\right).\hfill & \left(6.61\right)\hfill \end{array}$$

Wrth aildrefnu termau hafaliad (6.61) a defnyddio hafaliad (6.60) cawn

$$\begin{array}{lll}{\partial }_0\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)\hfill & =H\left(t_1,q_1,p_1\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =H\left(t_1,q_1,-{\partial }_1\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)\right),\hfill & (6.62)\hfill \end{array}$$

ac yn yr un modd

$$\begin{array}{lll}{\partial }_2\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)\hfill & =-H\left(t_2,q_2,p_2\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =-H\left(t_2,q_2,{\partial }_3\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)\right).\hfill & (6.63)\hfill \end{array}$$

Pâr o hafaliadau Hamilton–Jacobi yw'r rhain, wedi'u cyfrifo ar bwyntiau terfyn y llwybr.

Gellir ysgrifennu'r ffwythiant $\overline{F}$ yn nhermau F₁ sy'n bodloni hafaliad Hamilton–Jacobi ar gyfer H. Gallwn gyfrifo esblygiad amser drwy ddefnyddio datrysiad F₁ hafaliad Hamilton–Jacobi i fynegi'r cyflwr (t₁, q₁, p₁) yn nhermau'r cysonion q′ a p′. Gan ddefnyddio'r un datrysiad gallwn wedyn gyflawni trawsffurfiad dilynol yn ôl o q′ p′ i'r newidynnau cyflwr gwreiddiol ar amser gwahanol t₂, gan roi'r cyflwr (t₂, q₂, p₂). Mae cyfansoddiad y ddau drawsffurfiad canonig hyn yn ganonig (gweler ymarfer 5.12).

Y ffwythiant generadu ar gyfer y cyfansoddiad yw'r gwahaniaeth rhwng y ffwythiannau generadu ar gyfer pob cam:

$$\begin{array}{cc}{\overline{F}}_x\left(t_1,q_1,q\prime ,t_2,q_2\right)=F_1\left(t_2,q_2,q\prime \right)-F_1\left(t_1,q_1,q\prime \right),& \left(6.64\right)\end{array}$$

â'r amod

$$\begin{array}{cc}{\partial }_2{F}_1\left(t_2,q_2,q\prime \right)-{\partial }_2{F}_1\left(t_1,q_1,q\prime \right)=0,& \left(6.65\right)\end{array}$$

sy'n caniatáu inni ddileu q′ yn nhermau t₁, q₁, t₂, a q₂. Felly gallwn ysgrifennu

$$\begin{array}{cc}\overline{F}\left(t_1,q_1,t_2,q_2\right)=F_1\left(t_2,q_2,q\prime \right)-F_1\left(t_1,q_1,q\prime \right).& \left(6.66\right)\end{array}$$

Ymarfer 6.4: Cyflymiad unffurf

a. Cyfrifwch weithred Lagrange, fel ffwythiant o'r pwyntiau terfyn a'r amserau, ar gyfer gronyn sy'n cyflymu'n unffurf. Defnyddiwch hyn i lunio'r trawsffurfiad canonig ar gyfer esblygiad amser o gyflwr cychwynnol penodol.

b. Datryswch hafaliad Hamilton–Jacobi ar gyfer y gronyn sy'n cyflymu'n unffurf, gan gael yr F₁ sy'n gwneud y ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio yn sero. Dangoswch y gellir mynegi gweithred Lagrange fel gwahaniaeth rhwng dau gymhwysiad o'r F₁ hwn.

6.2 Mae Esblygiad Amser yn Ganonig

Defnyddiwn esblygiad amser i generadu trawsffurfiad

$$\begin{array}{cc}\left(t,q,p\right)={\mathcal{C}}_{\Delta }\left(t\prime ,q\prime ,p\prime \right)& \left(6.67\right)\end{array}$$

a geir yn y ffordd ganlynol. Boed $\sigma \left(t\right)=\left(t,\overline{q}\left(t\right),\overline{p}\left(t\right)\right)$ yn ddatrysiad hafaliadau Hamilton. Mae'r trawsffurfiad ${\mathcal{C}}_{\Delta }$ yn bodloni

$$\begin{array}{cc}{\mathcal{C}}_{\Delta }\left(\sigma \left(t\right)\right)=\sigma \left(t+\Delta \right),& \left(6.68\right)\end{array}$$

neu, yn gyfwerth,

$$\begin{array}{cc}{\mathcal{C}}_{\Delta }\left(t,\overline{q}\left(t\right),\overline{p}\left(t\right)\right)=(t+\Delta ,\overline{q}\left(t+\Delta \right),\overline{p}\left(t+\Delta \right)).& \left(6.69\right)\end{array}$$

Sylwch fod ${\mathcal{C}}_{\Delta }$ yn newid y gydran amser. Dyma'r trawsffurfiad cyntaf o'r math hwn yr ydym wedi'i ystyried.²

O gael cyflwr (t′, q′, p′), canfyddwn y llwybr gofod gwedd σ sy'n deillio o'r cyflwr hwn fel amod cychwynnol, gan fodloni

$$\begin{array}{ll}q\prime =\overline{q}(t\prime )\hfill & \hfill \\ p\prime =\overline{p}(t\prime ).\hfill & \left(6.70\right)\hfill \end{array}$$

Yna gwerth (t, q, p) ${\mathcal{C}}_{\Delta }\left(t\prime ,q\prime ,p\prime \right)$ yw $\left(t\prime +\Delta ,\overline{q}\left(t\prime +\Delta \right),\overline{p}\left(t\prime +\Delta \right)\right)$.

Mae esblygiad amser yn ganonig os yw'r trawsffurfiad ${\mathcal{C}}_{\Delta }$ yn symplectig ac os yw'r ffwythiant Hamilton yn trawsffurfio mewn modd priodol. Mae'r trawsffurfiad ${\mathcal{C}}_{\Delta }$ yn symplectig os yw'r ffurf ddeulinol wrthgymesur ω yn annewidiol (gweler hafaliad 5.73) ar gyfer pâr cyffredinol o amrywiadau cyflwr wedi'u llinoleiddio â chydran amser sero.

Boed ζ′ yn gynyddiad â chydran amser sero o'r cyflwr (t′, q′, p′). Y cynyddiad wedi'i linoleiddio yng ngwerth ${\mathcal{C}}_{\Delta }\left(t\prime ,q\prime ,p\prime \right)$ yw $\zeta =D{\mathcal{C}}_{\Delta }\left(t\prime ,q\prime ,p\prime \right)\zeta \prime$: ceir delwedd y cynyddiad drwy luosi'r cynyddiad â deilliad y trawsffurfiad. Ar y llaw arall, ceir y trawsffurfiad drwy esblygiad amser, felly gellir canfod delwedd y cynyddiad hefyd drwy esblygiad amser y system amrywiadol wedi'i llinoleiddio. Boed

$$\begin{array}{ll}\overline{\zeta }\left(t\right)=\left(0,{\overline{\zeta }}_q\left(t\right),{\overline{\zeta }}_p\left(t\right)\right)\hfill & \hfill \\ \overline{\zeta }\prime \left(t\right)=\left(0,{\overline{\zeta }}_p^{\prime }\left(t\right),{\overline{\zeta }}_p^{\prime }\left(t\right)\right)\hfill & \left(6.71\right)\hfill \end{array}$$

yn amrywiadau o'r llwybr cyflwr $\sigma \left(t\right)=\left(t,\overline{q}\left(t\right),\overline{p}\left(t\right)\right)$; yna

$$\begin{array}{ll}\overline{\zeta }\left(t+\Delta \right)=D{\mathcal{C}}_{\Delta }\left(t,q\left(t\right),p\left(t\right)\right)\overline{\zeta }\left(t\right)\hfill & \hfill \\ \overline{\zeta }\prime \left(t+\Delta \right)=D{\mathcal{C}}_{\Delta }\left(t,q\left(t\right),p\left(t\right)\right)\overline{\zeta }\prime \left(t\right).\hfill & (6.72)\hfill \end{array}$$

Y gofyniad symplectig yw

$$\begin{array}{cc}\omega \left(\overline{\zeta }\left(t\right),\overline{\zeta }\prime \left(t\right)\right)=\omega \left(\overline{\zeta }\left(t+\Delta \right),\overline{\zeta }\prime \left(t+\Delta \right)\right).& (6.73)\end{array}$$

Rhaid i hyn fod yn wir ar gyfer Δ mympwyol, felly caiff ei fodloni os yw'r maint canlynol yn gyson:

$$\begin{array}{lll}A\left(t\right)\hfill & =\omega \left(\overline{\zeta }\left(t\right),\overline{\zeta }\prime \left(t\right)\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =P\left(\overline{\zeta }\prime \left(t\right)\right)Q\left(\overline{\zeta }\left(t\right)\right)-P\left(\overline{\zeta }\left(t\right)\right)Q\left(\overline{\zeta }\prime \left(t\right)\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\overline{\zeta }}_p^{\prime }\left(t\right){\overline{\zeta }}_q\left(t\right)-{\overline{\zeta }}_p\left(t\right){\overline{\zeta }}_q^{\prime }\left(t\right).\hfill & \left(6.74\right)\hfill \end{array}$$

Cyfrifwn y deilliad:

$$\begin{array}{lll}DA\left(t\right)\hfill & =D{\overline{\zeta }}_p^{\prime }\left(t\right){\overline{\zeta }}_q\left(t\right)+{\overline{\zeta }}_p^{\prime }\left(t\right)D{\overline{\zeta }}_q\left(t\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & -D{\overline{\zeta }}_p\left(t\right){\overline{\zeta }}_q^{\prime }\left(t\right)-{\overline{\zeta }}_p\left(t\right)D{\overline{\zeta }}_q^{\prime }\left(t\right).\hfill & 6.75\hfill \end{array}$$

Gyda hafaliadau Hamilton, mae'r amrywiadau yn bodloni

$$\begin{array}{lll}D{\overline{\zeta }}_q\left(t\right)\hfill & ={\partial }_1{\partial }_{2}H\left(t,\overline{q}\left(t\right),\overline{p}\left(t\right)\right){\overline{\zeta }}_q\left(t\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & +{\partial }_2{\partial }_{2}H\left(t,\overline{q}\left(t\right),\overline{p}\left(t\right)\right){\overline{\zeta }}_p\left(t\right),\hfill & \hfill \\ D{\overline{\zeta }}_p\left(t\right)\hfill & =-{\partial }_1{\partial }_{1}H\left(t,\overline{q}\left(t\right),\overline{p}\left(t\right)\right){\overline{\zeta }}_q\left(t\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & -{\partial }_2{\partial }_{1}H\left(t,\overline{q}\left(t\right),\overline{p}\left(t\right)\right){\overline{\zeta }}_p\left(t\right).\hfill & \left(6.76\right)\hfill \end{array}$$

Wrth amnewid y rhain i mewn i DA a chasglu termau, cawn³

$$\begin{array}{cc}DA\left(t\right)=0.& \left(6.77\right)\end{array}$$

Casglwn fod esblygiad amser yn generadu trawsffurfiad gofod gwedd â deilliad symplectig.

I wneud trawsffurfiad canonig rhaid inni bennu sut mae'r ffwythiant Hamilton yn trawsffurfio. Mae'r un ffwythiant Hamilton yn disgrifio esblygiad cyflwr a chyflwr sydd wedi'i symud ymlaen mewn amser oherwydd mai cyflwr arall yn unig yw'r olaf. Felly mae'r ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio yr un fath â'r ffwythiant Hamilton gwreiddiol.

Theorem Liouville, eto

Diddwythwyd bod cyfeintiau mewn gofod gwedd yn cael eu cadw gan esblygiad amser drwy ddangos bod dargyfeiriant y llif gwedd yn sero, gan ddefnyddio'r hafaliadau mudiant (gweler adran 3.8). Gallwn hefyd ddangos bod cyfeintiau mewn gofod gwedd yn cael eu cadw gan yr esblygiad drwy ddefnyddio'r ffaith bod esblygiad amser yn drawsffurfiad canonig.

Rydym wedi dangos bod cyfaint y gofod gwedd yn cael ei gadw ar gyfer trawsffurfiadau symplectig. Nawr rydym wedi dangos bod y trawsffurfiad a generadir gan esblygiad amser yn drawsffurfiad symplectig. Felly mae'r trawsffurfiad a generadir gan esblygiad amser yn cadw cyfaint y gofod gwedd. Dyma brawf arall o theorem Liouville.

Trawsffurfiad esblygiad amser arall

Mae trawsffurfiad canonig arall y gellir ei lunio o esblygiad amser. Diffiniwn y trawsffurfiad ${\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }$ fel bod

$$\begin{array}{cc}{\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }=C_{\Delta }\circ S_{-\Delta },& \left(6.78\right)\end{array}$$

lle mae S_Δ(a, b, c) = (a + Δ, b, c) yn symud amser cyflwr gofod gwedd.⁴ Yn fwy penodol, o gael cyflwr (t, q′, p′), esblygwn y cyflwr a geir drwy dynnu Δ o t; hynny yw, cymerwn y cyflwr (t − Δ, q′, p′) fel cyflwr cychwynnol ar gyfer esblygiad drwy hafaliadau Hamilton. Mae'r llwybr cyflwr σ yn bodloni

$$\begin{array}{lll}\sigma \left(t-\Delta \right)\hfill & =\left(t-\Delta ,\overline{q}\left(t-\Delta \right),\overline{p}\left(t-\Delta \right)\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left(t-\Delta ,q\prime ,p\prime \right).\hfill & \left(6.79\right)\hfill \end{array}$$

Allbwn y trawsffurfiad yw'r cyflwr

$$\begin{array}{cc}\left(t,q,p\right)=\sigma \left(t\right)=\left(t,\overline{q}\left(t\right),\overline{p}\left(t\right)\right).& \left(6.80\right)\end{array}$$

Mae'r trawsffurfiad yn bodloni

$$\begin{array}{cc}\left(t,\overline{q}\left(t\right),\overline{p}\left(t\right)\right)={\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }\left(t,\overline{q}\left(t-\Delta \right),\overline{p}\left(t-\Delta \right)\right).& \left(6.81\right)\end{array}$$

Nid yw argiau ${\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }$ yn gyflwr gofod gwedd cyson; rhaid lleihau'r arg amser gan Δ i gael cyflwr cyson. Cwblheir y trawsffurfiad drwy esblygu'r cyflwr cyson hwn.

Pam mae hyn yn syniad da? Nid yw ein trawsffurfiadau canonig arferol yn newid y gydran amser. Mae'r trawsffurfiad ${\mathcal{C}}_{\Delta }$ yn newid y gydran amser, ond nid yw ${\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }$ yn gwneud hynny. Mae'n ganonig ac ar y ffurf arferol:

$$\begin{array}{cc}\left(t,q,p\right)={\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }\left(t,q\prime ,p\prime \right).& \left(6.82\right)\end{array}$$

Mae'r trawsffurfiad ${\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }$ yn gofyn am addasu'r ffwythiant Hamilton. Y ffwythiant Hamilton $H_{\Delta }^{\prime }$ sy'n rhoi hafaliadau Hamilton cywir yn y pwynt gofod gwedd wedi'i drawsffurfio yw'r ffwythiant Hamilton gwreiddiol wedi'i gyfansoddi â ffwythiant sy'n lleihau'r newidyn annibynnol gan Δ:

$$\begin{array}{cc}{H}_{\Delta }^{\prime }\left(t,q,p\right)=H\left(t-\Delta ,q,p\right)& \left(6.83\right)\end{array}$$

neu

$$\begin{array}{cc}{H}_{\Delta }^{\prime }=H\circ S_{-\Delta }.& \left(6.84\right)\end{array}$$

Sylwch, os yw H yn annibynnol ar amser, yna $H_{\Delta }^{\prime }=H$.

Tybiwch fod gennym weithdrefn C fel bod ((C delta-t) state) yn gweithredu trawsffurfiad esblygiad amser ${\mathcal{C}}_{\Delta }$ o'r cyflwr state â chyfwng amser delta-t; yna gellir deillio'r weithdrefn Cp, fel bod ((Cp delta-t) state) yn gweithredu ${\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }$ o'r un cyflwr a chyfwng amser, o'r weithdrefn C drwy ddefnyddio'r weithdrefn

(define ((C->Cp C) delta-t)
  (compose (C delta-t) (shift-t (- delta-t))))

lle mae shift-t yn gweithredu S_Δ:

(define ((shift-t delta-t) state)
  (up
    (+ (time state) delta-t)
    (coordinate state)
    (momentum state)))

I gwblhau'r trawsffurfiad canonig mae gennym weithdrefn sy'n trawsffurfio'r ffwythiant Hamilton:

(define ((H->Hp delta-t) H)
  (compose H (shift-t (- delta-t))))

Felly gellir defnyddio $\mathcal{C}$ a $\mathcal{C}\prime$ ill dau i wneud trawsffurfiadau canonig drwy bennu sut mae'r hen ffwythiant Hamilton a'r un newydd yn gysylltiedig. Ar gyfer ${\mathcal{C}}_{\Delta }$ mae'r ffwythiant Hamilton heb newid. Ar gyfer ${\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }$ mae'r ffwythiant Hamilton wedi'i symud mewn amser.

Ymarfer 6.5: Gwirio

Yr amod (5.20) bod hafaliadau Hamilton yn cael eu cadw ar gyfer ${\mathcal{C}}_{\Delta }$ yw

$D_{s}H\circ {\mathcal{C}}_{\Delta }=D{\mathcal{C}}_{\Delta }{D}_s{H}_{\Delta }^{\prime },$

a'r amod bod hafaliadau Hamilton yn cael eu cadw ar gyfer ${\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }$ yw

$D_{s}H\circ {\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }=D{\mathcal{C}}_{\Delta }^{\prime }{D}_s{H}_{\Delta }^{\prime }.$

Gwiriwch fod yr amodau hyn yn cael eu bodloni.

Ymarfer 6.6: Osgiliadur harmonig wedi'i yrru

Gallwn ddefnyddio'r osgiliadur harmonig syml wedi'i yrru i ddangos bod esblygiad amser yn rhoi trawsffurfiad symplectig y gellir ei estyn i fod yn ganonig mewn dwy ffordd. Defnyddiwn yr osgiliadur harmonig wedi'i yrru oherwydd y gellir mynegi ei ddatrysiad yn gryno ar ffurf benodol.

Tybiwch fod gennym osgiliadur harmonig ag amledd naturiol ω₀ wedi'i yrru gan yriad sinwsoidaidd cyfnodol ag amledd ω ac osgled α. Y ffwythiant Hamilton a ystyriwn yw

$$H\left(t,q,p\right)=\frac{1}{2}{p}^2+\frac{1}{2}{\omega }_0^2{q}^2-\alpha q\cos \omega t.$$

Y datrysiad cyffredinol ar gyfer cyflwr cychwynnol penodol (t₀, q₀, p₀) wedi'i esblygu am amser Δ yw

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}q\left(t_0+\Delta \right)\\ p\left(t_0+\Delta \right)/{\omega }_0\end{array}\right)\hfill \\ =\left(\begin{array}{cc}\cos {\omega }_0\Delta & \sin {\omega }_0\Delta \\ -\sin {\omega }_0\Delta & \cos {\omega }_0\Delta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{q}_0-\alpha \prime \cos \omega t_0\\ (1/{\omega }_0)\left(p_0+\alpha \prime \omega \sin \omega t_0\right)\end{array}\right)\hfill \\ +\left(\begin{array}{c}\alpha \prime \cos \omega \left(t_0+\Delta \right)\\ -\alpha \prime \left(\omega /{\omega }_0\right)\sin \omega \left(t_0+\Delta \right)\end{array}\right)\hfill \end{array}\\ \begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\end{array}$$

lle mae $\alpha \prime =\alpha /\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right).$

a. Cwblhewch fanylion y weithdrefn

(define (((C* alpha omega omega0) delta-t) state)
  ... )

sy'n gweithredu trawsffurfiad esblygiad amser yr osgiliadur harmonig wedi'i yrru. Boed C yn (C_* alpha omega omega0).

b. Yn nhermau C_*, y datrysiad cyffredinol sy'n deillio o gyflwr penodol yw

(define (((solution alpha omega omega0) state0) t)
  (((C* alpha omega omega0) (- t (time state0))) state0))

Gwiriwch fod gweithrediad C_* yn gywir drwy ei ddefnyddio i lunio'r datrysiad a gwirio bod y datrysiad yn bodloni hafaliadau Hamilton. Gwiriwch y datrysiad ymhellach drwy ei gymharu ag integru rhifiadol.

c. Gwyddom, ar gyfer unrhyw ffwythiant cyflwr gofod gwedd F, mai cyfradd newid y ffwythiant hwnnw ar hyd llwybr datrysiad σ yw

$D\left(F\circ \sigma \right)={\partial }_{0}F\circ \sigma +\left\{F,H\right\}\circ \sigma .$

Dangoswch, drwy ysgrifennu rhaglen fer i'w brofi, fod hyn yn wir am y ffwythiant a weithredir gan (C delta) ar gyfer yr osgiliadur wedi'i yrru. Pam mae hyn yn ddiddorol?

d. Defnyddiwch y weithdrefn symplectic-transform? i ddangos bod C a Cp ill dau yn symplectig.

e. Defnyddiwch y weithdrefn canonical? i wirio bod C a Cp ill dau yn ganonig gyda'r ffwythiant Hamilton wedi'i drawsffurfio priodol.

6.2.1 Golwg Arall ar Esblygiad Amser

Gallwn hefyd ddangos bod esblygiad amser yn generadu trawsffurfiadau canonig gan ddefnyddio integryn annewidiol Poincaré–Cartan.

Ystyriwch ardal dau ddimensiwn o gyfesurynnau gofod gwedd, R′, ar ryw amser penodol t′ (gweler ffigur 6.1). Boed R yn ddelwedd yr ardal hon ar amser t dan esblygiad amser dros gyfwng amser Δ. Llywodraethir yr esblygiad amser gan ffwythiant Hamilton H. Boed ${\sum }_i{A}_i$ yn swm arwynebeddau cyfeiriedig tafluniadau R ar y planau canonig sylfaenol.⁵ Yn yr un modd, boed ${\sum }_i{A}_i^{\prime }$ yn swm yr arwynebeddau cyfeiriedig wedi'u taflunio ar gyfer R′. Dangoswn fod ${\sum }_i{A}_i={\sum }_i{A}_i^{\prime }$, ac felly bod integryn annewidiol Poincaré yn cael ei gadw gan esblygiad amser. Drwy ddangos bod integryn annewidiol Poincaré yn cael ei gadw, byddwn wedi dangos bod rhan qp y trawsffurfiad a generadir gan esblygiad amser yn symplectig. O hyn gallwn lunio trawsffurfiadau canonig o esblygiad amser fel o'r blaen.

Yn y gofod gwedd estynedig gwelwn fod yr esblygiad yn ysgubo cyfaint silindraidd â chaeadau terfyn R′ ac R, pob un ar amser sefydlog. Boed R″ yn ardal dau ddimensiwn a ysgubir gan y taflwybrau sy'n mapio ffin yr ardal R′ i ffin yr ardal R. Mae'r ardaloedd R, R′, ac R″ gyda'i gilydd yn ffurfio ffin cyfaint o ofod cyflwr gwedd.

Mae integryn annewidiol Poincaré–Cartan ar y ffin gyfan yn sero.⁶ Felly

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _{i=0}^n{A}_i}-{\displaystyle \sum _{i=0}^n{A}_i^{\prime }}+{\displaystyle \sum _{i=0}^n{A}_i^{″}}=0,& \left(6.85\right)\end{array}$$

lle mae'r mynegai n yn dynodi'r plân canonig t, p_t. Mae'r ail derm yn negatif, oherwydd yn y gofod gwedd estynedig cymerwn fod yr arwynebedd yn bositif os yw'r normal i'r arwyneb yn pwyntio allan.

Byddwn yn dangos bod integryn annewidiol Poincaré–Cartan ar gyfer ardal o ofod gwedd a generadir gan esblygiad amser yn sero:

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _{i=0}^n{A}_i^{″}}=0.& \left(6.86\right)\end{array}$$

Bydd hyn yn caniatáu inni gasglu

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _{i=0}^n{A}_i}-{\displaystyle \sum _{i=0}^n{A}_i^{\prime }}=0.& \left(6.87\right)\end{array}$$

Mae arwynebeddau tafluniadau R ac R′ ar y plân t, p_t yn sero oherwydd bod R ac R′ ar amserau cyson, felly ar gyfer yr ardaloedd hyn mae integryn annewidiol Poincaré–Cartan yr un fath ag integryn annewidiol Poincaré. Felly

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{A}_i}={\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{A}_i^{\prime }}.& \left(6.88\right)\end{array}$$

Y cyfan sy'n weddill yw dangos bod integryn annewidiol Poincaré–Cartan ar gyfer yr ardal R″ yn sero. Bydd hwn yn sero os yw cyfraniad unrhyw ddarn bach o R″ yn sero. Dangoswn hyn drwy ddangos bod y ffurf ω (gweler hafaliad 5.70) ar baralelogram bach yn yr ardal hon yn sero. Boed (0; q, t; p, p_t) yn fertig o'r paralelogram hwn. Pennir y paralelogram gan ddwy ymyl ζ₁ a ζ₂ sy'n deillio o'r fertig hwn. Ar gyfer ymyl ζ₁ y paralelogram, cymerwn gynyddiad gofod gwedd ar amser cyson â hyd Δq a Δp yn y cyfeiriadau q a p. Y newid trefn gyntaf yn y ffwythiant Hamilton sy'n cyfateb i'r newidiadau hyn yw

$$\begin{array}{cc}\Delta H={\partial }_{1}H\left(t,q,p\right)\Delta q+{\partial }_{2}H\left(t,q,p\right)\Delta p& \left(6.89\right)\end{array}$$

ar gyfer amser cyson Δt = 0. Y cynyddiad Δp_t yw negatif ΔH. Felly cynyddiad y gofod gwedd estynedig yw

$$\begin{array}{cc}{\zeta }_1=\left(0;\Delta q,0;\Delta p,-{\partial }_{1}H\left(t,q,p\right)\Delta q-{\partial }_{2}H\left(t,q,p\right)\Delta p\right).& \left(6.90\right)\end{array}$$

Ceir yr ymyl ζ₂ drwy esblygiad amser y fertig dros gyfwng amser Δt. Gan ddefnyddio hafaliadau Hamilton, cawn

$$\begin{array}{lll}{\zeta }_2\hfill & =\left(0;Dq\left(t\right)\Delta t,\Delta t;Dp\left(t\right)\Delta t,D{p}_t\left(t\right)\Delta t\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left(0;{\partial }_{2}H\left(t,q,p\right)\Delta t,\Delta t;-{\partial }_{1}H\left(t,q,p\right)\Delta t,-{\partial }_{0}H\left(t,q,p\right)\Delta t\right).\hfill & \left(6.91\right)\hfill \end{array}$$

Mae'r ffurf ω, o'i chymhwyso i'r cyflyrau cynyddiadol hyn sy'n ffurfio ymylon y paralelogram hwn, yn rhoi arwynebedd y paralelogram:

$$\begin{array}{l}\omega \left({\zeta }_1,{\zeta }_2\right)\\ \begin{array}{lll}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=Q\left({\zeta }_1\right)P\left({\zeta }_2\right)-P\left({\zeta }_1\right)Q\left({\zeta }_2\right)\hfill & \hfill & \hfill \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=(\Delta q,0)\hfill & \hfill & \hfill \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}.\left(-{\partial }_{1}H\left(t,q,p\right)\Delta t,-{\partial }_{0}H\left(t,q,p\right)\Delta t\right)\hfill & \hfill & \hfill \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}-\left(\Delta p,-{\partial }_{1}H\left(t,q,p\right)\Delta q-{\partial }_{2}H\left(t,q,p\right)\Delta p\right)\hfill & \hfill & \hfill \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}.\left({\partial }_{2}H\left(t,q,p\right)\Delta t,\Delta t\right)\hfill & \hfill & \hfill \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=0.\hfill & \left(6.92\right)\hfill & \hfill \end{array}\end{array}$$

Felly gallwn gasglu bod integryn y mynegiad hwn dros arwyneb cyfan y tiwb o daflwybrau hefyd yn sero. Felly mae integryn annewidiol Poincaré–Cartan yn sero ar gyfer unrhyw ardal a generadir gan esblygiad amser.

Ar ôl profi nad yw'r tiwb o daflwybrau yn cyfrannu dim, rydym wedi dangos bod integryn annewidiol Poincaré y ddau gaead terfyn yr un fath. Mae hyn yn profi bod esblygiad amser yn generadu trawsffurfiad qp symplectig.

Cadwraeth arwynebedd arwynebau toriad

Gallwn ddefnyddio annewidiolyn Poincaré–Cartan i brofi bod arwynebau toriad (wedi'u llunio'n briodol) yn cadw arwynebedd ar gyfer systemau ymreolaethol â dwy radd rhyddid.

I ddangos hyn ystyriwn arwyneb toriad lle mae un cyfesuryn (dyweder q₂) yn hafal i sero. Lluniwn y toriad drwy gasglu'r parau (q₁, p₁). Tybiwn fod gan bob amod cychwynnol yr un egni. Cyfrifwn swm arwynebeddau'r tafluniadau canonig yn y gofod gwedd estynedig eto. Gan fod gan bob amod cychwynnol yr un q₂ = 0 nid oes arwynebedd ar y plân q₂, p₂, a chan fod gan bob taflwybr yr un gwerth o'r ffwythiant Hamilton mae arwynebedd y tafluniad ar y plân t, p_t hefyd yn sero. Felly swm arwynebeddau'r tafluniadau yw arwynebedd yr ardal ar yr arwyneb toriad yn unig. Nawr gadewch i bob pwynt ar yr arwyneb toriad esblygu hyd at groesiad nesaf y toriad. Gall hyn gymryd cyfnod gwahanol o amser ar gyfer pob pwynt ar y toriad. Cyfrifwch swm yr arwynebeddau eto ar gyfer yr ardal wedi'i mapio. Eto, mae gan bob pwynt yn yr ardal wedi'i mapio yr un q₂, felly mae'r arwynebedd ar y plân q₂, p₂ yn sero, ac mae ganddynt yr un egni o hyd, felly mae'r arwynebedd ar y plân t, p_t yn sero. Felly arwynebedd yr ardal wedi'i mapio yw unwaith eto yr arwynebedd ar yr arwyneb toriad yn unig, sef y plân q₁, p₁. Mae esblygiad amser yn cadw swm yr arwynebeddau, felly mae'r arwynebedd ar yr arwyneb toriad yr un fath â'r arwynebedd wedi'i fapio.

Felly mae arwynebau toriad yn cadw arwynebedd ar yr amod bod pwyntiau'r toriad yn gyfan gwbl ar blân canonig. Er enghraifft, i wneud arwynebau toriad Hénon–Heiles (gweler adran 3.6.3) plotiwyd p_y yn erbyn y pan fo x = 0 gyda p_x ≥ 0. Felly ar gyfer pob pwynt toriad mae gan y cyfesuryn x y gwerth sefydlog 0, mae gan bob taflwybr yr un egni, ac mae'r pwyntiau a gesglir yn gyfan gwbl yn y plân canonig y, p_y. Felly mae arwynebau toriad Hénon–Heiles yn cadw arwynebedd.

6.2.2 Golwg Arall Eto ar Esblygiad Amser

Gallwn ddangos yn uniongyrchol o egwyddor y weithred fod esblygiad amser yn generadu trawsffurfiad symplectig.

Cofiwch mai gweithred Lagrange S yw

$$\begin{array}{cc}S\left[q\right]\left(t_1,t_2\right)={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}L\circ \Gamma \left[q\right].}& \left(6.93\right)\end{array}$$

Cyfrifwyd amrywiad y weithred wrth ddeillio hafaliadau Lagrange. Yr amrywiad yw (gweler hafaliad 1.33)

$$\begin{array}{cc}{\delta }_{\eta }S\left[q\right]\left(t_1,t_2\right)=\left({\partial }_{2}L\circ \Gamma \left[q\right]\right)\eta {|}_{t_1}^{t_2}-{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\left(\mathcal{E}\left[L\right]\circ \Gamma \left[q\right]\right)\eta },& \left(6.94\right)\end{array}$$

wedi'i ailysgrifennu yn nhermau gweithredydd Euler–Lagrange $\mathcal{E}$. Wrth ddeillio hafaliadau Lagrange ystyriasom yn unig amrywiadau a gadwai bwyntiau terfyn y llwybr dan brawf. Fodd bynnag, mae hafaliad (6.94) yn wir am amrywiadau mympwyol. Yma ystyriwn amrywiadau nad ydynt yn sero ar y pwyntiau terfyn o amgylch llwybr gwireddadwy q (un lle mae $\mathcal{E}$ [L] ∘ Γ[q] = 0). Ar gyfer yr amrywiadau hyn amrywiad y weithred yw'r term wedi'i integru yn unig:

$$\begin{array}{cc}{\delta }_{\eta }S\left[q\right]\left(t_1,t_2\right)=\left({\partial }_{2}L\circ \Gamma \left[q\right]\right)\eta {|}_{t_1}^{t_2}=p\left(t_2\right)\eta \left(t_2\right)-p\left(t_1\right)\eta \left(t_1\right).& \left(6.95\right)\end{array}$$

Cofiwch fod p ac η yn strwythurau, a bod y lluoswm yn awgrymu swm o luosymiau o gydrannau.

Ystyriwch deulu di-dor o lwybrau gwireddadwy; y llwybr ar gyfer y paramedr s yw $\tilde{q}\left(s\right)$ a chyfesurynnau'r llwybr hwn ar amser t yw $\tilde{q}\left(s\right)\left(t\right)$. Diffiniwn $$ \tilde{\eta }\left(s\right)=D\tilde{q}\left(s\right)$$; amrywiad y llwybr ar hyd y teulu yw deilliad y llwybr parametrig mewn perthynas â'r paramedr. Boed

$$\begin{array}{cc}\tilde{S}\left(s\right)=S\left[\tilde{q}\left(s\right)\right]\left(t_1,t_2\right)& \left(6.96\right)\end{array}$$

yn werth y weithred o t₁ i t₂ ar gyfer llwybr $$ \tilde{q}\left(s\right)$$. Deilliad y weithred ar hyd y teulu parametrig hwn o lwybrau yw⁷

$$\begin{array}{lll}D\tilde{S}\left(s\right)\hfill & ={\delta }_{\tilde{\eta }\left(s\right)}S\left[\tilde{q}\left(s\right)\right]\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left({\partial }_{2}L\circ \Gamma \left[\tilde{q}\left(s\right)\right]\right)\tilde{\eta }\left(s\right){|}_{t_1}^{t_2}-{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\left(\mathcal{E}\left[L\right]\circ \Gamma \left[\tilde{q}\left(s\right)\right]\right)\tilde{\eta }\left(s\right).}\hfill & \left(6.97\right)\hfill \end{array}$$

Gan fod $\tilde{q}\left(s\right)$ yn llwybr gwireddadwy, $\mathcal{E}\left[L\right]\circ \Gamma \left[\tilde{q}\left(s\right)\right]=0$. Felly

$$\begin{array}{lll}D\tilde{S}(s)\hfill & =\left({\partial }_{2}L\circ \Gamma \left[\tilde{q}\left(s\right)\right]\right)\tilde{\eta }\left(s\right){|}_{t_1}^{t_2}\hfill & \hfill \\ \hfill & =\tilde{p}\left(s\right)\left(t_2\right)\tilde{\eta }\left(s\right)\left(t_2\right)-\tilde{p}\left(s\right)\left(t_1\right)\tilde{\eta }\left(s\right)\left(t_1\right),\hfill & \left(6.98\right)\hfill \end{array}$$

lle mae $\tilde{p}\left(s\right)$ yn fomentwm cyfiau i $\tilde{q}\left(s\right)$. Integryn $D\tilde{S}$ yw

$$\begin{array}{lll}S\left[\tilde{q}\left(s_2\right)\right]\left(t_1,t_2\right)-S\left[\tilde{q}\left(s_1\right)\right]\left(t_1,t_2\right)\hfill & ={\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}\left(D\tilde{S}\right)}\hfill & \hfill \\ \hfill & ={\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}\left(h(t_2)-h\left(t_1\right)\right),}\hfill & \left(6.99\right)\hfill \end{array}$$

lle

$$\begin{array}{cc}h\left(t\right)\left(s\right)=\tilde{p}\left(s\right)\left(t\right)\tilde{\eta }\left(s\right)\left(t\right)=\tilde{p}\left(s\right)\left(t\right)D\tilde{q}\left(s\right)\left(t\right).& \left(6.100\right)\end{array}$$

Mewn nodiant confensiynol ysgrifennir yr integryn llinell olaf fel

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle {\int }_{{\gamma }_2}{\displaystyle \sum _i{p}_{i}d{q}^i-}}{\displaystyle {\int }_{{\gamma }_1}{\displaystyle \sum _i{p}_{i}d{q}^i}},& \left(6.101\right)\end{array}$$

lle mae ${\gamma }_1\left(s\right)=\tilde{q}\left(s\right)\left(t_1\right)$ a ${\gamma }_2\left(s\right)=\tilde{q}\left(s\right)\left(t_2\right)$.

Ar gyfer teulu dolen o lwybrau (fel bod $\tilde{q}\left(s_2\right)=\tilde{q}\left(s_1\right)$), mae'r gwahaniaeth rhwng y gweithredoedd ar y pwyntiau terfyn yn diflannu, felly diddwythwn

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_2}{\displaystyle \sum _i{p}_{i}d{q}^i={\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_1}{\displaystyle \sum _i{p}_{i}d{q}^i,}}}}& \left(6.102\right)\end{array}$$

sef fersiwn integryn llinell yr integrynnau annewidiol.

Yn nhermau integrynnau arwynebedd, gan ddefnyddio theorem Stokes, dyma

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _i{\displaystyle {\int }_{R_2^i}d{p}_{i}d{q}^i=}}& {\displaystyle \sum _i{\displaystyle {\int }_{R_1^i}d{p}_{i}d{q}^i,}}\end{array}& \left(6.103\right)\end{array}$$

lle mae $R_j^i$ yn ardaloedd yn y plân canonig ifed. Rydym wedi canfod bod yr esblygiad amser yn cadw'r integrynnau annewidiol, ac felly bod esblygiad amser yn generadu trawsffurfiad symplectig.

6.3 Trawsffurfiau Lie

Mae esblygiad system dan unrhyw ffwythiant Hamilton yn generadu teulu di-dor o drawsffurfiadau canonig. I astudio ymddygiad rhyw system a lywodraethir gan ffwythiant Hamilton H, weithiau mae'n briodol defnyddio trawsffurfiad canonig a generadir gan esblygiad a lywodraethir gan ffwythiant arall tebyg i ffwythiant Hamilton, W, ar yr un gofod gwedd. Gelwir trawsffurfiad canonig o'r fath yn drawsffurf Lie.

Mae'r ffwythiannau H a W ill dau yn ffwythiannau o siâp ffwythiant Hamilton wedi'u diffinio ar yr un gofod gwedd. Mae esblygiad amser dros gyfwng Δ a lywodraethir gan H yn drawsffurfiad canonig ${\mathcal{C}}_{\Delta ,H}$. Mae esblygiad drwy W dros gyfwng ϵ yn drawsffurfiad canonig ${\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }$:

$$\begin{array}{cc}\left(t,q,p\right)={\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }\left(t,q\prime ,p\prime \right).& \left(6.104\right)\end{array}$$

Y newidyn annibynnol yn esblygiad H yw amser, a'r newidyn annibynnol yn esblygiad W yw paramedr mympwyol o'r trawsffurfiad canonig. Dewisasom $\mathcal{C}\prime$ ar gyfer esblygiad W fel nad yw'r trawsffurfiad canonig a anwythir gan W yn newid yr amser yn y system a lywodraethir gan H.

Mae ffigur 6.2 yn dangos sut y defnyddir trawsffurf Lie i drawsffurfio taflwybr. Gallwn weld o'r diagram fod y trawsffurfiadau canonig yn ufuddhau i'r berthynas

$$\begin{array}{cc}{\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }\circ {\mathcal{C}}_{\Delta ,H\prime }={\mathcal{C}}_{\Delta ,H}\circ {\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }.& \left(6.105\right)\end{array}$$

Ar gyfer generaduron W nad ydynt yn dibynnu ar y newidyn annibynnol, mae'r trawsffurfiad canonig a geir ${\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }$ yn annibynnol ar amser ac yn symplectig. Mae trawsffurfiad symplectig sy'n annibynnol ar amser yn ganonig os yw'r ffwythiant Hamilton yn trawsffurfio drwy gyfansoddiad:⁸

$$\begin{array}{cc}H\prime =H\circ {\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }.& \left(6.106\right)\end{array}$$

Byddwn yn defnyddio dim ond trawsffurfiau Lie sydd â generaduron nad ydynt yn dibynnu ar y newidyn annibynnol.

Trawsffurfiau Lie o ffwythiannau

Mae gwerth ffwythiant gofod gwedd F yn newid os yw ei argiau'n newid. Diffiniwn y ffwythiant $E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }$ o ffwythiant F o gyfesurynnau gofod gwedd (t, q, p) gan

$$\begin{array}{cc}{E}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }F=F\circ {\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }.& \left(6.107\right)\end{array}$$

Dywedwn mai $E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }F$ yw trawsffurf Lie y ffwythiant F.

Yn benodol, mae'r trawsffurf Lie yn symud y ffwythiannau dethol cyfesuryn a momentwm Q = I₁ a P = I₂ ymlaen:

$$\begin{array}{ll}\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }Q\right)\left(t,q\prime ,p\prime \right)=\left(Q\circ {\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }\right)\left(t,q\prime ,p\prime \right)=Q\left(t,q,p\right)=q\hfill & \hfill \\ \left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }P\right)\left(t,q\prime ,p\prime \right)=\left(P\circ {\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }\right)\left(t,q\prime ,p\prime \right)=P\left(t,q,p\right)=p.\hfill & \left(6.108\right)\hfill \end{array}$$

Felly gallwn ailddatgan hafaliad (6.107) fel

$$\begin{array}{ll}\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }F\right)\left(t,q\prime ,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ =F\left(t,\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }Q\right)\left(t,q\prime ,p\prime \right),\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }P\right)\left(t,q\prime ,p\prime \right)\right).\hfill & \left(6.109\right)\hfill \end{array}$$

Yn fwy cyffredinol, mae trawsffurfiau Lie yn treiddio i gyfansoddiadau:

$$\begin{array}{cc}\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }\left(F\circ G\right)\right)=F\circ \left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }G\right)& \left(6.110\right)\end{array}$$

Corolari i'r ffaith bod trawsffurfiau Lie yn treiddio i gyfansoddiadau yw:

$$\begin{array}{lll}{E}_{{\mathit{ϵ}}_1,W_1}^{\prime }{E}_{{\mathit{ϵ}}_2,W_2}^{\prime }I\hfill & =\left(E_{{\mathit{ϵ}}_1,W_1}^{\prime }\left(E_{{\mathit{ϵ}}_2,W_2}^{\prime }I\right)\right)\circ I\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left(E_{{\mathit{ϵ}}_2,W_2}^{\prime }I\right)\circ \left(E_{{\mathit{ϵ}}_1,W_1}^{\prime }I\right),\hfill & \left(6.111\right)\hfill \end{array}$$

lle mae I yn ffwythiant unfathiant y gofod gwedd: I(t, q, p) = (t, q, p). Felly mae trefn cymhwyso'r gweithredyddion yn wrthdro i drefn cyfansoddi'r ffwythiannau sy'n deillio o gymhwyso'r gweithredyddion.

Yn nhermau $E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }$ mae gennym y trawsffurfiad canonig

$$\begin{array}{lll}q\hfill & =\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }Q\right)\left(t,q\prime ,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ p\hfill & =\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }P\right)\left(t,q\prime ,p\prime \right)\hfill & \hfill \\ H\prime \hfill & =E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }H.\hfill & \left(6.112\right)\hfill \end{array}$$

Gallwn hefyd ddweud

$$\begin{array}{cc}\left(t,q,p\right)=\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }I\right)\left(t,q\prime ,p\prime \right).& \left(6.113\right)\end{array}$$

Sylwch fod gan $E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }$ y briodwedd:⁹

$$\begin{array}{cc}{E}_{{\mathit{ϵ}}_1+{\mathit{ϵ}}_2,W}^{\prime }=E_{{\mathit{ϵ}}_1,W}^{\prime }\circ E_{{\mathit{ϵ}}_2,W}^{\prime }=E_{{\mathit{ϵ}}_2,W}^{\prime }\circ E_{{\mathit{ϵ}}_1,W}^{\prime }.& \left(6.114\right)\end{array}$$

Yr unfathiant I yw

$$\begin{array}{cc}I=E_{0,W}^{\prime }.& \left(6.115\right)\end{array}$$

Gallwn ddiffinio'r ffwythiant gwrthdro

$$\begin{array}{cc}{\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }\right)}^{-1}=E_{-\mathit{ϵ},W}^{\prime }& \left(6.116\right)\end{array}$$

â'r briodwedd

$$\begin{array}{cc}I=E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }\circ {\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }\right)}^{-1}={\left(E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }\right)}^{-1}\circ E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }.& \left(6.117\right)\end{array}$$

Trawsffurfiau Lie syml

Er enghraifft, tybiwch ein bod yn astudio system lle byddai cylchdro yn drawsffurfiad defnyddiol. I ddyfeisio trawsffurfiad o'r fath sylwn ein bod yn bwriadu i gyfesuryn ffurfwedd gynyddu'n unffurf ar gyfradd benodol. Yn yr achos hwn rydym am gynyddu ongl. Mae'r ffwythiant Hamilton sy'n cynnwys dim ond y momentwm cyfiau i'r cyfesuryn ffurfwedd hwnnw bob amser yn gwneud y gwaith. Felly mae'r momentwm onglaidd yn generadur priodol ar gyfer cylchdroadau.

Mae'r dadansoddiad yn syml os defnyddiwn gyfesurynnau pegynol r, θ â momenta cyfiau p_r, p_θ. Y generadur W yn syml yw:

$$\begin{array}{cc}W\left(\tau ;r,\theta ;p_r,p_{\theta }\right)=p_{\theta }& \left(6.118\right)\end{array}$$

Mae'r teulu o drawsffurfiadau yn bodloni hafaliadau Hamilton:

$$\begin{array}{ll}Dr=0\hfill & \hfill \\ D\theta =1\hfill & \hfill \\ D{p}_r=0\hfill & \hfill \\ D{p}_{\theta }=0.\hfill & \left(6.119\right)\hfill \end{array}$$

Yr unig newidyn sy'n ymddangos yn W yw p_θ, felly θ yw'r unig newidyn sy'n amrywio wrth i ϵ amrywio. Mewn gwirionedd, y teulu o drawsffurfiadau canonig yw

$$\begin{array}{ll}r=r\prime \hfill & \hfill \\ \theta =\theta \prime +\mathit{ϵ}\hfill & \hfill \\ p_r=p_r^{\prime }\hfill & \hfill \\ p_{\theta }=p_{\theta }^{\prime }.\hfill & \left(6.120\right)\hfill \end{array}$$

Felly momentwm onglaidd yw generadur cylchdro canonig.

Mae'r enghraifft yn syml, ond mae'n dangos un nodwedd bwysig o drawsffurfiadau Lie—maent yn rhoi un set o newidynnau yn gyfan gwbl yn nhermau'r set arall o newidynnau. Dylid cymharu hyn â thrawsffurfiadau ffwythiannau generadu â newidynnau cymysg, sydd bob amser yn rhoi cymysgedd o hen newidynnau a rhai newydd yn nhermau cymysgedd o newidynnau newydd a hen rai, ac felly'n gofyn am wrthdroi i gael un set o newidynnau yn nhermau'r set arall o newidynnau. Dim ond mewn achosion arbennig y gellir ysgrifennu'r gwrthdro hwn ar ffurf gaeedig. Yn gyffredinol, mae mantais sylweddol mewn defnyddio rheol drawsffurfio sy'n generadu trawsffurfiadau penodol o'r cychwyn. Mae trawsffurfiadau Lie bob amser yn benodol yn yr ystyr eu bod yn rhoi un set o newidynnau yn nhermau'r llall, ond er mwyn cael mynegiadau penodol rhaid bod modd datrys yr esblygiad a lywodraethir gan y generadur.

Gadewch inni ystyried enghraifft arall. Y tro hwn ystyriwch broblem â thair gradd rhyddid mewn cyfesurynnau petryal, a chymerwch mai generadur y trawsffurfiad yw cydran z y momentwm onglaidd:

$$\begin{array}{cc}W\left(\tau ;x,y,z;p_x,p_y,p_z\right)=x{p}_y-y{p}_x.& \left(6.121\right)\end{array}$$

Yr hafaliadau esblygiad yw

$$\begin{array}{ll}{D}_x=-y\hfill & \hfill \\ D_y=x\hfill & \hfill \\ D_z=0\hfill & \hfill \\ D{p}_x=-p_y\hfill & \hfill \\ D{p}_y=p_x\hfill & \hfill \\ D{p}_z=0.\hfill & \left(6.122\right)\hfill \end{array}$$

Sylwn fod z a p_z heb newid, a bod yr hafaliadau sy'n llywodraethu esblygiad x ac y wedi'u datgyplysu oddi wrth rai p_x a p_y. Mae pob un o'r parau hyn o hafaliadau yn cynrychioli mudiant harmonig syml, fel y gwelir drwy eu hysgrifennu fel systemau ail drefn. Y datrysiadau yw

$$\begin{array}{ll}x=x\prime \cos \mathit{ϵ}-y\prime \sin \mathit{ϵ}\hfill & \hfill \\ y=x\prime \sin \mathit{ϵ}+y\prime \cos \mathit{ϵ}\hfill & \hfill \\ z=z\prime ,\hfill & \left(6.123\right)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{p}_x=p_x^{\prime }\cos \mathit{ϵ}-p_y^{\prime }\sin \mathit{ϵ}\hfill & \hfill \\ p_y=p_x^{\prime }\sin \mathit{ϵ}+p_y^{\prime }\cos \mathit{ϵ}\hfill & \hfill \\ p_z=p_z^{\prime }.\hfill & \left(6.124\right)\hfill \end{array}$$

Felly gwelwn unwaith eto fod cydran o'r momentwm onglaidd yn generadu cylchdro canonig. Nid oedd dim arbennig am ein dewis o echelinau, felly gallwn ddiddwytho bod cydran y momentwm onglaidd o amgylch unrhyw echelin yn generadu cylchdroadau o amgylch yr echelin honno.

Enghraifft

Tybiwch fod gennym system a lywodraethir gan y ffwythiant Hamilton

$$\begin{array}{cc}H\left(t;x,y;p_x,p_y\right)=\frac{1}{2}\left(p_x^2+p_y^2\right)+\frac{1}{2}a{\left(x-y\right)}^2+\frac{1}{2}b{\left(x+y\right)}^2.& \left(6.125\right)\end{array}$$

Mae hafaliadau Hamilton yn cyplysu mudiant x ac y:

$$\begin{array}{ll}Dx=p_x\hfill & \hfill \\ Dy=p_y\hfill & \hfill \\ D{p}_x=-a\left(x-y\right)-b\left(x+y\right)\hfill & \hfill \\ D{p}_y=a\left(x-y\right)-b\left(x+y\right).\hfill & \left(6.126\right)\hfill \end{array}$$

Gallwn ddatgyplysu'r system drwy gylchdroi'r cyfesurynnau drwy π/4. Generadir hyn gan

$$\begin{array}{cc}W\left(\tau ;x,y;p_x,p_y\right)=x{p}_y-y{p}_x,& \left(6.127\right)\end{array}$$

sy'n debyg i'r generadur ar gyfer cylchdroi'r cyfesurynnau uchod ond heb y radd rhyddid z. Mae esblygu (τ; x, y; p_x, p_y) drwy W dros gyfwng π/4 yn rhoi cylchdro canonig:

$$\begin{array}{ll}x=x\prime \cos \pi /4-y\prime \sin \pi /4\hfill & \hfill \\ y=x\prime \sin \pi /4+y\prime \cos \pi /4\hfill & \hfill \\ p_x=p_x^{\prime }\cos \pi /4-p_y^{\prime }\sin \pi /4\hfill & \hfill \\ p_y=p_x^{\prime }\sin \pi /4+p_y^{\prime }\cos \pi /4.\hfill & \left(6.128\right)\hfill \end{array}$$

Mae cyfansoddi'r ffwythiant Hamilton H â'r trawsffurfiad hwn sy'n annibynnol ar amser yn rhoi'r ffwythiant Hamilton newydd

$$\begin{array}{cc}H\prime \left(t;x\prime ,y\prime ;p_x^{\prime },p_y^{\prime }\right)=\left(\frac{1}{2}{\left(p_x^{\prime }\right)}^2+b{(x\prime )}^2\right)+\left(\frac{1}{2}{\left(p_y^{\prime }\right)}^2+a{(y\prime )}^2\right),& \left(6.129\right)\end{array}$$

sy'n ffwythiant Hamilton ar gyfer dau osgiliadur harmonig heb eu cyplysu. Felly mae'r broblem gyplëdig wreiddiol wedi'i thrawsffurfio gan drawsffurf Lie i ffurf newydd sy'n hawdd ei datrys.

6.4 Cyfresi Lie

Ffordd gyfleus o gyfrifo trawsffurf Lie yw ei frasamcanu â chyfres. Datblygwn y dechneg hon drwy ymestyn y syniad o gyfres Taylor.

Mae theorem Taylor yn rhoi ffordd inni frasamcanu gwerth ffwythiant digon rheolaidd mewn pwynt sy'n agos at bwynt lle mae'r gwerth yn hysbys. Os gwyddom f a'i holl ddeilliadau yn t yna gallwn gael gwerth f(t + ϵ), ar gyfer ϵ digon bach, fel a ganlyn:

$$\begin{array}{cc}f\left(t+\mathit{ϵ}\right)=f\left(t\right)+\mathit{ϵ}Df\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathit{ϵ}}^2{D}^{2}f\left(t\right)+\cdots +\frac{1}{n!}{\mathit{ϵ}}^n{D}^{n}f\left(t\right)+\cdots .& \left(6.130\right)\end{array}$$

Cofiwn mai'r gyfres bwerau ar gyfer y ffwythiant esbonyddol yw

$$\begin{array}{cc}{e}^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\cdots .& \left(6.131\right)\end{array}$$

Mae hyn yn awgrymu y gallwn lunio gweithredydd cyfres Taylor yn ffurfiol fel esbonyddol gweithredydd differol¹⁰

$$\begin{array}{cc}{e}^{\mathit{ϵ}D}=I+\mathit{ϵ}D+\frac{1}{2}{\left(\mathit{ϵ}D\right)}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{\left(\mathit{ϵ}D\right)}^n+\cdots & \left(6.132\right)\end{array}$$

ac ysgrifennu

$$\begin{array}{cc}f\left(t+\mathit{ϵ}\right)=\left(e^{\mathit{ϵ}D}f\right)(t).& \left(6.133\right)\end{array}$$

Rhaid inni fod ychydig yn ofalus yma: (ϵD)² = ϵDϵD. Gallwn ei droi yn ϵ²D² dim ond oherwydd bod ϵ yn gysonyn sgalar, sy'n cymudo â phob gweithredydd differol. Ond gan gadw'r amod hwn mewn cof gallwn ddiffinio'r gweithredydd differol

$$\begin{array}{cc}\left(e^{\mathit{ϵ}D}f\right)\left(t\right)=f\left(t\right)+\mathit{ϵ}Df\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathit{ϵ}}^2{D}^{2}f\left(t\right)+\cdots +\frac{1}{n!}{\mathit{ϵ}}^n{D}^{n}f\left(t\right)+\cdots & \left(6.134\right)\end{array}$$

Cyn mynd ymlaen, mae'n ddiddorol cyfrifo ychydig â'r rhain. Yn y trawsgrifiadau cod sy'n dilyn datblygwn y gyfres drwy esbonyddoli. Gallwn archwilio'r gyfres fesul cam drwy edrych ar elfennau olynol dilyniant (anfeidraidd) termau'r gyfres. Mae'r weithdrefn series:for-each yn drawsyrrwr fesul cam sy'n cymhwyso ei harg cyntaf i elfennau olynol y gyfres a roddir fel ei hail arg. Mae'r trydydd arg (pan gaiff ei roi) yn pennu nifer y termau i'w croesi. Ym mhob un o'r trawsgrifiadau canlynol argraffwn fynegiadau wedi'u symleiddio ar gyfer y termau olynol.

Y peth cyntaf i edrych arno yw ehangiad Taylor cyffredinol ar gyfer ffwythiant llythrennol anhysbys, wedi'i ehangu o amgylch t, â chynyddiad ϵ. Bydd deall yr hyn a welwn yn y broblem syml hon yn ein helpu i ddeall problemau mwy cymhleth yn ddiweddarach.

(series:for-each print-expression
                 (((exp (* 'epsilon D))
                   (literal-function 'f))
                  't)
                 6)

(f t)
(* ((D f) t) epsilon)
(* 1/2 (((expt D 2) f) t) (expt epsilon 2))
(* 1/6 (((expt D 3) f) t) (expt epsilon 3))
(* 1/24 (((expt D 4) f) t) (expt epsilon 4))
(* 1/120 (((expt D 5) f) t) (expt epsilon 5))
...

Gallwn hefyd edrych ar ehangiadau ffwythiannau penodol a adnabyddwn, megis ehangiad sin o amgylch 0.

(series:for-each print-expression
                 (((exp (* 'epsilon D)) sin) 0)
                 6)

0
epsilon
0
(* -1/6 (expt epsilon 3))
0
(* 1/120 (expt epsilon 5))
...

Mae'n aml yn addysgiadol ehangu ffwythiannau nad ydym fel arfer yn eu cofio, megis $f\left(x\right)=\sqrt{1+x}$.

(series:for-each print-expression
                 (((exp (* 'epsilon D))
                   (lambda (x) (sqrt (+ x 1))))
                  0)
                 6)

1
(* 1/2 epsilon)
(* -1/8 (expt epsilon 2))
(* 1/16 (expt epsilon 3))
(* -5/128 (expt epsilon 4))
(* 7/256 (expt epsilon 5))
...

Ymarfer 6.7: Cyfres finomaidd

Datblygwch ehangiad binomaidd (1 + x)ⁿ fel ehangiad Taylor. Wrth gwrs, pan fo n yn gyfanrif positif, rhaid bod pob cyfernod heblaw'r n + 1 cyntaf yn sero. Fodd bynnag, yn yr achos cyffredinol, ar gyfer n symbolaidd, mae'r cyfernodau'n bolynomialau gweddol gymhleth yn n. Er enghraifft, fe welwch mai'r wythfed term yw

(+ (* 1/5040 (expt n 7))
   (* -1/240 (expt n 6))
   (* 5/144 (expt n 5))
   (* -7/48 (expt n 4))
   (* 29/90 (expt n 3))
   (* -7/20 (expt n 2))
   (* 1/7 n))

Rhaid i'r termau hyn werthuso i'r cofnodion yn nhriongl Pascal. Yn benodol, rhaid i'r polynomial hwn fod yn sero ar gyfer n < 7. Sut y trefnir hyn?

Dynameg

Nawr, i chwarae'r gêm hon â ffwythiannau dynamig rydym am ddarparu gweithredydd tebyg i ddeilliad y gallwn ei esbonyddoli, a fydd yn rhoi'r gweithredydd symud ymlaen mewn amser inni. Y syniad allweddol yw ysgrifennu deilliad y ffwythiant yn nhermau cromfach Poisson. Mae hafaliad (3.80) yn dangos sut i wneud hyn yn gyffredinol:

$$\begin{array}{cc}D\left(F\circ \sigma \right)=\left(\left\{F,H\right\}+{\partial }_{0}F\right)\circ \sigma .& \left(6.135\right)\end{array}$$

Diffiniwn y gweithredydd D_H gan

$$\begin{array}{cc}{D}_{H}F={\partial }_{0}F+\left\{F,H\right\},& \left(6.136\right)\end{array}$$

felly

$$\begin{array}{cc}{D}_{H}F\circ \sigma =D\left(F\circ \sigma \right),& \left(6.137\right)\end{array}$$

a gellir defnyddio iteriadau'r gweithredydd hwn i gyfrifo deilliadau trefn uwch:

$$\begin{array}{cc}{D}^n\left(F\circ \sigma \right)=D_H^{n}F\circ \sigma .& \left(6.138\right)\end{array}$$

Gallwn fynegi symudiad ymlaen y ffwythiant llwybr f = F ∘ σ dros gyfwng ϵ mewn perthynas â H fel cyfres bwerau yn y gweithredydd deilliad D_H wedi'i gymhwyso i'r ffwythiant gofod gwedd F ac yna wedi'i gyfansoddi â'r llwybr:

$$\begin{array}{cc}f\left(t+\mathit{ϵ}\right)=\left(e^{\mathit{ϵ}D}f\right)\left(t\right)=\left(e^{\mathit{ϵ}{D}_H}F\right)\circ \sigma \left(t\right).& \left(6.139\right)\end{array}$$

Yn wir, gallwn weithredu'r gweithredydd symud ymlaen mewn amser E_ϵ,H â'r gyfres hon, pan fydd yn cydgyfeirio.

Ymarfer 6.8: Deilliadau wedi'u hiteru

Dangoswch fod hafaliad (6.138) yn gywir.

Ymarfer 6.9: Cyfatebiaeth Lagrange

Cymharwch D_H â'r gweithredydd deilliad amser cyflawn. Cofiwch fod

$D_{t}F\circ \Gamma \left[q\right]=D\left(F\circ \Gamma \left[q\right]\right)$

yn haniaethu deilliad ffwythiant o lwybr drwy ofod cyflwr i ffwythiant o ddeilliadau'r llwybr. Diffiniwch weithredydd deilliad arall D_L, sy'n cyfateb i D_H, a fyddai'n rhoi deilliad amser ffwythiannau ar hyd llwybrau cyflwr Lagrange sy'n ddatrysiadau hafaliadau Lagrange ar gyfer ffwythiant Lagrange penodol. Sut gallai hyn fod yn ddefnyddiol?

Ar gyfer ffwythiant Hamilton H sy'n annibynnol ar amser a ffwythiant cyflwr F sy'n annibynnol ar amser, gallwn symleiddio cyfrifo symudiad ymlaen F. Yn yr achos hwn diffiniwn weithredydd deilliad Lie L_H fel bod

$$\begin{array}{cc}{L}_{H}F=\left\{F,H\right\},& \left(6.140\right)\end{array}$$

sy'n darllen “deilliad Lie F mewn perthynas â H”.¹¹ Felly

$$\begin{array}{cc}{D}_H={\partial }_0+L_H& \left(6.141\right)\end{array}$$

ac ar gyfer F sy'n annibynnol ar amser

$$\begin{array}{cc}D\left(F\circ \sigma \right)=L_{H}F\circ \sigma .& \left(6.142\right)\end{array}$$

Gallwn iteru'r broses hon i gyfrifo deilliadau uwch. Felly

$$\begin{array}{cc}{L}_H^{2}F=\left\{\left\{F,H\right\},H\right\},& \left(6.143\right)\end{array}$$

ac mae cromfachau Poisson o drefn gynyddol o F â H yn rhoi deilliadau o drefn gynyddol wrth eu gwerthuso ar y taflwybr.

Boed f = F ∘ σ. Mae gennym

$$\begin{array}{cc}Df=\left(L_{H}F\right)\circ \sigma & \left(6.144\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{D}^{2}f=\left(L_H^{2}F\right)\circ \sigma \hfill & \hfill \\ \cdots .\hfill & \left(6.145\right)\hfill \end{array}$$

Felly gallwn ailysgrifennu symudiad ymlaen y ffwythiant llwybr f dros gyfwng ϵ mewn perthynas â H fel cyfres bwerau yn y gweithredydd deilliad Lie wedi'i gymhwyso i'r ffwythiant gofod gwedd F ac yna wedi'i gyfansoddi â'r llwybr:

$$\begin{array}{cc}f\left(t+\mathit{ϵ}\right)=\left(e^{\mathit{ϵ}D}f\right)\left(t\right)=\left(e^{\mathit{ϵ}{L}_H}F\right)\circ \sigma \left(t\right).& \left(6.146\right)\end{array}$$

Gallwn weithredu'r gweithredydd symud ymlaen mewn amser $E_{\mathit{ϵ},H}^{\prime }$ â'r gyfres Lie $e^{\mathit{ϵ}{L}_H}F$ pan fydd y gyfres hon yn cydgyfeirio:

$$\begin{array}{cc}{E}_{\mathit{ϵ},H}^{\prime }F=e^{\mathit{ϵ}{L}_H}F.& \left(6.147\right)\end{array}$$

Rydym wedi dangos bod esblygiad amser yn ganonig, felly mae'r cyfresi uchod yn gynrychioliadau ffurfiol o drawsffurfiadau canonig fel cyfresi pwerau amser. Efallai na fydd y cyfresi hyn yn cydgyfeirio, hyd yn oed os yw'r esblygiad a lywodraethir gan y ffwythiant Hamilton H wedi'i ddiffinio'n dda.

Cyfrifo cyfresi Lie

Gallwn ddefnyddio'r trawsffurf Lie fel offeryn cyfrifiadurol i archwilio esblygiad lleol systemau dynamig. Diffiniwn ddeilliad Lie F fel gweithredydd tebyg i ddeilliad mewn perthynas â'r ffwythiant Hamilton a roddir, H:¹²

(define ((Lie-derivative H) F)
  (Poisson-bracket F H))

Diffiniwn hefyd weithdrefn i weithredu'r trawsffurf Lie:¹³

(define (Lie-transform H t)
  (exp (* t (Lie-derivative H))))

Gadewch inni ddechrau drwy archwilio dechrau'r gyfres Lie ar gyfer safle osgiliadur harmonig syml â màs m a chysonyn sbring k. Gallwn weithredu'r ffwythiant Hamilton fel

(define ((H-harmonic m k) state)
  (+ (/ (square (momentum state)) (* 2 m))
     (* 1/2 k (square (coordinate state)))))

Gwnawn y trawsffurf Lie (cyfres) drwy roi ffwythiant Hamilton priodol a chyfwng ar gyfer esblygu i'r gweithredydd Lie-transform. Yna rhoddir y weithdrefn coordinate, sy'n dewis y cyfesurynnau safle o'r cyflwr gofod gwedd, i'r gweithredydd a geir. Mae'r gweithredydd trawsffurf Lie yn dychwelyd gweithdrefn sydd, o gael cyflwr gofod gwedd wedi'i gyfansoddi o amser ffug, safle x0, a momentwm p0, yn dychwelyd y safle sy'n deillio o symud y cyflwr hwnnw ymlaen dros y cyfwng dt.

(series:for-each print-expression
                 (((Lie-transform (H-harmonic 'm 'k) 'dt)
                   coordinate)
                  (up 0 'x0 'p0))
                 6)

x0
(/ (* dt p0) m)
(/ (* -1/2 (expt dt 2) k x0) m)
(/ (* -1/6 (expt dt 3) k p0) (expt m 2))
(/ (* 1/24 (expt dt 4) (expt k 2) x0) (expt m 2))
(/ (* 1/120 (expt dt 5) (expt k 2) p0) (expt m 3))
...

Dylem adnabod termau'r gyfres hon. Dechreuwn â'r safle cychwynnol x₀. Mae'r cywiriad trefn gyntaf (p₀/m)dt yn deillio o'r cyflymder cychwynnol. Nesaf cawn derm cyflymiad (−kx₀/2m)dt² sy'n deillio o rym adfer y sbring yn y safle cychwynnol.

Mae'r trawsffurf Lie yr un mor briodol ar gyfer dangos inni sut mae'r momentwm yn esblygu dros y cyfwng:

(series:for-each print-expression
                 (((Lie-transform (H-harmonic 'm 'k) 'dt)
                   momentum)
                  (up 0 'x0 'p0))
                 6)

p0
(* -1 dt k x0)
(/ (* -1/2 (expt dt 2) k p0) m)
(/ (* 1/6 (expt dt 3) (expt k 2) x0) m)
(/ (* 1/24 (expt dt 4) (expt k 2) p0) (expt m 2))
(/ (* -1/120 (expt dt 5) (expt k 3) x0) (expt m 2))
...

Yn y gyfres hon gwelwn sut y cywirir y momentwm cychwynnol p₀ gan effaith y grym adfer −kx₀dt, ac ati.

Yr hyn sydd ychydig yn fwy o hwyl yw gweld sut y mae ehangiad y gyfres Lie yn trin ffwythiant gofod gwedd mwy cymhleth. Yn yr arbrawf isod archwiliwn y gyfres Lie a ddatblygir drwy symud ffwythiant Hamilton yr osgiliadur harmonig ymlaen, drwy'r trawsffurf a generadir gan yr un ffwythiant Hamilton osgiliadur harmonig:

(series:for-each print-expression
                 (((Lie-transform (H-harmonic 'm 'k) 'dt)
                   (H-harmonic 'm 'k))
                  (up 0 'x0 'p0))
                 6)

(/ (+ (* 1/2 k m (expt x0 2)) (* 1/2 (expt p0 2))) m)
0
0
0
0
0
...

Fel y byddem yn gobeithio, mae'r gyfres yn dangos y mynegiad egni gwreiddiol $\left(k/2\right)x_0^2+\left(1/2m\right)p_0^2$ fel y term cyntaf. Mae pob term cywiro dilynol yn troi allan yn sero—oherwydd bod yr egni'n cael ei gadw.

Wrth gwrs, gellir defnyddio'r gyfres Lie mewn sefyllfaoedd lle rydym am weld ehangiad mudiant system a nodweddir gan ffwythiant Hamilton mwy cymhleth. Mae mudiant gronyn mewn plân mewn maes canolog cyffredinol (gweler hafaliad 3.100) yn broblem syml lle mae'r gyfres Lie yn addysgiadol. Yn y trawsgrifiad canlynol gallwn weld mor gyflym y mae'r gyfres yn mynd yn gymhleth. Mae'n werth ceisio dehongli rhannau adiol y trydydd term (cyflymiad) a ddangosir isod:

(series:for-each print-expression
                 (((Lie-transform
                     (H-central-polar 'm (literal-function 'U))
                     'dt)
                   coordinate)
                  (up 0
                      (up 'r_0 'phi_0)
                      (down 'p_r_0 'p_phi_0)))
                 4)

(up r_0 phi_0)
(up (/ (* dt p_r_0) m)
    (/ (* dt p_phi_0) (* m (expt r_0 2))))
(up
  (+ (/ (* -1/2 ((D U) r_0) (expt dt 2)) m)
     (/ (* 1/2 (expt dt 2) (expt p_phi_0 2))
        (* (expt m 2) (expt r_0 3))))
  (/ (* -1 (expt dt 2) p_phi_0 p_r_0)
     (* (expt m 2) (expt r_0 3))))
(up
  (+ (/ (* -1/6 (((expt D 2) U) r_0) (expt dt 3) p_r_0)
        (expt m 2))
     (/ (* -1/2 (expt dt 3) (expt p_phi_0 2) p_r_0)
        (* (expt m 3) (expt r_0 4)))))
(+ (/ (* 1/3 ((D U) r_0) (expt dt 3) p_phi_0)
      (* (expt m 2) (expt r_0 3))))
(/ (* -1/3 (expt dt 3) (expt p_phi_0 3))
   (* (expt m 3) (expt r_0 6)))
(/ (* (expt dt 3) p_phi_0 (expt p_r_0 2))
   (* (expt m 3) (expt_r_0 4)))
...

Wrth gwrs, os gwyddom y trawsffurf Lie ar ffurf gaeedig mae'n debyg ei bod yn syniad da manteisio arno, ond pan nad ydym yn gwybod y ffurf gaeedig gall ei gynrychioliad gan gyfres Lie fod yn ddefnyddiol.

6.5 Unfathiannau Esbonyddol

Gellir ysgrifennu cyfansoddiad trawsffurfiau Lie fel lluosymiau o esbonyddolion gweithredyddion deilliad Lie. Yn gyffredinol, nid yw gweithredyddion deilliad Lie yn cymudo. Os yw A a B yn weithredyddion nad ydynt yn cymudo, yna nid yw'r esbonyddion yn cyfuno yn y ffordd arferol:

$$\begin{array}{cc}{e}^A{e}^B\ne e^{A+B}.& \left(6.148\right)\end{array}$$

Felly bydd yn ddefnyddiol cofio rhai canlyniadau am esbonyddolion gweithredyddion nad ydynt yn cymudo.

Cyflwynwn y cymudydd

$$\begin{array}{cc}\left[A,B\right]=AB-BA.& \left(6.149\right)\end{array}$$

Mae'r cymudydd yn ddeulinol ac yn bodloni unfathiant Jacobi

$$\begin{array}{cc}\left[A,\left[B,C\right]\right]+\left[B,\left[C,A\right]\right]+\left[C,\left[A,B\right]\right]=0,& \left(6.150\right)\end{array}$$

sy'n wir ar gyfer pob A, B, a C.

Cyflwynwn nodiant Δ_A ar gyfer y cymudydd mewn perthynas â'r gweithredydd A:

$$\begin{array}{cc}{\Delta }_{A}B=\left[A,B\right].& \left(6.151\right)\end{array}$$

Yn nhermau Δ unfathiant Jacobi yw

$$\begin{array}{cc}\left[{\Delta }_A,{\Delta }_B\right]={\Delta }_{\left[A,B\right]}.& \left(6.152\right)\end{array}$$

Un unfathiant pwysig yw

$$\begin{array}{lll}{e}^{C}A{e}^{-C}\hfill & =e^{\Delta C}A\hfill & \hfill \\ \hfill & =A+\left[C,A\right]+\frac{1}{2}\left[C,\left[C,A\right]\right]+\cdots .\hfill & \left(6.153\right)\hfill \end{array}$$

Gallwn wirio hyn fesul term.

Gwelwn fod

$$\begin{array}{cc}{e}^C{A}^2{e}^{-C}=e^{C}A{e}^{-C}{e}^{C}A{e}^{-C}={\left(e^{C}A{e}^{-C}\right)}^2,& \left(6.154\right)\end{array}$$

gan ddefnyddio e^−Ce^C = I, y gweithredydd unfathiant. Gan ddefnyddio'r un tric, cawn

$$\begin{array}{cc}{e}^C{A}^n{e}^{-C}={\left(e^{C}A{e}^{-C}\right)}^n.& \left(6.155\right)\end{array}$$

Yn fwy cyffredinol, os gellir cynrychioli f fel cyfres bwerau yna

$$\begin{array}{cc}{e}^{C}f\left(A,B,\cdots \right)e^{-C}=f\left(e^{C}A{e}^{-C},e^{C}B{e}^{-C},\cdots \right).& \left(6.156\right)\end{array}$$

Er enghraifft, mae cymhwyso hyn i'r ffwythiant esbonyddol yn rhoi

$$\begin{array}{cc}{e}^C{e}^A{e}^{-C}=e^{e^{C}A{e}^{-C}}.& \left(6.157\right)\end{array}$$

Gan ddefnyddio hafaliad (6.153), gallwn ailysgrifennu hyn fel

$$\begin{array}{cc}{e}^{\Delta C}{e}^A=e^{e^{\Delta C}A}.& \left(6.158\right)\end{array}$$

Ymarfer 6.10: Cymudyddion deilliadau Lie

a. Boed W a W′ yn ddau ffwythiant cyflwr gofod gwedd. Defnyddiwch unfathiant Jacobi cromfachau Poisson (3.93) i ddangos

$$\begin{array}{cc}\left[L_{W,}{L}_{W\prime }\right]=-L_{\left\{W,W\prime \right\}}.& \left(6.159\right)\end{array}$$

b. Ystyriwch y ffwythiannau cyflwr gofod gwedd sy'n rhoi cydrannau'r momentwm onglaidd yn nhermau cyfesurynnau canonig petryal

$\begin{array}{c}{J}_x\left(t;x,y,z;p_x,p_y,p_z\right)=y{p}_z-z{p}_y\\ J_y\left(t;x,y,z;p_x,p_y,p_z\right)=z{p}_x-x{p}_z\\ J_z\left(t;x,y,z;p_x,p_y,p_z\right)=x{p}_y-y{p}_{x.}\end{array}$

Dangoswch

$$\begin{array}{cc}\left[L_{J_x},L_{J_y}\right]+L_{J_z}=0.& \left(6.160\right)\end{array}$$

c. Cysylltwch unfathiant Jacobi ar gyfer gweithredyddion ag unfathiant Jacobi cromfachau Poisson.

Ymarfer 6.11: Baker–Campbell–Hausdorff

Deilliwch y rheol ar gyfer cyfuno esbonyddolion gweithredyddion nad ydynt yn cymudo:

$$\begin{array}{cc}{e}^A{e}^B=e^{A+B+\frac{1}{2}\left[A,B\right]+\cdots }.& \left(6.161\right)\end{array}$$

6.6 Crynodeb

Mae esblygiad amser unrhyw system Hamilton yn anwytho trawsffurfiad canonig: os ystyriwn holl gyflyrau cychwynnol posibl system Hamilton a dilyn yr holl daflwybrau am yr un cyfwng amser, yna mae'r mapiad o gyflwr cychwynnol pob taflwybr i'w gyflwr terfynol yn drawsffurfiad canonig. Mae hyn yn wir am unrhyw gyfwng a ddewiswn, felly mae esblygiad amser yn generadu teulu di-dor o drawsffurfiadau canonig.

Cyffredinolasom y syniad hwn i generadu trawsffurfiadau canonig di-dor heblaw'r rhai a generadir gan esblygiad amser. Bydd trawsffurfiadau o'r fath yn arbennig o ddefnyddiol i gefnogi damcaniaeth amhariadau.

Mewn achosion prin gellir gwneud trawsffurfiad canonig i gynrychioliad lle mae'r broblem yn hawdd ei datrys: pan fo pob cyfesuryn yn gylchol a phob momentwm yn cael ei gadw. Yma ymchwiliwyd i ddull Hamilton–Jacobi ar gyfer canfod trawsffurfiadau canonig o'r fath. Ar gyfer problemau lle mae dull Hamilton–Jacobi yn gweithio, canfyddwn fod esblygiad amser y system yn cael ei roi fel trawsffurfiad canonig.

6.7 Prosiectau

Ymarfer 6.12: Integru symplectig

Ystyriwch system lle gellir rhannu'r ffwythiant Hamilton H yn ddwy ran, H₀ ac H₁, pob un yn disgrifio system y gellir ei hesblygu'n effeithlon:

$$\begin{array}{cc}H=H_0+H_1.& \left(6.162\right)\end{array}$$

Mae integryddion symplectig yn llunio datrysiadau bras ar gyfer y ffwythiant Hamilton H o ddatrysiadau H₀ ac H₁.

Lluniwn fapiad o'r gofod gwedd arno'i hun yn y ffordd ganlynol (gweler [47, 48, 49]). Diffiniwch δ_2π(t) fel swm anfeidraidd o ffwythiannau delta Dirac, â chyfwng 2π,

$$\begin{array}{cc}{\delta }_{2\pi }\left(t\right)={\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-2\pi n\right),}& \left(6.163\right)\end{array}$$

â chynrychioliad fel cyfres Fourier

$$\begin{array}{cc}2\pi {\delta }_{2\pi }\left(t\right)={\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\cos \left(nt\right).}& \left(6.164\right)\end{array}$$

Cofiwch fod gan ffwythiant δ y briodwedd bod ${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\delta =f\left(0\right)}$ ar gyfer unrhyw a positif a ffwythiant di-dor f â gwerthoedd real. Mae'n ffrwythlon meddwl am y ffwythiant delta fel terfyn ffwythiant Δ_>h sydd â'r gwerth Δ_h(t) = 1/h yn y cyfwng −h/2 < t < h/2 a sero fel arall. Nawr ystyriwch y ffwythiant Hamilton mapio

$$\begin{array}{cc}{H}_m\left(t,q,p\right)=H_0\left(t,q,p\right)+2\pi {\delta }_{2\pi }\left(\Omega t\right)H_1\left(t,q,p\right).& \left(6.165\right)\end{array}$$

Llywodraethir esblygiad y system rhwng y ffwythiannau delta gan H₀ yn unig. I ddeall sut mae'r system yn esblygu ar draws y ffwythiannau delta meddyliwch am y ffwythiannau delta yn nhermau Δ_h wrth i h fynd at sero. Mae hafaliadau Hamilton yn cynnwys termau o H₁ â'r ffactor 1/h, sy'n fawr, a thermau o H₀ sy'n annibynnol ar h. Felly wrth i h fynd at sero, mae H₀ yn gwneud cyfraniad dibwys at yr esblygiad. Llywodraethir yr esblygiad ar draws y ffwythiannau delta gan H₁ yn unig. Ceir esblygiad H_m drwy esblygu'r system bob yn ail yn ôl y ffwythiant Hamilton H₀ dros gyfwng Δt = 2π/Ω ac yna esblygu'r system yn ôl y ffwythiant Hamilton H₁ dros yr un cyfwng amser. Ceir esblygiad H_m dros gyfnod hwy drwy iteru'r mapiad hwn o'r gofod gwedd arno'i hun. Cwblhewch y manylion i ddangos hyn.

a. Yn nhermau cyfresi Lie, generadir esblygiad H_m dros un cylch ffwythiant delta Δt gan

$$\begin{array}{cc}{e}^{\Delta t{L}_{H_m}}I=\left(e^{\Delta t{L}_{H_1}}I\right)\circ \left(e^{\Delta t{L}_{H_0}}I\right).& \left(6.166\right)\end{array}$$

Mae esblygiad H_m yn brasamcanu esblygiad H. Uniaethwch y gweithredydd nad yw'n cymudo A ag $L_{H_0}$ a B ag $L_{H_1}$.

Defnyddiwch unfathiant Baker–Campbell–Hausdorff (hafaliad 6.161) i ddiddwytho bod y gwall torri lleol (y gwall yn y cyflwr ar ôl un cam Δt) yn gyfrannol â (Δt)². Integrydd trefn gyntaf yw'r mapiad hwn.

b. Drwy newid gwedd y ffwythiannau delta yn unig, gallwn leihau gwall torri'r mapiad, a daw'r mapiad yn integrydd ail drefn. Yn lle gwneud mapiad drwy gymryd cam llawn Δt a lywodraethir gan H₀ bob yn ail â cham llawn Δt a lywodraethir gan H₁, gallwn wneud mapiad drwy esblygu'r system am hanner cam Δt/2 a lywodraethir gan H₀, yna am gam llawn Δt a lywodraethir gan H₁, ac yna am hanner cam arall Δt/2 a lywodraethir gan H₀. Yn nhermau cyfresi Lie generadir y mapiad ail drefn gan

$$\begin{array}{cc}{e}^{\Delta t{L}_{H_m}}I=\left(e^{\left(\Delta t/2\right)L_{H_0}}I\right)\circ \left(e^{\Delta t{L}_{H_1}}I\right)\circ \left(e^{\left(\Delta t/2\right)L_{H_0}}I\right).& \left(6.167\right)\end{array}$$

Cadarnhewch fod y ffwythiant Hamilton sy'n llywodraethu esblygiad y mapiad hwn yr un fath â'r un uchod ond â gwedd y ffwythiannau delta wedi'i symud. Dangoswch fod gwall torri un cam o'r mapiad ail drefn hwn yn wir yn gyfrannol â (Δt)³.

c. Ystyriwch system Hénon–Heiles. Gallwn rannu'r ffwythiant Hamilton (hafaliad 3.135 ar dudalen 252) yn ddau ffwythiant Hamilton datrysadwy fel a ganlyn:

$$\begin{array}{ll}{H}_0\left(t;x,y;p_x,p_y\right)=\left(p_x^2+p_y^2\right)/2+\left(x^2+y^2\right)/2\hfill & \hfill \\ H_1\left(t;x,y;p_x,p_y\right)=x^{2}y-y^3/3.\hfill & \left(6.168\right)\hfill \end{array}$$

Ffwythiant Hamilton dau osgiliadur llinol heb eu cyplysu yw'r ffwythiant Hamilton H₀; cyplysiad aflinol yw'r ffwythiant Hamilton H₁. Gellir mynegi taflwybrau'r systemau a ddisgrifir gan bob un o'r ffwythiannau Hamilton hyn ar ffurf gaeedig, felly nid oes angen y cyfresi Lie arnom i integru pob rhan mewn gwirionedd. Defnyddir ehangiadau'r cyfresi Lie i bennu trefn yr integrydd yn unig.

Ysgrifennwch raglenni sy'n gweithredu mapiadau trefn gyntaf ac ail drefn ar gyfer problem Hénon–Heiles. Sylwch na all y mapiadau hyn fod o'r un ffurf â'r mapiadau Poincaré a ddefnyddiwyd gennym i wneud arwynebau toriad, oherwydd bod yn rhaid i'r mapiadau hyn gymryd a dychwelyd y cyflwr cyfan. (Pam?) Templed priodol ar gyfer mapiad o'r fath yw (1st-order-map state dt). Rhaid i'r weithdrefn hon ddychwelyd cyflwr.

d. Archwiliwch esblygiad yr egni ar gyfer amodau cychwynnol anhrefnus a lledgyfnodol. Sut mae maint y gwall egni yn graddio â maint y cam? A yw hyn yn gyson â threfn yr integrydd a ddiddwythwyd uchod? Sut mae'r gwall egni yn tyfu gydag amser?

e. Cymhlethir generadu arwynebau toriad o'r mapiadau hyn gan y ffaith bod yn rhaid i'r mapiadau hyn gynnal eu cyflwr er y gall fod angen pwynt plotio rhwng dau sampl. Mae'r mapiadau a wnaethoch yn rhan c yn samplu'r cyflwr yn rheolaidd â cham amser yr integrydd. Os oes rhaid inni blotio pwynt rhwng dau gam ni allwn ailgychwyn yr integrydd yng nghyflwr y pwynt wedi'i blotio, oherwydd byddai hynny'n colli gwedd cam yr integrydd. I wneud i hyn weithio rhaid i'r mapiad blotio pwyntiau ond cadw'i rythm, felly mae'n rhaid inni fynd o amgylch y ffaith bod explore-map yn ailgychwyn ar bob pwynt wedi'i blotio. Dyma rywfaint o god y gellir ei ddefnyddio i lunio mapiad o fath Poincaré y gellir ei ddefnyddio gyda'r archwiliwr:

(define ((HH-collector win advance E dt sec-eps n) x y done fail)
  (define (monitor last-crossing-state state)
    (plot-point win
                (ref (coordinate last-crossing-state) 1)
                (ref (momentum last-crossing-state) 1)))
  (define (pmap x y cont fail)
    (find-next-crossing y advance dt sec-eps cont))
  (define collector (default-collector monitor pmap n))
  (cond ((and (up? x) (up? y))      ;passed states
         (collector x y done fail))
        ((and (number? x) (number? y))   ;initialization
         (let ((initial-state (section->state E x y)))
           (if (not initial-state)
             (fail)
             (collector initial-state initial-state done fail))))
        (else (error "bad input to HH-collector" x y))))

Fe sylwch fod iteru'r mapiad a phlotio'r pwyntiau wedi'u cynnwys yn y casglwr hwn, felly rhaid i'r mapiad y mae hwn yn ei gynhyrchu ddisodli'r rhannau hyn o'r archwiliwr. Mae'r arg #f i explore-map yn caniatáu inni ddisodli rhannau priodol yr archwiliwr â'n cyfuniad o iterwr mapiad a phlotiwr HH-collector.

(explore-map win
             (HH-collector win 1st-order-map 0.125 0.1 1.e-10 1000)
             #f)

Generadwch arwynebau toriad gan ddefnyddio'r mapiad ail drefn. A yw'r mapiad yn cadw natur anhrefnus neu ledgyfnodol taflwybrau?

¹Cofiwch fod ∂_1,0 yn golygu'r deilliad mewn perthynas â safle'r cyfesuryn cyntaf.

²Mae ein theoremau ynghylch pa drawsffurfiadau sy’n ganonig yn dal yn ddilys, oherwydd nid yw symud yr amser yn effeithio ar yr amod symplectig. Gweler troednodyn 14 ym Mhennod 5.

³Nid yw deilliadau rhannol argiau strwythuredig yn cymudo yn gyffredinol, felly nid yw’r casgliad hwn mor syml ag y gall ymddangos.

⁴Mae’r trawsffurfiad S_Δ yn unfathiant ar y cydrannau qp, felly mae’n symplectig. Er ei fod yn addasu’r amser, nid yw’n drawsffurfiad sy’n dibynnu ar amser, gan nad yw’r cydrannau qp yn dibynnu ar yr amser. Felly, os addaswn y ffwythiant Hamilton drwy gyfansoddi ag S_Δ, mae gennym drawsffurfiad canonig.

⁵Yn ôl theorem Stokes gallwn gyfrifo arwynebedd rhanbarth drwy integryn llinell o amgylch ffin y rhanbarth. Diffiniwn gyfeiriad positif yr arwynebedd fel yr arwynebedd sydd wedi’i amgáu gan gromlin a ddilynir yn wrthglocwedd, pan gaiff ei llunio ar blân gyda’r cyfesuryn ar yr echelin lorweddol a’r momentwm ar yr echelin fertigol.

⁶Gallwn weld hyn fel a ganlyn. Boed γ yn unrhyw gromlin gaeedig yn y ffin. Mae’r gromlin hon yn rhannu’r ffin yn ddau ranbarth. Yn ôl theorem Stokes gellir ysgrifennu’r integryn annewidiol dros bob un o’r ddau ddarn hyn fel integryn llinell ar hyd y ffin hon, ond mae ganddynt arwyddion dirgroes, oherwydd dilynir γ i gyfeiriadau dirgroes er mwyn cadw’r arwyneb ar y chwith. Felly casglwn fod yr integryn annewidiol dros yr arwyneb cyfan yn sero.

⁷Boed f yn ffwythiant sy’n dibynnu ar lwybr, $\tilde{\eta }\left(s\right)=D\tilde{q}\left(s\right)$, ac $g\left(s\right)=f\left[\tilde{q}\left(s\right)\right]$. Amrywiad f yn $\tilde{q}\left(s\right)$ i’r cyfeiriad $\tilde{\eta }\left(s\right)$ yw ${\delta }_{\tilde{\eta }\left(s\right)}f\left[\tilde{q}\left(s\right)\right]=Dg\left(s\right)$.

⁸Yn gyffredinol, gallai’r generadur W ddibynnu ar ei newidyn annibynnol. Os felly, byddai angen pennu rheol sy’n rhoi gwerth cychwynnol y newidyn annibynnol ar gyfer yr esblygiad W. Gall y rheol hon ddibynnu ar yr amser neu beidio. Os nad yw’r modd y pennir y newidyn annibynnol ar gyfer yr esblygiad W yn dibynnu ar amser, yna mae’r trawsffurfiad canonig canlyniadol ${\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }$ yn annibynnol ar amser ac mae’r ffwythiannau Hamilton yn trawsffurfio drwy gyfansoddi. Os yw’r generadur W yn dibynnu ar ei newidyn annibynnol a bod y rheol ar gyfer pennu ei werth cychwynnol yn dibynnu ar amser, yna mae’r trawsffurfiad ${\mathcal{C}}_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }$ yn dibynnu ar amser. Yn yr achos hwn, gall fod angen addasu’r berthynas rhwng y ffwythiannau Hamilton H ac H′. Yn y gofod gwedd estynedig mae’r holl gymhlethdodau hyn yn diflannu: dim ond un achos sydd. Gallwn dybio bod pob generadur W yn annibynnol ar y newidyn annibynnol.

⁹Mae’r set o drawsffurfiadau $E_{\mathit{ϵ},W}^{\prime }$ gyda chyfansoddi yn weithrediad a chyda pharamedr ϵ yn grŵp Lie un paramedr.

¹⁰Rydym yn trin gweithredyddion differol yn bur anffurfiol yma. Mewn triniaeth ffurfiol mae’n hanfodol profi bod y gweithrediadau hyn wedi’u diffinio’n dda yn fathemategol a bod ganddynt briodweddau cydgyfeirio priodol.

¹¹Mae ein L_H yn achos arbennig o’r hyn a elwir yn ddeilliad Lie mewn geometreg ddifferol. Y syniad mwy cyffredinol yw bod maes fector yn diffinio llif. Mae deilliad Lie gwrthrych mewn perthynas â maes fector yn rhoi cyfradd newid y gwrthrych wrth iddo gael ei lusgo ynghyd â’r llif. Yn ein hachos ni, y llif yw’r esblygiad a gynhyrchir gan hafaliadau Hamilton, gyda ffwythiant Hamilton H.

¹²Mewn gwirionedd, diffiniwn y deilliad Lie ychydig yn wahanol, fel a ganlyn:

(define ((Lie-derivative-procedure H) F)
  (Poisson-bracket F H))
(define Lie-derivative
  (make-operator Lie-derivative-procedure 'Lie-derivative))

Y rheswm yw ein bod am i Lie-derivative fod yn weithredydd, sydd yn union fel ffwythiant ac eithrio bod lluoswm gweithredyddion yn cael ei ddehongli fel cyfansoddiad, tra bo lluoswm ffwythiannau yn ffwythiant sy’n cyfrifo lluoswm eu gwerthoedd.

¹³Diffinnir y weithdrefn Lie-transform yma hefyd yn weithredydd, yn union fel Lie-derivative.